Curso Met-Exp Clase 17 27 Agosto

Programa de
Ingeniería Industrial

Curso:
Métodos Experimentales

Dr. Ing. Helga Patricia Bermeo Andrade
Correo-e: met-exp@unibague.net

Ibagué,
Sem B/2009

UNIDAD 1. Análisis estadístico univariado y bivariado

Fechas Temas Lecturas recomendadas
Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ®

03-Feb Estadística inferencial: fundamentos, Manual on-line
introducción al SPSS
06-10-Feb Estimación de parámetros Montgomery & Runger, Cap. 7
13-17-Feb Inferencia estadística para una muestra Montgomery & Runger, Cap. 8
20-24 Feb Inferencia estadística para dos muestras Montgomery & Runger, Cap. 9
27 Feb- 03 1er. Parcial 25%
Mar

UNIDAD 1. Análisis estadístico univariado y bivariado

Nivel de análisis Tipo de técnica

Univariado

Paramétricas

Bivariado

No Paramétricas

Multivariado

1.3 Inferencia estadística para una muestra

La Prueba de Hipótesis
 Hipótesis estadística: Es una proposición o enunciado respecto a los
parámetros de una o más poblaciones; o el enunciado acerca de la

distribución de probabilidad de una variable aleatoria.

 Prueba de hipótesis: Procedimiento de toma de decisiones a partir de
hipótesis.
Su planteamiento puede derivarse de:
 La experiencia pasada, en cuyo caso se desea determinar si hay cambios en
parámetros ya conocidos.
 Una teoría o un modelo en estudio, en cuyo caso el objetivo será de verificación
de la teoría o el modelo.
 Por especificaciones (ej. De diseño), en cuyo caso el objetivo es adelantar una
prueba de conformidad.


 Tipos de hipótesis estadísticas

 Hipótesis nula (Ho), o hipótesis que quiere probarse y que constituye un
enunciado (en valor exacto) acerca de un parámetro de la población.
 Hipótesis alterna (H1), o hipótesis a considerar si se rechaza Ho. Puede ser de
dos colas o de una sola cola.

Ejemplo:
La media de la rapidez de combustión del propulsor de un sistema de expulsión de
tripulantes en cabinas de aviación es de 50 cm/s.

H 0 :   50 cm / s
H1 :   50 cm / s


 La prueba se apoya en la distribución teórica de la Normal, que tiene la

siguiente configuración:

f(z)
Se caracteriza por:
•Es unimodal
•Es simétrica
•Es mesocúrtica (curtosis cero)
-z -3s -2s -1s 0 +1s +2s +3s +z •Escala en puntuaciones “Z”
68.3% •El área de probabilidad total
95.5%
bajo la curva es 1 (uno).
99.7%
•Es una función acumulada
•La media, mediana y moda
coinciden en el mismo punto


 Errores en los que se incurre en la decisión

La decisión se prueba sobre un valor crítico (nivel de significancia) en el cual
se rechaza o no la hipótesis nula, dado que hay o no suficiente prueba
estadística para ello.
Tipos No rechazar Rechazar
Decisión
Ho cierta Correcta Error I (  )

Ho falsa Error II ( ) Correcta

Error tipo I: probabilidad de rechazar Ho cuando ésta es verdadera
Error tipo II: probabilidad de no rechazar Ho cuando ésta es falsa
Potencia de la prueba: probabilidad de rechazar Ho cuando la H1 es verdadera
Valor P: el valor de probabilidad más bajo de α, a partir del cual se rechazaría Ho



 Nivel de significancia: Es un valor de certeza o probabilidad que fija el
analista a priori, de no equivocarse en su decisión de “ rechazar o no
rechazar la hipótesis de investigación”.

En estudios de ingeniería se acepta un nivel de significancia hasta del 5% o
menos, esto es, un nivel de confianza de no menos del 95% para que el
analista generalice sobre los resultados de la muestra, sin incurrir en graves
errores de muestreo (por no ser la muestra representativa o por sesgo en la
selección de los elementos muestrales).

El nivel de confianza se toma generalmente sobre la distribución muestral de
la media.

 Ejemplo:
A partir del resultado de una muestra de 10 ensayos de laboratorio (media de combustión

entre 48.5 y 51.5 cm/s), indicar: a) cuál es la probabilidad de incurrir en el error Tipo I si se
considera que la verdadera velocidad media de combustión es de 50cm/s, y se tiene una
desviación estándar ±2.5 cm/s ?
Solución (a)
H 0 :   50 cm / s

x  n  2.5 10  0.79

X   51.5  50.0
Z1    1.90
X 0.79 -X 48.5 cm/s 0
50 cm/s 51.5 cm/s +3s +X

  P( Z  1.90)  P( Z  1.90)
  0.0288  0.0288  0.0576

Existe una probabilidad de 0.057 de
rechazar Ho, aun cuando la verdadera
media de la velocidad de propulsión -z Z2=-1.90 0 Z1=1.90 +3s +z
es de 50cm/s.

