1. DETERMINANTES
Asociado a cada matriz cuadrada A hay un número llamado determinante de A.
Determinante de A se puede escribir de dos formas:
A determinante de A (no lo confundan con el signo del valor absoluto de un
número real)
Det A Esta se utiliza a veces en lugar de A para
evitar la confusión.
Una matriz es de primer orden cuando únicamente tiene un solo elemento y A = [a11 ] y
definimos la determinante de A como 11 A =a .
Ahora si la matriz A es una matriz cuadrada de segundo orden tendremos una matriz de 2 x 2
de modo que
ù
A es una matriz cuadrada de segundo orden.
úû
é
=
êë
a a
11 12
a a
21 22
Para hallar el determinante de esta matriz se realiza de la siguiente manera:
ù
A A =( a11 ) ( a22 ) - ( a21 ) ( a12 )
úû
é
=
êë
a a
11 12
a a
21 22
Ejemplo:
3 -
2
Encuentre A si (3)( 1) (4)( 2) ( 3) ( 8) 3 8 5
4 1
= - - - = - - - =- + =
-
A =
EJERCICIO I
Hallar el determinante de las siguientes matrices:
-
1 3
-
A =
1) 2 1
- -
3 1
2) 5 -
3
A =
-3 2
B =
3) 6 4
m n
C
-
4) p -
q
=
MENOR Y COFACTOR
MENOR
multiplicar multiplicar
RESTAR
multiplicar multiplicar
RESTAR

2. Para cada entrada aij de una matriz cuadrada A de orden n(n ³2) , el menor Mij se define
como el determinante de la matriz de orden n – 1 obtenida al suprimir la fila i-ésima y la
columna j-ésima de A.
Asi, para
A = 6
Para hallar el menor M11:
a) suprimimos la primera fila y la primera columna asi
M11 = 6
b) tomamos los números que no quedan tapados ( los números rojos)
M11 = 6
4 6
=
c) Tercero hallamos el determinante
4 6
= = - = - = -
M11 = 6 (4)(7) (5)(6) 28 30 2
Hallar los menores M12, M22 y M32
2 6
= = - = - =
M12 = 6 (2)(7) (1)(6) 14 6 8
1 3
= = - = - =
M22 = 6 (1)(7) (3)(1) 7 3 4
1 3
= = - = - =
M32 = 6 (1)(6) (2)(3) 6 6 0
COFACTOR
1
2
2 3
4
1 5 7
1
2
2 3
4
1 5 7
1
2
2 3
4
1 5 7
5 7
1
2
2 3
4
1 5 7
5 7
1
2
2 3
4
1 5 7
1 7
1
2
2 3
4
1 5 7
1 7
1
2
2 3
4
1 5 7
2 6

3. [( El cofactor ]( Aij de la entrada aij se define como el menor Mij multiplicado por
) i j
) ij
ij A = -1 + M El cofactor nos da como resultado es el signo del
menor.
Del ejemplo anterior obtuvimos los siguientes resultados de los menores
MENOR COFACTOR
M11 = -2 A = [(-1) i + j
]( M
) = [(-1)1+1 ](- 2) = (-1)2 (- 2) = (+1)(- 2) = -2
ij ij
M12 = 8 A = [(-1) i + j
]( M
) = [(-1)1+2 ](8) = (-1)3 (8) = (-1)(8) = -8
ij ij
M22 = 4 A = [(-1) i + j
]( M
) = [(-1)2+2 ](4) = (-1)4 (4) = (+1)(4) = 4
ij ij
M32 = 0 A = [(-1) i + j
]( M
) = [(-1)3+2 ](0) = 0
ij ij
En una matriz de tercer orden, el signo de los menores seria:
+ - +
- + -
+ - +
EJERCICIO II
Hallar el menor y cofactor de cada elemento de la matriz dada.
3 1
A = 2) 1 0
1) 0 2
3 5
-
B =
-
3 2
-
C = 4)
3) 1 4
-
2 1 4
-
0 1 2
3 2 4
D =
5)
-
3 2 5
-
2 4 2
1 3 0
D =
DETERMINATE DE UNA MATRIZ 3X3
Definición: el determinante de A de una matriz cuadrada de tercer orden se define así:

4. ù
é
=
A = + +
11 11 12 12 13 13
a a a
11 12 13
a a a
21 22 23
31 32 33
a A a A a A
a a a
ú ú ú
û
ê ê ê
ë
En esta definición se establece un patrón de multiplicar cada elemento de la fila 1 por su
cofactor, luego se suman todos los resultados para hallar A . A éste proceso se le
conoce como expandir A por primera fila, pero podemos expandir A por cualquier
fila o columna.
Teorema de expansión de determinantes:
El determinante de una matriz A de orden n(n ³2) puede evaluarse multiplicando cada
entrada en cualquier fila o (columna) por su cofactor y sumando los productos
resultantes.
Ejemplo:
Hallar el determinante de A
ù
ú ú ú
û
6 5 3
é
ê ê ê
2 4 5
ë
-
=
1 2 3
A
Primero hallamos los cofactores de la primera fila
Cofactor de 11 A 6 = 6(-1)1+1 =6(-1)2 = +6
Cofactor de 12 A 5 =5(-1)1+2 =5(-1)3 =-5
Cofactor de 13 A 3 =3(-1)1+3 =3(-1)4 =3
Luego hallamos los menores de la primera fila
ù
úû
4 5
é
êë
-
=
ù
ú ú ú
11 A
û
6 5 3
é
ê ê ê
2 4 5
ë
-
=
2 3
M
1 2 3
ù
úû
2 5
é
êë
-
=
ù
ú ú ú
12 A
û
6 5 3
é
ê ê ê
2 4 5
ë
-
=
1 3
M
1 2 3
ù
úû
2 4
é
=
êë
ù
ú ú ú
13 A
û
6 5 3
é
ê ê ê
2 4 5
ë
-
=
1 2
M
1 2 3
Ahora lo colocamos como la definición

