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Curso Met-Exp Clase 17 27 Agosto

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Material Inferencia estadística para una y dos muestras

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Curso Met-Exp Clase 17 27 Agosto

  1. 1. Programa de Ingeniería Industrial Curso: Métodos Experimentales Dr. Ing. Helga Patricia Bermeo Andrade Correo-e: met-exp@unibague.net Ibagué, Sem B/2009
  2. 2. UNIDAD 1. Análisis estadístico univariado y bivariado Fechas Temas Lecturas recomendadas Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ® 03-Feb Estadística inferencial: fundamentos, Manual on-line introducción al SPSS 06-10-Feb Estimación de parámetros Montgomery & Runger, Cap. 7 13-17-Feb Inferencia estadística para una muestra Montgomery & Runger, Cap. 8 20-24 Feb Inferencia estadística para dos muestras Montgomery & Runger, Cap. 9 27 Feb- 03 1er. Parcial 25% Mar
  3. 3. UNIDAD 1. Análisis estadístico univariado y bivariado Nivel de análisis Tipo de técnica Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ® Univariado Paramétricas Bivariado No Paramétricas Multivariado
  4. 4. 1.3 Inferencia estadística para una muestra La Prueba de Hipótesis  Hipótesis estadística: Es una proposición o enunciado respecto a los parámetros de una o más poblaciones; o el enunciado acerca de la Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ® distribución de probabilidad de una variable aleatoria.  Prueba de hipótesis: Procedimiento de toma de decisiones a partir de hipótesis. Su planteamiento puede derivarse de:  La experiencia pasada, en cuyo caso se desea determinar si hay cambios en parámetros ya conocidos.  Una teoría o un modelo en estudio, en cuyo caso el objetivo será de verificación de la teoría o el modelo.  Por especificaciones (ej. De diseño), en cuyo caso el objetivo es adelantar una prueba de conformidad.
  5. 5. 1.3 Inferencia estadística para una muestra La Prueba de Hipótesis  Tipos de hipótesis estadísticas Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ®  Hipótesis nula (Ho), o hipótesis que quiere probarse y que constituye un enunciado (en valor exacto) acerca de un parámetro de la población.  Hipótesis alterna (H1), o hipótesis a considerar si se rechaza Ho. Puede ser de dos colas o de una sola cola. Ejemplo: La media de la rapidez de combustión del propulsor de un sistema de expulsión de tripulantes en cabinas de aviación es de 50 cm/s. H 0 :   50 cm / s H1 :   50 cm / s
  6. 6. 1.3 Inferencia estadística para una muestra La Prueba de Hipótesis  La prueba se apoya en la distribución teórica de la Normal, que tiene la Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ® siguiente configuración: f(z) Se caracteriza por: •Es unimodal •Es simétrica •Es mesocúrtica (curtosis cero) -z -3s -2s -1s 0 +1s +2s +3s +z •Escala en puntuaciones “Z” 68.3% •El área de probabilidad total 95.5% bajo la curva es 1 (uno). 99.7% •Es una función acumulada •La media, mediana y moda coinciden en el mismo punto
  7. 7. 1.3 Inferencia estadística para una muestra La Prueba de Hipótesis  Errores en los que se incurre en la decisión Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ® La decisión se prueba sobre un valor crítico (nivel de significancia) en el cual se rechaza o no la hipótesis nula, dado que hay o no suficiente prueba estadística para ello. Tipos No rechazar Rechazar Decisión Ho cierta Correcta Error I (  ) Ho falsa Error II ( ) Correcta Error tipo I: probabilidad de rechazar Ho cuando ésta es verdadera Error tipo II: probabilidad de no rechazar Ho cuando ésta es falsa Potencia de la prueba: probabilidad de rechazar Ho cuando la H1 es verdadera Valor P: el valor de probabilidad más bajo de α, a partir del cual se rechazaría Ho
  8. 8. 1.3 Inferencia estadística para una muestra La Prueba de Hipótesis Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ®  Nivel de significancia: Es un valor de certeza o probabilidad que fija el analista a priori, de no equivocarse en su decisión de “ rechazar o no rechazar la hipótesis de investigación”. En estudios de ingeniería se acepta un nivel de significancia hasta del 5% o menos, esto es, un nivel de confianza de no menos del 95% para que el analista generalice sobre los resultados de la muestra, sin incurrir en graves errores de muestreo (por no ser la muestra representativa o por sesgo en la selección de los elementos muestrales). El nivel de confianza se toma generalmente sobre la distribución muestral de la media.
