Formulas Integracion
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  • 1. UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADISTICA DIAGNOSTICO MATEMÁTICAS II 1. Realizar las operaciones indicadas y escribir el resultado sin exponentes negativos o nulos: 2   2/3 6 1/ 3   2 / 3  x      a.  x    x1 / 4         3 2  z k x −3 x k   2 x −3  b.   ÷   x k y −2 z k   2 z −2 y k      3 2  2 x3 x k   z k x −3  c.  ÷  ÷   2z 2 yk z k   xk y−2      2. Dados los puntos: A(3, -2), B(-1, -4), C(2, 1) y D (4, 5). Calcular: a. El perímetro del cuadrilátero descrito por los puntos dados. b. El perímetro del cuadrilátero descrito por los puntos medios de los lados del cuadrilátero primitivo. c. ¿Que figura es este nuevo cuadrilátero? Justificar la respuesta. d. Determine el área del triángulo formado por los puntos A B C. 3. Determinar a que sección cónica corresponde cada una de las siguientes ecuaciones. a. (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4 b. x2 + 3 – 8y + y2 = 0 c. x2 + 12y = 0 d. 9y2 = 36 + 4y2 e. 12x2 + 18y2 – 12x -12y - 5 = 0 x2 − 2 4. Dada la función Sea f ( x) = . Determine: x +1 a. El dominio y rango de f(x) b. Las asíntotas que posee la función f(x). c. Los intervalos de monotonía de la función f(x) d. El tipo de concavidad en cada uno de los intervalos de la función f(x). e. Los extremos existentes y el tipo. 5. Halle la derivada de la función: a. b. c. SONIA MARITZA MENDOZA MATEMATICAS II
  • 2. UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADISTICA PROGRESIONES ARITMETICAS Y GEOMÉTRICAS GUIA #1 En las transacciones financieras como Si a este primer término le llamamos a y d es la préstamos, depreciaciones, imposiciones, diferencia común de una PA , los términos anualidades, ajustes por corrección monetaria, sucesivos de la PA son: entre otros, se usa el interés simple y el interés a, a+d, a+2d, a+3d compuesto en los cual las cantidades Para encontrar el n—ésimo término, lo resultantes al final de cada período siguen una encontramos aplicando la fórmula: regla. Tn= a + ( n-1) .d COMPETENCIAS: También resulta conveniente obtener una  Identificar progresiones aritméticas y fórmula para la suma de los primeros n términos geométricas como sucesiones en las cuales de una progresión aritmética. la diferencia o el cociente entre términos Sea Sn la suma de los primeros n términos de una consecutivos es constante. n  Aplicar las sucesiones aritméticas y progresión aritmética. S n = (a1 + an ) geométricas en la solución de problemas de 2 Actividad 1. interés simple, compuesto o cualquier otra 1. Prueba esta fórmula, haciendo n=1,2,y 3 situación que lo requiera. ¿Que encuentras? ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 2. Dada la sucesión 1,5,9,13.... Calcule: PROGRESIONES ARITMÉTICA. a. El décimo quinto término- Tomemos el ejemplo siguiente: b. El n—ésimo término Un cliente especial pide al banco la cantidad 3. (DEPRECIACIÓN) Una empresa instala una de 5000 dólares a un interés del 1% mensual. El máquina con un costo de 1700 dólares. El está de acuerdo en pagar 200 dólares al valor de la máquina se deprecia capital cada mes, más el interés en el balance. anualmente en 150 dólares. Determine una Al final del primer mes, paga 200 más el interés expresión para el valor de la máquina de 5000 al 1% mensual, que son 50 dólares. En después de n años. Si el valor de desecho es consecuencia, el primer pago es de 250 y sólo de 200 dólares. ¿Cuál es el tiempo de vida le queda debiendo 4800 al banco. El término útil de la máquina? del segundo mes, paga 200 al capital más los 4. Calcule la suma de los primeros 20 términos intereses sobre 4800, los cuales son de 48 dólares de la progresión. al 1% mensual. Por tanto, su segundo pago es 5. Los pagos mensuales que una dienta de 248 dólares. Continuando en esta forma, sus efectúa al banco por un préstamo forman pagos sucesivos en dólares son: 250,248, una PA, Si sus pagos sexto y décimo son de 246,244.... ,202. 345 y 333 dólares, respectivamente. ¿De Esta sucesión es un ejemplo de Progresión cuánto será su décimo quinto pago al aritmética. banco? DEFINICIÓN: Una sucesión se dice que es una progresión aritmética (PA), cuya diferencia INTERES SIMPLE entre cualquier término y el anterior es la Sea P una cantidad de dinero invertida a una misma a lo largo de toda la sucesión. La tasa de interés anual del R por ciento. En un diferencia algebraica entre cada término y el año la cantidad de interés ganada está dada anterior se denomina, diferencia común y se por I=P.(R/100) denota por d. Si la inversión es a interés simple, entonces en años sucesivos el interés sólo se paga sobre el En el ejemplo anterior la sucesión de los pagos capital P y no sobre los montos de interés es una (PA) porque la diferencia entre cualquier generados. Así que, se agrega una cantidad término y el anterior es —2. Esta PA tiene a 250 constante I a la inversión al final de cada año. como su primer término y a —2 como su Después de 1 año el valor total es P + I, después diferencia común. de 2 años es P + 2I, y así sucesivamente. La De manera similar: 2,5,8,11,14... es una PA cuyo sucesión de valores anuales de la inversión, primer término es 2 y diferencia común 3. SONIA MARITZA MENDOZA MATEMATICAS II
  • 3. UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADISTICA P, P+I, P+2I, P+3I, . . . 1100 + 10% de 1100= 1100(1 + 0.1) =1100(1.1) = forman de esta manera una progresión 1000(1.1)2 aritmética cuyo primer término es P y con Definición: Una sucesión de términos se dice diferencia común 1. Después de 1 años el valor que están en una progresión geométrica (PG) está dado por P + tI. si la razón de cada término al término anterior es siempre la misma. Esta razón constante se denomina razón común de la PG. Puede expresarse como Tn = a . rn-1, en donde a es el Ej. (Interés simple) Se invierte una suma de primer término de la progresión y r es el $2000 con interés simple a una tasa de interés cociente constante o razón de la progresión. anual del 12%. Encuentre una expresión para el Para hallar la suma de los primeros n términos de valor de la inversión t años después de que se a (1 − r ) realizó. Calcule el valor después de 6 años. la progresión geométrica. s n = ;r≠1 Solución Aquí P = 2000 y R = 12. Por tanto, la 1− r cantidad de interés anual es : Ej. Para determinar los términos quinto y n-ésimo de la sucesión 2, 6, l 54, Se analiza que tipo de progresión corresponde, de tal forma que en consecuencia, los términos sucesivos tienen una Después de t años el interés total agregado es razón constante de 3; esto es r=3. Asimismo, tI= 240t, de modo que el valor de la inversión es: a=2. Por tanto, T5 =ar4 = 2(34) = 162 y P + tI = 2000 + 240t Tn =arn-1 = 2(3n-1) Después de 6 años, este valor es: 2000 + 6(240) = 3440 dólares. INTERES COMPUESTO El caso general de una inversión que crece a un Actividad 2. interés compuesto es: Si una suma P se invierte a 1. (Pago de préstamo) Considere el préstamo una tasa de interés del R por ciento anual, el del banco al señor Muñoz por $5000 a un valor de la inversión al término del n-ésimo año interés mensual del 1%. Cada mes paga está dada por la fórmula $200 al capital mas el interés mensual del balance pendiente. ¿Cuánto deberá pagar en total en el tiempo que esté pagando el Estos valores para n= 1,2,3 forman una PG. La préstamo? razón común es r = 1+i y el primer término es 2. (Pago de préstamos) Un individuo está de a=T1= P(1+i) acuerdo en pagar una deuda libre de interés de $5800 en cierto número de pagos, Actividad 3. cada uno de ellos (empezando por el 1. Calcule la suma de los 10 primeros términos segundo) debiendo exceder al anterior por de la sucesión 2-4, 8-10,. $20. Si el primer pago es de $100, calcule 2. (Planes de ahorro) Cada año una persona cuántos pagos deberá efectuar con objeto invierte 500.000 en un plan de ahorros del de finiquitar la deuda. cual recibe intereses a una tasa fija del 8% anual, Cuál es el valor de este plan de PROGRESIONES GEOMÉTRICAS. ahorros al décimo aniversario de la primera Suponga que se depositan $1000 en un banco inversión?(incluya el pago actual). que ofrece una tasa de interés del 10% 3. Suponga que $4000 se invierten a plazo fijo capitalizable anualmente. El valor de esta anual tasa de interés nominal anual del 6% inversión (en dólares) al cabo de 1 año es igual con capitalizaciones mensuales. Calcule su a: 1000 + l0% de 1000 = 1000(1 + 0,1) = 1100. valor después de 1 año y después de 4 años. Si la inversión es a interés compuesto, entonces 4. En una sucesión geométrica el primer durante el segundo año el interés se paga por término es 32 y el quinto es 2; si hay tres la suma total de $1100. Por tanto, el valor de la términos entre ellos, ¿cuáles son? inversión (en dólares) al término de 2 años es: SONIA MARITZA MENDOZA MATEMATICAS II
  • 4. A. DERIVAR CON LAS REGLAS BASICAS (TEOREMAS): En los ejercicios 1 a 12 halle la derivada de la función dada aplicando los teoremas: B. DERIVADAS DE ORDEN SUPEIOR E IMPLICITAS: En los ejercicios 1 a 5, obtenga la primera y la segunda derivadas de las funciones. C. APLICACIÓN DE MAXIMOS Y MINIMOS 6. Un alambre de 100 cm. de longitud, se corta en dos partes formando con una de ellas un círculo y con la otra un cuadrado. Cómo debe ser cortado el alambre para que: a. La suma de las áreas de las dos figuras sea máxima. b. La suma de las áreas de las dos figuras sea mínima. PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L CALCULO INTEGRAL
  • 5. 7. Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. ¿Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea máximo? ¿Cuál es el volumen de la caja? x2 + 1 D. Sea f ( x) = . Determine: x2 − 4 1. Las asíntotas que posee la función f(x). 2. Los intervalos en los que la función f(x) es creciente y en los que decrece. 3. El tipo de concavidad en todos los intervalos de la función f(x). 4. Los extremos existentes y el tipo. 5. La gráfica de la función f(x). E. Analice la continuidad para la función f(x). Si es discontinua, aclare de que tipo. Argumente. 1/ x2 si x ≠0 f(x)= 1 si x = 0 F. Realice: Lim 2 + x − 2 1. x→2 7+ x −3 2. La ecuación de la pendiente de la recta que es tangente a la gráfica de la función x2y3 – 6 = 5y3 + x 3. La derivada de f(x). Siendo f(x) = (g o h) (x) Donde: g(u) = u3 – 3u2 + 1 y h(x) = x2 + 2. G. Un ingeniero debe construir un puente colgante y, para ello requiere que todo el peso del puente esté bien distribuido a lo largo de los cables de los cuales debe colgar el puente. Las observaciones que ha hecho son las siguientes: Distancia del puente 100 metros 82.9 metros 10 metros 24.4 metros 100 metros al cable (y) Largo del puente (x) 1 metro 2 metros 4.85 metros 6.75 metros 9 metros 1. Represente la gráfica de esta situación en el plano cartesiano. 2. Construya la ecuación correspondiente. 3. Identifique si es una función y si lo es analice su simetría (par, impar o ninguna). PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L CALCULO INTEGRAL
  • 6. ANTIDERIVADA INTRODUCCIÓN La operación de encontrar todas las soluciones de esta ecuación se Un físico que conoce la velocidad de una partícula podría desear denomina integración, y se denota por el símbolo ∫. La solución a la conocer su posición en un instante dado. Un ingeniero que puede ecuación dy= f(x) dx se denota por y = ∫f(x)dx = F(x) + C de donde f(x) medir la razón variable a la cual se fuga el agua de un tanque quiere es el integrando, dx indica la variable de integración y C es una conocer la cantidad que se ha fugado durante cierto periodo. Un constante. Llamamos a la ∫f(x)dx la integral indefinida de f respecto biólogo que conoce la razón a la que crece una población de de x. (2) Realice un esquema donde señale los elementos que bacterias puede interesarse en deducir el tamaño de la población en conforman la integración. algún momento futuro. En cada caso, el problema es hallar una Definición. La notación ∫f(x)dx = F(x) + C donde C es una constante función cuya derivada sea una función conocida. Si existe tal función arbitraria, significa que es una primitiva de f. Esto es, F′(x) = f(x) para F, se le denomina una antiderivada de f. todo x en el dominio de f. COMPETENCIAS  Encuentra mediante el proceso de derivación, antiderivadas F(x) + C representa una familia de funciones (para cada uno de los generales para una función específica. valores de C se tiene una función de esta familia); dicha familia de  Resuelve problemas de valor inicial. antiderivadas es llamada la integral indefinida de la función f (x) y se  Aplica la noción de antiderivada en la solución de situaciones denota con el símbolo ∫ f (x)dx, o sea ∫ f (x)dx = F(x) + C donde F '(x) = problemas. f(x) ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE:  Reglas básicas de integración La pregunta aquí es: ¿cómo encontrar F(x) a partir de f(x)? Por La naturaleza inversa de la integración y la derivación se refleja en el ejemplo; suponga que se le pide hallar una función F que tiene la hecho de que mediante la sustitución de F′(x) por f(x) en esta siguiente derivada: F ´(x) = 4 x 3 . A partir del conocimiento de las definición obtenemos: ∫F´(x)dx = F(x) + C La integración es la “inversa” de la derivación derivadas, probablemente se diría que F ( x) = x 4 , ya que d 4 Además si, ∫f(x)dx = F(x) + C entonces: ( x ) = 4 x 3 . Llamamos a la función F una antiderivada de F´. Otras d dx [ f ( x)dx] = f ( x) La derivación es la “inversa” de la integración antiderivadas de F ´(x) = 4 x 3 son: G ( x) = x 4 + 5 y H ( x) = x 4 − 36 . Como dx se puede observar que si F(x) es una antiderivada de f(x), cualquier Estas dos ecuaciones permiten obtener directamente fórmulas de otra antiderivada es de la forma F(x) + C. Esta función se llama integración a partir de fórmulas de derivación, como se muestra en el antiderivada general (cada valor de C nos da una antiderivada). siguiente resumen: (1)¿En que consiste el proceso de antiderivación? Teorema. Si F es una antiderivada o primitiva de f en un intervalo I, entonces G es una antiderivada de f en el intervalo I si y solo si es de la forma: G(x)= F(x) +C, para todo x en I donde C es una constante arbitraria.  Notación para antiderivadas o primitivas Si y = F(x) es una antiderivada de f, entonces se dice que F(x) es una dy solución de la ecuación diferencial de la forma = f (x) . Cuando se dx resuelve una ecuación de este tipo, es conveniente escribir en la forma diferencial correspondiente dy= f(x) dx. PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L CALCULO INTEGRAL
  • 7. El orden de una ecuación diferencial lo determina el orden de la más alta derivada presente en ella. Una ED primer orden; es aquella que solo contiene primeras derivadas y las de orden superior cuando contienen derivadas de orden superior a 1. Una ED es lineal si presenta la siguiente forma: Observaciones sobre las ED lineales: 1. La variable dependiente y todas sus derivadas sólo pueden tener exponente igual a 1. 2. Los coeficientes sólo involucran la variable independiente x. Ejemplo 1. Calcular Solución: Para hallar la integral de esta expresión, se debe (reescribir) transformar la expresión dada en una equivalente (integrar) aplicando la fórmula (5), se tiene que la antiderivada general (simplificada): Ejemplo 2.. Un auto se mueve con velocidad constante de 40 m/s. ¿Cuál es la posición s(t) para un tiempo t, si en t=1 segundo el auto se hallaba en s= 10m? Solución. Se debe encontrar una ecuación para s(t) a partir del ds ds  Ecuación diferencial (ED). hecho d que v(t) =40; como v(t ) = , tenemos: = 40 dt dt Es una ecuación que contiene las derivadas o diferenciales de una o Si se sabe que la derivada de s(t) es 40, ¿cuál será entonces s(t)? A más variables dependientes con respecto a una o más variables partir de la derivada se aplica la fórmula (2) para obtener que la independientes. También definida como una ecuación que contiene antiderivada general es s(t) = 40t + C (la cual se puede verificar una función desconocida y una o más de sus derivadas. derivando s(t) deducir que s(t)´= 40)¿Cómo se sabe el valor de c? La Clasificación de las ED. información adicional s(1) = 10 significa que en el tiempo 1 segundo la Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar según tres posición era 10 m, es decir: 10 = 40(1) + C, de donde c= -30. Por lo características: tipo, orden y linealidad. tanto s(t) = 40t – 30 Según el tipo una ED puede ser ordinaria (EDO) o parcial (EDP). Una Siempre que se tiene una condición inicial como el ejemplo anterior, EDO es aquella que sólo contiene derivadas ordinarias (derivadas de es posible determinar una antiderivada particular. una o varias funciones de una sola variable independiente). Una EDP, en cambio, contiene derivadas parciales (derivadas de una o varias funciones de dos o más variables independientes). PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L CALCULO INTEGRAL
  • 8. dy La ecuación = f (x) con y0 = f(x0), se llama problema de valor dx inicial y consiste en encontrar y = f(x) que satisfaga las condiciones dadas. Ejemplo 3. La aceleración de dv / dt de cierto automóvil deportivo es proporcional a la diferencia entre 250 km/h y la velocidad del dv automóvil. Solución. = k .(250 − v) dt TALLER 1. Escriba una ecuación diferencial que sea un modelo matemático de la situación descrita. a. La tasa de cambio de una población P con respecto al tiempo t es proporcional a la raíz cuadrada de P. b. La tasa de cambio con respeto al tiempo de la velocidad de un bote costero de motor es proporcional al cuadrado de v. c. En una ciudad que tiene una población fija de P personas, la 4. Una moneda se deja caer desde un edificio y toca el suelo en 6 tasa de cambio con respecto al tiempo del número N de segundos. ¿Cuál es la altura del edificio? personas que han oído un cierto rumor es proporcional al 1 x+a número de las que todavía no lo han oído. 5. Compruebo que f ( x) = ln es una antiderivada de d. En una ciudad que tiene una población fija de P personas, la 2a x − a tasa de cambio con respecto al tiempo del número N de 1 f ( x) = personas que han contraído cierta enfermedad es a2 − x2 proporcional al producto del número de personas enfermas y 6. La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) el número de las que no lo están. está dada por 2x – 1. Si f(0)=1 halle la función f(x). 2. En cada caso encuentre la antiderivada general para la función 7. Un objeto, en caída libre, se mueve con aceleración -9.8 m/s2. dada. a. Encuentre una ecuación para la velocidad suponiendo que v(0)=0. b. A partir de la ecuación para v(t) encuentre la ecuación de a. f(x)= b. f(x)= c. f(x)= s(t), suponiendo que el objeto cae desde una altura de 10 m (s(0)=10). 8. Determinar si el enunciado es falso o verdadero. Si es falso, d. f(x) = e. f(x)= f. explicar por qué o proporcionar un ejemplo que lo demuestre. 3. Completar la siguiente tabla a. Cada antiderivada o primitiva de una función polinómica de n Integral original Reescribir Integrar Simplificar grado es una función polinómica de grado (n+1) b. La antiderivada o primitiva de f(x) es única. c. Si f´(x) = g(x) entonces ∫g(x) dx = f(x) + c. PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L CALCULO INTEGRAL
  • 9. FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION
  • 10. CAPITULO 1: ANTIDERIVACIÓN: INTEGRAL INDEFINIDA EJERCICIOS: 1. Encuentre la antiderivada más general de la función dada: 4. Evaluar la integral trigonométrica y comprobar el resultado por derivación: 2. Completar la siguiente tabla Integral original Reescribir Integrar Simplificar No hay que confundir nunca el conocimiento con la sabiduría. El primero nos sirve para ganarnos la vida; la sabiduría nos ayuda a vivir. Sorcha Carey 3. Evaluar las siguientes integrales indefinidas y comprobar el resultado por derivación
  • 11. CAPITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES (ED) Definición  Es una ecuación que contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes Solución 6 con respecto a una o más variables independientes. Ecuación diferencia Ordinaria (sólo aparece una  Es una ecuación que incluye a x y a y a las variable independiente), de tercer orden (la derivada mayor es de orden tres); lineal (los coeficientes sólo derivadas de y. dependen de la variable independiente x y la variable  Es una ecuación que contiene una función dependiente y sus derivadas son de primer grado). desconocida y una o más de sus derivadas. (Edwards y Penney). Clasificación de las ED. B. En los problemas 7 a 11, escriba una ecuación Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar diferencial que sea un modelo matemático de la según tres características: tipo, orden y linealidad. situación descrita. Según el tipo una ED puede ser ordinaria (EDO) o 6. La tasa de cambio de una población P con respecto parcial (EDP). Una EDO es aquella que sólo contiene al tiempo t es proporcional a la raíz cuadrada de P. derivadas ordinarias (derivadas de una o varias 7. La tasa de cambio con respeto al tiempo de la funciones de una sola variable independiente). Una velocidad de un bote costero de motor es EDP, en cambio, contiene derivadas parciales proporcional al cuadrado de v. (derivadas de una o varias funciones de dos o más 8. La aceleración de dv / dt de cierto automóvil variables independientes). deportivo es proporcional a la diferencia entre 250 El orden de una ecuación diferencial lo determina el km/h y la velocidad del automóvil. orden de la más alta derivada presente en ella. Una ED 9. En una ciudad que tiene una población fija de P primer orden; es aquella que solo contiene primeras personas, la tasa de cambio con respecto al tiempo derivadas y las de orden superior cuando contienen del número N de personas que han oído un cierto derivadas de orden superior a 1. rumor es proporcional al número de las que todavía no lo han oído. Una ED es lineal si presenta la siguiente forma: 10. En una ciudad que tiene una población fija de P personas, la tasa de cambio con respecto al tiempo del número N de personas que han contraído cierta enfermedad es proporcional al producto del número de personas enfermas y el número de las que no lo Observaciones sobre las ED lineales: están. 3. La variable dependiente y todas sus derivadas sólo Solución 9. pueden tener exponente igual a 1. dv 4. Los coeficientes sólo involucran la variable = k .(250 − v) independiente x. dt ACTIVIDAD C. Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad A. En cada uno de los problemas 1 a 6, determine el inicial de 64 pies por segundo a partir de una altura orden de la ecuación diferencial dada; diga también inicial de 80 pies. si la ecuación es lineal o no lineal.  Encontrar la función de posición que expresa la altura s en una función del tiempo t.  ¿Cuándo llegará la pelota al suelo? D. Se arroja hacia arriba una pelota, con velocidad de 48 pies/s desde el borde de un acantilado a 432 pies sobre el fondo. Calcule su altura sobre el fondo a los t segundos después. ¿Cuándo alcanza su altura máxima? ¿Cuándo llega al fondo? E. Una partícula, o punto material, se mueve en línea recta y su aceleración está expresada por a(t) = 6.t + 4. Su velocidad inicial es v(0) = -6cm/s y su desplazamiento inicial s(0) = 9cm. Determine su función de posición, s(t). EL ÉXITO NUNCA ESTÁ ANTES QUE EL ESFUERZO, NI SIQUIERA EN EL ECUACIONES DIFERENCIALES • Una ecuación diferencial involucra una o más derivadas de la función.