 Ejemplo:
A partir del resultado de 10 ensayos de laboratorio, indicar: b) cuál es la probabilidad de incurrir

en el error Tipo II si se considera que la verdadera velocidad media de combustión es de
52cm/s? ¿Cuál es la potencia de esta prueba? La desviación estándar es 2.5cm/s.

Solución (b)
H 0 :   52 cm / s  x  0.79

X   48.5  52.0
Z1    4.43
X 0.79 0
50cm/s 52 cm/s X
X   51.5  52.0 -X
48.5 cm/s 51.5 cm/s
Z2    0.63
X 0.79
Existe una probabilidad de 0.2643 de
  P(4.43  Z  0.63) no rechazar Ho, cuando la verdadera
  0.2643 media de la velocidad de propulsión
es de 52cm/s.

La potencia de la prueba es de 0.7357

 Taller :
A partir del ejemplo indicado del propulsor de vuelo, resolver:

a) Cuánto cambia el error tipo I si se aumentan las experimentaciones a una muestra de 20?

b) Cuál es la probabilidad de cometer el error tipo II si la verdadera muestra está en 49 cm/s?

c) Cuáles serían los límites en los que podría tomar valor la velocidad media de combustión, si
se desea asumir un nivel de significancia del 5%?

d) Cuáles serían los límites en los que podría tomar valor la velocidad media de combustión , si
se desea asumir un nivel de significancia de sólo el 1%?

e) Realizar los ejercicios 8-1, 8-2, 8-3, 8-4 del libro guía, pág. 307.


 Procedimiento general:

 Identificar el parámetro de interés

 Establecer la hipótesis correspondientes (Ho, H1)

 Elegir un nivel de significación α
 Elegir un estadístico de la prueba apropiado

 Establecer la región de rechazo del estadístico

 Calcular el estadístico de la prueba

 Decidir si rechazar o no Ho y contextualizar la solución

Inferencia sobre la media poblacional
con varianza conocida

Prueba de hipótesis
H 0 :   o
H1 :   o

Estadístico de prueba X  o
Zo 
 n

Regla de decisión No rechazar Ho si  z / 2  Z o  z / 2

Distribución de Zo Región Región
cuando Ho: µ=µo crítica crítica
α/2 α/2
Región de no rechazo

-z -Zα/2 0 -Zα/2 Zo

Inferencia sobre la media poblacional
Ejemplo: En el caso del sistema de propulsión, qué puede concluirse si el promedio

muestral de 20 experimentos dio 51 cm/s?

1. El parámetro de interés es µ
2. Hipótesis: H 0 :   o ; H1 :   o
3. Nivel de significancia α=0.05, 95% de confianza
4. Selección y cálculo del estadístico de la prueba
X  o 51  50 Valor P  P(Z  1.7888)  0.036
Zo    1.7888
 n 2.5 20

5. Regla de decisión: No rechazar Ho si Z o  Z  1.645
o si Valor P<0.05

6. Conclusión: A un nivel de confianza del 95% se Región
encuentra suficiente evidencia estadística para α crítica
rechazar Ho, y se estima que la verdadera media de Región de no rechazo
velocidad de expulsión es superior a los 50 cm/s. 0 Zo
-Zα


Intervalos de confianza

Rango o intervalo en el cual está el valor del parámetro desconocido de una
población. Se calcula con base en los estadísticos de las muestras.

Coeficientes de Confianza (1-α) es el nivel de confianza que se tiene que
el intervalo contenga el valor desconocido del parámetro de la población.

Relación de la distribución normal estándar
respecto a los niveles de confianza
68.3%    
95.5%    2
99.7%    3

Intervalo de confianza para la media

El intervalo de confianza a un nivel α esta dado por:

X  Z / 2 / n    X  Z / 2 / n

Ejemplo: Cuál es el IC a un 95% para el caso de la velocidad de expulsión con una
media de 50 cm/s y una desviación estándar de 2.5 cm/s en una muestra de 20?

50  1.96 * 2.5 20    50  1.96 * 2.5 20

48.904    51.095

Interpretación: A un nivel de confianza del 95%,
la media tomará un valor de 50 ± 1.095 cm/s.

