La Integral Indefinida

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La Integral Indefinida

  1. 1. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida 1 1.1 DEFINICIÓN 1.2 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 1.2.1 FORMULAS 1.2.2 PROPIEDADES 1.2.3 INTEGRACIÓN DIRECTA 1.2.4 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN 1.2.5 INTEGRACIÓN POR PARTES 1.2.6 INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1.2.7 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA 1.2.8 INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES. FRACCIONES PARCIALES 1.2.9 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES TRIGONOMÉTRICAS Objetivo: Se pretende que el estudiante encuentre algebraicamente antiderivadas 1
  2. 2. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida En la antigüedad existían dos problemas a resolver, el de la recta tangente y el área bajo una curva. El problema de la determinación de la ecuación de la recta tangente fue resuelto con la derivada y ya fue tratado en cálculo diferencial. El problema del cálculo del área bajo una curva se lo resuelve con las nociones del cálculo integral los cuales expondremos en este curso. Sin embargo empezaremos en este capítulo hallando antiderivadas y en el siguiente capítulo utilizaremos antiderivadas para el propósito del cálculo integral. 1.1 DEFINICIÓN DE ANTIDERIVADA O INTEGRAL INDEFINIDA Llamamos a F una antiderivada, primitiva o integral indefinida de f en el intervalo I , si D x F ( x ) = f ( x ) es decir F ´( x ) = f ( x ) 1.1.1 Notación La notación que emplearemos para referirnos a una antiderivada es la siguiente: ∫ f ( x)dx = F ( x) + C 1.1.2 Teorema Si F´(x) = G´(x) , ∀x ∈ (a, b) entonces existe una constante C tal que F ( x) = G ( x) + C , ∀x ∈ (a, b) Demostración: Sea H ( x) = F ( x) − G ( x) definida en un intervalo (a, b ) entonces H ´(x) = F´(x) − G´(x) . Por Hipótesis, como F´(x) = G´(x) entonces H ´(x) = 0 , ∀x ∈ (a, b ) . Como H es derivable ∀x ∈ (a, b ) , entonces de acuerdo el teorema del valor medio para H ( x1 ) − H ( x ) derivada, ∃x0 ∈ ( x, x1 ) ⊆ (a, b ) tal que H ´(x 0 ) = . Haciendo H ´(x0 ) = 0 x1 − x H ( x1 ) − H ( x ) tenemos = 0 es decir H ( x) = H ( x1 ) = C . x1 − x Por lo tanto F ( x) − G ( x) = C 2
  3. 3. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida 1.2 INTEGRACIÓN. Integración significa calcular antiderivadas o primitivas, el proceso contrario de la derivación, como ya se habrá notado. Esto no es tan sencillo y requeriremos de técnicas, las cuales presentaremos a continuación. En primera instancia, es importante pensar que siempre se va a poder determinar la antiderivada empleando fórmulas, igual como se lo hacia en el calculo de derivadas. 1.2.1 Formas (Fórmulas) Estándares de Integrales 1. ∫ dx = x + C n +1 ∫ x dx = n + 1 + C ; n ≠ −1 n x 2. ∫ x dx = ln x + C 1 3. 