  • 12. • Se debe tener en cuenta el concepto de cierto componente de una fotocopiadora está dado antiderivada. por 30 – 0.02x. Si el costo de producir una unidad • Una solución de una ecuación diferencial es es de US $35 dólares. ¿Cuál será el costo de hallar cualquier función que satisfaga la producir 100 unidades? ecuación. 5. Un proyectil se dispara verticalmente hacia Ejemplos: arriba desde el suelo con una velocidad de 1600 dy pies/seg. en t = 0. Despreciando la resistencia del La velocidad se expresa como =v para aire, calcule su altura o distancia desde el suelo. dt calcular a y se aplica la antiderivada: 6. Se lanza una piedra directamente hacia abajo dy = v.dt entonces ∫ dy = ∫ v.dt luego : desde una altura de 96 pies con una velocidad inicial de 16 pies/seg. y= ∫ v.dt a) Encontrar la máxima altura que alcanza el objeto sobre el suelo. La aceleración en pies/seg2 se expresa como: b) Hallar el tiempo necesario para alcanzar su a = 32 y la velocidad es la antiderivada de la altura máxima. dv c) Hallar la velocidad al llegar al suelo. aceleración, luego =a si despejamos a dv d) Hallar el tiempo total transcurrido hasta que dt llegue a tierra. podemos obtener la velocidad: ∫ dv = ∫ a.dt esto 7. Se dispara una bala verticalmente hacia arriba es: v = ∫ a.dt con una velocidad de 500 m/s. ¿Cuánto tiempo estuvo la bala en el aire? EJERCICIOS DE APLICACIÓN: 1. Un balón se lanza verticalmente hacia arriba 8. Un hombre parado desde el techo de un edificio con una velocidad de 64 pies por segundo, desde tira una bola verticalmente hacia arriba con una una cima ubicada a 96 pies de altura. velocidad inicial de 40 pies/seg. La bola llega al a) ¿A qué altura se encuentra el balón a los t suelo a 4.25 segundos más tarde. segundos? a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la b) ¿En qué instante alcanza su altura máxima? bola? c) ¿A qué altura del suelo sube el balón? b) ¿Qué altura tiene el edificio? d) ¿En qué instante toca el balón el suelo? c) ¿Con qué velocidad llegará la bola al suelo? 2. Una lancha de motor se aleja del muelle a lo 8. Desde lo alto de una cúpula de 300 m de altura largo de una línea recta con una aceleración al se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con tiempo t dada por a(t) = 12t – 4 pies/seg2. una velocidad de 98 m/seg. En el tiempo t = 0 la lancha tenía una velocidad de a) A qué altura se encuentra la pelota a los t 8 pies/s y se encontraba a 15 pies del muelle. segundos? Calcular la distancia S(t) al embarcadero al cabo b) En qué instante alcanza su altura máxima? de t segundos. c) A qué altura del suelo sube el balón? d) En qué instante toca el balón el suelo? 3. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde una altura de 144 pies sobre el suelo con una velocidad inicial de 96 pies/seg, Despreciando la resistencia del aire. Hallar Cuando le apuntamos a lo a) Su altura desde el suelo a los t segundos. alto, estamos más cerca de b) Durante qué intervalo de tiempo la piedra nuestros sueños que si nos sube? c) En qué momento y con qué velocidad choca la conformamos con pequeños piedra contra el suelo a descender? objetivos 4. Un fabricante sabe que el costo marginal correspondiente a la producción de x unidades de SUMAS Y NOTACIONES SIGMA Comúnmente se usa esta notación para escribir las 100 sumas con muchos términos. Ejemplo: 2 2 2 2 2 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . . + 100 2 = ∑i i =1 2 y
  • 13. n ACTIVIDAD a1 + a2 + a3 + a4 +. . . .+ an = ∑i =1 ai 1. Demuestre el teorema de linealidad. 2. Existen otras formas de escribir la siguiente expresión? ¿cuáles? El símbolo utilizado para el índice no importa. Así: todos 3. Escriba la suma que se indica en la notación corresponden a a1 + a2 + a3 + a4 +. . . .+ an. sigma Por esta razón, con frecuencia el índice se le llama índice mudo. Donde ∑ (sigma mayúscula griega), corresponde a la S de nuestro alfabeto, indica que se están sumando todos los números de la forma indicada cuando el índice i corresponde a todos los enteros positivos, iniciando con el entero que aparece debajo de ∑ y finalizando con el entero ubicado arriba de ∑. PROPIEDADES DE ∑ . 1. Si todas las ci en la sumatoria tienen el mismo n valor, digamos c, entonces ∑ c = n.c i =1 i 4. Encuentre los valores para la suma indicada: 2. ∑ es considerado como un operador, ∑ opera sobre sucesiones, y lo hace de una manera lineal. 5. Encontrar una fórmula para la suma de n términos. Con esa fórmula calcular el limite cuando n tiende a infinito: n n n 16i  2i  2   i  2  a. ∑n i =1 2 b ∑    i =1  n  n  c. ∑ 1 + n  i =1    n  n FORMULAS PARA ALGUNAS SUMAS ESPECIALES 6. Dado por conocido el valor de ∑i i =1 y Hay fórmulas útiles cuando se necesita sumar los primeros n enteros positivos, así como las sumas de utilizando las propiedades de la sumatoria, cuadrados, cubos, entre otros. encontrar: n n a. La suma de los primeros n impares. n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) ∑i = 2 ∑i 2 = 6 b. 2 + 8 + 14 + . . . + (6n -4) i =1 i =1 c. La suma de los n primeros números de la n 2 n n(n + 1)(6n 3 + 9n 2 + n − 1) sucesión 3, 8, 13, . . .  n(n + 1)  ∑ i3 =   2   ∑i i =1 4 = 30 INVESTIGUE: ¿Como se determina si una i =1 función es positiva? SUMATORIA
  • 14. 7. Defina con sus palabras sumatoria. 13. Utilice las fórmulas para las sumas especiales para encontrar cada una de las sumas: 8. ¿Cuales son las características del subíndice? 9. Liste las propiedades de la sumatoria y realice un ejemplo de cada una de estas. a. b. 10. Existen otras formas de escribir la siguiente expresión? ¿cuáles? c. d. e. f. 11. Escriba la suma que se indica en la notación 14. Encontrar una fórmula para la suma de n sigma términos. Con esa fórmula calcular el limite cuando n tiende a infinito: n n n 16i  2i  2   i  2  a. ∑n i =1 2 b ∑ n  i =1    n  c. ∑ 1 + n  i =1    n  15. Deducir una formula para hallar el valor de: 12. Existen algunas formulas de calculo o sumas especiales, como por ejemplo: 16. , Consulte las otras. INVESTIGUE Y DESARROLLE: 1. ¿Cómo se determina un área bajo la curva, por medio de rectángulos? Ejemplifique cada uno de los procesos. 2. ¿Como se determina si una función es positiva? SUMAS Y NOTACIONES SIGMA Comúnmente se usa esta notación para escribir las sumas con muchos términos. Ejemplo: 100 n 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + . . . . + 1002 = ∑ i =1 i2 y a1 + a2 + a3 + a4 +. . . .+ an = ∑a i =1 i
  • 15. El símbolo utilizado para el índice no importa. Donde ∑ (sigma mayúscula griega), corresponde a la S de nuestro alfabeto, indica que se están sumando todos los números de la forma indicada cuando el índice i corresponde Así: todos a todos los enteros positivos, iniciando con el entero que corresponden a a1 + a2 + a3 + a4 +. . . .+ an. aparece debajo de ∑ y finalizando con el entero ubicado Por esta razón, con frecuencia el índice se le arriba de ∑. llama índice mudo. PROPIEDADES DE ∑ . ∑ es considerado como un operador, ∑ opera sobre sucesiones, y lo hace de una manera lineal. 1. Demuestre el teorema de linealidad de ∑ 2. Demuestre las sumas telescópicas n n n n 3. Liste las fórmulas para algunas sumas especiales: ∑i , ∑i i =1 i =1 2 , ∑i ,∑i i =1 3 i =1 4 4. Complete: 5. Encuentre los valores para la suma indicada: 7. Encuentre el valor de cada una de las sumas telescópicas: 8. Utilice las fórmulas para las sumas especiales para encontrar cada una de las sumas: 6. E s criba la suma que se indica en la notación sigma: a. b. c. d. e. f. 9. Encontrar una fórmula para la suma de n términos. Con esa fórmula calcular el limite cuando n tiende a infinito: n n n 16i  2i  2   i  2  a. ∑n i =1 2 b. ∑    i =1  n  n  c. ∑ 1 + n  i =1    n  SUMAS Y NOTACIONES SIGMA Comúnmente se usa esta notación para escribir las sumas con muchos términos. Ejemplo: 100 n 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + . . . . + 1002 = ∑ i =1 i2 y a1 + a2 + a3 + a4 +. . . .+ an = ∑a i =1 i Donde ∑ (sigma mayúscula griega), corresponde a la S de nuestro alfabeto, indica que se están sumando todos los números de la forma indicada cuando el índice i corresponde a todos los enteros positivos, iniciando con el entero que aparece debajo de ∑ y finalizando con el entero ubicado arriba de ∑.
  • 16. El símbolo utilizado para el índice no importa. Así: todos corresponden a a1 + a2 + a3 + a4 +. . . .+ an. Por esta razón, con frecuencia el índice se le llama índice mudo. PROPIEDADES DE ∑ . ∑ es considerado como un operador, ∑ opera sobre sucesiones, y lo hace de una manera lineal. 1. Demuestre el teorema de linealidad de ∑ 2. Demuestre las sumas telescópicas: n n n n 3. Liste las fórmulas para algunas sumas especiales: ∑i , ∑i i =1 i =1 2 , ∑i i =1 3 , ∑i i =1 4 . 4. Complete: 3. ¿Cuál es la más aproximada para determinar el área bajo la curva por el método de Simpson y Trapecio? En que consiste el error. Ejemplos, INTEGRALES DEFINIDAS Una de las muchas aplicaciones del límite es usarlo integral definida se había utilizado mucho antes de que para definir el área de una región en el plano. La
  • 17. el matemático alemán Georg Friedrich Bernhard Riemann la generalizara. Definición de una suma de Riemann Si f es una función continua y no negativa definida para a ≤ x ≤ b, dividimos el intervalo [a,b] en n subintervalos de igual ancho ∆x = (b − a) . Denotamos con xo (= n a), x1, x2, x3, . . . xn (=b) los puntos extremos de estos subintervalos y elegimos los puntos de muestra x1*, x2*, x3*, . . . , xn* en [xi-1, xi]. Entonces la suma de f, desde a n Lim ∑ f ( x )∆x * hasta b, es: i n →∞ i =1 INTEGRALES DEFINIDAS Y SUS PROPIEDADES Definición: Si f está definida en el intervalo cerrado n [ a, b] y existe el límite Lim ∑ f ( x )∆x . * i Entonces f n→∞ i =1 Cómo la integral es negativa, no representa el área de es integrable en [ a, b] y el límite se denota por la región de la figura. Una integral definida puede ser n b positiva, negativa o cero. Para que pueda ser Lim ∑ x ∫ f ( x).dx * f( ) ∆x = interpretada como un área (tal como se ha definido); la n →∞ i =1 i a función f debe ser continua y no negativa en a, b , [ ] Ese límite se llama la integral definida de f entre a y b. como establece el próximo teorema. El número a se llama límite inferior de integración y el b límite superior de integración. Teorema 2: LA INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA DE UNA REGIÓN Concluimos que la integral definida y la integral Si f es continua y no negativa en el intervalo cerrado indefinida son entes distintos; porque la integral definida es un número, mientras que la integral indefinida es [ ] a, b , el área de la región limitada por la gráfica de f, el una familia de funciones. eje x y las rectas verticales x = a y x = b viene dada por: b Teorema 1:CONTINUIDAD IMPLICA INTEGRABILIDAD Área = ∫ f ( x).dx Si una función f es continua en el intervalo cerrado a [ ] a, b , entonces f es integrable en a, b . Ejemplo 1: [ ] PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS: b Calcular la siguiente integral indefinida como límite: 1 1. Si f está definida en x = a, entonces ∫ f ( x).dx = 0 ; ∫ 2 x.dx a es el área de una región de altura finita y de −2 3 Solución: La función f(x) = 2x es integrable en el [ ] intervalo − 2,1 , por ser continua. Además, la anchura cero. Ejemplo: ∫ x.dx = (3 − 3) = 0 3 definición de integrabilidad afirma que podemos utilizar cualquier partición con norma tendiendo a infinito para 2. Si f es integrable en [ a, b] , entonces calcular el límite. b b Luego ∆x = b−a 3 = y Xi = a + i. ∆x = – 2 + 3i por ∫ f ( x).dx = −∫ f ( x).dx ; a a es la definición de una n n n integral definida cuando a >b. Ejemplo: lo tanto la integral definida está dada por: 0 0 − 21 ∫ ( x + 2).dx = −∫ ( x + 2).dx = 3 3 2 Teorema 3: PROPIEDAD ADITIVA DE INTERVALOS Si f es integrable en los tres intervalos cerrados delimitados por a, b y c entonces: b c b ∫ f ( x).dx = ∫ f ( x).dx + ∫ f ( x).dx a a c
  • 18. Teorema 4: PROPIEDAD DE LAS INTEGRALES Ejemplo: Calcular la siguiente integral definida DEFINIDIAS [ ] Si f y g son integrables en a, b y k es una constantes, las funciones kf y f + g son integrables en [ a, b] . Además: b b 1. ∫ kf ( x).dx = k ∫ f ( x).dx (1) Calcular el área de la región acotada por la gráfica a a de y = 2x2 – 3x + 2, el eje x y las rectas verticales x = 0 b b b y x = 2. Graficar. 2. ∫ [ f ( x) ± g ( x)].dx = ∫ f ( x).dx ± ∫ g ( x) a a a Teorema El teorema del valor medio para integrales: Se ha 5. PROPIEDADES DE ORDEN DE LA INTEGRAL comprobado que el área de una región bajo una curva Si f(x) ≥ 0 para a ≤ x ≤ b, entonces es mayor que el área de un rectángulo inscrito y mayor que la de uno circunscrito. El teorema del valor medio para integrales afirma que existe, “entre” el inscrito y el circunscrito, un rectángulo cuya área es precisamente la . misma que la de la región. Si f(x) ≤ g(x) para todo x en [a, b], entonces [ Si f es continua en el intervalo cerrado a, b , existe un ] b número c en [ a, b] tal que: ∫ f ( x).dx = f (c).(b − a ) a TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Definición del valor medio de una función en un intervalo: Si f es integrable en el intervalo cerrado a, b [ ] Informalmente, el teorema afirma que la derivación y la b 1 [ a, b] b−a∫ integración (definida) son operaciones mutuamente , el valor medio de f en es: f ( x).dx inversas. Para ver cómo Newton y Leibniz se dieron a cuenta de ello, consideremos las aproximaciones que (2) Determinar el valor medio de f(x) = 3x2 – 2x en el muestra la Figura. Cuando definimos la pendiente de la intervalo [1,4]. recta tangente, utilizamos el cociente ∆y/∆x (pendiente de la recta secante). Análogamente, al definir el área de Segundo Teorema Fundamental del Cálculo: una región bajo una curva, usamos el producto ∆y.∆x (área de un rectángulo). Así pues, en su primer paso derivación e integración son operaciones inversas. El teorema fundamental del Cálculo establece que el proceso de límite usado para definir ambas operaciones preserva esa relación inicial de inversas. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO: Si f(x) es [ continua en el intervalo cerrado a, b y F es una ] primitiva de f en [ a, b] , entonces: b ∫ f ( x).dx = F (b) − F (a) a
  • 19. Si f es continua en un intervalo abierto I que contiene el d   x punto a, entonces para todo x de este intervalo.  ∫ f (t ).dt  = f ( x ) dx  a 
  • 20. ACTIVIDAD
  • 21. U.F.P.S. MATEMATICAS II LAS INTEGRALES DEFINIDAS
  • 22. b Cuando se define la integral ∫ f ( x).d ( x) , implícitamente se supone que a < b. Pero la definición a como límite de sumas de Riemann tiene sentido aún si a > b . Observemos que si invertimos el a b orden de a y b, entonces ∆x cambia de (b- a)/ n a (a – b)/ n. Por tanto ∫ f ( x).d ( x) = −∫ f ( x).d ( x) b a a Si a = b, entones ∆x = 0 luego ∫ f ( x).d ( x) a =0 PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS TEOREMA. PROPIEDAD ADITIVA DE INTERVALOS: Si f es integrable en los tres intervalos cerrados delimitados por a, b y c, entonces: b c b 1. ∫ a f ( x ).d ( x) = ∫ f ( x ).d ( x) + ∫ f ( x).d ( x) a c TEOREMA. PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS: Si f y g son integrables en [a. b] y k es una constante, se tiene: b b b b b 2. ∫ k. f ( x).d ( x) = k ∫ f ( x).d ( x) a a 4. ∫ [ f ( x) − g ( x)].d ( x) = ∫ f ( x).d ( x) − ∫ g ( x).d ( x) a a a b b b 3. ∫ [ f ( x) + g ( x)].d ( x) = ∫ f ( x).d ( x) + ∫ g ( x).d ( x) a a a TEOREMA. PROPIEDADES DE ORDEN DE LA INTEGRAL 5. Si f(x) ≥ 0 para a ≤ x ≤ b, entonces . 6. Si f(x) ≤ g(x) para todo x en [a, b], entonces EJEMPLO 1. Supóngase TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL
  • 23. Informalmente, el teorema afirma que la derivación y la integración (definida) son operaciones mutuamente inversas. Para ver cómo Newton y Leibniz se dieron cuenta de ello, consideremos las aproximaciones que muestra la Figura. Cuando definimos la pendiente de la recta tangente, utilizamos el cociente ∆y/∆x (pendiente de la recta secante). Análogamente, al definir el área de una región bajo una curva, usamos el producto ∆y.∆x (área de un rectángulo). Así pues, en su primer paso derivación e integración son operaciones inversas. El teorema fundamental del Cálculo establece que el proceso de límite usado para definir ambas operaciones preserva esa relación inicial de inversas. LA PRIMERA PARTE DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO x Si f es continua en [a. b], la función g definida por g ( x) = ∫ f (t ).dt a donde: a ≤ x ≤ b es continua en [ a, b] y derivable en (a, b), y g´(x) = f(x). EJEMPLO 2. Solución: Nótese que f(t) = t 2 + 1 es continua en toda la recta real. Aplicando, por tanto, la primera parte del teorema fundamental del Cálculo se obtiene
  • 24. EJEMPLO 3. En este caso se debe emplear la regla de la cadena junto con la primera parte del teorema fundamental del cálculo. Sea u = x4. Entonces: (Según la regla de la cadena) (Según TFC1) LA SEGUNDA PARTE DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] y F es una primitiva de f en [a, b], entonces Demostración: La clave reside en escribir la diferencia F(b) — F(a) de forma adecuada. Sea ∆ la siguiente partición de [a, b]. a = X0 <X1 <X2 < ... <Xn-1 <Xn = b Restando y sumando términos análogos se obtiene Por el teorema del valor medio sabemos que existe un número e1 en el i-ésimo subintervalo tal que Esta importante ecuación nos dice que, aplicando el teorema del valor medio, siempre podemos encontrar una colección de ci tales que la constante F(b) →F(a) sea una suma de Riemann de f en [a, b]. Tomando el límite para ||∆|| → 0 resulta
  • 25. EJEMPLO 4. Hállese el área total acotada por la curva y = x3 — 4 x y el eje x. ACTIVIDAD a. Haga un esquema del área representada por g(x). A continuación, encuentre g´(x) de dos maneras: (a) aplicando la parte 1 del teorema fundamental y (b) evaluando la integral con la x x ∫ ∫ 2 aplicación de la parte 2 y, después, derivando. g ( x) = t .dt g ( x) = (2 + oost ).dt 1 Π1 b. Determinar la integral y usar la gráfica para determinar si la integral definida es positiva, negativa o cero.
