1. Método de Variación de Parámetros Por : Iván Gil Perales Gómez. Registro 811015 Gpo. B: 211

2. Este es un método general para determinar una solución particular de una ecuación diferencial lineal. Sin pérdida de generalidad, consideremos la ecuación lineal de segundo orden escrita como : El método consiste en buscar una solución de la forma : Donde y1y y2 son dos soluciones l.i. de la ecuación diferencial homogénea asociada, y u1 y u2son dos funciones a determinar de modo que sea una solución de y satisfagan una condición arbitraria , pero seleccionada de tal forma que se simplifiquen los cálculos. ;Podemos simplificar esta expresión, imponiendo a u1y u2 la condición de que: Derivando: En tal caso: y por consiguiente:

3. Sustituyendo las expresiones de yp,y´p,y´´pen , y usando el hecho de que y1y y2 son soluciones de la ecuación diferencial homogénea, resulta: Así, buscamos una solución particular de la forma : , con u1,u2funciones que satisfacen las ecuaciones: Resolviendo el sistema de ecuaciones (para las incógnitas u1 y u2 ,empleando la regla de Cramer. Obtenemos: Donde W(x) denota al wronskiano W(y1,y2)(x).

4. Finalmente, integrando las expresiones resulta : Sustituyendo en se obtiene la solución particular deseada. EJEMPLO 1. Resolver Deteminamos primero la solución general de la ecuación homogénea asociada A saber La ecuación característica de y sus raíces son r1= 1 + i y r2=1— i. En consecuencia: Denotemos por:

5. Luego tenemos: Buscamos una solución particular de la forma yp=u1y1 + u2y2 , donde las funciones u1y u2se calculan utilizando las ecuaciones: Se tiene que: y Luego: y por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial no homogénea está dada por :