  9. 9. 1.3 Inferencia estadística para una muestra La Prueba de Hipótesis  Ejemplo: A partir del resultado de una muestra de 10 ensayos de laboratorio (media de combustión Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ® entre 48.5 y 51.5 cm/s), indicar: a) cuál es la probabilidad de incurrir en el error Tipo I si se considera que la verdadera velocidad media de combustión es de 50cm/s, y se tiene una desviación estándar ±2.5 cm/s ? Solución (a) H 0 :   50 cm / s x  n  2.5 10  0.79 X   51.5  50.0 Z1    1.90 X 0.79 -X 48.5 cm/s 0 50 cm/s 51.5 cm/s +3s +X   P( Z  1.90)  P( Z  1.90)   0.0288  0.0288  0.0576 Existe una probabilidad de 0.057 de rechazar Ho, aun cuando la verdadera media de la velocidad de propulsión -z Z2=-1.90 0 Z1=1.90 +3s +z es de 50cm/s.
  10. 10. 1.3 Inferencia estadística para una muestra La Prueba de Hipótesis  Ejemplo: A partir del resultado de 10 ensayos de laboratorio, indicar: b) cuál es la probabilidad de incurrir Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ® en el error Tipo II si se considera que la verdadera velocidad media de combustión es de 52cm/s? ¿Cuál es la potencia de esta prueba? La desviación estándar es 2.5cm/s. Solución (b) H 0 :   52 cm / s  x  0.79 X   48.5  52.0 Z1    4.43 X 0.79 0 50cm/s 52 cm/s X X   51.5  52.0 -X 48.5 cm/s 51.5 cm/s Z2    0.63 X 0.79 Existe una probabilidad de 0.2643 de   P(4.43  Z  0.63) no rechazar Ho, cuando la verdadera   0.2643 media de la velocidad de propulsión es de 52cm/s. La potencia de la prueba es de 0.7357
  11. 11. 1.3 Inferencia estadística para una muestra La Prueba de Hipótesis  Taller : A partir del ejemplo indicado del propulsor de vuelo, resolver: Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ® a) Cuánto cambia el error tipo I si se aumentan las experimentaciones a una muestra de 20? b) Cuál es la probabilidad de cometer el error tipo II si la verdadera muestra está en 49 cm/s? c) Cuáles serían los límites en los que podría tomar valor la velocidad media de combustión, si se desea asumir un nivel de significancia del 5%? d) Cuáles serían los límites en los que podría tomar valor la velocidad media de combustión , si se desea asumir un nivel de significancia de sólo el 1%? e) Realizar los ejercicios 8-1, 8-2, 8-3, 8-4 del libro guía, pág. 307.
  12. 12. 1.3 Inferencia estadística para una muestra La Prueba de Hipótesis  Procedimiento general: Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ®  Identificar el parámetro de interés  Establecer la hipótesis correspondientes (Ho, H1)  Elegir un nivel de significación α  Elegir un estadístico de la prueba apropiado  Establecer la región de rechazo del estadístico  Calcular el estadístico de la prueba  Decidir si rechazar o no Ho y contextualizar la solución
  13. 13. 1.3 Inferencia estadística para una muestra Inferencia sobre la media poblacional con varianza conocida Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ® Prueba de hipótesis H 0 :   o H1 :   o Estadístico de prueba X  o Zo   n Regla de decisión No rechazar Ho si  z / 2  Z o  z / 2 Distribución de Zo Región Región cuando Ho: µ=µo crítica crítica α/2 α/2 Región de no rechazo -z -Zα/2 0 -Zα/2 Zo
  14. 14. 1.3 Inferencia estadística para una muestra Inferencia sobre la media poblacional con varianza conocida Ejemplo: En el caso del sistema de propulsión, qué puede concluirse si el promedio Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ® muestral de 20 experimentos dio 51 cm/s? 1. El parámetro de interés es µ 2. Hipótesis: H 0 :   o ; H1 :   o 3. Nivel de significancia α=0.05, 95% de confianza 4. Selección y cálculo del estadístico de la prueba X  o 51  50 Valor P  P(Z  1.7888)  0.036 Zo    1.7888  n 2.5 20 5. Regla de decisión: No rechazar Ho si Z o  Z  1.645 o si Valor P<0.05 6. Conclusión: A un nivel de confianza del 95% se Región encuentra suficiente evidencia estadística para α crítica rechazar Ho, y se estima que la verdadera media de Región de no rechazo velocidad de expulsión es superior a los 50 cm/s. 0 Zo -Zα