  • 26. c. En los problemas 1 y 2, calcule la suma de Riemann que se sugiere para cada figura. y= f(x) = - x2+ 4x y= f(x) = x2- 4x + 3 d. Consultar en que consisten las reglas para aproximar integrales definidas (aproximación trapecial, regla de Simpson) y desarrollar dos ejercicios aplicando ambos métodos para cada integral. INTEGRACIÓN APROXIMADA Hay dos situaciones en que es imposible calcular el b valor “exacto” de una integral definida. La primera es ∫ f ( x).dx ≈ a b consecuencia de que para evaluar ∫ f ( x).dx con a el Tn = ∆x 2 [ f ( x0 ) + 2 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) + ... + 2 f ( xn −1 ) + f ( xn )] teorema fundamental del cálculo, necesitamos conocer donde ∆x = ( b − a ) / n y xi = a + i∆x una antiderivada de f; sin embargo, a veces es difícil, o hasta imposible, encontrarla. La causa del nombre de la regla del trapecio se puede Ejemplo: Es imposible evaluar con exactitud las ver en la siguiente figura, que muestra el caso cuando integrales siguientes: f ( x) ≥ 0 . 1 1 ∫ e .dx ∫ 2 x 1 + x 3 dx 0 −1 La segunda situación se presenta cuando la función se determina con un experimento científico utilizando las indicaciones de instrumentos. Puede no haber fórmula para la función. En ambos casos necesitamos calcular valores El área del trapecio sobre el i-ésimo subintervalo es: aproximados de las integrales definidas.  f ( xi −1 ) + f ( xi )  ∆x REGLA DEL TRAPECIO ∆x = [ f ( xn −1 ) + f ( xi )]  2  2
  • 27. y si sumamos las áreas, de esos trapecios obtenemos que los errores cometidos en la aproximación de las el lado derecho de la regla del trapecio. reglas del trapecio y del punto medio, para n = 5, son Ejemplo: Emplee la regla del trapecio con n = 5 para ET ≈ −0.002488 y EM ≈ 0.001239 ∫ ( 1 x ).dx 2 En general, tenemos calcular aproximadamente, la integral b E T = ∫ f ( x).dx − Tn y E M = ∫ f ( x).dx − M 1 Solución.Con n = 5. a = 1 y h = 2, tenemos que n a Δx=(2-1)/5 = 0.2, y así, la regla del trapecio da: Límite de error: Supongamos que f '' ( x) ≤ K cuando a ≤ x ≤ b . Si Et y EM son los errores en que se incurre con las reglas del trapecio y del punto medio, entonces: K (b − a) K (b − a) 3 3 ET ≤ y EM ≤ 12n 2 24n 2 Apliquemos esta estimación de error a la aproximación, Otra forma es por medio de la regla de los puntos medios. con la regla del trapecio del ejemplo 1. Si f ( x) = 1 / x , entonces f ( x) ' = −1 / x 2 y f '' ( x) = 2 / x 3 . Como 1<x < 2, 2 2 Tenemos 1 / x ≤ 1 , y f '' ( x) = 3 ≤ 3 =2 Donde: x 1 Así, si K = 2, a = 1, b = 2 y n = 5 en la estimación del error, vemos que: Los puntos medios de los cinco intervalos son 1.1, 1.3, 2( 2 − 1) 3 1.5, 1.7 y 1.9, y con ellos aplicamos la regla del punto 1 ET ≤ 2 = ≈ 0.006667 medio. 12(5) 150 Al comparar esta estimación de error con el real, de unos 0.002488, advertimos que el error real puede ser bastante menor que el límite superior del error expresado. REGLA DE SIMPSON Otra regla para aproximar resultados de integración emplea segmentos parabólicos en lugar de segmentos de recta. Como antes, tomaremos una partición de [a, b ]en n subintervalos de igual longitud, h = ∆x = ( b − a ) / n; pero esta vez supondremos que n es un número par. Entonces, en cada par consecutivo de intervalos, aproximamos la curva y = f ( x) ≥ 0 ∆x  f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) + 4 f ( x3 ) +  b ∫ f ( x).dx ≈ S a n =  3 ... + 2 f ( xn − 2 ) + 4 f ( xn −1 ) + f ( xn )   En este en donde n es par y ∆x = ( b − a ) / n . ejemplo hemos elegido deliberadamente una integral cuyo valor pueda calcularse a fin de constatar la exactitud de las reglas del trapecio y del punto medio. De acuerdo con el teorema fundamental del cálculo. −2 1 ∫ x .dx = ln x] 2 1 = ln 2 = 0.693147... 1 b ∫ f ( x).dx = Aproximación + error Ejemplo: Aplique la regla de Simpson, con n = 10, para 2 1 ∫ x .dx ≈ S a hallar, aproximadamente El error al emplear una aproximación se define como la 10 1 cantidad que necesita a la aproximación para volverla exacta. En los valores obtenidos en el ejemplo vemos
  • 28. ∆x  f (1) + 4 f (1.1) + 2 f (1.2) + 4 f (1.3) + ... Ejemplo: ¿Qué valor ha de tener n para garantizar que = 3 + 2 f (1.18) + 4 f (1.9) + f (2)  la aproximación, mediante la regla de Simpson, de   ∫ ( 1 x ).dx 2 1 4 2 4 2 4 2  tenga una exactitud de 0.000 1?  + + + + + + + 0.1 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6  =   ≈ 0.693150 1 3  4 2 4 1   + + +  1.7 1.8 1.9 2  Con este ejemplo notará que la regla de Simpson da como resultado una aproximación mucho mejor ( S10 ≈ 0.693771) o la regla del punto medio Por consiguiente, podemos hacer que K = 24 en (4). ( M 10 ≈ 0.693147...) . Las aproximaciones con la regla Para que el error sea menor de 0.0001, debemos elegir n de tal modo que de Simpson son promedios ponderados de las cantidades que se usan en la regla del trapecio y del Por lo tanto, n = 8 (n debe ser par) produce la exactitud punto medio. deseada. (Comparemos esto con los otros métodos; 1 2 así: para n=4 por medio de trapecio y n=29 para la regla S 2 n = Tn + M n del punto medio). 3 3 Recuerde que ET y EM tienen signos contrarios y que EJERCICIOS EM , es aproximadamente la mitad del valor de ET . I. Use la Regla del trapecio, la Regla del punto medio y la Regla de Simpson para aproximar la integral COTA PARA EL ERROR PARA LA REGLA DE con el valor especificado de n. f ( 4 ) ( x ) ≤ K cuando 1 3 SIMPSON: Supongamos que 1 ∫ e .dx ,n =10 ∫1+ y 2 −x a. bc2. 5 .dy ,n =6 a ≤ x ≤ b . Si Es es el error cometido al aplicar la 0 0 Regla de Simpson 2 4 1 ex b. ∫ .dx , n =10 4. ∫ .dx , n = 10 K (b − a) 1 + x3 2 x 5 0 Es ≤ II. Calcular los errores de la regla de simpson y la 180n 4 regla del trapecio TALLER  1  n Escriba una ecuación diferencial para P en el 1. Explique por qué  3 . n  i=1 ∑ i2 debe ser una instante t. Determine la población en función 1 del tiempo transcurrido. Estime el tamaño de la ∫ x .dx población después de una semana. 2 buena aproximación a para n grande. 0 Calcule la expresión 3. Demuestre que si f es un polinomio de grado 3 de la suma para n = o menor, la regla de Simpson da el valor b  y evalúe por medio del teorema exacto de ∫ f ( x).dx . a fundamental del calculo. Compare resultados y 4. Estime el área bajo la gráfica f(x)=sen x concluya. desde x=π/6 hasta x=π/2 con  rectángulos de aproximación inscritos. 2. La tasa de población dP/dt de una población de 5. Demuestre que para el movimiento rectilíneo bacterias es proporcional a la raíz cuadrada con aceleración constante a, velocidad inicial de t, donde P es el tamaño de la población y t vo y desplazamiento inicial x o, el es el tiempo en días (0≤ t ≤ 10). El tamaño desplazamiento, en el momento t es inicial de la población es igual a 500. Después 1 2 de un día la población ha crecido hasta 600. x= at + vo .t + xo 2
  • 29. 6. Demuestre que: [v(t ) ]2 = vo2 − 19.6[ x(t ) − xo ] . x2 − 1 Cuando se arroja un objeto hacia arriba, con b. ∫ cos(π / 2)dθ d. ∫ x3 / 2 dx velocidad inicial vo desde un punto a xo metros sobre el piso. 7. Usar límites para hallar el área de la región acotada por la gráfica de la función y el eje y  = Equivale a la última cifra de su código, pero en el intervalo que se indica. Dibujar la región. debe ser mayor o igual a 3. En caso contrario súmele la penúltima cifra y si aún es menor que 3 a. súmele la antepenúltima cifra de su código. b. En cada caso se debe usar un código diferente. Es decir, para un ejercicio el código de un integrante, 8. Evaluar: para el otro ejercicio el de otro integrante. Si lo hace individual en ambos casos usa la misma cifra 3.dx x 2 − 5x + 6 a. ∫ 4x −2 c. ∫ x−3 .dx OBSERVACION:  El taller se desarrolla en grupos de máximo 2 estudiantes.  Debe estar totalmente desarrollado y con excelente presentación.  Además del taller deben entregar individualmente la corrección del previo; anexándole el temario correspondiente.  Fecha de entrega: 11 de Octubre de 2006. Hora: 8:00 a.m. SUSTITUCION TRIGONOMÉTRICA TALLER Crear grupos de 3 integrantes, realizar los ejercicios propuestos para la técnica de sustitución por variables trigonométricas. Así: Grupo 1 6.35 6.70 Grupo 5 6.53 6.63 Grupo 2 6.68 6.49 Grupo 6 6.40 6.61 Grupo 3 6.66 6.43 Grupo 7 6.59 6.42 Grupo 4 6.46 6.62 Grupo 8 6.69 6.45
  • 30. APLICACIONES DE LA INTEGRACION OBJETIVO: Utilizar las integrales para hallar el área limitada por la gráfica de dos funciones. S Sean f y g dos funciones continuas en el intervalo [a, b]. intervalos por encima y por debajo de la curva con n Si, como sucede en la figura las dos gráficas están por n * * encima del eje x y la de f por encima de la de g, podemos interpretar el área de la región entre ellas rectángulos definidos. ∑ xi i =1 [f( ) − g( xi )].∆x como el área bajo f menos el área bajo g. Para calcular el área con precisión construimos n rectángulos que tiendan a infinito n →∞. Por lo tanto, La anterior situación no es necesaria. Para situaciones definimos el área A de S como el valor límite de la suma donde g(x) ≤ f(x) se desarrolla el mismo integrando de las áreas de estos rectángulos de aproximación. [f(x) - g(x)]. Además, de igual manera como se realiza para las áreas debajo de curvas, se divide el área S en n franjas de igual ancho y luego, se obtiene una aproximación de la i-ésima franja por medio de un * * rectángulo con base ∆x y altura f( xi ) − g ( xi ) . Construyendo particiones en la región S con sub-
  • 31. Algunas regiones se manejan mejor considerando x como función de y. Si una región está limitada por las curvas con ecuaciones x = f(y), x= g(y), y =c y y = d, donde f y g son continuas y f(y) ≤ g(y) para c ≤ y ≤ d. Reconocemos el limite expresado en la ecuación como Entonces su área es: la integral definida de f - g. Por lo tanto: El área A de la región limitada por as curvas y = f(x), y=g(x), y las rectas x = a, x = b, donde f y g son continuas y g(x) ≤ f(x) para toda x en [a, b], es: Ejemplo 1. Encuentre el área de la región encerrada por las parábolas y =x2 y y = 2x—x2 Paso 1: Hallar los puntos de intersección entre las dos funciones, resolviendo sus ecuaciones simultáneamente. Utilizaremos el método de igualación: x2 = 2x — x2, o sea, 2x2 = 2x. Por lo Sj xr denota la frontera derecha y xL la izquierda, tanto, x.(x - 1) = 0, de modo que x = 0 y x = 1. Es entonces se obtiene: decir los puntos de intersección son (0,0) y (1, 1). Gráficamente: Paso 2: Como se observa en la figura, la función que En este caso un rectángulo típico de aproximación tiene está por encima es f(x) = 2x —x2 y la que está por debajo es g(x)=x2. las dimensiones xR – xL y ∆y. Luego: El área de un rectángulo típico es: Ejemplo 3. Encuentre el área encerrada por la recta y = x - 1 y la parábola y2 = 2x + 6. Paso1. Puntos de intersección. Al resolver las dos ecuaciones, encontramos que los puntos de intersección son (-1, -2) y (5, 4). y Ejemplo 2. Encuentre el área de a región limitada arriba por y = ex, abajo por y=x, y a los lados por x = 0 y x = 1. Gráficamente: x y=e La curva frontera superior es y = ex y la curva frontera inferior es y = x. Utilizando la definición se obtiene que el Paso 2. Al graficar se observa que la curva fronteras área es: izquierda y derecha es . Se debe integrar entre los valores y apropiados, y = -2 y y = 4. RECTANGULOS REPRESENTATIVOS HORIZONTALES
  • 32. EJERCICIOS a. (1 – 4) Encuentre el área de la región sombreada. b. (5 - 8) Esquematice la región encerrada por las curvas dadas. Decida si integra con respecto a x o y. Dibuje un rectángulo típico de aproximación y marque su altura y su ancho. A continuación, halle el área de la región. c. ¿Para cuáles valores de m, la recta y = m.x y la curva y = x / (x2 + 1) encierra una región? Encuentre el área de la región.
  • 33. U.F.P.S. MATEMATICAS II TALLER. INTEGRAL DEFINIDA 1. Usar límites para hallar el área de la región integral definida usando fórmulas acotada por la gráfica de la función y el geométricas. eje x en el intervalo que se indica. Dibujar la región. 4. Determinar si la función f(x) es integrable en el intervalo [3. 5]. Explicar la respuesta. 2. Usar límites para hallar el área de la región acotada por la gráfica de la función y el 5. Determinar si la función f(x) es integrable eje y en el y - intervalo que se indica. en el intervalo [0, 1]. Explicar la respuesta. Dibujar la región. a. b. 3. La gráfica de f consta de segmentos rectos y de un semicírculo. Calcular cada 6. Calcular utilizando la suma de Rieman adecuada.
  • 34. 7. Teniendo en cuenta la gráfica de f que 8. En los Ejercicios, aproximar el valor de la muestra la figura. La región sombreada A integral para el n que se especifica, 6 usando la regla de los trapecios y la regla tiene área 1,5 y ∫ f ( x)dx = 3,5 . Con esta de Simpson. Redondear la respuesta a 0 cuatro decimales y comparar los información, hallar: resultados con el valor exacto de la integral. y=f(y), a la izquierda por una curva continua x = g(y), debajo por la recta y=a y encima 2. La figura muestra un triángulo AOC y una por la recta y = b. Divídase la región en n región sombreada seccionada de la franjas horizontales, cada una de altitud parábola y = x2 por una recta horizontal. ∆y = (b — a)/n, y exprésese el área de la Hállese el límite cuando a→0 de la razón región: del área del triángulo al área de la región a. como Límite de una suma de áreas de sombreada. rectángulos, y b. como una integral definida adecuada. 4. En los siguientes problemas, hállense las áreas acotadas por las curvas y rectas dadas. 3. Hágase un dibujo que represente una región acotada a derecha por una curva continua
  • 35. 5. Utilícese la regla de Simpson con n = 10 para aproximar el área entre las curvas y = 1/(1 + x2) e y = -1/(1 +x2), —1 ≤ x ≤ 1.
  • 36. U.F.P.S. MATEMATICAS II TRABAJO 1. DEFINICION DEL TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE; Si un objeto es desplazado por una fuerza constante F una distancia D en la dirección de la fuerza, el trabajo W realizado por esa fuerza se define como W = F.d 2. DEFINICION DEL TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE: Si un objeto es desplazado en línea recta desde x=a hasta x = b por la acción de una fuerza F(x) que varía de forma continua, el trabajo W realizado se define como: Lim n b Δ → 0∑ W= ΔWi = ∫ F ( x).dx i =1 a LEYES DE FISICA: a. Ley de Hooke: La fuerza F requerida para comprimir o estirar un muelle (dentro de sus límites de elasticidad) es proporcional al desplazamiento producido respecto de su posición de equilibrio (longitud natural). Es decir F = k.d donde la constante de proporcionalidad k (constante del muelle) depende de la naturaleza del muelle. b. Ley de la gravitación universal: La fuerza F de atracción entre de masas m 1 y m2, es proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia d entre ellas. Esto es: F = k. m1 . m2 / d2 Si m1 y m2 se miden en gramos y d en centímetros, F se medirá en dinas para un valor de k = 6,670 x lO- 8 cm3/ (g. s2). c. Ley de Coulomb: La fuerza entre dos cargas q1 y q2 en el vacío es proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia d entre ellas. Esto es: F = k. q1 . q2 / d2 Si q1 y q2 se dan en unidades electrostáticas y d en centímetros, F se medirá en dinas para un valor de k=1. El trabajo también se puede definir como una suma de incrementos de la forma: ∆W = (Fuerza). (Incremento de distancia) = (F). (∆x) Otra manera de formula el incremento de trabajo es ∆W = (Incremento de fuerza). (Distancia) = (∆F). (x) Esta segunda interpretación de ∆W es útil en problemas relativos a movimientos de sustancias no rígidas, como fluidos o cadenas. EJEMPLOS: 1. Una fuerza de 750 libras comprime 3 pulgadas un muelle de longitud natural 15 pulgadas. Calcular el trabajo realizado al comprimirlo otras 3 pulgadas más. 2. Un módulo espacial pesa 15 toneladas sobre la superficie de la Tierra, ¿Cuánto trabajo hay que hacer para propulsarlo a una altura de 800 millas sobre la superficie terrestre. (Tomar 4.000 millas como radio de la tierra. No considerar el efecto de la resistencia del aire ni el peso del combustible). 3. Un depósito esférico de 8 pis de radio está lleno hasta la mitad con un aceite que pesa 50 libaras/pies3. Calcular el trabajo requerido para extraer el aceite bombeando a través de un orificio situado en lo más alto del depósito. 4. Una cadena de 20 pies de longitud y que pesa 5 libras/ pie está extendida en el suelo. ¿Cuánto trabajo es necesario para levantar uno de sus extremos hasta una altura de 20 pies, es decir hasta que esté totalmente extendida en vertical. 5. Un volumen inicial de gas de 1 pie3, que estaba a una presión de 500 libras/pie2, se expande a un volumen de 2 pies3. Hallar el trabajo realizado por el gas, suponiendo que la presión es inversamente proporcional al volumen. LIC. SONIA MARITZA MENDOZA L
  • 37. MOMENTOS Y CENTROS DE MASA 1. La densidad δ(x) de un alambre en el punto a x centímetros de uno de los extremos está dada por δ(x) = 3x2 gramos por centímetro. Encuentre le centro de masa del pedazo entre x=0 y x= 10. 2. Cinco partículas de masa 1, 4, 2, 3, y 2 unidades, están colocadas en los puntos (6, -1), (2, 3), (-4, 2), (-7, 4) y (2, -2), respectivamente. Encuentre el centro de la masa. 3. Sitúe el centro de masa de una placa semicircular de radio r. 4. Localice el centroide de la región limitada por las curvas y = cos x, y = 0, x=0 y x=π/2. Se colocan las masas mi, en los puntos Pi. Halle los momentos Mx, y My y el centro de masa del sistema. 5. m1=4, m2 = 8: P1(-1,2). P2(2, 4) 6. m1=6, m2=5, m3= 1, m4= 4; P1(1, —2). P2(3, 4). P3(—3, —7), P4(6, —1) Dibuje la región limitada por las curvas y estime visualmente la posición del centroide. Luego, encuentre las coordenadas exactas del centroide. 7. Y = x2, y = 0, x= 2 8. Y = x ½, y = 0, x = 9 9. Y = ex, y = 0. x = 0, x=1 10. Y = 1/x, y = 0, x= 1, x= 2 11. y = sen 2x, y=0, x= 0, x= π/2 12. x=5 – y2, x=0 MOMENTOS Y CENTROS DE MASA 1. La densidad δ(x) de un alambre en el punto a x centímetros de uno de los extremos está dada por δ(x) = 3x2 gramos por centímetro. Encuentre le centro de masa del pedazo entre x=0 y x= 10. 2. Cinco partículas de masa 1, 4, 2, 3, y 2 unidades, están colocadas en los puntos (6, -1), (2, 3), (-4, 2), (-7, 4) y (2, -2), respectivamente. Encuentre el centro de la masa. 3. Sitúe el centro de masa de una placa semicircular de radio r. 4. Localice el centroide de la región limitada por las curvas y = cos x, y = 0, x=0 y x=π/2. Se colocan las masas mi, en los puntos Pi. Halle los momentos Mx, y My y el centro de masa del sistema. 5. m1=4, m2 = 8: P1(-1,2). P2(2, 4) 6. m1=6, m2=5, m3= 1, m4= 4; P1(1, —2). P2(3, 4). P3(—3, —7), P4(6, —1) Dibuje la región limitada por las curvas y estime visualmente la posición del centroide. Luego, encuentre las coordenadas exactas del centroide. 7. Y = x2, y = 0, x= 2 8. Y = x ½, y = 0, x = 9 9. Y = ex, y = 0. x = 0, x=1 10. Y = 1/x, y = 0, x= 1, x= 2 11. y = sen 2x, y=0, x= 0, x= π/2 12. x=5 – y2, x=0 MOMENTOS Y CENTROS DE MASA 1. La densidad δ(x) de un alambre en el punto a x centímetros de uno de los extremos está dada por δ(x) = 3x2 gramos por centímetro. Encuentre le centro de masa del pedazo entre x=0 y x= 10. 2. Cinco partículas de masa 1, 4, 2, 3, y 2 unidades, están colocadas en los puntos (6, -1), (2, 3), (-4, 2), (-7, 4) y (2, -2), respectivamente. Encuentre el centro de la masa. 3. Sitúe el centro de masa de una placa semicircular de radio r. 4. Localice el centroide de la región limitada por las curvas y = cos x, y = 0, x=0 y x=π/2. Se colocan las masas mi, en los puntos Pi. Halle los momentos Mx, y My y el centro de masa del sistema. 5. m1=4, m2 = 8: P1(-1,2). P2(2, 4) 6. m1=6, m2=5, m3= 1, m4= 4; P1(1, —2). P2(3, 4). P3(—3, —7), P4(6, —1) Dibuje la región limitada por las curvas y estime visualmente la posición del centroide. Luego, encuentre las coordenadas exactas del centroide. 7. Y = x2, y = 0, x= 2 8. Y = x ½, y = 0, x = 9 9. Y = ex, y = 0. x = 0, x=1 10. Y = 1/x, y = 0, x= 1, x= 2 11. y = sen 2x, y=0, x= 0, x= π/2 12. x=5 – y2, x=0 LIC. SONIA MARITZA MENDOZA L
  • 38. APLICACIONES DE LAS SECCIONES CONICA 1. QUIZ (INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES) INGENIERIA DE PRODUCCION INDUSTRIAL 4 x 4 − 2 x 3 − x 2 + 3x + 1 ∫ x3 + x 2 − x − 1 .dx dx ∫e 2x + ex − 2 (2 + tg 2θ ) sec 2 dθ ∫ 1 + tg 3θ 3x 2 + 2 x − 2 ∫ x −13 .dx QUIZ (INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES) LICENCIATURA EN MATEMATICAS E INFORMATICA 3x 2 + 2 x − 2 ∫ x3 −1 .dx (5 x 3 + 2) ∫x 3 − 5x 2 + 4 x .dx sen.x.dx ∫ cos .x.(1 + cos 2 x) 3x 4 ∫ (x 2 + 1) 2 .dx En los ejercicios 1 a 7 trace la gráfica de la función; luego observando dónde hay saltos en la gráfica, determine los valores de la variable independiente en los cuales la función es discontinua y muestre cuál condición no se cumple de los "Criterios de contnuidad de una función en número". En los ejercicios 8 a 14 demuestre que la función es discontinua en el número a. Luego determine si la discontinuidad es eliminable o esencial. Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca. En los ejercicios 15 a 21, determine los números en los cuales es continua la función dada. LIC. SONIA MARITZA MENDOZA L
  • 39. LIC. SONIA MARITZA MENDOZA L
  • 40. LIC. SONIA MARITZA MENDOZA L
  • 41. SUCESIONES Y SERIES LIC. SONIA MARITZA MENDOZA L
  • 42. LIC. SONIA MARITZA MENDOZA L
  • 43. PROBLEMAS 1) Determinar si las siguientes sucesiones convergen o no. a) a n = n2 −1 { n+2 − n} c)  ( )  ln 2 + e n   nπ  d) a n = sen   b)  n2 +1  3n   2  SOLUCIÓN n2 −1 n2 + 1− 2 2 a) 2 = = 1+ 2 → 1 . La sucesión converge y el límite es 1. n +1 n +1 2 n + 1 n →∞ LIC. SONIA MARITZA MENDOZA L
  • 44. b) n+2− n = ( n+2 − n )( n+2+ n )= n+2−n = 2 →0 n+2 + n n+2 + n n+2 + n n →∞ Converge a 0. ln 2 + e n lím ( = lím en ) = lím 1 = 1 c) n→∞ 3n n →∞ 3 2 + e n ( n →∞  2 )  3 ; la sucesión converge. 3 n + 1 e   nπ  d) a n = sen   no converge pues este seno va adquiriendo alternadamente los valores 1, 0, -1, 0 , no  2  tendiendo a ninguno de ellos en el infinito. 2) Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes series: ( ) ∞ ∞ ∞ ∞ 1 sen n 1 a) ∑ 2 b) ∑ 2 c) ∑ (−1) n n +1 − n d) ∑ sen n  n = 2 n(log n) n =1 n + 1 n =1 n =1   SOLUCIÓN ∞ 1 ∞ 1 a) De acuerdo al criterio de la integral, ∑ n(log n) n =2 2 converge si lo hace ∫ 2 x(log x) 2 dx . Analizando esta última integral impropia tenemos que: ∞ ∞ 1 1 1 ∫2 x(log x) 2 dx = − logx = log 2 . Vemos que la integral converge; por lo tanto, la serie también converge. 2 b) Esta serie tendrá términos positivos y negativos. Analizaremos el valor absoluto del término general. Si la serie de los valores absolutos converge, entonces la serie converge, dado que el valor absoluto de una suma es siempre menor o igual a la suma de los valores absolutos de los sumandos. ∞ ∞ sen n 1 1 sen n 1 ≤ 2 ≤ 2 ⇒∑ 2 ≤∑ 2 n +1 n +1 n 2 n =1 n + 1 n =1 n Pero esta última serie converge, dado que es una serie p con p mayor que 1. Por lo tanto la serie de los valores absolutos converge, y por ende la serie original también converge. ∞ ∑ (−1) n ( ) n + 1 − n =∑ (−1) n ∞ ( n +1 − n )( n +1 + n )= c) n =1 n =1 ( n +1 + n ) ∞ = ∑ (−1) n ( n + 1 − n) ∞ = ∑ ( −1) n 1 n =1 ( n +1 + n ) n =1 ( n +1 + n ) Pero esta última es una serie alternada donde el valor absoluto del término general es decreciente y tiende a cero. Por lo tanto converge. LIC. SONIA MARITZA MENDOZA L