4. ∫ e dx = e + C x x x ∫ a dx = ln a + C x a 5. 6. ∫ sen xdx = − cos x + C 7. ∫ cos xdx = sen x + C 8. ∫ sec xdx = tg x + C 2 9. ∫ csc xdx = − cot gx + C 2 ∫ 10. sec x tg xdx = sec x + C 11. ∫ csc x cot gdx = − csc x + C 12. ∫ tg xdx = − ln cos x + C = ln sec x + C ∫ 13. cot gxdx = ln sen x + C ∫ 14. sec xdx = ln sec x + tg x + C ∫ 15. csc xdx = ln csc x − cot gx + C ⎛x⎞ ∫ a − x dx = arcsen⎜⎝ a ⎟⎠ + C 1 16. 2 2 ∫ 1 1 ⎛ x⎞ 17. dx = arctg⎜ ⎟ + C a2 + x2 a ⎝a⎠ ∫ 1 1 ⎛ x⎞ 1 ⎛a⎞ 18. dx = arcsen⎜ ⎟ + C = arccos⎜ ⎟ + C a ⎜a⎟ a ⎜ x⎟ x x −a 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 19. ∫ senh xdx = cosh x + C 20. ∫ cosh xdx = senh x + C 3
  4. 4. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida Las primeras 11 fórmulas se las puede entender fácilmente de acuerdo a las formulas que se proporcionaron para derivadas. Ejemplo 1 ∫ x dx 2 Calcular SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la formula 2. x 2+1 ∫ x3 x 2 dx = +C = +C 2 +1 3 Ejemplo 2 ∫ 1 Calcular dx x SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la formula 2. − 1 +1 ∫ ∫x 1 −1 x 2 dx = 2 dx = +C − 1 +1 x 2 Ejemplo 3 ∫ 4+ x 1 Calcular 2 dx SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la formula 17. ∫ (2x ) + C 1 1 dx = arctan 2 +x 2 2 2 Para suma, resta de funciones y multiplicación por escalares hacemos uso de las siguientes propiedades. 1.2.2 PROPIEDADES. La Integral Indefinida cumple con propiedades de linealidad, es decir: 1. ∫[ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± g ( x)dx ∫ 2. ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx; k ∈ R 4
  5. 5. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida Ejemplo 4 ∫ ⎜⎝ x + 3 sin x − 4e ⎟⎠dx ⎛2 x ⎞ Calcular SOLUCIÓN: Aplicando propiedades y fórmulas: ∫ ∫ ∫ 3 sin dx − ∫ 4e dx ⎛2 x⎞ 2 ⎜ + 3 sin x − 4e ⎟dx = dx + x ⎝x ⎠ x ∫ x dx + 3∫ sin xdx − 4∫ e dx 1 =2 x = 2 ln x − 3 cos x − 4e x + C Para situaciones un tanto más complejas se requerirá de técnicas para lograr el objetivo. 1.2.3 TECNICAS DE INTEGRACIÓN 1.2.3.1 INTEGRACIÓN DIRECTA. Puede ser que, haciendo uso de recursos algebraicos, de las propiedades y de las formulas se puedan encontrar antiderivadas. Ejemplo 1 ∫ Calcular (1 − x )3 dx x3 x SOLUCIÓN: Elevando al cubo el binomio y luego simplificando para aplicar propiedades, resulta: ∫ ∫ (1 − x )3 dx = 1 − 3x + 3x 2 − x 3 dx 3 4 x x x 3 ∫ ⎡ 1 3x 3x 2 x3 ⎤ = ⎢ − + − ⎥ dx ⎢ 34 4 4 4 ⎥ ⎣x x 3 x 3 x 3 ⎦ ∫ ⎡ − 43 −1 2 5 ⎤ = ⎢x − 3x 3 + 3 x 3 − x 3 ⎥ dx ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ ∫ −4 −1 2 5 = x 3 dx − 3 x 3 dx + 3 x 3 dx − x 3 dx −1 2 5 8 x 3 x 3 x 3 x 3 = −3 +3 − +C −1 2 5 8 3 3 3 3 −1 9 23 9 53 3 83 = −3 x 3 − x + x − x +C 2 5 8 5