5. ù
é
=
A = + +
11 11 12 12 13 13
a a a
11 12 13
a a a
21 22 23
31 32 33
a A a A a A
a a a
ú ú ú
û
ê ê ê
ë
ù
2 4
é
ù
2 5
é
ù
4 5
é
( ) ( ) ( ) = úû
êë
+ úû
êë
-
- + úû
êë
-
=
ù
ú ú ú
û
6 5 3
é
ê ê ê
2 4 5
ë
-
=
1 2
3
1 3
5
2 3
6
1 2 3
A
Ahora operamos
= 6{(4´-3) - (5´2)} + (-5){(2´-3) - (5´1)} + (3){(2´2) - (1´4)} =
= 6 ( - 22 ) - 5 ( - 11 ) + 3 ( 0
)
=
= 132 + 55 = -
77
Teorema sobre una fila o columna de ceros
Si todo elemento de una fila ( o columna ) de una matriz cuadrada A es cero, entonces
A =0.
Ejemplo:
Calcule el determinante de
ù
ú ú ú
û
1 0 3
é
=
ê ê ê
5 0 4
3 2 5
ë
A
1 3
1 3
5 4
é
ù
é
ù
é
( ) ( ) ( ) 0 0 2(4 15) 22
5 4
2
3 5
0
3 5
A 0
1 0 3
é
5 0 4
3 2 5
- = - + + = úû ù
êë
+ úû
êë
+ úû
êë
=
ù
ú ú ú
û
ê ê ê
ë
A =
Ejemplo 2:
Calcule el determinante de:
ù
ú ú ú ú
û
1 0 0 3
é
ê ê ê ê
0 1 0 4
2 3 0 0
ë
-
-
=
1 5 2 6
A
Desarrollamos A
Observa cuidadosamente la matriz A y veras que la segunda
columna tiene varias entradas a cero. Por lo que hallaremos el
determinante por la segunda columna.
Observa cuidadosamente la matriz A y veras que la tercera columna
tiene varias entradas a cero. Por lo que hallaremos el determinante
por la tercera columna.

6. A a A a A a A a A
= + + + =
13 13 23 23 33 33 43 43
( )
A A A A
= + + + - =
0 0 0 2
13 23 33 43
( 2
) A
43
= -
ù
ú ú ú ú
û
1 0 0 3
é
ê ê ê ê
0 1 0 4
2 3 0 0
ë
-
-
=
1 5 2 6
A
( ) ( )
ù
ú ú ú
û
1 0 3
é
ê ê ê
- = - -
0 1 4
2 3 0
ë
2 2 43 A
Ahora desarrollamos el determinante por la primera fila de A43
así
ïþ
ïý ü
ïî
ïí ì
ö
æ
0 1
3
ù
é -
+ úû
é
0 4
0
ù
é-
1 4
( ) ( ) ( ) ( ) =
÷ ÷ø
ç çè
úû
êë
ù
êë
- úû
êë
- = - - +
2 3
2 0
3 0
2 2 1 4 3 1
43 A
(- 2){(- 1)(- 12 + 0 + 3(2))} = (- 2){(- 1)(- 6)} = (- 2)(6) = 12
EJERCICIOS
Hallar el determinante de la matriz dada.
1)
ù
ú ú ú
A 2)
û
é
ê ê ê
3 1 2
4 2 5
- -
ë
-
=
6 3 1
ù
ú ú ú
A 3)
û
é-
=
ê ê ê
ë
1 0 2
0 1 3
3 4 0
ù
ú ú ú
û
é
ê ê ê
ë
2 5 1
3 1 6
-
-
-
=
4 2 3
A
4)
ù
ú ú ú
A 5)
û
3 5 0
é
=
ê ê ê
0 1 0
3 4 5
ë
ù
ú ú ú
A 6)
û
é
ê ê ê
2 7 3
=
4 1 2
ë
-
1 0 4
- -
ù
ú ú ú
û
3 2 1
é
= -
ê ê ê
1 1 0
2 3 0
ë
A
7)
ù
ú ú ú
A 8)
û
2 5 1
é
ê ê ê
3 4 0
ë
-
=
2 1 1
ù
ú ú ú
A 9)
û
5 4 1
é
= -
ê ê ê
3 2 7
2 0 6
ë
ù
ú ú ú
û
2 7 3
é
ê ê ê
1 0 4
ë
-
- -
=
4 1 2
A