  • 45. d) Podemos hacer la comparación por el paso al límite. En efecto: 1 1  1  sen  L'Hôpital cos  ⋅  − 2  ↓  n  = lím  n   n  = lím cos 1  = 1 lím   n →∞ 1 n →∞  1  n →∞ n − 2  n  n  ∞ ∞ 1 1 El límite existe y es positivo; por ende ∑  n  n=1 n n =1 sen   y ∑ tienen el mismo carácter. Pero como esta última diverge (serie p con p = 1), la primera también lo hace. 3) Hallar el conjunto de valores de x para los que converge la siguiente serie, así como el valor de su suma en términos de x: n ∞  x + 2 ∑ x + 5  n =1   SOLUCIÓN Se trata de una serie geométrica. La misma converge si y sólo si la base de las potencias tiene valor absoluto menor que 1. Esta condición puede escribirse como: x+2 si x + 5 < 0 ⇒ −( x + 5) > x + 2 > x + 5 ⇒ 2 x < −7 ∧ 2 > 5 −1 < <1⇒  , x+5 si x + 5 ≥ 0 ⇒ −( x + 5) < x + 2 < x + 5 ⇒ 2 x > −7 ∧ 2 < 5 donde hemos aplicado las propiedades de pasaje de factores en las desigualdades. La solución del sistema de desigualdades planteado es la unión de las soluciones cuando x + 5 < 0 con las soluciones cuando x + 5 ≥ 0. x+2 Ahora bien; vemos que para resolver las inecuaciones − 1 < < 1 en el caso de que x + 5 < 0, es x+5 necesario que se cumpla que 2 > 5. Por lo tanto para este caso no hay soluciones. En cuanto al otro caso, en el que x + 5 ≥ 0, vemos que se debe cumplir que x > -(7/2). Por lo tanto el conjunto de convergencia es: C = {x/x > -(7/2)} En cuanto a la suma de la serie, recordemos que si r tiene valor absoluto menor que 1, tenemos: ∞ ∞ ∞ ∞ 1 1 r ∑rn = r0 + ∑rn = 1+ ∑rn = n =0 n =1 n =1 1− r ⇒ ∑rn = n =1 1− r −1 = 1− r De esa manera obtuvimos la suma de una serie geométrica que en vez de empezar en n = 0 empieza en n = 1. Aplicándola a nuestro caso es: LIC. SONIA MARITZA MENDOZA L
  • 46. x+2 x+2 n ∞  x + 2 +5 x+ x+2 ∑ x + 5  = x x + 2 = x + 5 − 5 − 2 = 3 n =1   x 1− x+5 x+5 4) Determinar si las siguientes series convergen absoluta o condicionalmente, o bien si no convergen: ∞ nn ∞ n n 3 1 ⋅ 4 1 ⋅ 4 ⋅ 7 1 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ 10 1 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (3n − 2) a) ∑ n! n=1 n =1 b) ∑ (−1) n c) 3 + + 3⋅5 3⋅5⋅ 7 3⋅5⋅7 ⋅9 + ⋅⋅⋅ + 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (2n + 1) ∞ 1 d) ∑ n n =1 (log n) SOLUCIÓN a) Es una serie de términos positivos, por ende convergencia será equivalente a convergencia absoluta. Lo abordamos por el criterio de la razón: (n + 1) n +1 a n +1 (n + 1)! n! (n + 1) n +1 1 (n + 1) n +1 (n + 1) n lím = lím = lím = lím = lím = n →∞ a n →∞ nn n →∞ ( n + 1)! nn n →∞ n + 1 nn n →∞ nn n n! n n  n + 1  1 lím  = lím1 +  = e n →∞  n  n →∞  n El límite da mayor que 1, y por ende la serie diverge. b) Tenemos en este caso: (n + 1) 3 3 3 n +1 = lím (n + 1) 3 = 1 lím (n + 1) = 1 lím n + 1  = 1 3 n 3 a n +1 lím = lím   n →∞ a n n →∞ n3 n →∞ n 3 3 n +1 3 n→∞ n 3 3 n →∞ n  3 n 3 El límite existe y por ende la serie converge uniformemente, y por consiguiente converge. 1 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (3n − 2) ⋅ (3(n + 1) − 2) a 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (2n + 1) ⋅ (2(n + 1) + 1) (3(n + 1) − 2) lím n +1 = lím = lím = n →∞ a n n →∞ 1 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (3n − 2) n →∞ ( 2( n + 1) + 1) c) 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (2n + 1) 3n + 1 3 lím = n →∞ 2n + 3 2 La serie diverge, pues el límite aplicado según el criterio de la razón da mayor que 1. d) Éste es un problema en que aparece como conveniente aplicar el criterio de la raíz. LIC. SONIA MARITZA MENDOZA L
  • 47. 1 1 lím n = lím =0 n →∞ (log n) n →∞ log n El límite existe y es menor que 1, y en consecuencia converge. 5) Calcular: ∞ (−1) n −1 a) ∑ con cuatro cifras decimales exactas. n =1 ( 2n − 1)! ∞ (−1) n −1 b) ∑ con un error menor a 0,00002 n =1 n6 SOLUCIÓN a) En este caso, al requerirse cuatro cifras decimales, el error tendrá que ser menor que 0,0001. Según lo que sabemos de series alternadas, tenemos: 1 1 S − S n ≤ a n +1 = = . Por lo tanto para que ese error cometido al tomar n términos de la (2(n + 1) − 1)! (2n + 1)! serie sea menor que 0,0001, basta con que: 1 < 0,0001 ⇒ (2n + 1)!> 10000 (2n + 1)! Aunque en matemáticas universitarias no se suelen resolver ecuaciones por tanteo, en la vida real no suele haber más remedio. Éste es un caso. Tenemos que ir probando con valores de n hasta dar con uno que la satisfaga. En nuestro caso da n = 4. Por lo tanto: 4 (−1) n −1 1 1 1 S≅∑ = 1− + − = 0,8415 n =1 ( 2n − 1)! 6 120 5040 b) Requerimos que: 1 6 (−1) n −1 < 0,00002 ⇒ (n + 1) 6 > 50000 ⇒ n = 6 ⇒ S ≅ ∑ = 0,98554 (n + 1) 6 n =1 n6 UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER LIC. SONIA MARITZA MENDOZA L
  • 48. TALLER SUCESIONES Y SERIES TEOREMA: ACTIVIDAD 1. Determinar si las siguientes sucesiones convergen o no. an = n2 −1 { n+2 − n } ( )  ln 2 + e n   nπ  a n = sen   a) b) c)   d) n2 +1  3n   2  2. Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes series: ∑ (−1) ( ) ∞ ∞ 1 a) ∑ n(log n) 2 n =2 b) n n +1 − n n =1 ∞ 3. De la serie ∑a 1 n se sabe que la sucesión de las sumas parciales {S n} viene definida por . Hallar : a. El termino general an de la serie. b. El carácter y la suma de la serie 4. Determinar si las siguientes series convergen absoluta o condicionalmente, o bien si no convergen: ∞ nn ∞ n3 1 ⋅ 4 1 ⋅ 4 ⋅ 7 1 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ 10 1 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (3n − 2) a) ∑ n! n =1 b) ∑ (−1) n n =1 3n c) + + 3⋅5 3⋅5⋅ 7 3⋅5⋅ 7 ⋅9 + ⋅⋅⋅ + 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (2n + 1) ∞ 1 d) ∑ (log n) n =1 n 5. Estudia el carácter de las siguientes series: LIC. SONIA MARITZA MENDOZA L
  • 49. LICENCIATURA EN MATEMATICAS E INFORMATICA MATEMATICAS 2 1. Encuentre la suma de la serie 12.Escriba la serie de Maclaurin de geométrica: sen x. 5 – 10/3 + 20/9 – 40/27 + . . . 13. Representa f(x)= sen x como la suma ∞ de su serie de Taylor centrada en 2. La serie ∑2 n =1 2 n 1− n 3 ¿es convergente π/3. 14. Exprese 1 en términos de la suma 1 + x2 o divergente? de una serie de potencias y ∞ determine el intervalo de 3. Halle la suma de la serie ∑x n =0 n , convergencia. 1 15. Desarrolle como una serie de donde |x|<1. (1 + x) 2 4. Demuestre que la serie armónica; potencias. ∞ 16. Pruebe la convergencia o 1 1 1 1 ∑ n = 1 + 2 + 3 + 4 + ... es divergente. ∞ 1 n =1 divergencia de la serie ∑2+3 n 5. Halle la suma de la serie n =1 ∞  17. Determine la convergencia o 3 1  ∑   n(n + 1) + n   ∞ 1 n =1  2  ∞ divergencia de la serie ∑n n =1 1/ 3 1 6. Determine si la ∑n n =1 2 +1 converge 18. Aplique el criterio de la integral ∞ n o diverge. 7. Pruebe la convergencia o a la serie ∑n n =1 2 +1 divergencia de la serie 19.Analice la convergencia o ∞ n2 ∑ (−1) n +1 divergencia de la serie armónica. 20.Analice la convergencia o n =1 n3 + 1 divergencia de la serie p 8. Determinar si es o no es (potencia) con p=2. ∞ 21.Los lados de un cuadrado son de 16 ln n convergente la serie ∑ n =1 n pulgadas de longitud. Un nuevo cuadrado se forma uniendo los puntos medios de los lados del 9. ¿Para qué valores de x la serie cuadrado original, y dos de los ∞ triángulos fuera del segundo ( x − 3) n ∑ n =1 n ? cuadrado están sombreados (ver figura). Determine el área de las regiones sombreadas: 10. Determine el radio y el intervalo a. Si este proceso de convergencia de la serie se repite cinco ∞ veces. (−3) 2 x n ∑ n =0 n +1 b. Si este patrón de sombreado se repite 11. Determine la serie de Maclaurin de infinitamente. la función f(x) = ex y su radio de convergencia LIC. SONIA MARITZA MENDOZA L
  • 50. INGENIERIA DE PRODUCCION INDUSTRIAL MATEMATICAS 2 1. Encuentre la suma de la serie 13.Representa f(x)= sen x como la geométrica: suma de su serie de Taylor centrada 5 – 10/3 + 20/9 – 40/27 + . . . en π/3. ∞ 1 14. Exprese en términos de la suma 2. La serie ∑ n =1 2 n 1− n 2 3 ¿es convergente 1 + x2 de una serie de potencias y determine el intervalo de o divergente? convergencia. ∞ 1 3. Halle la suma de la serie ∑x n =0 n , 15. Desarrolle potencias. (1 + x) 2 como una serie de donde |x|<1. 16. Pruebe la convergencia o 4. Demuestre que la serie armónica; ∞ 1 ∞ 1 1 1 1 divergencia de la serie ∑2+3 ∑ n = 1 + + + + ... es divergente. n =1 n =1 n 2 3 4 17. Determine la convergencia o 5. Halle la suma de la serie ∞ 1 ∑ ∞   3 1   n(n + 1) + n   divergencia de la serie ∑n n =1 1/ 3 n =1  2  18. Aplique el criterio de la integral ∞ 1 ∑n ∞ n 6. Determine si la n =1 2 +1 converge a la serie ∑n n =1 2 +1 o diverge. 19.Analice la convergencia o 7. Pruebe la convergencia o divergencia de la serie armónica. divergencia de la serie 20.Analice la convergencia o ∞ n2 divergencia de la serie p ∑ n =1 (−1) n +1 n3 + 1 (potencia) con p=2. 21. Un triángulo rectángulo XYZ (ver 8. Determinar si es o no es figura) donde el |XY| = z y <X =θ. ∞ Segmentos de recta son ln n convergente la serie ∑ n =1 n continuamente dibujados perpendiculares al triángulo como se muestra en la figura. 9. ¿Para qué valores de x la serie a. Hallar la longitud total de los ∞ segmentos perpendiculares. |Yy1| + ( x − 3) n ∑ n =1 n ? |x1y1| + |x1y2| + . . . en términos de z y θ. b. Si z = 1 y θ = π/6, encuentre la 10. Determine el radio y el intervalo longitud total de los segmentos de convergencia de la serie perpendiculares. ∞ (−3) 2 x n ∑ n =0 n +1 11. Determine la serie de Maclaurin de la función f(x) = ex y su radio de convergencia 12.Escriba la serie de Maclaurin de sen x. LIC. SONIA MARITZA MENDOZA L
  • 51. LIC. SONIA MARITZA MENDOZA L
  • 52. VOLUMEN: “TECNICA DE LAS CAPAS “ Para calcular el volumen de un sólido en revolución también lo podemos hacer por tubos concéntricos: Si abrimos el “recipiente sin tapa” o tubo hueco se forma un rectángulo como aparece en la figura y el volumen de un rectángulo es: largo x ancho x alto. Luego el volumen  Procedimiento : Se corta la región bajo la curva R en n secciones angostas mediante líneas paralelas a L: aproximadamente está dado por: ∆V ≈ ∑ 2π [ p( x).h( x)] dx i =1 Si hacemos ∆x → 0 (n → ∞ ) ; por lo tanto definimos el sólido Eje de giro vertical: Eje de giro horizontal como: b d v = 2π ∫ p( x).h( x) dx v = 2π ∫ p( y ).h( y ) dy a c  El rectángulo es representativo al eje de giro.  Esta técnica se aplica cuando son difíciles de plantear las rebanadas (discos) o arandelas.  El método de los discos el rectángulo representativo es siempre perpendicular al eje de giro. El sólido de revolución S, formado por la rotación de R en torno  El método de las capas el rectángulo representativo es al eje de revolución, se aproxima mediante el conjunto de siempre paralelo al eje de giro; por lo tanto este método es sólidos de revolución formados por los “rectángulos” al girar en más conveniente. torno al eje de giro. Cada rectángulo barre una capa cilíndrica o tubo. Ejemplo : El telescopio portátil. Al plantear la integral definida para el volumen S se realiza una aproximación del volumen Ejemplo: Calcular el volumen de la función y = 1 + x + x al 5 mediante el estimativo del volumen formar el sólido de revolución sobre el intervalo [ 0,1] alrededor  Al hacer girar el rectángulo un la región R (bajo la curva) de en tubo típico de pared del eje y. podemos pensar en un delgada. sin tapa ni fondo: recipiente
  • 53. NOTA: Por el método de discos es bastante complicado 1 debido a que se debe despejar la variable x; por lo tanto v = 2π ∫ x(1 + x + x 5 ).dx procedemos de la siguiente forma: 0 1 1  x 2 x3 x 7  Solución: Graficamos la función y = 1 + x + x 5 v = 2π ∫ ( x + x + x ).dx Luego: v = 2π  + +  2 6 0 2 3 7 0 1 1 1   0 0 0  41 v = 2π  + +  − 2π  + +  = π u3 2 3 7  2 3 7  21 EJERCICIOS 1. Utilizar el método de discos y de capas para calcular el volumen del sólido, generado al girar, en torno al eje y , la región acotada por las gráficas de y = x + 1 , y = 0 , x = 0 2 y x = 0 . ¿Qué resultados se obtuvo? ¿Qué puedes concluir? Al extraer un rectángulo en revolución formando la siguiente 2. Calcular por el método de las capas, el volumen del sólido figura: generado al girar la región plana dada alrededor de la recta que se especifica. a. y = x2 , y = 0 , x = 4 alrededor del eje y b. y = 4x – x2 , y = 0, en torno al eje y c. y = 2 – x , x = 2 y x = 4 en torno al eje x d. x2 = y – 2 y 2y – x – 2 =0 ; por las rectas verticales x = 0 y x = 1. e. y = x2 , y = 4x – x2 , en torno a la recta x = 2. Para calcular el volumen se procede de la siguiente forma: b v = ∫ 2πp ( x ).h( x).dx a U.F.P.S. LIC. MAT. E INFORMAT 1. Trace la gráfica de f por medio de DIAGNOSTICO - MATEMATICAS II la obtención de lo siguiente: los NOMBRE:________________CODIGO: _______
  • 54. extremos relativos de f; los puntos 1. Trace la gráfica de f por medio de de inflexión de la gráfica de f; los la obtención de lo siguiente: los 1. Trace la gráfica de f por medio de intervalos en los que f es creciente; extremos relativos de f; los puntos la obtención de lo siguiente: los los intervalos en los que f es de inflexión de la gráfica de f; los extremos relativos de f; los puntos decreciente; las zonas en las que la intervalos en los que f es creciente; de inflexión de la gráfica de f; los gráfica es cóncava hacia arriba; la los intervalos en los que f es intervalos en los que f es creciente; zona en que la gráfica es cóncava decreciente; las zonas en las que la los intervalos en los que f es hacia abajo; la pendiente de gráfica es cóncava hacia arriba; la decreciente; las zonas en las que la cualquier tangente de inflexión; las zona en que la gráfica es cóncava gráfica es cóncava hacia arriba; la asíntotas horizontales, verticales y hacia abajo; la pendiente de zona en que la gráfica es cóncava oblicuas, si es que existen cualquier tangente de inflexión; las hacia abajo; la pendiente de asíntotas horizontales, verticales y cualquier tangente de inflexión; las oblicuas, si es que existen asíntotas horizontales, verticales y oblicuas, si es que existen Realice: Realice: 2. Realice: 2. 2. 3. 3. 4. 3. 5. 4. 4. 5. 5. U.F.P.S. LIC. MAT. E INFORMAT DIAGNOSTICO - MATEMATICAS II NOMBRE:________________CODIGO: _______ U.F.P.S. LIC. MAT. E INFORMAT DIAGNOSTICO - MATEMATICAS II U.F.P.S. ING. PROD. INDUSTRIAL NOMBRE:________________CODIGO: _______ DIAGNOSTICO - MATEMATICAS II
  • 55. NOMBRE:________________CODIGO: _______ NOMBRE:________________CODIGO: _______ NOMBRE:________________CODIGO: _______ 1. Determinar si la siguiente función es o no 1. Determinar si la siguiente función es o no 1. Determinar si la siguiente función es o no continua en a. Si la discontinuidad es continua en a. Si la discontinuidad es continua en a. Si la discontinuidad es removible, hallar una función g que removible, hallar una función g que removible, hallar una función g que coincida con f para x ≠ a y que sea coincida con f para x ≠ a y que sea coincida con f para x ≠ a y que sea continua en toda la recta real R. continua en toda la recta real R. continua en toda la recta real R. 2. En una fábrica de cajas de estaño se 2. En una fábrica de cajas de estaño se 2. En una fábrica de cajas de estaño se desea emplear piezas de 10 x 10cm, desea emplear piezas de 10 x 10cm, desea emplear piezas de 10 x 10cm, cortando cuadrados iguales en las cortando cuadrados iguales en las cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando los lados. Calcule esquinas y doblando los lados. Calcule esquinas y doblando los lados. Calcule la longitud necesaria del lado del la longitud necesaria del lado del la longitud necesaria del lado del cuadrado por cortar si se desea obtener cuadrado por cortar si se desea obtener cuadrado por cortar si se desea obtener de cada pieza de estaño una caja sin de cada pieza de estaño una caja sin de cada pieza de estaño una caja sin tapa del máximo volumen posible. tapa del máximo volumen posible. tapa del máximo volumen posible. 3. Obtenga : 3. Obtenga : 3. Obtenga : 4. Un alambre de 100 cm. de longitud, se 4. Un alambre de 100 cm. de longitud, se 4. Un alambre de 100 cm. de longitud, se corta en dos partes formando con una corta en dos partes formando con una corta en dos partes formando con una de ellas un círculo (perímetro de circulo de ellas un círculo (perímetro de circulo de ellas un círculo (perímetro de circulo es 2.π.r) y con la otra un cuadrado. es 2.π.r) y con la otra un cuadrado. es 2.π.r) y con la otra un cuadrado. Cómo debe ser cortado el alambre Cómo debe ser cortado el alambre Cómo debe ser cortado el alambre para que: para que: para que: a. La suma de las áreas de las dos a. La suma de las áreas de las dos c. La suma de las áreas de las dos figuras sea máxima. figuras sea máxima. figuras sea máxima. b. La suma de las áreas de las dos b. La suma de las áreas de las dos d. La suma de las áreas de las dos figuras sea mínima. figuras sea mínima. figuras sea mínima. 5. Realice: 5. Realice: 5. Realice: U.F.P.S. ING. PROD. INDUSTRIAL U.F.P.S. ING. PROD. INDUSTRIAL UNIV. FRANCISCO DE PAULA SANTANDER DIAGNOSTICO - MATEMATICAS II DIAGNOSTICO - MATEMATICAS II DIAGNOSTICO - MATEMATICAS II
  • 56. NOMBRE:________________CODIGO: _______ DIAGNOSTICO - MATEMATICAS II DIAGNOSTICO - MATEMATICAS II x +12 NOMBRE:________________CODIGO: _______ NOMBRE:________________CODIGO: _______ 2. Dada la función f ( x) = . x2 + 1 x2 + 1 x2 − 4 1. Dada la función f ( x) = . 1. Dada la función f ( x) = 2 . Determine: x2 − 4 x −4 Determine: Determine: 1. Las asíntotas que posee la función f(x). a. Las asíntotas que posee la función 2. Los intervalos en los que la función es 1. Las asíntotas que posee la función f(x). f(x). creciente y en los que decrece. 2. Los intervalos en los que la función es b. Los intervalos en los que la función es 3. El tipo de concavidad en todos los creciente y en los que decrece. creciente y en los que decrece. intervalos de la función. 3. El tipo de concavidad en todos los c. El tipo de concavidad en todos los 4. Los extremos existentes y el tipo. intervalos de la función. intervalos de la función. 5. La gráfica de la función. 4. Los extremos existentes y el tipo. d. Los extremos existentes y el tipo. 3. Realice: 5. La gráfica de la función. e. La gráfica de la función. Lim 2 + x − 2 2. Realice: 2. Realice: x→2 7+ x −3 Lim 2+ x −2 Lim 2+ x −2 1. La ecuación de la pendiente de la x→2 7+ x −3 x→2 7+ x −3 recta que es tangente a la gráfica de a. La ecuación de la pendiente de la a. La ecuación de la pendiente de la la función x2y3 – 6 = 5y3 + x recta que es tangente a la gráfica de recta que es tangente a la gráfica 2. La derivada de f(x). la función x2y3 – 6 = 5y3 + x de la función x2y3 – 6 = 5y3 + x Siendo f(x) = (g o h) (x) b. La derivada de f(x). b. La derivada de f(x). Donde:g(u) = u3 – 3u2 + 1y h(x) = x2 + 2. Siendo f(x) = (g o h) (x) Siendo f(x) = (g o h) (x) Donde: g(u) = u3 – 3u2 + 1y h(x) = x2 + 2. Donde: g(u) = u3 – 3u2 + 1y h(x)=x2+2. 4. Encuentre la segunda derivada de la función: h(z) = (3z6 + 5z)3. (7z2 + 6) 3. Encuentre la segunda derivada de la 3. Encuentre la segunda derivada de la 5. La figura muestra la gráfica de una función: h(z) = (3z6 + 5z)3. (7z2 + 6) función: h(z) = (3z6 + 5z)3. (7z2 + 6) función g(x), continua en su dominio. 4. La figura muestra la gráfica de una 4. La figura muestra la gráfica de una Analice la gráfica función g(x), continua en su dominio. función g(x), continua en su dominio. Analice la gráfica Analice la gráfica y y y 9 9 9 3 3 3 x x x -15 -5 5 15 -15 -5 5 15 -15 -5 5 15 -6 -6 -6 -12 -12 -12 UNIV. FRANCISCO DE PAULA SANTANDER UNIV. FRANCISCO DE PAULA SANTANDER U.F.P.S. DIAGNOSTICO - MATEMATICAS II
  • 57. NOMBRE:________________CODIGO: _______ 3. Se desea cercar un terreno rectangular, x +1 2 la cual en uno de sus lados está limitada 1. Dada la función f ( x) = . por la orilla de un río. El área de esta x2 − 4 zona debe ser de 4000 hectáreas2 y no es y a. Determine todas las características necesario construir cerca de lo largo del necesarias para realizar la gráfica río. ¿Cuántas hectáreas del material (asíntotas, intervalos de monotonía, 9 para cercar se necesitan como mínimo concavidad y extremos). para realizar este trabajo? b. Realice el bosquejo de la función. 3 4. La figura muestra la gráfica de una 2. Realice: x función g(x), continua en su dominio. -15 -5 5 15 Analice la gráfica Lim 2 + x − 2 -6 x→2 7+ x −3 -12 a. La ecuación de la pendiente de la recta que es tangente a la gráfica de la y función x2y3 – 6 = 5y3 + x b. La derivada de f(x). Siendo f(x)=(g o h) 9 (x). Donde: g(u) = u3 – 3u2 + 1y h(x) 2 = x + 2. 3 3. Se desea cercar un terreno rectangular, la cual en uno de sus lados está limitada x por la orilla de un río. El área de esta U.F.P.S. DIAGNOSTICO - MATEMATICAS II -15 -5 5 15 NOMBRE:________________CODIGO: _______ -6 zona debe ser de 4000 hectáreas2 y no es necesario construir cerca de lo largo del x2 + 1 1. Dada la función f ( x) = . -12 río. ¿Cuántas hectáreas del material x2 − 4 para cercar se necesitan como mínimo a. Determine todas las características para realizar este trabajo? necesarias para realizar la gráfica 4. La figura muestra la gráfica de una (asíntotas, intervalos de monotonía, función g(x), continua en su dominio concavidad y extremos). Analice la gráfica b. Realice el bosquejo de la función. 2. Realice: Lim 2 + x − 2 U.F.P.S. DIAGNOSTICO - MATEMATICAS II a. NOMBRE:________________CODIGO: _______ x→2 7+ x −3 b. La ecuación de la pendiente de la x2 + 1 1. Dada la función f ( x) = . recta que es tangente a la gráfica de x2 − 4 la función x2y3 – 6 = 5y3 + x a. Determine todas las características c. La derivada de f(x). Siendo f(x)=(g o h) necesarias para realizar la gráfica (x). Donde: g(u) = u3 – 3u2 + 1y h(x) (asíntotas, intervalos de monotonía, 2 = x + 2. concavidad y extremos). b. Realice el bosquejo de la función.