  6. 6. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida Ejercicios Propuestos 1.1 Encuentre las antiderivadas de: ∫ (3 − x ) dx ∫ 23 2 x +1 − 5 x −1 1. 4. dx 10 x ∫ ∫ ⎛ 1 ⎞ x 4 + x −4 + 2 2. ⎜1 − ⎟ x x dx 5. dx ⎜ ⎟ ⎝ x2 ⎠ x3 ( )( )dx ∫ x2 +1 x2 − 2 3. 3 2 x 1.2.3.2 INTERGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE Cuando se presentan funciones compuestas, en las que ya no es posible una integración directa, puede ser que con un cambio de variable se transformen en integrales inmediatas. En este caso las formulas de integrales se las puede observar no sólo para " x " sino para otra variable. Ejemplo 1 Calcular SOLUCIÓN: ∫ (1 − x )30 dx No sería práctico obtener el desarrollo del binomio, porque el exponente es 30. Entonces, sería más conveniente si empleamos el cambio de variable t = 1 − x . dt Del cambio de variable, tenemos: = −1dx → dx = − dt . dx ∫ ∫ t 31 Ahora sustituyendo resulta: t 30 (− dt ) = − t 30 dt = − +C 31 ∫ (1 − x )30 dx = − (1 − x ) 31 Una vez integrado, reemplazando t se obtiene: +C 31 Ejemplo 2 ∫ sen x Calcular dx x SOLUCIÓN: Aquí empleamos el cambio de variable: t = x . dt 1 Del cambio de variable se obtiene: = → dx = 2 x dt . dx 2 x ∫ ∫ ∫ sen tdt = 2(− cos t ) + C sen x sen t Sustituyendo resulta: dx = 2 x dt = 2 x x 6
  7. 7. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida ∫ sen x Una vez integrado, reemplazando " t " tenemos: dx = −2 cos x + C x Ejemplo 3 Calcular SOLUCIÓN: ∫ x x − 1dx Aquí empleamos el cambio de variable: t = x − 1 dt Del cambio de variable se obtiene: = 1 → dx = dt dx Sustituyendo resulta: Como no se simplifica la ∫x x x − 1dx = , debemos reemplazarla. ∫ x t dt En este caso, despejando del cambio de variable: x = t + 1 ∫ ∫ ∫ (t ) ∫ ∫ 3 1 x t dt = (t + 1) t dt = t + t dt = t 2 dt + t 2 dt Entonces: 5 3 = 5t 2 2 + 2t 3 2 +C Una vez integrado, reemplazando t resulta: ∫ x x − 1dx = 2 5 (x − 1)5 2 + 2 (x − 1) 32 + C 3 Ejemplo 4 ∫ ⎛ 4 x − 1 + arc tan x − e arc tan x ⎞ Calcular ⎜ ⎟ dx ⎜ x 2 +1 ⎟ ⎝ ⎠ SOLUCIÓN: Separando las integrales, tenemos: ∫ ∫ ∫ ∫ 4x 1 arctanx e arc tan x dx − dx + dx − dx x +12 x +1 2 x +12 x2 + 1 Ahora tenemos 4 integrales, que se las trata por separado. ∫ 4x 1. dx . Esta integral se la resuelve por cambio de variable t = x 2 + 1 , de donde x +1 2 dt dt = 2 x , entonces dx = . dx 2x ∫ ∫ ∫ 4x 4 x dt 1 Sustituyendo, resulta: dx = =2 dt = 2 ln t + C = 2 ln x 2 + 1 + C x +12 t 2x t ∫ ∫ 1 1 2. dx . Esta integral es directa. dx = arctanx + C x 2 +1 x 2 +1 ∫ arctg x 3. dx . Esta integral se la resuelve por cambio de variable t = arctg x , de donde x2 + 1 dt = 1 dx x 2 + 1 , entonces dx = x 2 + 1 dt . ( ) 7