α/2
α/2
0
48.90 50 51.09 U

Prueba de hipótesis para la media
con media y varianza desconocida

Prueba de hipótesis H 0 :   o
H1 :   o

Estadístico de prueba X  o
To 
S n

Regla de decisión No rechazar Ho si t / 2, n 1  To  t / 2,n 1
prueba de dos colas

cuando Ho: µ=µo crítica crítica
α/2 α/2

-t -tα/2,n-1 0 -tα/2,n-1 to

Prueba de hipótesis para la media
con media y varianza desconocida
Ejemplo: En el caso del sistema de propulsión, puede concluirse que la velocidad

promedio es mayor a 50, dado que el promedio muestral de 20 experimentos dio 52
cm/s con desviación estándar muestral de =2 cm/s?
1. El parámetro de interés es µ
2. Hipótesis: H 0 :   50 ; H 1 :   50
X  o 52  50
to    0.447
s n 2.0 20

5. Regla de decisión: No rechazar Ho si to  t0.05,19  1.729

encuentra suficiente evidencia estadística para no α crítica
rechazar Ho, y se estima que la velocidad media de Región de no rechazo
expulsión no es superior a los 50 cm/s. 0 t
tα/2,19=1.729

Prueba de hipótesis sobre una proporción

Uso: En casos en donde la variable aleatoria objeto de estudio, sigue una

distribución Binomial (n ensayos de bernoulli, donde la VA en cada ensayo, sólo
puede tomar dos valores).

Ejemplos de aplicación:
• Análisis de la proporción de defectuosos en un lote de producción
•Estudio de la proporción de población desplazada en un ciudad
•Análisis de la proporción de empleados que dicen estar ‘a gusto’ con la empresa

Hipótesis a comprobar: H 0 : p  p0
H 1 : p  p0
Estadístico de prueba:
X  npo
Zo 
np0 (1  p0 )
Regla de decisión: No rechazar Ho si Región
α/2 α/2 crítica
zo  z / 2
0 z
zα/2

Prueba de hipótesis sobre una proporción

Ejemplo: Un fabricante de autopartes requiere que su proceso de fabricación no

presente un % de defectuosos mayor al 5%. En reciente muestreo de control de
calidad con n=200 piezas revisadas, se encuentra que 5 de ellos ‘no conformes’.
Puede el fabricante estar tranquilo con su proceso actual?

Parámetro de interés: la proporción de defectuosos del proceso, p

Hipótesis a comprobar: H 0 : p  0 . 05 ; H 1 : p  0 . 05

5  200(0.05)
Zo   1.6222
Estadístico de prueba: 200(0.05)(0.95)

Región
Conclusión: Puesto que |Zo|<Zα=1.645, crítica
no hay suficiente evidencia estadística para
rechazar Ho, por lo que se considera que α=0.05
la proporción actual del proceso es mayor a
Zα=-1.645 0 z
0.05 y por tanto es deficiente.

1.3 Inferencia estadística para un muestra
 La Prueba de Hipótesis
 Intervalos de confianza

Estadístico Muestra Varianza I.C. .

Media Conocida   X  Z
Grande
Desconocida
  X  Zs x
Pequeña
Desconocida
  X  ts x

Proporción Pequeña Conocida   p  Z p

Desconocida
  p  Zs p
Donde:

X  s  (1   ) p (1  p)
t sx  p  sp 
sx n n n

1.3 Inferencia estadística para un muestra
Ej. Cálculo e interpretación de los I.C.

Un estudio realizado en varias ciudades de Colombia, fue diseñado para hacer

inferencias sobre las tasas de desempleo del país. Una muestra de 200 ciudades
reporta una tasa promedio de 10.8% de desempleo y con una desviación estándar
de 1.8%. Cual sería el intervalo de la tasa de desempleo del país a un nivel de
confianza del 95.5% y cual a un nivel de significancia del 5%?

  X  Zs x   10,8  (2) * 0,127  10,8  0,254 95.5%
s
sx    10.8  (1,96) * 0,127  10,8  0,381 95%
n

INTERVALOS DE
CONFIANZA DE LA
TASA DE DESEMPLEO A
1,2 Y 3 DESVIACIONES
MUESTRALES
68.3
%
95.5
%
99.7
%

Ej. Cálculo e interpretación de los I.C.

Un estudio realizado en varias ciudades de Colombia, fue diseñado para hacer

inferencias sobre las tasas de desempleo del país. Una muestra de 200 ciudades
reporta una tasa promedio de 10.8% de desempleo y con una desviación estándar
de 1.8%. Cual sería el intervalo de la tasa de desempleo del país a un nivel de
confianza del 95.5% y cual a un nivel de significancia del 5%?