  15. 15. 1.3 Inferencia estadística para una muestra Intervalos de confianza Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ® Rango o intervalo en el cual está el valor del parámetro desconocido de una población. Se calcula con base en los estadísticos de las muestras. Coeficientes de Confianza (1-α) es el nivel de confianza que se tiene que el intervalo contenga el valor desconocido del parámetro de la población. Relación de la distribución normal estándar respecto a los niveles de confianza 68.3%     95.5%    2 99.7%    3
  16. 16. 1.3 Inferencia estadística para una muestra Intervalo de confianza para la media con varianza conocida Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ® El intervalo de confianza a un nivel α esta dado por: X  Z / 2 / n    X  Z / 2 / n Ejemplo: Cuál es el IC a un 95% para el caso de la velocidad de expulsión con una media de 50 cm/s y una desviación estándar de 2.5 cm/s en una muestra de 20? 50  1.96 * 2.5 20    50  1.96 * 2.5 20 48.904    51.095 Interpretación: A un nivel de confianza del 95%, la media tomará un valor de 50 ± 1.095 cm/s. α/2 α/2 0 48.90 50 51.09 U
  17. 17. 1.3 Inferencia estadística para una muestra Prueba de hipótesis para la media con media y varianza desconocida Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ® Prueba de hipótesis H 0 :   o H1 :   o Estadístico de prueba X  o To  S n Regla de decisión No rechazar Ho si t / 2, n 1  To  t / 2,n 1 prueba de dos colas Distribución de Zo Región Región cuando Ho: µ=µo crítica crítica α/2 α/2 Región de no rechazo -t -tα/2,n-1 0 -tα/2,n-1 to
  18. 18. 1.3 Inferencia estadística para una muestra Prueba de hipótesis para la media con media y varianza desconocida Ejemplo: En el caso del sistema de propulsión, puede concluirse que la velocidad Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ® promedio es mayor a 50, dado que el promedio muestral de 20 experimentos dio 52 cm/s con desviación estándar muestral de =2 cm/s? 1. El parámetro de interés es µ 2. Hipótesis: H 0 :   50 ; H 1 :   50 3. Nivel de significancia α=0.05, 95% de confianza 4. Selección y cálculo del estadístico de la prueba X  o 52  50 to    0.447 s n 2.0 20 5. Regla de decisión: No rechazar Ho si to  t0.05,19  1.729 6. Conclusión: A un nivel de confianza del 95% se Región encuentra suficiente evidencia estadística para no α crítica rechazar Ho, y se estima que la velocidad media de Región de no rechazo expulsión no es superior a los 50 cm/s. 0 t tα/2,19=1.729
  19. 19. 1.3 Inferencia estadística para una muestra Prueba de hipótesis sobre una proporción Uso: En casos en donde la variable aleatoria objeto de estudio, sigue una Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ® distribución Binomial (n ensayos de bernoulli, donde la VA en cada ensayo, sólo puede tomar dos valores). Ejemplos de aplicación: • Análisis de la proporción de defectuosos en un lote de producción •Estudio de la proporción de población desplazada en un ciudad •Análisis de la proporción de empleados que dicen estar ‘a gusto’ con la empresa Hipótesis a comprobar: H 0 : p  p0 H 1 : p  p0 Estadístico de prueba: X  npo Zo  np0 (1  p0 ) Regla de decisión: No rechazar Ho si Región α/2 α/2 crítica Región de no rechazo zo  z / 2 0 z zα/2
  20. 20. 1.3 Inferencia estadística para una muestra Prueba de hipótesis sobre una proporción Ejemplo: Un fabricante de autopartes requiere que su proceso de fabricación no Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ® presente un % de defectuosos mayor al 5%. En reciente muestreo de control de calidad con n=200 piezas revisadas, se encuentra que 5 de ellos ‘no conformes’. Puede el fabricante estar tranquilo con su proceso actual? Parámetro de interés: la proporción de defectuosos del proceso, p Hipótesis a comprobar: H 0 : p  0 . 05 ; H 1 : p  0 . 05 5  200(0.05) Zo   1.6222 Estadístico de prueba: 200(0.05)(0.95) Región Conclusión: Puesto que |Zo|<Zα=1.645, crítica no hay suficiente evidencia estadística para rechazar Ho, por lo que se considera que α=0.05 Región de no rechazo la proporción actual del proceso es mayor a Zα=-1.645 0 z 0.05 y por tanto es deficiente.