  8. 8. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida Sustituyendo, resulta: ∫ ∫ ∫ arctanx dx = t (x + 1)dt = 2 tdt = t2 +C = (arctanx)2 + C x 2 +1 x2 +1 2 2 ∫ e arc tg x 4. dx . Para esta integral sirve el mismo cambio de variable, por tanto: x2 + 1 ∫ ∫ (x + 1)dt = ∫ e arc tan x et dx = 2 e t dt = e t + C = e arctanx + C x +1 2 x 2 +1 FINALMENTE: ∫ ⎟ dx = 2 ln x 2 + 1 − arc tan x + (arc tan x ) − e arc tan x + C ⎛ 4 x − 1 + arc tan x − e arc tan x ⎞ 2 ⎜ ⎜ x 2 +1 ⎟ 2 ⎝ ⎠ Ejemplo 5 ∫( dx Calcular ) 1 + x 2 ln⎛ x + 1 + x 2 ⎞ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ SOLUCIÓN: Tomando el cambio de variable: t = ln ⎛ x + 1 + x 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ dt = ⎜1 + 1 1 2x ⎟ ⎜ dx x + 1 + x 2 ⎟ ⎝ 2 1+ x 2 ⎠ ⎛ 1+ x + x ⎞ 2 Del cambio de variable: = 1 ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ x + 1+ x ⎝ 1+ x 2 ⎠ dt 1 = → dx = 1 + x 2 dt dx 1+ x 2 Reemplazando, resulta: ∫( ∫ dx 1 + x 2 dt = )⎛ ⎞ 1 + x 2 ln⎜ x + 1 + x 2 ⎟ ⎝ ⎠ 1 + x2 t ∫ −1 1 = t 2 dt = 2t 2 + C ⎛ ⎞ = 2 ln⎜ x + 1 + x 2 ⎟ + C ⎝ ⎠ 8
  9. 9. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida Ejercicios Propuestos 1.2 Calcular: ∫ ∫ dx 1+ x2 + x 1− x2 1. 11. dx (5x − 2) 5 2 1 − x4 ∫ ∫ ln x dx 2. x 2 x − 1dx 12. x 1 + ln x ∫ ∫ dx dx 3. 13. ⎛ π⎞ x ln x ln (ln x ) sen 2 ⎜ 2 x + ⎟ ⎝ 4⎠ ∫ a+x ∫ 14. dx 4. 1 − sen (2 x ) dx a−x ∫ ∫ sen x cos x x2 +1 15. dx 5. dx a sen 2 x + b 2 cos 2 x 2 x −1 ∫ ∫ dx (1 + x )2 16. 6. dx sen 2 x 4 c tg x 1+ x2 ⎛ ⎞ ∫ ∫ ln⎜ x + 1 + x 2 ⎟ 7. dx 17. ⎝ ⎠ dx (1 + x ) x 1+ x 2 ∫ ∫ arc tan x 2 x 3x 8. dx 18. dx x (1 + x ) 9x − 4x ∫ ⎛1+ x ⎞ ∫ 1 x dx 9. ln ⎜ ⎟ dx 19. 1 − x2 ⎝1− x ⎠ 1 + x2 + (1 + x )2 3 ∫ ∫ dx x −1 10. 20. dx x +1 + x −1 2 4 x − 8x + 3 1.2.3.3 INTEGRACION POR PARTES. Para el producto de funciones, tenemos: d (uv ) = udv + vdu udv = d (uv ) − vdu ∫ ∫ ∫ Despejando y tomando integral, resulta: udv = d (uv ) − vdu En definitiva, la formula que se emplea en integración por partes es: ∫ udv = uv − ∫ vdu Ejemplo 1 Calcular SOLUCIÓN: ∫ x e x dx Haciendo u = x y dv = e x dx . 9
  10. 10. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida Entonces du = dx y v = ∫ e x dx = e x 6dv8 7 ∫ ∫ } u }} u v }} v du x e dx = x e x − x e x dx Integrando, resulta: = x e x − ex + C Ejemplo 2 Calcular SOLUCIÓN: ∫( ) 2 x 2 + 3 x − 5 sen x dx Haciendo u = 2 x 2 + 3 x − 5 y dv = sen x dx . Entonces du = (4 x + 3 )dx y v = Por lo tanto, integrando tenemos: ∫ sen xdx = − cos x 6 4 7 4 4 6 dv 4 4u 8 47 8 6 4 7 44 6 v 4 4u 8 47 8 ∫ ( ) ( ) ∫ 6 v 4 647 4 47 8 du 8 2 x + 3 x − 5 sen x dx = 2 x + 3 x − 5 (− cos x ) − 2 2 (− cos x )(4 x + 3 )dx ( = − 2 x 2 + 3 x − 5 cos x + ) ∫( 4 x + 3 ) cos xdx Ahora, la integral Haciendo ∫( 4 x + 3) cos xdx también se la realiza por partes. u = 4x + 3 y dv = cos x dx . Entonces du = 4 dx y v = ∫ cos xdx = sen x Por tanto: ∫( 4 x + 3) cos xdx = (4 x + 3) sen x − = (4 x + 3) sen x + 4 cos x ∫ sen x(4dx ) FINALMENTE: ∫ (2 x 2 ) ( ) + 3 x − 5 sen x dx = − 2 x 2 + 3 x − 5 cos x + (4 x + 3 )sen x + 4 cos x + C Ejemplo 3 Calcular SOLUCIÓN: ∫ e x cos xdx Haciendo u = e x y dv = cos x dx . Entonces du = e x dx y v = ∫ cos xdx = sen x 10