  • 58. 2. Realice: 1 si x = 0 1 si x = 0 Lim 2 + x − 2 x→2 7+ x −3 2. Dada la función g(x) = 9 – x2. Determine: 2. Dada la función g(x) = 9 – x2. Determine: a. La ecuación de la pendiente de la a. El dominio y rango de la función gx). a. El dominio y rango de la función gx). recta que es tangente a la gráfica de b. La gráfica de g (x) que incluya la b. La gráfica de g (x) que incluya la la función x2y3 – 6 = 5y3 + x anterior información. anterior información. b. La derivada de f(x). Siendo f(x)=(g o h) c. La función inversa de g(x). c. La función inversa de g(x). (x) d. El dominio y el rango de la función d. El dominio y el rango de la función Donde: g(u) = u3 – 3u2 + 1y h(x) = x2 + inversa. inversa. 2. 3. Se desea cercar un terreno rectangular, 3. En el transcurso de la proliferación de 3. En el transcurso de la proliferación de la cual en uno de sus lados está limitada una epidemia, la proporción de una epidemia, la proporción de por la orilla de un río. El área de esta especies infectadas E(t) después de un especies infectadas E(t) después de un zona debe ser de 4000 hectáreas2 y no es t 2 − 5t + 7 t 2 − 5t + 7 necesario construir cerca de lo largo del tiempo t es igual a: E (t ) = (t tiempo t es igual a: E (t ) = (t río. ¿Cuántas hectáreas del material 2t 2t para cercar se necesitan como mínimo está medido en meses). Determine: está medido en meses). Determine: para realizar este trabajo? a. El tiempo en el cual se alcanza la a. El tiempo en el cual se alcanza la 4. La figura muestra la gráfica de una máxima o mínima proporción de máxima o mínima proporción de función g(x), continua en su dominio. especies que llegan a infectarse. especies que llegan a infectarse. Analice la gráfica Aclare si es máxima o mínima. Aclare si es máxima o mínima. UNIV. FRANCISCO DE PAULA SANTANDER b. El intervalo del tiempo en el cual el b. El intervalo del tiempo en el cual el DIAGNOSTICO - MATEMATICAS II número de especies infectadas número de especies infectadas NOMBRE:________________CODIGO: _______ aumenta (creciente). aumenta (creciente). 1. y 4. Los puntos A (1, 11/2), B (-1,3) y C (-3, 5) 4. Los puntos A (1, 11/2), B (-1,3) y C (-3, 5) son los vértices de un triángulo. Verificar son los vértices de un triángulo. Verificar 9 si este es un triángulo rectángulo. si este es un triángulo rectángulo. 3 5. Encuentre la segunda derivada de la 5. Encuentre la segunda derivada de la x función: h(z) = (3z6 + 5z)3. (7z2 + 6) función: h(z) = (3z6 + 5z)3. (7z2 + 6) -15 -5 5 15 -6 UNIV. FRANCISCO DE PAULA SANTANDER UNIV. FRANCISCO DE PAULA SANTANDER DIAGNOSTICO - MATEMATICAS II DIAGNOSTICO - MATEMATICAS II -12 NOMBRE:________________CODIGO: _______ NOMBRE:________________CODIGO: _______ Analice la continuidad para la función f(x). 1. Analice la continuidad para la función 1. Analice la continuidad para la función Si es discontinua, aclare de que tipo. f(x). Si es discontinua, aclare de que f(x). Si es discontinua, aclare de que Argumente. tipo. Argumente. tipo. Argumente. 1/ x2 si x ≠0 1/ x2 si x ≠0 1/ x2 si x ≠0 f(x)= f(x)= f(x)=
  • 59. 1 si x = 0 U.F.P.S. CALCULO II LIC. MAT. E INF. U.F.P.S. CALCULO II LIC. MAT. E INF. QUIZ - ANTIDERIVACION QUIZ - ANTIDERIVACION NOMBRE:________________COD.________ NOMBRE:________________COD.________ 2. Dada la función g(x) = 9 – x2. Determine: 3.dx ∫ x 2 − 5x + 6 x2 − 1 a. El dominio y rango de la función gx). b. La gráfica de g (x) que incluya la 1. ∫ 4x −2 2. ∫ x−3 .dx 1. cos(π / 2)dθ 2. ∫ x3 / 2 dx anterior información. c. La función inversa de g(x). d. El dominio y el rango de la función U.F.P.S. CALCULO II LIC. MAT. E INF. U.F.P.S. CALCULO II LIC. MAT. E INF. inversa. QUIZ - ANTIDERIVACION QUIZ - ANTIDERIVACION 3. En el transcurso de la proliferación de NOMBRE:________________COD.________ NOMBRE:________________COD.________ 3.dx x 2 − 5x + 6 x2 − 1 ∫ una epidemia, la proporción de especies infectadas E(t) después de un 1. ∫ 4x −2 2. ∫ x−3 .dx 1. cos(π / 2)dθ 2. ∫ x3 / 2 dx t 2 − 5t + 7 tiempo t es igual a: E (t ) = (t 2t está medido en meses). Determine: U.F.P.S. CALCULO II LIC. MAT. E INF. U.F.P.S. CALCULO II LIC. MAT. E INF. a. El tiempo en el cual se alcanza la QUIZ - ANTIDERIVACION QUIZ - ANTIDERIVACION máxima o mínima proporción de NOMBRE:________________COD.________ NOMBRE:________________COD.________ especies que llegan a infectarse. 3.dx x 2 − 5x + 6 ∫ x2 − 1 ∫ 4x Aclare si es máxima o mínima. b. El intervalo del tiempo en el cual el número de especies infectadas 1. −2 2. ∫ x−3 .dx 1. cos(π / 2)dθ 2. ∫ x3 / 2 dx aumenta (creciente). 4. Los puntos A (1, 11/2), B (-1,3) y C (-3, 5) U.F.P.S. CALCULO II LIC. MAT. E INF. U.F.P.S. CALCULO II LIC. MAT. E INF. son los vértices de un triángulo. Verificar QUIZ - ANTIDERIVACION QUIZ - ANTIDERIVACION si este es un triángulo rectángulo. NOMBRE:________________COD.________ NOMBRE:________________COD.________ 3.dx x 2 − 5x + 6 5. Encuentre la segunda derivada de la función: h(z) = (3z6 + 5z)3. (7z2 + 6) 1. ∫ 4x −2 2. ∫ x−3 .dx 1. ∫ cos(π / 2)dθ 2. ∫ x2 − 1 x3 / 2 dx U.F.P.S. CALCULO II LIC. MAT. E INF. U.F.P.S. CALCULO II LIC. MAT. E INF. U.F.P.S. CALCULO II LIC. MAT. E INF. QUIZ - ANTIDERIVACION QUIZ - ANTIDERIVACION QUIZ - ANTIDERIVACION NOMBRE:________________COD.________ NOMBRE:________________COD.________ NOMBRE:________________COD.________ 3.dx x 2 − 5x + 6 ∫ x2 − 1 1. ∫ 4x −2 2. ∫ x−3 .dx 1. cos(π / 2)dθ 2. ∫ x3 / 2 dx 1. ∫ 4x 3.dx −2 2. ∫ x 2 − 5x + 6 .dx x−3
  • 60. U.F.P.S. CALCULO II LIC. MAT. E INF. 2. El valor de reventa de cierta maquinaria 2. El valor de reventa de cierta maquinaria QUIZ - ANTIDERIVACION industrial decrece durante un periodo industrial decrece durante un periodo NOMBRE:________________COD.________ de 15 años a un ritmo que depende de de 15 años a un ritmo que depende de la edad de la maquinaria. Cuando la la edad de la maquinaria. Cuando la 3.dx x 2 − 5x + 6 1. ∫ 4x −2 2. ∫ x−3 .dx maquinaria tiene x años, el ritmo al que está cambiando su valor es de 1200. maquinaria tiene x años, el ritmo al que está cambiando su valor es de 1200. (x–15) dólares por año. Exprese el valor (x–15) dólares por año. Exprese el valor de la maquinaria como una función de de la maquinaria como una función de su edad y el valor inicial, si la maquinaria su edad y el valor inicial, si la maquinaria U.F.P.S. CALCULO II LIC. MAT. E INF. estaba valorada originalmente en estaba valorada originalmente en QUIZ - ANTIDERIVACION $150.000 dólares. ¿Cuánto valdrá $150.000 dólares. ¿Cuánto valdrá NOMBRE:________________COD.________ cuando tenga 15 años? cuando tenga 15 años? 3.dx x 2 − 5x + 6 U.F.P.S. CALCULO II QUIZ – EC. DIFER. (B) U.F.P.S. CALCULO II QUIZ – EC. DIFER. (B) 1. ∫ 4x −2 2. ∫ x−3 .dx NOMBRE:________________COD.________ 1. El fabricante de un automóvil indica en NOMBRE:________________COD.________ 1. El fabricante de un automóvil indica en su publicidad que el vehículo tarda 13 su publicidad que el vehículo tarda 13 segundos en acelerar desde 25 segundos en acelerar desde 25 U.F.P.S. CALCULO II LIC. MAT. E INF. kilómetros por hora hasta 80 kilómetros kilómetros por hora hasta 80 kilómetros QUIZ - ANTIDERIVACION por hora. Suponiendo aceleración por hora. Suponiendo aceleración NOMBRE:________________COD.________ constante, calcular la aceleración en constante, calcular la aceleración en m/s2 y la distancia que recorre el m/s2 y la distancia que recorre el ∫ x2 − 1 1. cos(π / 2)dθ 2. ∫ dx automóvil durante los 13 segundos. automóvil durante los 13 segundos. x3 / 2 2. Un proyectil es lanzado verticalmente 2. Un proyectil es lanzado verticalmente desde el suelo a 1200 m/s en línea recta desde el suelo a 1200 m/s en línea recta (solo actúa la fuerza de gravedad). Sea (solo actúa la fuerza de gravedad). Sea f(t) la altura en metros que alcanza el f(t) la altura en metros que alcanza el U.F.P.S. CALCULO II LIC. MAT. E INF. proyectil en t segundos después del proyectil en t segundos después del QUIZ - ANTIDERIVACION lanzamiento. La altura del proyectil se lanzamiento. La altura del proyectil se NOMBRE:________________COD.________ representa por la siguiente ecuación: representa por la siguiente ecuación: x2 − 1 ∫ f(t) = 1200.t-5t2 . Determinar la velocidad f(t) = 1200.t-5t2 . Determinar la velocidad 1. cos(π / 2)dθ 2. ∫ dx del proyectil en función de cada del proyectil en función de cada x3 / 2 instante del recorrido, además de la instante del recorrido, además de la altura máxima. altura máxima. U.F.P.S. CALCULO II QUIZ – EC. DIFER. (A) NOMBRE:________________COD.________ U.F.P.S. CALCULO II QUIZ – EC. DIFER. (A) U.F.P.S. CALCULO II QUIZ – EC. DIFER. (A) 1. Una partícula se mueve a lo largo del NOMBRE:________________COD.________ NOMBRE:________________COD.________ 1 1. Una partícula se mueve a lo largo del 1. Una partícula se mueve a lo largo del eje x a una velocidad de v(t ) = t , t>0. 1 1 eje x a una velocidad de v(t ) = t , t>0. eje x a una velocidad de v(t ) = t , t>0. En el tiempo t = 1, su posición es x = 4. Encontrar las funciones posición y la En el tiempo t = 1, su posición es x = 4. En el tiempo t = 1, su posición es x = 4. aceleración de la partícula. Encontrar las funciones posición y la Encontrar las funciones posición y la aceleración de la partícula. aceleración de la partícula.
  • 61. 2. El valor de reventa de cierta maquinaria 3 1 En el tiempo t =1, su posición es x=10. industrial decrece durante un periodo 2. Aproximar la integral definida de ∫x 3 .dx Encontrar las funciones posición y la aceleración de la particular. de 15 años a un ritmo que depende de 1 la edad de la maquinaria. Cuando la utilizando la regla de los trapecios y la 3 1 maquinaria tiene x años, el ritmo al que regla de Simpson con n=6. Encuentre 2. Aproximar la integral definida de ∫ x .dx 3 está cambiando su valor es de 1200. una expresión para el área como un 0 (x–15) dólares por año. Exprese el valor límite. Concluya con los resultados utilizando la regla de los trapecios y la de la maquinaria como una función de obtenidos. regla de Simpson con n=6. Encuentre su edad y el valor inicial, si la maquinaria n una expresión para el área como un estaba valorada originalmente en 3. Calcule la suma de Riemann ∑ f ( x )∆xi i límite. Concluya con los resultados $150.000 dólares. ¿Cuánto valdrá i =1 obtenidos. cuando tenga 15 años? para los datos dados. f(x) = -x /2 + 3; 3. Emplear el proceso de límite para U.F.P.S. CALCULO II QUIZ – EC. DIFER. (B) P: -3 < -1.3 < 0 < 0.9 < 2; determinar el {área de la región entre la NOMBRE:________________COD.________ x1=-2, x2= -0.5, x3=0, x4=2. gráfica de la función y el eje y el 1. El fabricante de un automóvil indica en 4. Dada la función f(x) como en la intervalo dado. Dibuje la región. y3-x+1; su publicidad que el vehículo tarda 13 siguiente gráfica, encuentre la función 1 ≤ x ≤ 2. x segundos en acelerar desde 25 4. Dada la función f(x) como en la kilómetros por hora hasta 80 kilómetros G ( x) = ∫ f (t ).dt , grafíquela y verifique que siguiente gráfica, encuentre la función por hora. Suponiendo aceleración 1 x constante, calcular la aceleración en m/s2 y la distancia que recorre el G es continua y que cumple con el Teorema Fundamental del Cálculo. G ( x) = ∫ f (t ).dt , grafíquela y verifique que 1 automóvil durante los 13 segundos. G es continua y que cumple con el 2. Un proyectil es lanzado verticalmente Teorema Fundamental del Cálculo. desde el suelo a 1200 m/s en línea recta (solo actúa la fuerza de gravedad). Sea f(t) la altura en metros que alcanza el proyectil en t segundos después del lanzamiento. La altura del proyectil se representa por la siguiente ecuación: 5. Evaluar: f(t) = 1200.t-5t2 . Determinar la velocidad 6 4 5dx del proyectil en función de cada instante del recorrido, además de la a. ∫ 0 x (6 − x).x.dx c. ∫3+ x 2 5. Evaluar: 2 4 altura máxima. 5dx r b. r.∫ (r − x )dx z a. ∫ x (6 − x).x.dx c. ∫3+ x ∫ 2 2 2z d. a .dz 0 2 U.F.P.S. INGENIERIA MATEMATICAS II 0 0 r z NOMBRE:________CODIGO:_____FECHA:___ b. r.∫ ( x − r )dx ∫ 2 2 3z 1. Una particular se mueve a lo largo del d. a .dz U.F.P.S. INGENIERIA MATEMATICAS II 0 1 0 eje x a una velocidad de v(t ) = t , t>0. NOMBRE:________CODIGO:_____FECHA:___ 1. Una particular se mueve a lo largo del En el tiempo t =1, su posición es x=4. U.F.P.S. INGENIERIA MATEMATICAS II 1 Encontrar las funciones posición y la eje x a una velocidad de v(t ) = t , t>0. NOMBRE:________CODIGO:_____FECHA:___ aceleración de la particular.
  • 62. 1. Una particular se mueve a lo largo del MATEMATICAS II–(1ºP)FECHA:______ U.F.P.S. LIC. MAT. E INF. 1 NOMBRE:____________CODIGO:______ MATEMATICAS II–(1ºP)FECHA:______ eje x a una velocidad de v(t ) = t , t>0.  1  n NOMBRE:____________CODIGO:______ En el tiempo t =2, su posición es x=4. 1. Explique por qué  3 ∑ . n  i=1 i2 debe ser 1. Demuestre que si f es un Encontrar las funciones posición y la 1 polinomio de grado 3 o menor, ∫ x .dx 2 aceleración de la particular. una buena aproximación a la regla de Simpson da el valor 2. Determinar el valor de n tal que el error 0 b de aproximación de la integral definida sea menor que 0.00001 utilizando la para n grande. Calcule expresión de la suma para n=10 y la exacto de ∫ f ( x).dx a (V.1.0) regla de regla de Simpson y trapecios. evalúe por medio del teorema n  1  2 fundamental del calculo. Compare 2. Explique por qué  3 ∑ . n  i= i2 debe ∫ resultados y concluya. 2 1 x + 2 .dx (V.1.5) ser una buena aproximación a 0 1 2. La tasa de población dP/dt de una ∫ x .dx n 2 3. Calcule la suma de Riemann ∑ i =1 f ( xi )∆xi población de bacterias proporcional a la raíz cuadrada de es 0 para n grande. Calcule t, donde P es el tamaño de la la expresión de la suma para para los datos dados. f(x) = -x /2 + 3; P: -3 < -1.3 < 0 < 0.9 < 2; población y t es el tiempo en días n=5 y evalúe por medio del (0≤ t ≤ 10). El tamaño inicial de teorema fundamental del x1=-2, x2= -0.5, x3=0, x4=2. la población es igual a 500. calculo. Compare resultados y 4. Dada la función f(x) como en la Después de un día la población ha concluya. (V.1.5) siguiente gráfica, encuentre la función crecido hasta 600. Escriba una x ecuación diferencial para P en el 3. La tasa de población dP/dt de G ( x) = ∫ f (t ).dt , grafíquela y verifique que 1 instante t. Determine población en función del tiempo la una población de bacterias es proporcional a el doble de la G es continua y que cumple con el transcurrido. Estime el tamaño de raíz cuadrada de t, donde P es Teorema Fundamental del Cálculo. la población después de una el tamaño de la población y t semana. (V.1.5) es el tiempo en días (0≤ t ≤ 3. Evalúe la suma de Riemman para 10). El tamaño inicial de la f(x) = 2 – x2, 0 ≤ x ≤ 2, con población es igual a 500. cuatro subintervalos; tome Después de un día la población cualquiera de los puntos extremos ha crecido hasta 600. Escriba como los puntos muestra. una ecuación diferencial para P (V.1.0) en el instante t. Determine la 4. Demuestre que si f es un polinomio población en función del tiempo 5. Evaluar: de grado 3 o menor, la regla de transcurrido. Estime el tamaño 4 5dx 6 Simpson da el valor exacto de de la población después de una a. ∫ 7+x c. ∫ x (6 − x).x.dx b semana. (V.1.5) 2 2r 0 4 ∫ f ( x).dx a (V.1.0) 4. Evalúe la suma de Riemman para f(x) = 2 – x2, 0 ≤ x ≤ 2, con b. r. ∫ (r − x )dx ∫ 2 2 2z d. a .dz 0 cinco subintervalos; tome 0 U.F.P.S. LIC. MAT. E INF. cualquiera de los puntos
  • 63. extremos como los puntos U.F.P.S. ING. PROD. IND. MATEMATICA II PRIMER PREVIO muestra. (V.1.0) MATEMATICA II PRIMER PREVIO 1. Estime el área bajo la gráfica 1. La tasa de producción dA/dt de f(x)=sen x desde x=π/6 hasta x=π/2 cierto articulo es proporcional a la raíz con 4 rectángulos de aproximación cuadrada de t, donde A es la circunscritos. (V.1.0) cantidad de artículos producidos y t 2. Hallar la suma de Demuestre que: es el tiempo en días (0 ≤ t ≤ 30). La dx 1 x cantidad inicial de artículos es igual a ∫a 2 +x2 = a arc tang +C a 500. Después de un día la producción 3. Calcular el área de la región bajo la ha crecido hasta 600. Escriba una curva aplicando el método de Simpson ecuación diferencial para A en el o el método de Trapecio; siendo f(x) instante t. Determine la producción =1+x2 en [0, 1] para n = 5. en función del tiempo transcurrido. 4. Estime la cantidad de artículos Demuestre después de una semana. (V.1.5) que para y= f(x) = x2- 4x + 3 2. Hallar la suma de Riemman que se el sugiere a la gráfica y exprese como un límite. (V.1.0) y= f(x) = x2- 4x + 3 movimiento rectilíneo con aceleración constante a, velocidad inicial vo y desplazamiento inicial x o, el desplazamiento, en el momento t es 1 2 x= at + vo .t + xo 3. Aproximar la integral definida de 2 3 5. Hallar la suma de Riemman asociada a 1 ∫ 1 x .dx utilizando la regla de los f(x) = 2x – x3 en el intervalo [1, 3] con infinitos intervalos. trapecios y la regla de Simpson con 6. Evaluar: n=5. Encuentre una expresión para el área como un límite. Concluya con los resultados obtenidos. (V.1.5) 4. Estime el área bajo la gráfica f(x)=sen x desde x=π/6 hasta x=π/2 con 4 rectángulos de aproximación inscritos. (V.1.0) U.F.P.S. ING. PROD. IND.
  • 64. ∫ (1 − x) 6 en función del tiempo transcurrido. 1. Halle x .dx a. ∫ x (6 − x).x.dx b. Estime la cantidad de artículos después de una semana. 0 (V.1.5) dy r 4 5dx U.F.P.S. ING. PROD. IND. 2. Desarrolle ∫ 9 y 2 −16 ∫ r. (r 2 − x 2 )dx 0 c. ∫3+ x 2 d. MATEMATICA II PRIMER PREVIO 1. Aproximar la integral definida de 3 z 1 3. Demuestre que: ∫ .dx utilizando la regla de los ∫a −1 2z .dz x ∫ cot g u.du = cot g n −1u − ∫ cot g n − 2u.du n 1 0 trapecios y la regla de Simpson con n −1 7. Riemman que se sugiere a la gráfica y n=6. Encuentre una expresión para el x 2 dx exprese como un límite. área como un límite. Concluya con 4. Resuelva ∫ ( 4 − x 2 )3 / 2 (V.1.0) los resultados obtenidos. (V.1.5) 8. Aproximar la integral definida de 2. Hallar la suma de Riemman que se 3 U.F.P.S. CALCULO II 1 sugiere a la gráfica y exprese como ∫ 1 x .dx utilizando la regla de los un límite. (V.1.0) 1º Previo - Técnicas de integración NOMBRE:________________COD.________ 3. La tasa de producción dA/dt de trapecios y la regla de Simpson con cierto articulo es proporcional al doble n=4. Encuentre una expresión para el área como un límite. Concluya con de la raíz cuadrada de t, donde A es la cantidad de artículos producidos y t 1. Halle ∫ (1 − x) x .dx los resultados obtenidos. (V.1.5) dy 9. La tasa de producción dA/dt de cierto articulo es proporcional a la raíz es el tiempo en días (0 ≤ t ≤ 30). La cantidad inicial de artículos es igual a 2. Desarrolle ∫ 9 y 2 −16 500. Después de un día la producción cuadrada del doble de t, donde A es ha crecido hasta 600. Escriba una la cantidad de artículos producidos y t ecuación diferencial para A en el 3. Demuestre que: es el tiempo en días (0 ≤ t ≤ 30). La instante t. Determine la producción −1 ∫ cot g u.du = n − 1 cot g u − ∫ cot g n − 2u.du n n −1 cantidad inicial de artículos es igual a en función del tiempo transcurrido. 500. Después de un día la producción Estime la cantidad de artículos ha crecido hasta 600. Escriba una x 2 dx después de una semana. (V.1.5) 4. Resuelva ∫ 4. Estime el área bajo la gráfica ( 4 − x 2 )3 / 2 y= f(x) = x2- 4x + 3 f(x)=sen x desde x= π/2 hasta x = π con 4 rectángulos de aproximación inscritos. (V.1.0) U.F.P.S. CALCULO II U.F.P.S. CALCULO II 1º Previo - Técnicas de integración 1º Previo - Técnicas de integración NOMBRE:________________ COD.________ NOMBRE:________________COD.________ 1. Demuestre que: ecuación diferencial para A en el instante t. Determine la producción
  • 65. −1 x.dx ∫ cot g u.du = n − 1 cot g u − ∫ cot g n − 2u.du ∫ n n −1 2. Solucione x 2 − 2x + 5 2. Halle ∫ x 2 .e3 x dx 3. Desarrolle: dx ∫ cos6 4 x sen 2 x 3. Desarrolle ∫ sen x dx a.dx 4. Resuelva ∫ a−x ∫ [(a ) −1 dx ] 2x 0 4. Resuelva U.F.P.S. CALCULO II U.F.P.S. CALCULO II 1º Previo - Técnicas de integración 1º Previo - Técnicas de integración NOMBRE:________________COD.________ NOMBRE:________________COD.________ 1. Demuestre que: −1 1. Halle ∫ x ln( x 2 + 9).dx ∫ cot g u.du = n − 1 cot g u − ∫ cot g n − 2u.du n n −1 x.dx 2. Halle ∫ x .e 2 3x dx 2. Solucione ∫ x 2 − 2x + 5 sen 2 x dx 3. Desarrolle ∫ sen x dx 3. Desarrolle: ∫ cos6 4 x ∫ [(a ) −1 dx ] a.dx 2x 0 4. Resuelva 4. Resuelva ∫ a−x U.F.P.S. CALCULO II 1º Previo - Técnicas de integración NOMBRE:________________COD.________ 1. Halle ∫ x ln( x 2 + 9).dx
  • 66. UNIV. FRANCISCO DE PAULA SANTANDER UNIV. FRANCISCO DE PAULA SANTANDER 1 PREVIO - MATEMATICAS II UNIV. FRANCISCO DE PAULA SANTANDER 1 PREVIO - MATEMATICAS II NOMBRE:________________CODIGO: _______ 1 PREVIO - MATEMATICAS II NOMBRE:________________CODIGO: _______ FECHA:____________PROF. SONIA MENDOZA NOMBRE:________________CODIGO: _______ FECHA:____________PROF. SONIA MENDOZA FECHA:____________PROF. SONIA MENDOZA 1. Se lanza un objeto directamente 1. Se lanza un objeto directamente hacia arriba desde una altura inicial de 1. En la superficie de la luna, la hacia arriba desde una altura inicial de 1000 pies con una velocidad de 50 pies aceleración debida a la gravedad es 1000 pies con una velocidad de 50 pies por segundo, encuentre: -5,28 pies por segundo por segundo. Si por segundo, encuentre: a. Su velocidad y altura 4 segundos un objeto se lanza hacia arriba desde a. Su velocidad y altura 4 segundos después. una altura inicial de 1000 pies con una después. b. La máxima altura que alcanza el velocidad de 56 pies por segundo, b. La máxima altura que alcanza el objeto? encuentre: objeto? a. La velocidad y altura 4,5 segundos más tarde. 2. Demuestre que: b. La máxima altura que alcanza el 2. Demuestre que: x −a objeto. dx 1 x −a ∫x 2 dx −a2 = 1 2a Ln x +a +C 2. Demuestre que: ∫x 2 −a 2 = 2a Ln x +a +C 3. Resolver las siguientes integrales ∫ cos ecx.dx = Ln cos ecx − cot gx + C 3. Resolver las siguientes integrales aplicando la integración por partes: aplicando la integración por partes: 3. Resolver las siguientes integrales ∫ x .( Lnx) .dx ∫ x.arctgx.dx 3 2 ∫ ∫ a. b. 3 2 a. x .( Lnx ) .dx b. x.arctgx.dx aplicando la integración por partes: x.arctgx a. ∫ x.senx. cos x.dx b. ∫ (x 2 + 1) 2 .dx 4. Desarrolle: 4. Desarrolle: 2x 2x − 3 a. ∫x 2x dx b. ∫x 2x − 3 dx 4. Desarrolle: x.dx a. ∫x 2 − x +1 dx b. ∫x 2 + 2x + 2 dx ∫ 2 − x +1 2 + 2x + 2 5 a. 5 x 2 − 2 x +1 b. ∫ x 2 − x + .dx 4 5. Aplique la sustitución trigonométrica 5. Aplique la sustitución trigonométrica 5. Aplique la sustitución trigonométrica para integrar: para integrar: para integrar: x 2 .dx ∫ x 2 .dx ∫ 2 2x − 5 ∫x 2 5 − x 2 .dx b. ∫ (x dx a. ∫ b. ∫ 2x2 − 5 .dx ) a. b. .dx a. 2 x +a 2 x 2 − 2x + 5 3/ 2 x2 + a2 x
  • 67. UNIV. FRANCISCO DE PAULA SANTANDER 1 2 1 PREVIO - MATEMATICAS II 4. Resolver las siguientes integrales y= a.t + vo .t + yo NOMBRE:________________CODIGO: _______ aplicando la integración por partes: 2 FECHA:____________PROF. SONIA MENDOZA ∫ x . cos(ax).dx ∫ ln x + 1.dx 2 a. b. 2. Demuestre que: 1. En la superficie de la luna, la dx 1 a+x aceleración debida a la gravedad es -5,28 pies por segundo por segundo. Si 5. Desarrolle: x.dx ∫a 2 − x2 = ln 2a a − x +C un objeto se lanza hacia arriba desde una altura inicial de 1000 pies con una a. ∫ 5 x 2 − 2 x +1 velocidad de 56 pies por segundo, 3. Aplique la sustitución trigonométrica 2x − 3 encuentre: a. La velocidad y altura 4,5 segundos b. ∫ 2 x + 2x + 2 dx para integrar: ∫x . 3 más tarde. a 2 x 2 − b 2 .dx b. La máxima altura que alcanza el 4. Resolver las siguientes integrales objeto. UNIV. FRANCISCO DE PAULA SANTANDER aplicando la integración por partes: 1 PREVIO - MATEMATICAS II x.dx ∫ ∫ sen x 2. Demuestre que: NOMBRE:________________CODIGO: _______ 2 dx FECHA:____________PROF. SONIA MENDOZA a. x 3 .e − x .dx b. ∫ 2 = ln x + x 2 − a 2 + C x2 − a2 1. Demuestre que para el movimiento rectilíneo con aceleración constante 5. Desarrolle: 2x ∫x 3. Aplique la sustitución trigonométrica a, velocidad inicial vo y para integrar: a. dx desplazamiento inicial y o, el 2 − x +1 dx desplazamiento, en el momento t es: ∫ (x 2 + a 2 )2 b. ∫ x2 − x + 5 4 .dx
  • 68. U.F.P.S. LIC. MATEMATICAS E INFORMATICA MATEMATICAS II 2 r 4 z 5dx NOMBRE: ________________CODIGO:_____________FECHA:__________ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 a. x (6 − x).x.dx b. r. ( x − r ) dx c. 3z d. a .dz dx 1 x 3+ x 1. Demuestre que: ∫a 2 +x2 = arc tang +C a a 0 U.F.P.S. 0 LIC. MATEMATICAS E INFORMATICA MATEMATICAS II 2 0 2. Calcular el área de la región bajo la curva aplicando el NOMBRE: ________________CODIGO:_____________FECHA:__________ método de Simpson o el método de Trapecio; siendo f(x) =1+x2 dx 1 x en [0, 1] para n = 5. 1. Demuestre que: 2∫ x x −a 2 = arc sec +C a a 3. Demuestre que para el movimiento rectilíneo con aceleración constante a, velocidad inicial vo y desplazamiento inicial xo, el 2. Calcular el área de la región bajo la curva aplicando el método de Simpson o el método de Trapecio; siendo f(x) =2+x2 1 2 desplazamiento, en el momento t es x = at + vo .t + xo en [0, 1] para n = 5. 2 3. Demuestre que para el movimiento rectilíneo con aceleración 4. Hallar la suma de Riemman asociada a f(x) = 2x – x3 en el constante a, velocidad inicial vo y desplazamiento inicial xo, el intervalo [1, 3] con infinitos intervalos. 1 2 5. Evaluar: desplazamiento, en el momento t es x = at + vo .t + xo 2 6 r 4 z 5dx 4. Hallar la suma de Riemman asociada a f(x) = 2x – x3 en el ∫ ∫ ∫ ∫ a 2 z .dz 2 2 a. x (6 − x).x.dx b. r. ( r − x ) dx c. d. intervalo [2, 3] con infinitos intervalos. 3+ x 0 0 2 0 5. Evaluar: 6 r 4 z 5dx ∫ ∫ ∫ ∫a U.F.P.S. LIC. MATEMATICAS E INFORMATICA MATEMATICAS II 2 2 2z a. x (6 − x).x.dx b. r. ( r − x ) dx c. d. .dz NOMBRE: ________________CODIGO:_____________FECHA:__________ 3+ x 0 0 2 0 1. Demuestre que: ∫ e x .dx = e x +C U.F.P.S. LIC. MATEMATICAS E INFORMATICA MATEMATICAS II 2. Demuestre que: [v(t ) ] = vo − 19.6[ x(t ) − xo ] . Cuando se arroja 2 2 NOMBRE: ________________CODIGO:_____________FECHA:__________ un objeto hacia arriba, con velocidad inicial vo desde un punto ax ∫ x a xo metros sobre el piso. 1. Demuestre que: a .dx = +C ; a > 0, a ≠ 0 ln a 3. Calcule las aproximaciones de la regla del trapecio y la regla 2 2 [ ] 2 [ 2. Demuestre que: v(t ) = vo − 19.6 x(t ) − xo . Cuando se arroja ] ∫ (x 2 de Simpson cuando n = 6 para − 3x).dx un objeto hacia arriba, con velocidad inicial vo desde un punto 0 a xo metros sobre el piso. 4. Utilizar el proceso de limite para encontrar el área de la región 3. Calcule las aproximaciones de la regla del trapecio y la regla entre la gráfica de la función 4y2 - y3 – x = 0 y el eje y sobre el 3 ∫ (x 2 intervalo [1,3]. de Simpson cuando n = 6 para − 3 x ).dx 5. Evaluar: 1 4. Utilizar el proceso de limite para encontrar el área de la región entre la gráfica de la función 4y2 - y3 – x = 0 y el eje y sobre el intervalo [2,5].