  21. 21. 1.3 Inferencia estadística para un muestra  La Prueba de Hipótesis  Intervalos de confianza Estadístico Muestra Varianza I.C. . Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ® Media Conocida   X  Z Grande Desconocida   X  Zs x Pequeña Desconocida   X  ts x Proporción Pequeña Conocida   p  Z p Desconocida   p  Zs p Donde: X  s  (1   ) p (1  p) t sx  p  sp  sx n n n
  22. 22. 1.3 Inferencia estadística para un muestra Ej. Cálculo e interpretación de los I.C. Un estudio realizado en varias ciudades de Colombia, fue diseñado para hacer Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ® inferencias sobre las tasas de desempleo del país. Una muestra de 200 ciudades reporta una tasa promedio de 10.8% de desempleo y con una desviación estándar de 1.8%. Cual sería el intervalo de la tasa de desempleo del país a un nivel de confianza del 95.5% y cual a un nivel de significancia del 5%?   X  Zs x   10,8  (2) * 0,127  10,8  0,254 95.5% s sx    10.8  (1,96) * 0,127  10,8  0,381 95% n INTERVALOS DE CONFIANZA DE LA TASA DE DESEMPLEO A 1,2 Y 3 DESVIACIONES MUESTRALES 68.3 % 95.5 % 99.7 %
  23. 23. 1.3 Inferencia estadística para una muestra Ej. Cálculo e interpretación de los I.C. Un estudio realizado en varias ciudades de Colombia, fue diseñado para hacer Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ® inferencias sobre las tasas de desempleo del país. Una muestra de 200 ciudades reporta una tasa promedio de 10.8% de desempleo y con una desviación estándar de 1.8%. Cual sería el intervalo de la tasa de desempleo del país a un nivel de confianza del 95.5% y cual a un nivel de significancia del 5%?   X  Zs x   10,8  (2) * 0,127  10,8  0,254 95.5% s sx    10.8  (1,96) * 0,127  10,8  0,381 95% n INTERVALOS DE CONFIANZA DE LA TASA DE DESEMPLEO A 1,2 Y 3 DESVIACIONES MUESTRALES 68.3 % 95.5 % 99.7 %
  24. 24. 1.3 Inferencia estadística para una muestra Pruebas de bondad de ajuste: Ji cuadrada (X2).  Usualmente utilizada para comprobar la hipótesis de que una distribución empírica se ajusta a una distribución teórica. Confronta el valor esperado contra el valor observado de una variable. Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ® Se evalúa si hay buen ajuste entre ellas. Ho: La variable se ajusta a una distribución teórica conocida  La decisión: no rechazar Ho si Xo2 < X2 .,g.l 2 ( Oi  E i ) 2 k X  0 i 1 EI g .l .  k  s  1 S: parámetros estimados de los datos f(X2)  “No rechazar Ho” X2α/2, g.l
  25. 25. 1.4 Inferencia estadística para dos muestras Población 1 Independientes Población 2 Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ® n1  N ( 1 ,  12 ) 2 n2  N (  2 ,  2 ) La Prueba de Hipótesis  Procedimiento general:  Identificar el parámetro de interés  Establecer la hipótesis correspondientes (Ho, H1)  Elegir un nivel de significación α  Elegir un estadístico de la prueba apropiado  Establecer la región de rechazo del estadístico  Calcular el estadístico de la prueba  Decidir si rechazar o no Ho y contextualizar la solución
  26. 26. 1.4 Inferencia estadística para dos muestras Inferencia sobre la diferencia en medias con varianza conocida Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ® Prueba de hipótesis Regla de decisión Estadístico de prueba No rechazar Ho si: ( X1  X 2 )  0 H 0 : 1   2   0 zo  z / 2 Zo   12  2 2 H 1 : 1   2   0  zo  z n1 n2 H 1 : 1   2   0 H 1 : 1   2   0 Distribución de Zo Región Región cuando Ho: µ1- µ2=Δo crítica crítica α/2 α/2 Región de no rechazo -z -Zα/2 0 -Zα/2 Zo
  27. 27. 1.4 Inferencia estadística para dos muestras Inferencia sobre la diferencia en medias con varianza conocida Ejemplo: Se analizan los tiempos de secado de dos procedimientos de pintura de piezas, cuya desviación estándar suele ser de 9 min. Se aplica cada procedimiento a 10 piezas cada uno, y se obtienen unas medias de 120 y 110 minutos de secado respectivamente. A qué conclusión puede Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ® llegar el analista de laboratorio sobre la diferencia o no de los procedimientos, a un nivel α=0.05? 1. El parámetro de interés es la diferencia de medias 2. Hipótesis: H 0 : 1   2  0; H 1 : 1   2  0 3. Nivel de significancia α=0.05, 95% de confianza 4. Selección y cálculo del estadístico de la prueba ( X1  X 2 )  0 (120  110)  0 Zo    2.484 Valor P  P( zo  2.484)  P ( zo  2.484) 2 2 2 2  1  2 9 9 1 2   Valor P  0.0065  0.0065  0.013 n1 n2 10 10 5. Regla de decisión: No rechazar Ho si Z o  Z / 2  1.96 o si Valor P>0.05 6. Conclusión: A un nivel de confianza del 95% se Región encuentra suficiente evidencia estadística para α/2 α/2 crítica Región de no rechazo rechazar Ho, y se concluye que los dos procedimi- entos de pintura son diferentes en sus tiempos 0 Zo -Zα=-1.96 Zα=1.96 medios de secado.