  11. 11. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida Por tanto: ∫ e x cos xdx = e x sen x − ∫ sen x e x dx La integral ∫ sen xe x dx se la calcula por parte. Hacemos u = e x y dv = sen x dx . Entonces du = e x dx y v = ∫ sen xdx = − cos x . Por lo tanto ∫ e x sen xdx = −e x cos x + ∫ e x cos xdx FINALMENTE: ∫ ∫ ⎡ ⎤ e x cos xdx = e x sen x − ⎢− e x cos x + e x cos xdx ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ e x cos xdx = e x sen x + e x cos x − ∫ e x cos xdx Note que la última integral es semejante a la primera; entonces, despejando 2 ∫ e x cos xdx = e x sen x + e x cos x ∫ e x sen x + e x cos x e x cos xdx = +C 2 Ejemplo 4 Calcular SOLUCIÓN: ∫ x ln xdx Aquí debemos tomar u = ln x y dv = x dx .(¿por qué?) ∫ 1 x2 Entonces du = dx y v = xdx = x 2 Por tanto: ∫ ∫ ⎛ x2 ⎞ x2 ⎛ 1 ⎞ x ln xdx = (ln x )⎜ ⎟ − ⎜ dx ⎟ ⎜ 2 ⎟ 2 ⎝x ⎠ ⎝ ⎠ = 1 x 2 ln x − 1 2 2 ∫ xdx 1 x 2 ln x − 1 ⎜ ⎛ x2 ⎞ = ⎟+C 2 2⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ Ejemplo 5 Calcular SOLUCIÓN: ∫ ln xdx 11
  12. 12. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida 1 Entonces, aquí sería también u = ln x y dv = dx . Entonces du = dx y x v = Por tanto: ∫ dx = x ∫ ∫ ⎛1 ⎞ ln xdx = x ln x − x⎜ dx ⎟ ⎝x ⎠ = x ln x − x + C Ejemplo 6 Calcular SOLUCIÓN: ∫ x arctg x dx 1 x2 Tomamos u = arctg x y dv = xdx , entonces: du = dx y v = 1+ x 2 2 Por tanto: ∫ ∫ ⎛ x2 ⎞ x2 ⎛ 1 ⎞ x arctg xdx = (arctg x )⎜ ⎟ − ⎜ ⎜ ⎟ dx ⎟ ⎜ 2 ⎟ 2 ⎝1+ x 2 ⎠ ⎝ ⎠ ∫ x2 = 1 x 2 arctg x − 1 dx 2 2 x +12 x2 1 Para la última integral dividimos el numerador entre el denominador, resulta: = 1− x +1 2 x +1 2 ∫ ∫ ∫ ∫ 2 x ⎛ 1 ⎞ 1 Reemplazando dx = ⎜1 − 2 ⎜ ⎟dx = ⎟ dx − dx = x − arctg x x2 + 1 ⎝ x +1⎠ x2 + 1 FINALMENTE: ∫ x arctg xdx = 1 x 2 arctg x − 1 2 2 [x − arctg x] + C Ejercicios Propuestos 1.3 Encuentre las antiderivadas de: 1. ∫ x e 3 x dx 11. ∫( x arctg x )2 dx 2. ∫( x + 1)e 2 x dx 12. ∫ e x dx 3. ∫ (2 x − 1)sen 3xdx 13. ∫ ⎛ ⎞ ln ⎜ x + 1 + x 2 ⎟ dx ⎝ ⎠ 4. ∫ x sen (3 x − 1)dx 14. ∫ arcsin x dx 5. ∫ x 2 e − 2 x dx 15. ∫ arctg xdx 6. ∫( ) x 2 − 3x + 2 e 2 x dx 16. ∫ ( ) arc tan x dx 7. ∫ (2 x − 1)ln xdx 17. ∫ cos (ln x ) dx 12
  13. 13. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida 8. ∫ x ln 2 x dx 18. ∫ sen x dx 9. ∫ x ln x dx 19. ∫ sen (ln x ) dx ∫ ∫ sen x ln (tg x ) dx x cos x dx 10. 20. sen 2 x 1.2.3.4 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS. Cuando se integran funciones trigonométricas que no sean directas, es necesario utilizar identidades trigonométricas. Se las ha clasificado de la siguiente manera: TIPO I: Integrales de la forma: ∫ sen n x dx o ∫ cos n x dx Para este caso se sugiere, lo siguiente: sen 2 x = 1 − cos 2 x 1. Si " n " es IMPAR usar: cos 2 x = 1 − sen 2 x 1 − cos 2 x sen 2 x = 2 2. Si " n " es PAR usar: 1 + cos 2 x cos 2 x = 2 Ejemplo 1 Calcular ∫ cos 2 x dx SOLUCIÓN: Usamos la regla para la potencia par: ∫ ∫ ⎛ 1 + cos 2 x ⎞ cos2 x dx = ⎜ ⎟dx ⎝ 2 ⎠ ∫ ∫ 1⎡ ⎤ = ⎢ 1dx + cos 2 xdx⎥ 2⎢ ⎣ ⎥ ⎦ 1⎡ sen 2 x ⎤ = ⎢x + +C 2⎣ 2 ⎥ ⎦ Ejemplo 2 Calcular ∫ sen 3 x dx SOLUCIÓN: Ahora usamos la regla para la potencia impar: ∫ sen 3 x dx = ∫ sen 2 x sen xdx = ∫( ) 1 − cos 2 x sen xdx = ∫sen xdx − ∫ cos2 x sen xdx De esto último, la primera integral es directa y la segunda es por sustitución. 13