  • 69. 5. Evaluar: 4. Teniendo ya pirámide con una base cuadrada, donde h es la 2 r 4 z altura de la pirámide y B es el área de la base. Determine el 5dx ∫ ∫ ∫ volumen del sólido en función a la altura y la base. exp.2. ∫ 2 2 a. x (6 − x).x.dx b. r. ( x − r ) dx c. 3z d. a .dz 3+ x 0 0 0 2 U.F.P.S. - 2 PREVIO – INGENIERIA CIVIL - MATEMATICAS II U.F.P.S. - 2 PREVIO – INGENIERIA CIVIL - MATEMATICAS II NOMBRE:_________________________________CODIGO: _____________ NOMBRE:_________________________________CODIGO: _____________ FECHA:_______________________ PROF. SONIA MARITZA MENDOZA FECHA:_______________________ PROF. SONIA MARITZA MENDOZA 1. Desarrollar aplicando el método de integración por fracciones 1. Determine el área de la región R, si R está limitado por: ( x 2 + 1).dx y = |x|, eje x, x = -2, x = 1. - 1076 – simples parciales. ∫ x3 + 1 7.17 2. Desarrollar aplicando el método de integración por fracciones 2. Determine el área de la región R, si R está limitado por: x.y = 1, sen θ dθ x = 2, eje x, y = 2, eje y. - 1193 - simples parciales. 2 ∫ cos θ + cos θ − 2 – 7.45 – 3. Determinar: 3. Determinar: x 2 .dx dx a. ∫ 21 + 4 x − x 2 6.62 ∫ b. x. arc tg x.dx 4.38 a. ∫ 5 − 4x2 6.36 ∫ b. x. sen x. cos x.dx 4.34 4. Halle el volumen del sólido que se genera al girar la región 4. Halle el volumen del sólido que se genera al girar la región limitada por y = 2x2; el eje y; y = 6 en torno al eje y. exp.3. limitada por y = 9 − x 2 ; y= 0 y el eje x; en torno al eje x. exp.3.prop U.F.P.S. - 2 PREVIO – INGENIERIA CIVIL - MATEMATICAS II NOMBRE:_________________________________CODIGO: _____________ U.F.P.S. - 2 PREVIO – INGENIERIA CIVIL - MATEMATICAS II FECHA:_______________________ PROF. SONIA MARITZA MENDOZA NOMBRE:_________________________________CODIGO: _____________ FECHA:_______________________ PROF. SONIA MARITZA MENDOZA 1. Determine el área de la región R, si R está limitado por: x−2 1. Determine el área de la región R, si R está limitado por: y = -x + 2, y = , y = x + 2. - 1084 – y = 3x + 2, y = x , eje y. - 1017 - 2 2. Desarrollar aplicando el método de integración por fracciones 2. Desarrollar aplicando el método de integración por fracciones sen x . dx simples parciales. ∫ 4 x 4 − 2 x 3 − x 2 + 3x + 1 x3 + x 2 − x − 1 .dx - 7.44 – simples parciales. ∫ cos x ( 1 + cos 2 x) - 7.50 – 3. Determinar: 3. Determinar: dx ∫x . ∫ x . ln x.dx 3 2 a. a 2 x 2 + b 2 .dx 6.40 ∫ −x b. 4.35 ∫ 3 a. 2 6.29 b. x .e 3 .dx 4.33 x. 4 x − 16
  • 70. 4. Una pirámide de 7 m de altura tiene una base cuadrad de 7 m dx −x por lado. La sección transversal de la pirámide perpendicular a. ∫ x. 4 x 2 − 16 6.29 b. ∫ x 3 .e 3 .dx 4.33 a la altura es x metros hacia abajo desde el vértice, siendo un cuadrado con x metros por lado. Hallar el volumen de la pirámide. exp.2. 4. Demuestre que volumen del cono de radio r y altura h 1 equivale a π .r 2 h U.F.P.S. LIC. MAT. E INFORMATICA MATEMATICAS II 3 CODIGO: ______________ CODIGO:_____________ 2º PREVIO U.F.P.S. LIC. MAT. E INFORMATICA MATEMATICAS II FECHA:_______________________ PROF. SONIA MARITZA MENDOZA CODIGO: ______________ CODIGO:_____________ 2º PREVIO FECHA:_______________________ PROF. SONIA MARITZA MENDOZA 1. Desarrollar aplicando el método de integración por fracciones et 1. Determine el área de la región R, si R está limitado por: simples parciales. ∫e 2t + 3.et + 2 .dt 7.46 y = x2, y = -x2 , x = -1 , x = 1. - 11148 – 2. Desarrollar aplicando el método de integración por fracciones 2. Determine el área de la región R, si R está limitado por las 3x 4 curvas y= x2 - 3x + 2, el eje x y las rectas x=1, x= 4 - 1014- simples parciales. ∫ (x 2 + 1) 2 .dx – 7.47 – 3. Determinar: x 2 .dx 3. Determinar: a. ∫ 6.62 b. ∫ x. arc tg x.dx 4.38 dx 21 + 4 x − x 2 a. ∫ 5 − 4x2 6.36 b. ∫ x. sen x. cos x.dx 4.34 4. Halle el volumen del sólido obtenido al girar la región limitada por y = x2 y x = y2, en torno de y = -1. 4. Demuestre que volumen de un cilindro circular recto de radio r y altura h equivale a π .r 2 h U.F.P.S. LIC. MAT. E INFORMATICA MATEMATICAS II CODIGO: ______________ CODIGO:_____________ 2º PREVIO U.F.P.S. LIC. MAT. E INFORMATICA MATEMATICAS II FECHA:_______________________ PROF. SONIA MARITZA MENDOZA CODIGO: ______________ CODIGO:_____________ 2º PREVIO FECHA:_______________________ PROF. SONIA MARITZA MENDOZA 1. Determine el área de la región R, si R está limitado por: y = x 2 , y = x, x= 2. - 1017 – 1. Determine el área de la región R, si R está limitado por: y = x2 , y = - |x| , x = -1 ,x = 1. - 1051 - 2. Desarrollar aplicando el método de integración por fracciones sen x . dx simples parciales. ∫ cos x ( 1 + cos x)2 - 7.50 – 2. Desarrollar aplicando el método de integración por fracciones x5 + 2 3. Determinar: simples parciales. ∫x 2 −1 .dx - 7.11 –
  • 71. 3. Aplique la sustitución trigonométrica para integrar: (V.1.0) 3. Determinar: dx a. ∫x . 3 a 2 x 2 + b 2 .dx 6.40 b. ∫ x .ln x.dx 2 4.35 ∫x 2 x 2 +a 2 4. Demuestre que: (V.1.5) 4. Halle el volumen del sólido obtenido al girar la región limitada n −1 − sen x. cos x n −1 por y = x – x2 y y = 0 alrededor de la recta x= 2. ∫ sen n x.dx = n + n ∫ sen n − 2 x.dx U.F.P.S. LIC. MAT. E INFORMATICA MATEMATICAS II U.F.P.S. LIC. MAT. E INFORMATICA MATEMATICAS II NOMBRE: ____________CODIGO:__________ SEGUNDO PREVIO NOMBRE: ____________CODIGO:__________ SEGUNDO PREVIO 4 x 4 − 2 x 3 − x 2 + 3x + 1 x 4 − x3 + 2 x 2 − x + 2 1. Halle: Dividir 7.44 ∫ x3 + x 2 − x − 1 dx (V.1.0) 1. Halle: 7.30 ∫ ( x − 1)( x 2 + 2) 2 dx (V.1.0) 2. Demuestre por medio de derivación: (V.1.5) 2. Demuestre por medio de derivación: (V.1.5) dx ∫ 2 x +a 2 = ln( x + x 2 + a 2 ) + C ∫ dx = ln( x + x 2 + a 2 ) + C x 2 +a 2 3. Aplique la sustitución trigonométrica para integrar: (V.1.0) 3. Aplique la sustitución trigonométrica para integrar: (V.1.0) 2 2 x +a ∫ x dx 6.50 ∫ x2 +a2 x dx 6.41 4. Demuestre que: 4.63 (V.1.5) 4. Demuestre que: 4.64 (V.1.5) cos n −1 x.senx n − 1 ∫ ∫ n −1 cos n x.dx = + cos n −2 x.dx cos x.senx n − 1 ∫ cos cos n −2 x.dx ∫ n n n x.dx = + n n U.F.P.S. LIC. MAT. E INFORMATICA MATEMATICAS II U.F.P.S. LIC. MAT. E INFORMATICA MATEMATICAS II NOMBRE: ____________CODIGO:__________ SEGUNDO PREVIO NOMBRE: ____________CODIGO:__________ SEGUNDO PREVIO 4 x 4 − 2 x 3 − x 2 + 3x + 1 1. Halle ∫ x3 + x 2 − x − 1 dx (V.1.0) 1. Halle 4 x 4 − 2 x 3 − x 2 + 3x + 1 ∫ dx (V.1.0) x3 + x2 − x − 1 2. Demuestre por medio de derivación: (V.1.5) 2. Demuestre por medio de derivación: (V.1.5) dx 1 x −a ∫x 2 − a2 = 2a ln x +a +C ∫x 2 dx − a2 = 1 2a ln x −a x +a +C
  • 72. 3. Aplique la sustitución trigonométrica para integrar: (V.1.0) x 2 .dx dx ∫x 2 ∫ 2x − x 2 6.60 completar cuadrado x 2 +a 2 4. Demuestre que: 4.41 (V.1.5) 4. Demuestre que: (V.1.5) x x ∫ n sen x.dx = − sen n −1x. cos x n − 1 n + n ∫ sen n − 2 x.dx ∫ e x senx.dx = ∫ (tan 3 + tan 4 )dx = 3 U.F.P.S. ING. PRODUCC. INDUSTRIAL MATEMATICAS II CODIGO:__________ CODIGO:__________ SEGUNDO PREVIO U.F.P.S. ING. PRODUCC. INDUSTRIAL MATEMATICAS II 1. Determine el área de la región R, si R está limitada por: CODIGO:__________ CODIGO:__________ SEGUNDO PREVIO 1 5. Determine el área de la región R, si R está limitada por: y= 2 , y=0 x= -1, x= 1 (V.1.5) 1 x +1 y= 2 , y=0 x= -1, x= 1 (V.1.5) x +1 (5 x + 2) 3 2. Halle: ∫ x 3 − 5x 2 + 4x dx (V.1.0) Dividir 7.52 6. Halle: ∫ (5 x 3 + 2) dx (V.1.0) 3. Integre aplicando la sustitución trigonométrica: (V.1.0) x 3 − 5x 2 + 4x 7. Integre aplicando la sustitución trigonométrica: (V.1.0) x 2 .dx ∫ 2 x .dx ∫ 6.62 completar cuadrados 2 21 + 4 x − x 21 + 4 x − x 2 4. Desarrollar las siguientes integrales: (V.1.5) 4.42 3 8. Desarrollar las siguientes integrales: (V.1.5) cos x ∫3 ∫ sen 4 x dx = x 3 cos x.dx = cos x ∫3 ∫ sen 4 x dx = x a. cos x.dx = b. U.F.P.S. ING. PRODUCC. INDUSTRIAL MATEMATICAS II U.F.P.S. ING. PRODUCC. INDUSTRIAL MATEMATICAS II CODIGO:__________ CODIGO:__________ SEGUNDO PREVIO CODIGO:__________ CODIGO:__________ SEGUNDO PREVIO 1. Determine el área de la región R, si R está limitada por: 5. Determine el área de la región R, si R está limitada por: y = e x , y = e 2 , x=0 (V.1.5) y = e x , y = e 2 , x=0 (V.1.5) x5 2. Halle: Dividir 7.53 ∫ dx x5 ∫ ( x 3 + 1)( x 3 + 8) dx (V.1.0) ( x 3 + 1)( x 3 + 8) 6. Halle: (V.1.0) 7. Aplique la sustitución trigonométrica para integrar: (V.1.0) 3. Aplique la sustitución trigonométrica para integrar: (V.1.0)
  • 73. x 2 .dx 8. Demuestre que: (V.1.5) ∫ x x 2x − x 2 a. ∫ e x senx.dx = b. ∫ (tan 3 + tan 4 )dx = 3 UNIV. FRANCISCO DE PAULA SANTANDER 9. Calcular el área entre las funciones: en torno a la recta y = 1 MATEMATICAS II - ING. PROD. INDUSTRIAL x = y3 – y y x = 1 – y4 SEGUNDO PREVIO b. y = x3 y y = 4x girando alrededor de x = 4 NOMBRE:___________________COD._______ PROF. SONIA MARITZA MENDOZA UNIV. FRANCISCO DE PAULA SANTANDER 4. Calcular el área entre las funciones: MATEMATICAS II - ING. PROD. INDUSTRIAL y = x2 – 4 x y y = 2x 6. Determinar: SEGUNDO PREVIO x4 a. ∫ x 4 − 1 dx NOMBRE:___________________COD._______ 9 PROF. SONIA MARITZA MENDOZA  2  b. ∫  x − .dx 1  x 1. Determinar: x 4 − 2 x 3 + 3x 2 − x + 3 7. Calcular el área de la región bajo la a. ∫ x3 − 2 x 2 + 3x dx curva aplicando el método de 4  7 x 5 2 − 5 x 3 2 .dx Simpson o el método de Trapecio. b. ∫ 0    a. f(x) = 9 – x2 con x = 1 y x = 2 para n = 10 rectángulos. 2. Calcular el área de la región bajo la curva aplicando el método de b. f(x) = 1 + x2 en [ 0, 1 ] para n = 5. Simpson o el método de Trapecio. 8. Calcular el volumen de los siguientes a. f(x) = 100 – x2 con x = 1 y x = 3 para sólidos en revolución. n = 6 rectángulos. a. f(x) = x2 y g(x) = x + 2 b. f(x) = x3 en [ 1, 3 ] para n = 10. en torno a la recta x= 3 3. Calcular el volumen de los siguientes b. x2 = y – 2 y 2y – x – 2 = 0 sólidos en revolución. Por la recta x= 0 a. f(x) = 2 - x2 y g(x) = 1
  • 74. U.F.P.S. MATEMATICAS II 2º PREVIO 3. Calcular el área de la región R, si está limitada por: x.y = 1; NOMBRE:______________________________ COD.__________ x= 2; y =2; el eje x y el eje y. FECHA:________________ PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L. 4. Hallar la suma de Riemman asociada a. f(x) = x3 -10 en el intervalo [1, 3] con infinitos intervalos. 5. Calcular el área de la región R, si está limitada por: x.y = 1; b. f(x) = sen x en el intervalo [0, 2π], donde x0 = 0, x1 = π/4, x2 y = 3x; y = x/3. = π/3, x3 = π y x4 = 2π, y donde c1 = π/6, c2 = π/3, c3 = 2π/3 y 6. Hallar la suma de Riemman asociada: c4 = 3 π/2. a. f(x) = x2 + 3x en el intervalo [0, 8], donde x0 = 0, x1 = 0, x 2= 0, U.F.P.S. MATEMATICAS II 2º PREVIO x3 = 0 y x4 = 0, y donde c1 = 1, c2 = 2, c3 = 5 y c4 = 8. NOMBRE:______________________________ COD.__________ b. f(x) = 2x – x3 en el intervalo [1, 3] con infinitos intervalos. FECHA:________________ PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L. 7. Estime el área bajo la gráfica f(x) = sen x desde x = π/6 hasta x = π/2 con cuatro rectángulos de aproximación 1. Calcular el área de la región R, si está limitada por: x.y = 1; inscritos. y = 3x; y = x/3. 8. Calcule las aproximaciones de la regla del trapecio y la 2. Hallar la suma de Riemman asociada: 1 a. f(x) = x2 + 3x en el intervalo [0, 8], donde x0 = 0, x1 = 0, x 2= 0, ∫ e .dx x x3 = 0 y x4 = 0, y donde c1 = 1, c2 = 2, c3 = 5 y c4 = 8. regla de Simpson cuando n = 6 para b. f(x) = 2x – x3 en el intervalo [1, 3] con infinitos intervalos. 0 3. Estime el área bajo la gráfica f(x) = sen x desde x = π/6 hasta x = π/2 con cuatro rectángulos de aproximación inscritos. U.F.P.S. MATEMATICAS II 2º PREVIO 4. Calcule las aproximaciones de la regla del trapecio y la NOMBRE: ______________________________ COD._________ 1 FECHA: ________________ ∫ e .dx PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L. x 2 regla de Simpson cuando n = 6 para 1. Estime el área bajo la gráfica f ( x) = e − x desde x = -2 0 hasta x = 2 con cuatro rectángulos de aproximación inscritos 2. Calcule las aproximaciones de la regla del trapecio y la 2 U.F.P.S. MATEMATICAS II 2º PREVIO ∫ (x NOMBRE: ______________________________ COD._________ 2 regla de Simpson cuando n = 6 para − 3 x).dx FECHA: ________________ PROF. SONIA MARITZA MENDOZA L. 0
  • 75. 2 2. Calcule las aproximaciones de la regla del trapecio y la regla 1. Estime el área bajo la gráfica f ( x) = e − x desde x = -2 de Simpson cuando n hasta x = 2 con cuatro rectángulos de aproximación inscritos 1 y= f(x) = - x2+ 4x ∫( x .e 5 x 2. Calcule las aproximaciones de la regla del trapecio y la = 4 para ).dx 2 0 ∫ (x 2 regla de Simpson cuando n = 6 para − 3 x).dx 3. Estime el área bajo la 0 gráfica f(x) =1/2 x2+1 desde x = 1/2 hasta x 3. Calcular el área de la región R, si está limitada por: x.y = 1; = 2 con cinco x= 2; y =2; el eje x y el eje y. rectángulos de 4. Hallar la suma de Riemman asociada aproximación a. f(x) = x3 -10 en el intervalo [1, 3] con infinitos intervalos. inscritos. b. f(x) = sen x en el intervalo [0, 2π], donde x0 = 0, x1 = π/4, x2 = π/3, x3 = π y x4 = 2π, y donde c1 = π/6, c2 = π/3, c3 = 2π/3 y 4. Calcular el área de la región R, si está limitada por: c4 = 3 π/2. y = x2 -3x + 2, el eje x y las rectas x = 1 y x = 4. U.F.P.S. MATEMATICAS II 2º PREVIO FECHA:___________ U.F.P.S. MATEMATICAS II 2º PREVIO FECHA:___________ NOMBRE:__________________ COD.________PROF. SONIA M.MENDOZA NOMBRE:__________________ COD.________PROF. SONIA M.MENDOZA 1. Calcular el área de la 1. Calcular el área de la región R, si está limitada región R, si está limitada por: y = 2x; y y = x3. y= f(x) = x2- 4x + 3 por: y = 2x; y y = x3. y= f(x) = x2- 4x + 3 2. Hallar la suma de 2. Hallar la suma de Riemman que se Riemman que se sugiere a la gráfica: sugiere a la gráfica: 3. Estime el área bajo la 3. Estime el área bajo la gráfica f(x) = ex desde gráfica f(x) = ex desde x = -2 hasta x = 3 con cinco rectángulos de aproximación x = -2 hasta x = 3 con cinco rectángulos de aproximación inscritos. inscritos. 4. Calcule las aproximaciones de la regla del trapecio y la regla 1/ 2 4. Calcule las aproximaciones de la regla del trapecio y la regla ∫sen(e t/2 de Simpson cuando n = 7 para ).dt 0 1/ 2 U.F.P.S. MATEMATICAS II 2º PREVIO FECHA:___________ ∫sen(e t/2 de Simpson cuando n = 7 para ).dt NOMBRE:__________________ COD.________PROF. SONIA M.MENDOZA 0 1. Hallar la suma de Riemman que se sugiere para la gráfica:
  • 76. U.F.P.S. MATEMATICAS II 2º PREVIO FECHA:___________ 4. Hallar el centroide del área plana limitada en el primer cuadrante NOMBRE:__________________ COD.________PROF. SONIA M.MENDOZA por la parábola y = x2 y la recta y = x. (Valor 1.0) 1. Hallar la suma de Riemman que se y= f(x) = - x2+ 4x sugiere para la U.F.P.S. – LIC. MAT. E INFORM. EXAMEN FECHA:___________ gráfica: NOMBRE:__________________ COD._________ PROF. SONIA M. MENDOZA 2. Calcule las 1. Un tanque de almacenamiento es un cilindro circular recto de 20 pies de largo y 8 pies de diámetro, con su eje horizontal. Si el aproximaciones de tanque está semilleno de un líquido de peso w lb/pie 3 , hállese el la regla del trapecio trabajo realizado al vaciarlo por una tubería que va desde el y la regla de Simpson fondo del tanque hasta una salida situada 6 pies encima de la cuando n = 4 para parte superior del tanque. 1 (Valor 1.5) ∫( x .e 5 x 2. Un sólido se genera haciendo girar la región acotada por y=x2/2 ).dx 0 e y = 2 alrededor del eje y. Se perfora un orificio circular, centrado en el eje de giro, de modo que el sólido pierde un cuarto 3. Estime el área bajo la gráfica f(x) =1/2 x2+1 desde x = 1/2 de su volumen. ¿Qué diámetro tiene el orificio? hasta x = 2 con cinco rectángulos de aproximación inscritos. (Valor 1.5) 3. Determinar el tipo y analizar si converge o diverge. (Valor 1.0) 4. Calcular el área de la región R, si está limitada por: ∞ ∞ n 2 (2 x) y = x2 -3x + 2, el eje x y las rectas x = 1 y x = 4. U.F.P.S. – LIC. MAT. E INFORM. EXAMEN FECHA:___________ a. ∑ 4n n =1 2 −1 b. ∑ n =0 x 2 NOMBRE:__________________ COD._________ PROF. SONIA M. MENDOZA 1. Un tanque de almacenamiento es un cilindro circular recto de 20 4. Hallar el centroide del área plana limitada en el primer cuadrante pies de largo y 8 pies de diámetro, con su eje horizontal. Si el por la parábola y = x2 y la recta y = x. (Valor 1.0) tanque está semilleno de un líquido de peso w lb/pie 3 , hállese el trabajo realizado al vaciarlo por una tubería que va desde el U.F.P.S. – LIC. MAT. E INFORM. EXAMEN FECHA:___________ fondo del tanque hasta una salida situada 6 pies encima de la NOMBRE:__________________ COD._________ PROF. SONIA M. MENDOZA parte superior del tanque. 1. Un tanque de almacenamiento es un cilindro circular recto de 20 (Valor 1.5) pies de largo y 6 pies de diámetro, con su eje horizontal. Si el 2. Un sólido se genera haciendo girar la región acotada por y=x2/2 tanque está semilleno de un líquido de peso w lb/pie 3 , hállese el e y = 2 alrededor del eje y. Se perfora un orificio circular, trabajo realizado al vaciarlo por una tubería que va desde el centrado en el eje de giro, de modo que el sólido pierde un cuarto fondo del tanque hasta una salida situada 8 pies encima de la de su volumen. ¿Qué diámetro tiene el orificio? parte superior del tanque. (Valor 1.5) (Valor 1.5) 3. Determinar el tipo y analizar si converge o diverge. (Valor 1.0) 2. Un sólido se genera haciendo girar la región acotada por y=x2/2 ∞ ∞ n e y = 4 alrededor del eje y. Se perfora un orificio circular, 2 (2 x) a. ∑ 4n n =1 2 −1 b. ∑ n =0 x2 centrado en el eje de giro, de modo que el sólido pierde un cuarto de su volumen. ¿Qué diámetro tiene el orificio? (Valor 1.5) 3. Determinar el tipo y analizar si converge o diverge. (Valor 1.0)