  28. 28. 1.4 Inferencia estadística para dos muestras Tamaño de la muestra para inferir sobre la diferencia de medias Estimación de la diferencia: Estimación de la muestra: Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ® d   0 ( z / 2  z  ) 2 ( 12   2 ) 2 n  12   2 2 (   0 ) Estimación de la muestra a partir del uso de las curvas de operación características, dado un nivel de probabilidad β de error Tipo II y un nivel de significancia α de error tipo I. Ejemplo: En el caso de la comparación de los tiempos de secado de pintura obtenidos en dos procedimientos, cuál sería el tamaño de la muestra a analizar si la verdadera diferencia en los tiempos de secado es de 12 minutos, dado un nivel α =0.05 y un mínimo β=0.90? 12 d  0.942 (1.96  1.28) 2 (9 2  9 2 ) 92  92 n  11.66  12 (12  0) 2 6. Conclusión: El tamaño de muestra requerido para identificar una diferencia en las medias de 12 minutos, dado un nivel de confianza del 95%, es de 12 muestras para cada uno de los experimentos.
  29. 29. 1.4 Inferencia estadística para dos muestras Intervalo de confianza para la diferencia en dos medias con varianza conocida El intervalo de confianza a un nivel α esta dado por: Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ®  12  2 2  12  2 2 X 1  X 2  Z / 2   1   2  X 1  X 2  Z / 2  n1 n2 n1 n2 Ejemplo: Cuál es el IC a un 95% para el caso anterior, de los dos procedimientos de secado de pintura analizados? 92 92 92 92 120  110  1.96   1   2  120  110  1.96  10 10 10 10 2.111  1   2  17.888 Interpretación: Dado que el IC no contiene el valor de 0, no existe probabilidad de que no haya diferencia entre los dos procedimientos de pintura, por tanto, a un nivel de confianza del 95%, se concluye que los tiempos de secado de pintura del procedimiento (1) exceden a los tiempos de secado de pintura del procedimiento (2), en un tiempo que oscila entre 2.11 y 17.88 minutos.
  30. 30. 1.4 Inferencia estadística para dos muestras Intervalo de confianza para la diferencia en dos medias con varianza conocida El intervalo de confianza a un nivel α esta dado por: Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ®  12  2 2  12  2 2 X 1  X 2  Z / 2   1   2  X 1  X 2  Z / 2  n1 n2 n1 n2 Ejemplo: Cuál es el IC a un 95% para el caso anterior, de los dos procedimientos de secado de pintura analizados? 92 92 92 92 120  110  1.96   1   2  120  110  1.96  10 10 10 10 2.111  1   2  17.888 Interpretación: Dado que el IC no contiene el valor de 0, no existe probabilidad de que no haya diferencia entre los dos procedimientos de pintura, por tanto, a un nivel de confianza del 95%, se concluye que los tiempos de secado de pintura del procedimiento (1) exceden a los tiempos de secado de pintura del procedimiento (2), en un tiempo que oscila entre 2.11 y 17.88 minutos.