  14. 14. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida 1. ∫ sen xdx = − cos x 2. ∫ cos 2 x sen xdx requiere el cambio de variable t = cos x entonces dt = − sen xdx . ∫ ∫ cos3 x Reemplazando resulta: cos 2 x sen xdx = t 2 (− dt ) = − 3 ∫ 3 cos x FINALMENTE: sen 3 xdx = − cos x + +C 3 Ejemplo 3 Calcular ∫ cos 4 x dx SOLUCIÓN: Ahora usamos la regla para la potencia par: ∫ ∫ (cos x) dx 2 cos 4 x dx = 2 ∫ 2 ⎛ 1 + cos 2 x ⎞ = ⎜ ⎟ dx ⎝ 2 ⎠ ∫ ∫ ∫ 1⎡ ⎤ = ⎢ 1dx + 2 cos 2 xdx + cos 2 2 xdx ⎥ 4⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ 1⎡ sen 2 x ⎛ 1 + cos 4 x ⎞ ⎤ = ⎢x + 2 + ⎜ ⎟dx ⎥ 4⎢ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 1⎡ ⎞⎤ ∫ ∫ ⎛ = ⎢ x + sen 2 x + 1 ⎜ 1dx + cos 4 xdx ⎟⎥ 4⎢ 2 ⎜ ⎟⎥ ⎣ ⎝ ⎠⎦ 1⎡ 1⎛ sen 4 x ⎞⎤ = ⎢ x + sen 2 x + ⎜ x + ⎟⎥ + C 4⎣ 2⎝ 4 ⎠⎦ TIPO II. Integrales de la forma ∫ sen m x cos n x dx 1. si m ∨ n son impares Ejemplo Calcular ∫ sen 3 x cos − 4 x dx SOLUCIÓN: Como el exponente de seno es impar, hacemos lo siguiente: ∫ sen 3 x cos − 4 x dx = ∫ sen 2 x sen x cos − 4 x dx = ∫( ) 1 − cos2 x sen x cos − 4 x dx = ∫( cos x )− 4 sen x dx − ∫( cos x )− 2 sen x dx Ambas integrales se resuelven por sustitución. Haciendo cambio de variable t = cos x de donde dt = − sen xdx , resulta 14
  15. 15. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida ∫( cos x )− 4 sen x dx − ∫( cos x )− 2 sen x dx = ∫ t − 4 (− dt ) − ∫ t − 2 (− dt ) t −3 t −1 =− + +C − 3 −1 cos −3 x = − cos −1 x + C 3 2. si m ∧ n son pares Ejemplo Calcular ∫ sen 2 x cos 4 x dx SOLUCIÓN: Como ambos son pares, entonces: ∫ ∫ sen 2 x cos4 x dx = ( sen 2 x cos2 x )2 dx ∫ 2 ⎛ 1 − cos 2 x ⎞⎛ 1 + cos 2 x ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ∫ ( (1 − cos 2 x )1 + 2 cos 2 x + cos2 2 x )dx 1 = 8 ∫( ) 1 = 1 + cos 2 x − cos2 2 x − cos3 2 x dx 8 ∫ ∫ ∫ ∫ ⎡ ⎤ 1⎢ = 1dx + cos 2 xdx − cos2 2 xdx − cos3 2 xdx ⎥ 8⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Las dos últimas integrales son trigonométricas ∫ ∫ 1⎡ sen 2 x ⎛ 1 + cos 4 x ⎞ ⎤ = ⎢x + − ⎜ ⎟dx − cos 2 2 x cos 2 xdx ⎥ 8⎢ ⎣ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎥ ⎦ ∫( ) 1⎡ ⎤ ∫ ∫ sen 2 x 1 ⎛ ⎞ = ⎢x + − ⎜ 1dx + cos 4 xdx ⎟ − 1 − sen 2 2 x cos 2 x ⎥ 8⎢ 2 2⎝⎜ ⎟ ⎥ ⎣ ⎠ ⎦ ⎡ ⎞⎤ ∫ ∫ 1 sen 2 x 1 ⎛ sen 4 x ⎞ ⎛ = ⎢x + − ⎜x+ ⎟ − ⎜ cos 2 xdx − sen 2 2 x cos 2 xdx ⎟ ⎥ 8⎢⎣ 2 2⎝ 4 ⎠ ⎜ ⎝ ⎟⎥ ⎠⎦ 1⎡ sen 2 x x sen 4 x ⎛ sen 2 x sen 3 2 x ⎞⎤ = ⎢x + − − −⎜ − ⎟⎥ + C 8⎢ 2 2 8 ⎜ 2 6 ⎟⎥ ⎣ ⎝ ⎠⎦ FINALMENTE: ∫ 1 ⎡ x sen 4 x sen 3 2 x ⎤ sen 2 x cos 4 x dx = ⎢ − + ⎥+C 8 ⎢2 8 6 ⎥ ⎣ ⎦ 15