  • 77. ∞ ∞ 2. Calcular el área de la región R, si está limitada por: x.y = 1; 2 (2 x) n a. ∑ 4n n =1 2 −1 b. n =0 x ∑ 2 y = 3x; y = x/3. 3. Hallar el volumen generado al girar el área acotada por la parábola y2 = 8x y su latus rectum (x=2) en torno al latus rectum. 4. Hallar el centroide del área plana limitada en el primer cuadrante 4. Un alambre recto de 7 unidades de largo tiene densidad por la parábola y =3x2 y la recta y = x. (Valor 1.0) δ ( x) = x en un punto a x unidades de un extremo. Encuentre la distancia, desde este extremo al centro de masa. U.F.P.S. – LIC. MAT. E INFORM. EXAMEN FECHA:___________ 5. Un canalón se llena con un líquido cuya densidad es 840 kg/m3. NOMBRE:__________________ COD._________ PROF. SONIA M. MENDOZA Los extremos del canalón son triángulos equiláteros de 8 m de lado 1. Un tanque de almacenamiento es un cilindro circular recto de 20 y vértice hacia abajo. Calcule la fuerza hidrostática sobre uno de pies de largo y 6 pies de diámetro, con su eje horizontal. Si el los extremos del canalón. tanque está semilleno de un líquido de peso w lb/pie 3 , hállese el trabajo realizado al vaciarlo por una tubería que va desde el fondo del tanque hasta una salida situada 8 pies encima de la U.F.P.S. - ING. PROD. INDUSTRIAL - MATEMATICAS II – parte superior del tanque. HABILITACION PROF. SONIA M. MENDOZA FEHA: __________ (Valor 1.5) NOMBRE:________________________________ COD._________________ 2. Un sólido se genera haciendo girar la región acotada por y=x2/2 1. Determinar: e y = 4 alrededor del eje y. Se perfora un orificio circular, 3 centrado en el eje de giro, de modo que el sólido pierde un cuarto x +1 sen3 x.dx de su volumen. (Valor 1.5) ¿Qué diámetro tiene el orificio? a. ∫ x .dx b. ∫ cos x 3. Determinar el tipo y analizar si converge o diverge. (Valor 1.0) 2. Calcular el área de la región R, si está limitada por: x.y = 1; ∞ ∞ n y = 3x; y = x/3. 2 (2 x) a. ∑ 4n n =1 2 −1 n =0 x b. 2 ∑ 3. Hallar el volumen generado al girar el área acotada por la parábola y2 = 8x y su latus rectum (x=2) en torno al latus rectum. 4. Hallar el centroide del área plana limitada en el primer cuadrante 4. Un alambre recto de 7 unidades de largo tiene densidad por la parábola y =3x2 y la recta y = x. (Valor 1.0) δ ( x) = x en un punto a x unidades de un extremo. Encuentre la distancia, desde este extremo al centro de masa. U.F.P.S. - ING. PROD. INDUSTRIAL - MATEMATICAS II – 5. Un canalón se llena con un líquido cuya densidad es 840 kg/m3. HABILITACION PROF. SONIA M. MENDOZA FEHA: __________ Los extremos del canalón son triángulos equiláteros de 8 m de lado NOMBRE:________________________________ COD._________________ y vértice hacia abajo. Calcule la fuerza hidrostática sobre uno de 1. Determinar: los extremos del canalón. 3 x +1 sen3 x.dx U.F.P.S. - ING. PROD. INDUSTRIAL - MATEMATICAS II – a. ∫ .dx x b. ∫ cos x HABILITACION PROF. SONIA M. MENDOZA FEHA: __________ NOMBRE:________________________________ COD._________________ 1. Determinar:
  • 78. 3 1. Determinar: PROF. SONIA M. x +1 sen3 x.dx a. ∫ x .dx b. ∫ cos x MENDOZA FEHA: __________ 3 x +1 sen3 x.dx 2. Calcular el área de la región R, si está limitada por: x.y = 1; y = 3x; y = x/3. a. ∫ .dx b. x ∫ cos x 3. Hallar el volumen generado al girar el área acotada por la 2. Encuentre el trabajo realizado para parábola y2 = 8x y su latus rectum (x=2) en torno al latus rectum. bombear agua hasta el borde 4. Un alambre recto de 7 unidades de largo tiene densidad superior de un depósito, que es de 50 pies de largo y que tiene extremos semicirculares de radio 10 pies, δ ( x) = x en un punto a x unidades de un extremo. Encuentre si el depósito está lleno hasta una profundidad de 7 pies. la distancia, desde este extremo al centro de masa. 3. Hallar el volumen generado al girar el área acotada por la 5. Un canalón se llena con un líquido cuya densidad es 840 kg/m3. parábola y2 = 8x y su latus rectum (x=2) en torno al latus rectum. Los extremos del canalón son triángulos equiláteros de 8 m de lado 4. Calcular el área de la región R, si está limitada por: y vértice hacia abajo. Calcule la fuerza hidrostática sobre uno de y = - x + 2; y = (x - 2)/2; y = x + 2. los extremos del canalón. 5. Un alambre recto de 7 unidades de largo tiene densidad δ ( x) = x en un punto a x unidades de un extremo. Encuentre U.F.P.S. - ING. PROD. INDUSTRIAL - MATEMATICAS II – la distancia, desde este extremo al centro de masa. HABILITACION PROF. SONIA M. MENDOZA FEHA: __________ NOMBRE:________________________________ COD._________________ U.F.P.S. – LIC. MATEM. E INF.- MATEMATICAS II – HABILITACION 1. Determinar: NOMBRE:________________________________ COD._________________ 3 1. Determinar: PROF. SONIA M. MENDOZA FEHA: __________ x +1 sen3 x.dx a. ∫ .dx x b. ∫ cos x a. ∫ 3 x +1 .dx b. ∫ sen3 x.dx cos x 2. Calcular el área de la región R, si está limitada por: x.y = 1; x y = 3x; y = x/3. 2. Encuentre el trabajo realizado para bombear agua hasta el borde 3. Hallar el volumen generado al girar el área acotada por la superior de un depósito, que es de 50 parábola y2 = 8x y su latus rectum (x=2) en torno al latus rectum. pies de largo y que tiene extremos 4. Un alambre recto de 7 unidades de largo tiene densidad semicirculares de radio 10 pies, si el δ ( x) = x en un punto a x unidades de un extremo. Encuentre depósito está lleno hasta una profundidad de 7 pies. la distancia, desde este extremo al centro de masa. 3. Hallar el volumen generado al girar el área acotada por la 5. Un canalón se llena con un líquido cuya densidad es 840 kg/m3. parábola y2 = 8x y su latus rectum (x=2) en torno al latus rectum. Los extremos del canalón son triángulos equiláteros de 8 m de lado 4. Calcular el área de la región R, si está limitada por: y vértice hacia abajo. Calcule la fuerza hidrostática sobre uno de y = - x + 2; y = (x - 2)/2; y = x + 2. los extremos del canalón. U.F.P.S. – LIC. MATEM. E INF.- MATEMATICAS II – HABILITACION
  • 79. 5. Un alambre recto de 7 unidades de largo tiene densidad 4. Calcular el área de la región R, si está limitada por: δ ( x) = x en un punto a x unidades de un extremo. Encuentre y = - x + 2; y = (x - 2)/2; y = x + 2. 5. Un alambre recto de 7 unidades de largo tiene densidad la distancia, desde este extremo al centro de masa. U.F.P.S. – LIC. MATEM. E INF.- MATEMATICAS II – HABILITACION δ ( x) = x en un punto a x unidades de un extremo. Encuentre 1. Determinar: PROF. SONIA M. MENDOZA FEHA: __________ la distancia, desde este extremo al centro de masa. 3 U.F.P.S. - ING. CIVL- MATEMATICAS II - EXAMEN FINAL FEHA: __________ x +1 3 sen x.dx a. ∫ x .dx b. ∫ cos x NOMBRE:________________________________ COD.____________________ 1. Un cable para un puente suspendido tiene la forma de una parábola con la ecuación y = kx2. Cada una de sus torres tiene 2. Encuentre el trabajo realizado para bombear agua hasta el borde una altura aproximada de 155 metros. y tiene una anchura superior de un depósito, que es de 50 principal aproximadamente de 1400 metros. Determine la longitud pies de largo y que tiene extremos del cable parabólico a lo largo de la anchura principal. semicirculares de radio 10 pies, si el 2. Una placa en forma de triángulo isósceles con base de 6 pies y depósito está lleno hasta una profundidad de 7 pies. altura de 3 pies se sumerge verticalmente con la base hacia arriba, 5 pies bajo la superficie de una piscina. Hallar la fuerza 3. Hallar el volumen generado al girar el área acotada por la ejercida por el agua contra un lado de la placa. parábola y2 = 8x y su latus rectum (x=2) en torno al latus rectum. 3. Un alambre recto de 7 unidades de largo tiene densidad δ(x) = 4. Calcular el área de la región R, si está limitada por: (x)1/2 en un punto a x unidades de un extremo. Encuentre la y = - x + 2; y = (x - 2)/2; y = x + 2. distancia, desde este extremo al centro de masa. 5. Un alambre recto de 7 unidades de largo tiene densidad 4. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada δ ( x) = x en un punto a x unidades de un extremo. Encuentre por las gráficas de y= x3 + x+1, y=1 y x=1 alrededor de la recta x = la distancia, desde este extremo al centro de masa. 2. 5. Determine a que tipo de serie pertenece, halle su suma si es posible y determine su carácter: Σ(1/n.(n+1)) U.F.P.S. – LIC. MATEM. E INF.- MATEMATICAS II – HABILITACION NOMBRE:________________________________ COD._________________ 1. Determinar: PROF. SONIA M. MENDOZA FEHA: __________ 3 x +1 sen3 x.dx a. ∫ x .dx b. ∫ cos x U.F.P.S. - ING. CIVL- MATEMATICAS II - EXAMEN FINAL FEHA: __________ 2. Encuentre el trabajo realizado para NOMBRE:________________________________ COD.____________________ bombear agua hasta el borde 1. Un cable para un puente suspendido tiene la forma de una superior de un depósito, que es de 50 parábola con la ecuación y = kx2. Cada una de sus torres tiene pies de largo y que tiene extremos una altura aproximada de 155 metros. y tiene una anchura semicirculares de radio 10 pies, si el principal aproximadamente de 1400 metros. Determine la longitud depósito está lleno hasta una profundidad de 7 pies. del cable parabólico a lo largo de la anchura principal. 3. Hallar el volumen generado al girar el área acotada por la 2. Una placa en forma de triángulo isósceles con base de 6 pies y parábola y2 = 8x y su latus rectum (x=2) en torno al latus rectum. altura de 3 pies se sumerge verticalmente con la base hacia
  • 80. arriba, 5 pies bajo la superficie de una piscina. Hallar la fuerza una altura aproximada de 155 metros. y tiene una anchura ejercida por el agua contra un lado de la placa. principal aproximadamente de 1400 metros. Determine la longitud 3. Un alambre recto de 7 unidades de largo tiene densidad δ(x) = del cable parabólico a lo largo de la anchura principal. (x)1/2 en un punto a x unidades de un extremo. Encuentre la 2. Una placa en forma de triángulo isósceles con base de 6 pies y distancia, desde este extremo al centro de masa. altura de 3 pies se sumerge verticalmente con la base hacia 4. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada arriba, 5 pies bajo la superficie de una piscina. Hallar la fuerza por las gráficas de y= x3 + x+1, y=1 y x=1 alrededor de la recta x = ejercida por el agua contra un lado de la placa. 2. 3. Un alambre recto de 7 unidades de largo tiene densidad δ(x) = 5. Determine a que tipo de serie pertenece, halle su suma si es (x)1/2 en un punto a x unidades de un extremo. Encuentre la posible y determine su carácter: Σ(1/n.(n+1)). distancia, desde este extremo al centro de masa. 4. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada U.F.P.S. - ING. CIVL- MATEMATICAS II - EXAMEN FINAL FEHA: __________ por las gráficas de y= x3 + x+1, y=1 y x=1 alrededor de la recta x = NOMBRE:________________________________ COD.____________________ 2. 1. Un cable para un puente suspendido tiene la forma de una 5. Determine a que tipo de serie pertenece, halle su suma si es parábola con la ecuación y = kx2. Cada una de sus torres tiene posible y determine su carácter: Σ(1/n.(n+1)) una altura aproximada de 155 metros. y tiene una anchura principal aproximadamente de 1400 metros. Determine la longitud U.F.P.S. – LIC. MAT. E INF. MATEMATICAS II - EXAMEN FEHA: __________ del cable parabólico a lo largo de la anchura principal. NOMBRE:________________________________ COD.____________________ 2. Una placa en forma de triángulo isósceles con base de 6 pies y 1. Demuestre que el centro de masa de cualquier varilla delgada altura de 3 pies se sumerge verticalmente con la base hacia con densidad constante, se encuentra ubicado en medio de sus arriba, 5 pies bajo la superficie de una piscina. Hallar la fuerza extremos. ejercida por el agua contra un lado de la placa. 2. Una placa en forma de triángulo isósceles con base de 6 pies y 3. Un alambre recto de 7 unidades de largo tiene densidad δ(x) = altura de 3 pies se sumerge verticalmente con la base hacia (x)1/2 en un punto a x unidades de un extremo. Encuentre la arriba, 5 pies bajo la superficie de una piscina. Hallar la fuerza distancia, desde este extremo al centro de masa. ejercida por el agua contra un lado de la placa. 4. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada 3. Determine a que tipo de serie pertenece, halle su suma si es por las gráficas de y= x3 + x+1, y=1 y x=1 alrededor de la recta x = ∞ 1 2. posible y determine su carácter: ∑ n(n + 1) n =1 5. Determine a que tipo de serie pertenece, halle su suma si es posible y determine su carácter: Σ(1/n.(n+1)) 4. Un cable para un puente suspendido tiene la forma de una parábola con la ecuación y = kx2. Cada una de sus torres tiene una altura aproximada de 155 metros. y tiene una anchura principal aproximadamente de 1400 metros. Determine la longitud del cable parabólico a lo largo de la anchura principal. U.F.P.S. - ING. CIVL- MATEMATICAS II - EXAMEN FINAL FEHA: __________ 5. Encuentre el trabajo realizado para NOMBRE:________________________________ COD.____________________ bombear agua hasta el borde superior 1. Un cable para un puente suspendido tiene la forma de una de un depósito, que es de 50 pies de parábola con la ecuación y = kx2. Cada una de sus torres tiene largo y que tiene extremos
  • 81. semicirculares de radio 10 pies, si el depósito está lleno hasta una profundidad de 7 pies. U.F.P.S. - LIC. MATEMATICAS E INF. MATEMATICAS II HABILITACION NOMBRE:_______________________________ COD.______________ PROF. SONIA M. MENDOZA FECHA:_____________ 1. Encuentre el centro de masa de una placa semicircular de radio r. 2. Calcule el volumen del sólido generado al hacer girar en torno a la recta x = 4 una regio plana acotada por y = x3, x =0, x=2 y el eje x. 3. Determinar: (2 x + 1) ∫ 3x ∫ 3 . cos x.dx x a. 2 .dx b. − 2x − 1 4. La compuerta vertical de una presa tiene forma de trapecio isósceles de 12 pies de base superior y 5 de base inferior, con una altura de 10 pies. ¿Cuál es la fuerza ejercida por el fluido sobre la compuerta, si el borde superior de la compuesta al nivel de la superficie del agua? 5. Demuestre que volumen de una pirámide cuya base es un L2 .h cuadrado con lado L y con una altura H equivale a V = . 3
  • 82. 5. Demuestre que volumen de una pirámide cuya base es un L2 .h U.F.P.S. - LIC. MATEMATICAS E INF. MATEMATICAS II HABILITACION cuadrado con lado L y con una altura H equivale a V = . 3 NOMBRE:_______________________________ COD.______________ PROF. SONIA M. MENDOZA FECHA:_____________ 1. Encuentre el centro de masa de una placa semicircular de radio r. U.F.P.S. - LIC. MATEMATICAS E INF. MATEMATICAS II HABILITACION 2. Calcule el volumen del sólido generado al hacer girar en torno a NOMBRE:_______________________________ COD.______________ la recta x = 4 una regio plana acotada por y = x3, x =0, x=2 y el PROF. SONIA M. MENDOZA FECHA:_____________ eje x. 1. Encuentre el centro de masa de una placa semicircular de radio r. 3. Determinar: 2. Calcule el volumen del sólido generado al hacer girar en torno a (2 x + 1) ∫ 3x la recta x = 4 una regio plana acotada por y = x3, x =0, x=2 y el ∫ 3 . cos x.dx x a. 2 .dx b. eje x. − 2x − 1 3. Determinar: 4. La compuerta vertical de una presa tiene forma de trapecio (2 x + 1) ∫ 3x ∫ 3 . cos x.dx isósceles de 12 pies de base superior y 5 de base inferior, con una x a. 2 .dx b. altura de 10 pies. ¿Cuál es la fuerza ejercida por el fluido sobre la compuerta, si el borde superior de la compuesta al nivel de la − 2x − 1 4. La compuerta vertical de una presa tiene forma de trapecio superficie del agua? isósceles de 12 pies de base superior y 5 de base inferior, con una 5. Demuestre que volumen de una pirámide cuya base es un altura de 10 pies. ¿Cuál es la fuerza ejercida por el fluido sobre la L2 .h compuerta, si el borde superior de la compuesta al nivel de la cuadrado con lado L y con una altura H equivale a V = . 3 superficie del agua? U.F.P.S. - LIC. MATEMATICAS E INF. MATEMATICAS II HABILITACION 5. Demuestre que volumen de una pirámide cuya base es un NOMBRE:_______________________________ COD.______________ L2 .h PROF. SONIA M. MENDOZA FECHA:_____________ cuadrado con lado L y con una altura H equivale a V = . 3 1. Encuentre el centro de masa de una placa semicircular de radio r. U.F.P.S. - INGENIERIA CIVIL MATEMATICAS II HABILITACION 2. Calcule el volumen del sólido generado al hacer girar en torno a NOMBRE:____________________________COD.__________ FECHA:_______ la recta x = 4 una regio plana acotada por y = x3, x =0, x=2 y el 1. Una planta tiene 100 pies de largo y 40 de ancho. Una sección eje x. transversal del tejado es una catenaria invertida 3. Determinar: x −x y = 31 − 10(e 20 +e 20 ) Encontrar el número de (2 x + 1) a. ∫ 3x 2 − 2x − 1 .dx b. ∫ 3 . cos x.dx x pies cuadrados de techo en la planta. 2. Determinar: 4. La compuerta vertical de una presa tiene forma de trapecio 3 x +1 sen3 x.dx isósceles de 12 pies de base superior y 5 de base inferior, con una altura de 10 pies. ¿Cuál es la fuerza ejercida por el fluido sobre la a. ∫ x .dx b. ∫ cos x compuerta, si el borde superior de la compuesta al nivel de la 3. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada superficie del agua? por las gráficas de y= x3 + x+1, y=1 y x=1 alrededor de la recta x=2.