  X  Zs x   10,8  (2) * 0,127  10,8  0,254 95.5%
s
sx    10.8  (1,96) * 0,127  10,8  0,381 95%
n

INTERVALOS DE
CONFIANZA DE LA
TASA DE DESEMPLEO A
1,2 Y 3 DESVIACIONES
MUESTRALES
68.3
%
95.5
%
99.7
%

Pruebas de bondad de ajuste: Ji cuadrada (X2).
 Usualmente utilizada para comprobar la hipótesis de que una distribución empírica se ajusta a
una distribución teórica. Confronta el valor esperado contra el valor observado de una variable.

Se evalúa si hay buen ajuste entre ellas.
Ho: La variable se ajusta a una distribución teórica conocida

 La decisión: no rechazar Ho si Xo2 < X2 .,g.l 2 ( Oi  E i ) 2
k
X 
0
i 1 EI

g .l .  k  s  1

S: parámetros estimados de los datos

f(X2)


“No rechazar Ho”

X2α/2, g.l

1.4 Inferencia estadística para dos muestras
Población 1 Independientes Población 2

n1  N ( 1 ,  12 ) 2
n2  N (  2 ,  2 )

 Procedimiento general:
 Identificar el parámetro de interés

 Establecer la hipótesis correspondientes (Ho, H1)

 Elegir un nivel de significación α
 Elegir un estadístico de la prueba apropiado

 Establecer la región de rechazo del estadístico

 Calcular el estadístico de la prueba

 Decidir si rechazar o no Ho y contextualizar la solución

Inferencia sobre la diferencia en medias

Prueba de hipótesis Regla de decisión Estadístico de prueba
No rechazar Ho si:
( X1  X 2 )  0
H 0 : 1   2   0 zo  z / 2 Zo 
 12  2
2

H 1 : 1   2   0 
zo  z n1 n2
H 1 : 1   2   0
H 1 : 1   2   0

cuando Ho: µ1- µ2=Δo crítica crítica
α/2 α/2

-z -Zα/2 0 -Zα/2 Zo

Ejemplo: Se analizan los tiempos de secado de dos procedimientos de pintura de piezas, cuya
desviación estándar suele ser de 9 min. Se aplica cada procedimiento a 10 piezas cada uno, y se
obtienen unas medias de 120 y 110 minutos de secado respectivamente. A qué conclusión puede

llegar el analista de laboratorio sobre la diferencia o no de los procedimientos, a un nivel α=0.05?

1. El parámetro de interés es la diferencia de medias

2. Hipótesis: H 0 : 1   2  0; H 1 : 1   2  0


( X1  X 2 )  0 (120  110)  0
Zo    2.484 Valor P  P( zo  2.484)  P ( zo  2.484)
2 2 2 2
 1  2 9 9
1 2
  Valor P  0.0065  0.0065  0.013
n1 n2 10 10

5. Regla de decisión: No rechazar Ho si Z o  Z / 2  1.96
o si Valor P>0.05

encuentra suficiente evidencia estadística para α/2 α/2 crítica
rechazar Ho, y se concluye que los dos procedimi-
entos de pintura son diferentes en sus tiempos 0 Zo
-Zα=-1.96 Zα=1.96
medios de secado.

Tamaño de la muestra para inferir sobre
la diferencia de medias

Estimación de la diferencia: Estimación de la muestra:

d
  0 ( z / 2  z  ) 2 ( 12   2 )
2

n
 12   2
2
(   0 )

Estimación de la muestra a partir del uso de las curvas de operación características, dado
un nivel de probabilidad β de error Tipo II y un nivel de significancia α de error tipo I.

Ejemplo: En el caso de la comparación de los tiempos de secado de pintura obtenidos en dos
procedimientos, cuál sería el tamaño de la muestra a analizar si la verdadera diferencia en los
tiempos de secado es de 12 minutos, dado un nivel α =0.05 y un mínimo β=0.90?

12
d  0.942 (1.96  1.28) 2 (9 2  9 2 )
92  92 n  11.66  12
(12  0) 2
6. Conclusión: El tamaño de muestra requerido para identificar una diferencia en las
medias de 12 minutos, dado un nivel de confianza del 95%, es de 12 muestras para cada
uno de los experimentos.

Intervalo de confianza para la diferencia en dos medias
El intervalo de confianza a un nivel α esta dado por:

 12  2
2
 12  2
2
X 1  X 2  Z / 2   1   2  X 1  X 2  Z / 2 
n1 n2 n1 n2

Ejemplo: Cuál es el IC a un 95% para el caso anterior, de los dos procedimientos
de secado de pintura analizados?