  16. 16. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida TIPO III. Integrales de la forma: ∫ sen mx cos nxdx , ∫ sen mx sen nxdx , ∫ cos mx cos nxdx En este caso se recomienda usar, las siguientes identidades como sea conveniente: sen mx cos nx = 1 [sen(m + n )x + sen(m − n )x] 2 sen mx sen nx = − [cos(m + n )x − cos(m − n )x ] 1 2 cos mx cos nx = [cos(m + n )x + cos(m − n )x ] 1 2 Ejemplo 1 Calcular: ∫ sen 2 x cos 3x dx SOLUCIÓN: Empleando la identidad trigonométrica respectiva y simplificando, resulta: ∫ ∫ [sen (2 + 3)x + sen (2 − 3)x]dx 1 sen 2 x cos 3x dx = 2 ∫ ∫ ⎡ ⎤ sen 5 xdx + sen (− x )dx ⎥ 1⎢ = 2⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 ⎡ cos 5 x ⎤ = ⎢− + cos x ⎥ + C 2⎣ 5 ⎦ Ejemplo 2 Calcular ∫ sen x sen 2 x sen 3xdx SOLUCIÓN: Agrupando y aplicando identidades, tenemos: ∫ sen x sen 2 x sen 3 xdx = ∫( sen x sen 2 x )sen 3xdx ∫ [cos(1 + 2)x − cos(1 − 2)x]sen 3xdx 1 = − 2 ∫[ cos 3 x sen 3 x − cos(− x )sen 3x ]dx 1 =− 2 ∫ ∫ 1⎡ ⎤ = − ⎢ sen 3 x cos 3 xdx − sen 3 x cos xdx ⎥ 2⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ∫ ∫ 1⎡ ⎤ =− ⎢ 1 [sen 6 x + sen 0 x] − 1 [sen 4 x + sen 2 x]dx ⎥ 2⎢ ⎣ 2 2 ⎥ ⎦ ∫ ∫ ∫ 1⎡ ⎤ = − ⎢ sen 6 xdx − sen 4 xdx − sen 2 xdx ⎥ 4⎢⎣ ⎥ ⎦ 1 ⎡ cos 6 x cos 4 x cos 2 x ⎤ = − ⎢− + + +C 4⎣ 6 4 2 ⎥ ⎦ 16
  17. 17. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida TIPO IV. Integrales de la forma: ∫ tg n x dx y ∫ cot g n x dx tg 2 x = sec 2 x − 1 Aquí se recomienda usar las identidades: cot g 2 x = csc 2 x − 1 Ejemplo 1 Calcular ∫ tg 3 x dx SOLUCIÓN: ∫ tg3 x dx = ∫ tg 2 x t gxdx = ∫( ) sec2 x − 1 tg xdx = ∫ sec2 x tg xdx − ∫ La segunda integral es directa, mientras que la primera es por sustitución. tg xdx t = tg x de donde dt = sec 2 xdx FINALMENTE: ∫ tg 3 x dx = ∫ ( tdt − − ln cos x ) tg 2 x = + ln cos x + C 2 Ejemplo 2 Calcular SOLUCIÓN: ∫ cot g 4 x dx Empleando la identidad trigonométrica respectiva y aplicando propiedades, resulta: ∫ cot g 4 x dx = ∫ cot g 2 x cot g 2 x dx = ∫ ( cot g 2 x csc2 x − 1 dx ) = ∫ cot g 2 x csc2 xdx − ∫ cot g 2 xdx La primera integral es por sustitución y la segunda se emplea la identidad trigonométrica respectiva, es decir: 17
  18. 18. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida 2 ∫ ∫ ∫ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ cot g 4 x dx = 2 ⎜ cot 3 ⎟ csc24 − gx x dx cot g 2 x dx ⎜ 1 ⎟ 1 3 2 4 ⎝ t ⎠ − dt ∫ (csc2 x − 1)dx cot g 3 x =− − 3 ∫ ∫ cot g 3 x =− − csc2 xdx + dx 3 cot g 3 x =− + cot gx + x + C 3 TIPO V. Integrales de la forma: ∫ tg m x sec n xdx y ∫ cot g m x csc n xdx Caso 1. Si el exponente de la secante o cosecante " n " es par, se procede con el diferencial de la tangente o cotangente. Ejemplo ∫ −3 Calcular tg 2 x sec 4 xdx SOLUCIÓN: ∫ ∫ −3 −3 tg 2 x sec4 x dx = tg 2 x sec2 x sec2 xdx 132 ∫ ( ) −3 = tg 2 x tg 2 x + 1 sec2 x dx ∫ ∫ 1 −3 = tg 2 x sec2 x dx + tg 2 x sec2 x dx Las dos integrales últimas se hacen por sustitución: 1 −3 ∫ ∫ ∫ −3 ⎛ ⎞ 2 ⎛ ⎞ 2 tg 4 2 x sec xdx = ⎜ tg x ⎟ sec2 x dx + ⎜ tg x ⎟ sec2 x dx ⎜ { ⎟ 1 24 ⎜ ⎟ 4 3 ⎜{⎟ ⎜ ⎟ 1 24 4 3 ⎝ t ⎠ dt ⎝ t ⎠ dt 3 −1 tg 2 x tg 2 x = + +C 3 −1 2 2 3 − 1 = 2 tg 2 x − 2 tg 2 x + C 3 Caso 2. Si el exponente de la tangente o cotangente " m " es impar, se procede con el diferencial de la secante o cosecante. Ejemplo ∫ −1 Calcular tg 3 x sec 2 xdx 18