  31. 31. 1.4 Inferencia estadística para dos muestras Inferencia sobre la diferencia en medias con varianzas desconocidas que se suponen iguales Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ® Prueba de hipótesis Regla de decisión Estadístico de prueba No rechazar Ho si: ( X1  X 2 )  0 H 0 : 1   2   0 To  t o  t / 2, n1  n2 2 1 1 Sp  H 1 : 1   2   0 t o  t , n1  n2  2 n1 n2 H 1 : 1   2   0 H 1 : 1   2   0 ( n1  1) S12  ( n2  1) S 22 Sp  n1  n2  2 Intervalo de confianza 1 1 1 1 X 1  X 2  t / 2,n1  n2 2 S p   1   2  X 1  X 2  t / 2,n1  n2  2 S p  n1 n2 n1 n2
  32. 32. 1.4 Inferencia estadística para dos muestras Inferencia sobre la diferencia en medias con varianzas desconocidas que se suponen desiguales Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ® Prueba de hipótesis Regla de decisión Estadístico de prueba No rechazar Ho si: ( X1  X 2 )  0 H 0 : 1   2   0 T0*  t o  t / 2, n1  n2 2 S12 S 2 2 H 1 : 1   2   0  t o  t , n1  n2  2 n1 n2 H 1 : 1   2   0 2 H 1 : 1   2   0  S12 S 22     n  v  1 n2  2 2 S1 n1 2   2 S n  2 2 2  n1  1 n2  1 Intervalo de confianza S12 S 2 2 S12 S 2 2 X 1  X 2  t / 2,v   1   2  X 1  X 2  t / 2,v  n1 n2 n1 n2
  33. 33. 1.4 Inferencia estadística para dos muestras Inferencia sobre la diferencia en medias con varianzas desconocidas Ejemplo: En la manufactura de dos semiconductores se están n S1 S2 experimentando los resultados de usar dos soluciones de grabado. Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ® Para ello, se aplicó cada solución en 10 obleas de material cada 1 9.9 10.2 uno, con los siguientes resultados en milipulgadas/min (ver tabla). 2 9.4 10.6 a) Los datos apoyan la afirmación de que la rapidez de grabado 3 9.3 10.7 es la misma para las dos soluciones? Suponga varianzas iguales. 4 9.6 10.4 5 10.2 10.5 b) Cuál es el valor P de la prueba según el enciso a)? 6 10.6 10.0 c) Bajo el supuesto de varianzas iguales, cual sería el intervalo de 7 10.3 10.2 confianza del 95% para la diferencia de medias de la rapidez de grabado? 8 10.0 10.7 d) Apoyarían los datos la afirmación de diferencia de medias en la 9 10.3 10.4 rapidez de grabado si se suponen varianzas desiguales? 10 10.1 10.3 e) Bajo el supuesto de varianzas desiguales, cuál seria el intervalo Media 9.970 10.400 de confianza al 90%? D.Est. 0.422 0.231 R/ a) Se rechaza Ho; b)0.010<valor P<0.020; c)-0.749<Δ0<-0.115
  34. 34. 1.4 Inferencia estadística para dos muestras Inferencia sobre la diferencia en medias Prueba t-pareada Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ® Prueba de hipótesis Regla de decisión Estadístico de prueba No rechazar Ho si: H 0 : D  0 t o  t / 2, n 1 D  0 T0  H1 : D  0 SD / n t o  t , n1 H1 : D  0 H1 : D  0 Intervalo de confianza d  t / 2,n 1S D / n   D  d  t / 2,n 1S D / n
  35. 35. 1.4 Inferencia estadística para dos muestras Inferencia sobre la diferencia en medias Prueba t-pareada Ejemplo: En la manufactura de un tipo de camiseta, se analizó el n S1 S2 tiempo de fabricación de 10 operarias de confección, antes y Hbermeo. Curso de Métodos Experimentales, UI, Sem. B 2009 – Copyright ® después de un proceso de entrenamiento por parte del 1 195 187 departamento de tiempos y movimientos. Los resultados de la operación de costura de 10 camisetas polo, antes y después del 2 213 195 proceso de entrenamiento, dados en segundos son los indicados 3 247 221 en la tabla. 4 201 190 a) Los datos apoyan la afirmación de que el programa de 5 187 175 entrenamiento está siendo efectivo? Suponga varianzas iguales. 6 210 197 7 215 199 b) Cuál es el valor P de la prueba según el enciso a)? 8 246 221 c) Bajo el supuesto de varianzas iguales, cual sería el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de medias de la rapidez de 9 294 278 costura de las operarias? 10 310 285 Media R/ a) to=8.387, s3 rechaza Ho D.Est.

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