92 92 92 92
120  110  1.96   1   2  120  110  1.96 
10 10 10 10

2.111  1   2  17.888

Interpretación: Dado que el IC no contiene el valor de 0, no existe probabilidad de que
no haya diferencia entre los dos procedimientos de pintura, por tanto, a un nivel de
confianza del 95%, se concluye que los tiempos de secado de pintura del procedimiento
(1) exceden a los tiempos de secado de pintura del procedimiento (2), en un tiempo que
oscila entre 2.11 y 17.88 minutos.

con varianzas desconocidas que se suponen iguales

No rechazar Ho si:
( X1  X 2 )  0
H 0 : 1   2   0 To 
t o  t / 2, n1  n2 2 1 1
Sp 
H 1 : 1   2   0 t o  t , n1  n2  2 n1 n2
H 1 : 1   2   0
H 1 : 1   2   0 ( n1  1) S12  ( n2  1) S 22
Sp 
n1  n2  2

Intervalo de confianza

1 1 1 1
X 1  X 2  t / 2,n1  n2 2 S p   1   2  X 1  X 2  t / 2,n1  n2  2 S p 
n1 n2 n1 n2

con varianzas desconocidas que se suponen desiguales

No rechazar Ho si:
( X1  X 2 )  0
H 0 : 1   2   0 T0* 
t o  t / 2, n1  n2 2 S12 S 2
2

H 1 : 1   2   0 
t o  t , n1  n2  2 n1 n2
H 1 : 1   2   0
2
H 1 : 1   2   0  S12 S 22 
  
n 
v  1 n2  2
2
S1 n1
2
  2
S n
 2 2
2

n1  1 n2  1

S12 S 2
2
S12 S 2
2
X 1  X 2  t / 2,v   1   2  X 1  X 2  t / 2,v 
n1 n2 n1 n2

con varianzas desconocidas
Ejemplo: En la manufactura de dos semiconductores se están
n S1 S2
experimentando los resultados de usar dos soluciones de grabado.

Para ello, se aplicó cada solución en 10 obleas de material cada 1 9.9 10.2
uno, con los siguientes resultados en milipulgadas/min (ver tabla).
2 9.4 10.6
a) Los datos apoyan la afirmación de que la rapidez de grabado 3 9.3 10.7
es la misma para las dos soluciones? Suponga varianzas
iguales. 4 9.6 10.4
5 10.2 10.5
b) Cuál es el valor P de la prueba según el enciso a)?
6 10.6 10.0
c) Bajo el supuesto de varianzas iguales, cual sería el intervalo de
7 10.3 10.2
confianza del 95% para la diferencia de medias de la rapidez de
grabado? 8 10.0 10.7

d) Apoyarían los datos la afirmación de diferencia de medias en la 9 10.3 10.4
rapidez de grabado si se suponen varianzas desiguales? 10 10.1 10.3
e) Bajo el supuesto de varianzas desiguales, cuál seria el intervalo Media 9.970 10.400
de confianza al 90%? D.Est. 0.422 0.231

R/ a) Se rechaza Ho; b)0.010<valor P<0.020; c)-0.749<Δ0<-0.115

Prueba t-pareada

No rechazar Ho si:

H 0 : D  0 t o  t / 2, n 1 D  0
T0 
H1 : D  0 SD / n
t o  t , n1
H1 : D  0
H1 : D  0


d  t / 2,n 1S D / n   D  d  t / 2,n 1S D / n

Prueba t-pareada
Ejemplo: En la manufactura de un tipo de camiseta, se analizó el
n S1 S2
tiempo de fabricación de 10 operarias de confección, antes y

después de un proceso de entrenamiento por parte del 1 195 187
departamento de tiempos y movimientos. Los resultados de la
operación de costura de 10 camisetas polo, antes y después del
2 213 195
proceso de entrenamiento, dados en segundos son los indicados 3 247 221
en la tabla.
4 201 190
a) Los datos apoyan la afirmación de que el programa de 5 187 175
entrenamiento está siendo efectivo? Suponga varianzas
iguales. 6 210 197
7 215 199
b) Cuál es el valor P de la prueba según el enciso a)?
8 246 221
c) Bajo el supuesto de varianzas iguales, cual sería el intervalo de
confianza del 95% para la diferencia de medias de la rapidez de 9 294 278
costura de las operarias? 10 310 285
Media

R/ a) to=8.387, s3 rechaza Ho
D.Est.

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