  19. 19. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida SOLUCIÓN: Descomponiendo para obtener el diferencial de la secante ∫ ∫ x (sec x tg xdx ) −1 −3 tg 3 x sec 2 xdx = tg 2 x sec 2 14243 4 4 d (sec x ) y luego resolviendo, tenemos: ∫ ∫ (sec ) x(sec x tg xdx ) −1 −3 tg 3 x sec 2 xdx = 2 x − 1 sec 2 ∫ x(sec x tg xdx ) − ∫ x(sec x tg xdx ) 1 −3 = sec 2 sec 2 estas últimas integrales se resuelven por sustitución: 1 −3 ∫ ∫ ∫ −1 ⎛ ⎞ 2 ⎛ ⎞ 2 3 tg x sec 2 xdx = ⎜ sec x ⎟ (sec x tg xdx ) − ⎜ sec x ⎟ (sec x tg43) xdx ⎜ { ⎟ 14243 4 4 ⎜{⎟ 142 4 4 ⎝ t ⎠ dt ⎝ t ⎠ dt 3 −1 = 2 sec 2 x + 2 sec 2x 3 Otras integrales trigonométricas pueden requerir tratamientos ya definidos: Ejemplo Calcular ∫ sec 3 x dx SOLUCIÓN: Esta integral se resuelve por partes ∫ sec 3 x dx = ∫ 2 sec xsec2xdx {1 4 4 3 u dv Entonces si tomamos u = sec x tenemos du = sec x tg xdx y si tomamos dv = sec 2 xdx tenemos v = tg x Ahora, integrando ∫ ∫ }}u v } 64du 4 v 7 8 sec 3 x dx = sec x tg x − tg xsec x tg xdx = sec x tg x − ∫ tg 2 x sec xdx = sec x tg x − ∫( ) sec 2 x − 1 sec xdx = sec x tg x − ∫ sec 3 xdx + ∫ sec xdx ∫ sec 3 x dx = sec x tg x − ∫ sec 3 xdx + ln sec x + tg x FINALMENTE, despejamos la integral buscada 2 ∫ sec 3 x dx = sec x tg x + ln sec x + tg x ∫ sec 3 x dx = 1 sec x tg x + 1 ln sec x + tg x + C 2 2 19
  20. 20. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida Ejercicios Propuestos 1.4 Encuentre las antiderivadas de: 1. ∫ (2 − 3 cos 2x)dx 2 11. ∫ tan 5 x dx 2. ∫ sen 3 3 xdx 12. ∫ c tg 6 x dx 3. ∫ cos6 x dx 13. ∫ tan 2 5 x dx 4. ∫ cos 5 x sen x dx 14. ∫ tg 5 x sec − 32 xdx ∫ dx 15. 5. ∫ sen 3x sen 5 x dx sen 2 x cos 2 x ∫ dx (2 ) (2 ) 16. ∫ Sen x Cos 3 x x 2x 6. sen cos dx 3 3 ∫ dx ∫ ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ 17. 7. sen ⎜ 2 x − ⎟ cos ⎜ 3x + ⎟ dx sen 2 x cos 4 x ⎝ 6⎠ ⎝ 4⎠ ( ) dx ∫ sen x + π 4 ∫ 2 18. 8. cos x cos 3x dx sen x cos x ∫ dx ∫ 19. 9. sen 3 (2 x ) cos 7 (2 x ) dx sen 2 x cos x 10. ∫ cos x cos 2 x cos 3 x dx 20. ∫ csc3 x dx 1.2.3.5 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA. Se trata ahora de convertir las integrales dadas en directas mediante una sustitución trigonométrica. Usualmente presenta la forma de radicales con suma o diferencia de cuadrados, en tal caso se recomienda: Si tenemos a2 − x2 sustituir x = a sen t Si tenemos a2 + x2 sustituir x = a tg t Si tenemos x2 − a2 sustituir x = a sec t 20

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