  • 83. 4. La densidad de una placa delgada acotada por y=x2 e y=2x+3 2. Determinar: es  (x) = x + 3. Encuentre las coordenadas del centro de la masa. 3 x +1 sen3 x.dx 5. La compuerta vertical de una presa tiene forma de trapecio isósceles de 12 pies de base superior y 5 de base inferior, con una a. ∫ x .dx b. ∫ cos x altura de 10 pies. ¿Cuál es la fuerza ejercida por el fluido sobre la 3. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada compuerta, si el borde superior de la compuesta al nivel de la por las gráficas de y= x3 + x+1, y=1 y x=1 alrededor de la recta x=2. superficie del agua? 4. La densidad de una placa delgada acotada por y=x2 e y=2x+3 es  (x) = x + 3. Encuentre las coordenadas del centro de la masa. U.F.P.S. - INGENIERIA CIVIL MATEMATICAS II HABILITACION 5. La compuerta vertical de una presa tiene forma de trapecio NOMBRE:____________________________COD.__________ FECHA:_______ isósceles de 12 pies de base superior y 5 de base inferior, con una 1. Una planta tiene 100 pies de largo y 40 de ancho. Una sección altura de 10 pies. ¿Cuál es la fuerza ejercida por el fluido sobre la transversal del tejado es una catenaria invertida x −x compuerta, si el borde superior de la compuesta al nivel de la y = 31 − 10(e 20 +e 20 ) Encontrar el número superficie del agua? de pies cuadrados de techo en la planta. 2. Determinar: U.F.P.S. - INGENIERIA CIVIL MATEMATICAS II HABILITACION NOMBRE:____________________________COD.__________ FECHA:_______ 3 x +1 sen3 x.dx 1. Una planta tiene 100 pies de largo y 40 de ancho. Una sección a. ∫ x .dx b. ∫ cos x transversal del tejado es una catenaria x −x invertida y = 31 − 10(e 20 +e 20 ) Encontrar el 3. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada 3 por las gráficas de y= x + x+1, y=1 y x=1 alrededor de la recta x=2. número de pies cuadrados de techo en la 4. La densidad de una placa delgada acotada por y=x2 e y=2x+3 planta. es  (x) = x + 3. Encuentre las coordenadas del centro de la masa. 2. Determinar: 5. La compuerta vertical de una presa tiene forma de trapecio 3 x +1 sen3 x.dx isósceles de 12 pies de base superior y 5 de base inferior, con una altura de 10 pies. ¿Cuál es la fuerza ejercida por el fluido sobre la a. ∫ x .dx b. ∫ cos x compuerta, si el borde superior de la compuesta al nivel de la 3. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada superficie del agua? por las gráficas de y= x3 + x+1, y=1 y x=1 alrededor de la recta x=2. U.F.P.S. - INGENIERIA CIVIL MATEMATICAS II HABILITACION NOMBRE:____________________________COD.__________ FECHA:_______ 4. La densidad de una placa delgada acotada por y=x2 e y=2x+3 es  (x) = x + 3. Encuentre las coordenadas del centro de la masa. 1. Una planta tiene 100 pies de largo y 40 de ancho. Una sección 5. La compuerta vertical de una presa tiene forma de trapecio transversal del tejado es una catenaria invertida x −x isósceles de 12 pies de base superior y 5 de base inferior, con una y = 31 − 10(e 20 +e 20 ) Encontrar el número de altura de 10 pies. ¿Cuál es la fuerza ejercida por el fluido sobre la pies cuadrados de techo en la planta. compuerta, si el borde superior de la compuesta al nivel de la superficie del agua? U.F.P.S. – ING. PROD. INDUSTRIAL – EXAMEN 1. Una bombilla ornamental se diseña la MATEMATICAS II FECHA:________ girar la gráfica alrededor de NOMBRE:____________________ COD.__________
  • 84. 1 12 3 1. Una bombilla ornamental se diseña la NOMBRE:____________________ COD.__________ y= x − x 2 , 0 ≤ x ≤ 1/3 sobre el eje girar la gráfica alrededor de 3 1 1 3 1. Una bombilla ornamental se diseña la x donde x y y son medidos en y= x 2 −x 2 , 0 ≤ x ≤ 1/3 sobre el eje girar la gráfica alrededor de centímetros. Encontrar el área de la 3 1 1 3 superficie de la bombilla y usar el x donde x y y son medidos en y= x 2 −x 2 , 0 ≤ x ≤ 1/3 sobre el eje resultado para aproximar la cantidad centímetros. Encontrar el área de la 3 de vidrio necesario para hacer la superficie de la bombilla y usar el x donde x y y son medidos en bombilla. (Asumir que el vidrio es de resultado para aproximar la cantidad centímetros. Encontrar el área de la 0.5 cm de espesor). (Valor 1.5) de vidrio necesario para hacer la superficie de la bombilla y usar el bombilla. (Asumir que el vidrio es de resultado para aproximar la cantidad 0.5 cm de espesor). (Valor 1.5) de vidrio necesario para hacer la bombilla. (Asumir que el vidrio es de 0.5 cm de espesor). (Valor 1.5) 2. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por las gráficas de y= x3 + x+1, y=1 y x=1 2. Encontrar el volumen del sólido alrededor de la recta x = 2. (Valor 1.5) formado al girar la región acotada por las gráficas de y= x3 + x+1, y=1 y x=1 2. Encontrar el volumen del sólido 3. Encuentre el centro de masa de una alrededor de la recta x = 2. (Valor 1.5) formado al girar la región acotada por placa semicircular de radio r. (Valor 1.0) las gráficas de y= x3 + x+1, y=1 y x=1 3. Encuentre el centro de masa de una alrededor de la recta x = 2. (Valor 1.5) 4. Halle la suma de la serie placa semicircular de radio r. (Valor 1.0) ∞ 3. Encuentre el centro de masa de una  3 1  ∑   n(n + 1) + n  . Señale el tipo(s) al n =1  2   4. Halle ∞ la suma de la serie placa semicircular de radio r. (Valor 1.0)  3 1  que pertenece. (Valor 1.0) ∑  n(n + 1) + 2    n  . Señale el tipo(s) al  4. Halle ∞ la suma de la serie n =1  3 1  que pertenece. (Valor 1.0) ∑  n(n + 1) + 2   n =1  n  . Señale el tipo(s) al  U.F.P.S. – ING. PROD. INDUSTRIAL – EXAMEN MATEMATICAS II FECHA:________ que pertenece. (Valor 1.0) NOMBRE:____________________ COD.__________ U.F.P.S. – ING. PROD. INDUSTRIAL – EXAMEN MATEMATICAS II FECHA:________
  • 85. U.F.P.S. – LIC. MATEM. E INF.- EXAMEN MATEMATICAS II FECHA:__________ NOMBRE:____________________COD.__________ U.F.P.S. – LIC. MATEM. E INF.- EXAMEN SELECCIONE SÓLO 5 EJERCICIOS PARA MATEMATICAS II FECHA:__________ DESARROLLAR EN EL EXAMEN NOMBRE:____________________COD.__________ U.F.P.S. – LIC. MATEM. E INF.- EXAMEN SELECCIONE SÓLO 5 EJERCICIOS PARA MATEMATICAS II FECHA:__________ 1. Demuestre que el volumen de la DESARROLLAR EN EL EXAMEN NOMBRE:____________________COD.__________ 4 SELECCIONE SÓLO 5 EJERCICIOS PARA esfera de radio r es πr 3 . 1. Demuestre que el volumen de la DESARROLLAR EN EL EXAMEN 3 2. Calcule por el método de capas, el 4 esfera de radio r es πr 3 . 3 1. Demuestre que el volumen de la volumen del sólido generado al hacer girar en torno a la recta x = 4, una 2. Calcule por el método de capas, el 4 esfera de radio r es πr 3 . región plana acotada por y= x2 y y= volumen del sólido generado al hacer 3 4x –x2. girar en torno a la recta x = 4, una 2. Calcule por el método de capas, el región plana acotada por y= x2 y y= volumen del sólido generado al hacer 3. La compuerta vertical de una presa 4x –x2. girar en torno a la recta x = 4, una tiene forma de trapecio isósceles de 12 región plana acotada por y= x2 y y= pies de base superior y 5 de base 3. La compuerta vertical de una presa 4x –x2. inferior, con una altura de 10 pies. tiene forma de trapecio isósceles de 12 ¿Cuál es la fuerza ejercida por el fluido pies de base superior y 5 de base 3. La compuerta vertical de una presa sobre la compuerta, si el borde inferior, con una altura de 10 pies. tiene forma de trapecio isósceles de 12 superior de la compuesta al nivel de la ¿Cuál es la fuerza ejercida por el fluido pies de base superior y 5 de base superficie del agua? sobre la compuerta, si el borde inferior, con una altura de 10 pies. superior de la compuesta al nivel de la ¿Cuál es la fuerza ejercida por el fluido 4. Calcular el área de la región R, si está superficie del agua? sobre la compuerta, si el borde limitada por: y = x3, x =-1, x=2 y el superior de la compuesta al nivel de la eje x. 4. Calcular el área de la región R, si está superficie del agua? limitada por: y = x3, x =-1, x=2 y el 5. Encuentre el centro de masa de una eje x. 4. Calcular el área de la región R, si está placa semicircular de radio r. limitada por: y = x3, x =-1, x=2 y el ∞ 5. Encuentre el centro de masa de una 1 eje x. 6. Determine si la ∑n 2 +1 converge o placa semicircular de radio r. ∞ 1 5. Encuentre el centro de masa de una ∑n n =1 6. Determine si la converge o placa semicircular de radio r. diverge. 2 +1 n =1 diverge.
  • 86. ∞ y = 2x2 , y = 0 , x = 0, x = 5. Usando el 4. Hallar el volumen generado al hacer girar 1 6. Determine si la ∑n n =1 2 +1 converge método de capas. 5. Determinar si la serie es convergente o divergente y su suma. en torno al eje y; el área plana dada por y = 3x2 , y = 0 , x = 0, x = 5. Usando el método de capas. o diverge. ∞ ∞ n 4 a. ∑ 2n n =0 b. ∑ (5 / 3) 5. Determinar si la serie es convergente o divergente y su suma. n n =0 ∞ ∞ 4 U.F.P.S. MATEMATICAS II - EXAMEN FINAL a. ∑ (1/ 3) b. ∑ 2n n =0 U.F.P.S. n =0 NOMBRE:___________________COD._______ MATEMATICAS II - EXAMEN FINAL PROF. SONIA MARITZA MENDOZA U.F.P.S. NOMBRE:___________________COD._______ MATEMATICAS II - EXAMEN FINAL 1. Un tanque de almacenamiento es un PROF. SONIA MARITZA MENDOZA cilindro circular recto de 20 pies de largo y NOMBRE:___________________COD._______ 8 pies de diámetro, con su eje horizontal. 1. Un tanque de almacenamiento es un PROF. SONIA MARITZA MENDOZA Si el tanque está semilleno de un líquido de cilindro circular recto de 20 pies de largo y peso w lb/pie3 , hállese el trabajo realizado 8 pies de diámetro, con su eje horizontal. 1. Un tanque de almacenamiento es un al vaciarlo por una tubería que va desde Si el tanque está semilleno de un líquido de cilindro circular recto de 20 pies de largo y el fondo del tanque hasta una salida peso w lb/pie3 , hállese el trabajo realizado 8 pies de diámetro, con su eje horizontal. situada 6 pies encima de la parte superior al vaciarlo por una tubería que va desde Si el tanque está semilleno de un líquido de del tanque. el fondo del tanque hasta una salida peso w lb/pie3 , hállese el trabajo realizado situada 6 pies encima de la parte superior al vaciarlo por una tubería que va desde 2. La densidad de una placa delgada del tanque. el fondo del tanque hasta una salida acotada por y = x 2 e y = 2x + 1 es  situada 6 pies encima de la parte superior (x) = x + 2. Encuentre las coordenadas del 2. La densidad de una placa delgada del tanque. centro de la masa. acotada por y = x2 e y = 2x + 3 es  (x) = x + 3. Encuentre las coordenadas 2. La densidad de una placa delgada 3. Una ventana de observación circular en del centro de la masa. acotada por y = x2 e y = 4x + 3 es un buque de investigación científica tiene  (x) = x + 2. Encuentre las coordenadas un radio de 1 pie y su centro sumergido a 3. Una ventana de observación circular en del centro de la masa. 10 pies de profundidad bajo el agua. un buque de investigación científica tiene Calcular la fuerza ejercida por el agua un radio de 1 pie y su centro sumergido a 8 3. Una ventana de observación circular en sobre la ventana. (Densidad de peso del pies de profundidad bajo el agua. un buque de investigación científica tiene agua de mar = 64 lb/pie3). Calcular la fuerza ejercida por el agua un radio de 2 pie y su centro sumergido a 8 sobre la ventana. (Densidad de peso del pies de profundidad bajo el agua. 4. Hallar el volumen generado al hacer girar agua de mar = 64 lb/pie3). Calcular la fuerza ejercida por el agua en torno al eje y; el área plana dada por
  • 87. sobre la ventana. (Densidad de peso del y = 2x2 , y = 0 , x = 0, x = 4. Usando el n ∞ ∞ 16 ∑ (5 / 3) ∑ 2n agua de mar = 64 lb/pie3). método de capas. a. b. 4. Hallar el volumen generado al hacer girar 5. Determinar si la serie es convergente o n =0 n =0 en torno al eje y; el área plana dada por divergente y su suma. U.F.P.S. - ING. PROD. IND. EXAMEN modo que el sólido pierde un cuarto de su ∞ ∞ 2 ∑ 4n 3 NOMBRE:__________________ COD._________ FECHA:___________PROF. SONIA M. MENDOZA volumen. ¿Qué diámetro tiene el orificio? 5. Determinar que tipo de serie es, analizar si a. 2 −1 b. ∑2 n =0 n n =1 1. Un tanque de almacenamiento es un converge o diverge y su suma. cilindro circular recto de 20 pies de largo y ∞ ∞ 4. Un tanque de almacenamiento es un 2 ∑ 4n 3 8 pies de diámetro, con su eje horizontal. Si el tanque está semilleno de un líquido de a. ∑2 n =0 n b. 2 −1 cilindro circular recto de 20 pies de largo y 8 pies de diámetro, con su eje horizontal. Si peso w lb/pie3 , hállese el trabajo realizado n =1 el tanque está semilleno de un líquido de al vaciarlo por una tubería que va desde el U.F.P.S. - ING. PROD. IND. EXAMEN peso w lb/pie3 , hállese el trabajo realizado fondo del tanque hasta una salida situada NOMBRE:__________________ COD._________ al vaciarlo por una tubería que va desde el 6 pies encima de la parte superior del FECHA:___________PROF. SONIA M. MENDOZA fondo del tanque hasta una salida situada tanque. 1. Un sólido se genera haciendo girar la 6 pies encima de la parte superior del 2. La densidad de una placa delgada región acotada por y=1/2x2 e y = 2 tanque. acotada por y = x2 e y = 2x + 3 es  alrededor del eje y. Se perfora un orificio 5. La densidad de una placa delgada (x) = x + 3. Encuentre las coordenadas del circular, centrado en el eje de giro, de acotada por y = x2 e y = 2x + 3 es  centro de la modo que el sólido pierde un cuarto de su (x) = x + 3. Encuentre las coordenadas del masa. volumen. ¿Qué diámetro tiene el orificio? centro de la masa. 3. Un cable 2. Un cable U.F.P.S. - ING. PROD. IND. EXAMEN eléctrico eléctrico NOMBRE:__________________ COD._________ que cuelga que cuelga FECHA:___________PROF. SONIA M. MENDOZA de dos torres de dos torres distantes 200 distantes 200 1. La densidad de una placa delgada pies adopta pies adopta acotada por y = x2 e y = 2x + 3 es  la forma de la forma de (x) = x + 3. Encuentre las coordenadas del una una centro de la masa. catenaria catenaria de ecuación de 2. Un sólido se genera haciendo girar la y = 75 (e x/150 + e- x/150 )= ecuación región acotada por y=1/2x2 e y = 2 x/150 x/150 150 cosh (x / 150) y = 75 (e + e- )= alrededor del eje y. Se perfora un orificio 150 cosh (x / 150) circular, centrado en el eje de giro, de 4. Un sólido se genera haciendo girar la modo que el sólido pierde un cuarto de su región acotada por y=1/2x2 e y = 2 3. Determinar que tipo de serie es, analizar si volumen. ¿Qué diámetro tiene el orificio? alrededor del eje y. Se perfora un orificio converge o diverge y su suma. circular, centrado en el eje de giro, de
  • 88. 3. Determinar que tipo de serie es, analizar si 3. Determine a que tipo de serie pertenece, piscina. Hallar la fuerza ejercida por el converge o diverge y su suma. halle su suma si es posible y determine su agua contra un lado de la placa. ∞ ∞ ∞ 1 3. Determine a que tipo de serie pertenece, a. ∑2 3 b. ∑ 4n 2 carácter: ∑ n(n + 1) n =1 halle su suma si es posible y determine su n 2 ∞ −1 1 n =0 n =1 4. Un cable para un puente suspendido tiene carácter: ∑ n(n + 1) la forma de una parábola con la n =1 4. Un tanque de almacenamiento es un ecuación y = kx2. Cada una de sus torres 4. Un cable para un puente suspendido tiene cilindro circular recto de 20 pies de largo y tiene una altura aproximada de 155 la forma de una parábola con la 8 pies de diámetro, con su eje horizontal. Si metros. y tiene una anchura principal ecuación y = kx2. Cada una de sus torres el tanque está semilleno de un líquido de aproximadamente de 1400 metros. tiene una altura aproximada de 155 peso w lb/pie3 , hállese el trabajo realizado Determine la longitud del cable metros. y tiene una anchura principal al vaciarlo por una tubería que va desde el parabólico a lo largo de la anchura aproximadamente de 1400 metros. fondo del tanque hasta una salida situada principal. Determine la longitud del cable 6 pies encima de la parte superior del 5. Encuentre el trabajo realizado para parabólico a lo largo de la anchura tanque. bombear agua hasta el borde superior de principal. un depósito, que es de 50 pies de largo y 5. Encuentre el trabajo realizado para 5. Un canalón se llena con un líquido cuya que tiene extremos semicirculares de radio bombear agua hasta el borde superior de densidad es 840 kg/m3. Los extremos del 10 pies, si el depósito está lleno hasta una un depósito, que es de 50 pies de largo y canalón son triángulos equiláteros de 8 m profundidad de 7 pies. que tiene extremos semicirculares de radio de lado y vértice hacia abajo. Calcule la 10 pies, si el depósito está lleno hasta una fuerza hidrostática sobre uno de los profundidad de 7 pies. extremos del canalón. U.F.P.S. – LIC. MAT E INF. MATEMATICAS II - EXAMEN FINAL FEHA: __________ NOMBRE:_____________________ COD._________ U.F.P.S. – LIC. MAT E INF. MATEMATICAS II - EXAMEN FINAL FEHA: __________ 1. Demuestre que el centro de masa de NOMBRE:_____________________ COD._________ U.F.P.S. – LIC. MAT E INF. MATEMATICAS II - cualquier varilla delgada con densidad EXAMEN FINAL FEHA: __________ constante, se encuentra ubicado en 1. Demuestre que el centro de masa de NOMBRE:_____________________ COD._________ medio de sus extremos. cualquier varilla delgada con densidad 2. Una placa en forma de triángulo isósceles constante, se encuentra ubicado en 1. Demuestre que el centro de masa de con base de 6 pies y altura de 3 pies se medio de sus extremos. cualquier varilla delgada con densidad sumerge verticalmente con la base hacia 2. Una placa en forma de triángulo isósceles constante, se encuentra ubicado en arriba, 5 pies bajo la superficie de una con base de 6 pies y altura de 3 pies se medio de sus extremos. piscina. Hallar la fuerza ejercida por el sumerge verticalmente con la base hacia 2. Una placa en forma de triángulo isósceles agua contra un lado de la placa. arriba, 5 pies bajo la superficie de una con base de 6 pies y altura de 3 pies se sumerge verticalmente con la base hacia
  • 89. arriba, 5 pies bajo la superficie de una s. ln s 3. piscina. Hallar la fuerza ejercida por el agua contra un lado de la placa. Determine a que tipo de serie pertenece, a. ∫ (1 − s ) 2 1/ 2 .ds halle su suma si es posible y determine su 10 carácter: ∞ ∑ 1 b. ∫ x.( x 2 + 1) .dx n =1 n(n + 1) 4. Un cable para un puente suspendido tiene 2. Evalúe la integral e interprétela como el la forma de una parábola con la área de una región ecuación y = kx2. Cada una de sus torres 1 tiene una altura aproximada de 155 ∫x 3 metros. y tiene una anchura principal − x .dx aproximadamente de 1400 metros. Determine la longitud del cable −1 parabólico a lo largo de la anchura 3. Hallar el volumen generado cuando el principal. área plana acotada por y = - x2 – 3x + 6 y 5. Encuentre el trabajo realizado para por x + y – 3 = 0 se hace girar alrededor bombear agua hasta el borde superior de de x = 3. un depósito, que es de 50 pies de largo y que tiene extremos semicirculares de radio 4. Un tanque de almacenamiento es un 10 pies, si el depósito está lleno hasta una cilindro circular recto de 20 pies de largo y profundidad de 7 pies. 8 pies de diámetro, con su eje horizontal. Si el tanque está semilleno de un líquido de peso w lb/pie3 , hállese el trabajo realizado al vaciarlo por una tubería que va desde el fondo del tanque hasta una salida situada 6 pies encima de la parte superior del tanque. 5. Encuentre el centroide (las coordenadas U.F.P.S. - ING. PROD. INDUSTRIAL del centro de la masa) de la región MATEMATICAS II - HABILITACION limitada por la recta y = x y la parábola y = x2. NOMBRE:___________________COD._______ PROF. SONIA MARITZA MENDOZA U.F.P.S. - ING. PROD. INDUSTRIAL 1. Determinar: MATEMATICAS II - HABILITACION NOMBRE:___________________COD._______
  • 90. PROF. SONIA M. MENDOZA FEHA: _________ U.F.P.S. - ING. PROD. INDUSTRIAL NOMBRE:______________________COD._________ MATEMATICAS II - HABILITACION 6. Determinar: PROF. SONIA M. MENDOZA FECHA:____________ 3 NOMBRE:______________________COD._________ x +1 sen3 x.dx b. ∫ x .dx b. ∫ cos x 1. Calcule el volumen del sólido generado al hacer girar en torno a la recta x = 4 una PROF. SONIA M. MENDOZA FECHA:____________ 7. Calcular el área de la región R, si está regio plana acotada por y = x3, x =0, 1. Calcule el volumen del sólido generado al limitada por: x.y = 1; y = 3x; y = x/3. x=2 y el eje x. (Valor 1.5) hacer girar en torno a la recta x = 4 una regio plana acotada por y = x3, x =0, 8. Hallar el volumen generado al girar el área 2. Una planta tiene 100 pies de largo y 40 de x=2 y el eje x. (Valor 1.5) 2 acotada por la parabola y = 8x y su latus ancho. Una sección transversal del tejado rectum (x=2) en torno al latus rectum. es una catenaria invertida 2. Una planta tiene 100 pies de largo y 40 de x −x y = 31 − 10(e 20 +e 20 ) Encontrar el ancho. Una sección transversal del tejado 9. Un alambre recto de 7 unidades de largo es una catenaria invertida número de pies cuadrados de techo en la x −x tiene densidad δ ( x) = x en un punto a planta. (Valor 1.5) y = 31 − 10(e 20 +e 20 ) Encontrar el x unidades de un extremo. Encuentre la número de pies cuadrados de techo en la distancia, desde este extremo al centro de planta. (Valor 1.5) masa. 10. Un canalón se llena con un líquido cuya densidad es 840 kg/m3. Los extremos del canalón son triángulos equiláteros de 8 m de lado y vértice hacia abajo. Calcule la fuerza hidrostática sobre uno de los 3. Determinar: (Valor 1.0) extremos del canalón (2 x + 1) a. ∫ 3x 2 − 2x − 1 .dx 3. Determinar: (2 x + 1) (Valor 1.0) b. ∫ x 3 . cos x.dx a. ∫ 3x 2 − 2x − 1 .dx ∫ 3 . cos x.dx x b. 4. Un tanque rectangular con base de 4 pies por 5 pies y una altura de 4 pies está lleno de agua. El agua pesa 62.4 libras por pie3. 4. Un tanque rectangular con base de 4 pies ¿Cuánto trabajo se realiza bombeando el por 5 pies y una altura de 4 pies está lleno U.F.P.S. - ING. PROD. INDUSTRIAL agua encima del borde de la parte de agua. El agua pesa 62.4 libras por pie3. MATEMATICAS II - HABILITACION superior para vaciar la mitad del tanque? ¿Cuánto trabajo se realiza bombeando el
  • 91. agua encima del borde de la parte de agua. El agua pesa 62.4 libras por pie3.  x −x  superior para vaciar la mitad del tanque? ¿Cuánto trabajo se realiza bombeando el y = 75 e 150 + e 150  donde x y y son U.F.P.S. - ING. PROD. INDUSTRIAL agua encima del borde de la parte   MATEMATICAS II - HABILITACION superior para vaciar la mitad del tanque? medidos en metros. La separación entre U.F.P.S. - LIC. MATEMATICAS E INF. las dos torres es de 40 metros. Encontrar la NOMBRE:______________________COD._________ MATEMATICAS II - HABILITACION longitud del cable suspendido. ( Valor 1.5) PROF. SONIA M. MENDOZA FECHA:____________ NOMBRE:______________________COD._________ PROF. SONIA M. MENDOZA FECHA:____________ U.F.P.S. - LIC. MATEMATICAS E INF. MATEMATICAS II - HABILITACION 1. Calcule el volumen del sólido generado al 1. Demuestre que volumen de una pirámide NOMBRE:______________________COD._________ hacer girar en torno a la recta x = 4 una cuya base es un cuadrado con lado L y PROF. SONIA M. MENDOZA FECHA:____________ regio plana acotada por y = x3, x =0, L2 .h con una altura H equivale a V = . (V. 1.0) 1. Demuestre que volumen de una pirámide x=2 y el eje x. (Valor 1.5) 3 cuya base es un cuadrado con lado L y 2. Un tanque en forma de cono circular 2. Una planta tiene 100 pies de largo y 40 de L2 .h invertido de 10 m de altura y 4 m de radio con una altura H equivale a V = . (V. 1.0) ancho. Una sección transversal del tejado de la base, se llena con agua hasta una 3 es una catenaria invertida altura de 8 m. Calcule el trabajo 2. Un tanque en forma de cono circular x −x invertido de 10 m de altura y 4 m de radio y = 31 − 10(e 20 +e 20 ) Encontrar el requerido para vaciarlo bombeando toda el agua hasta la altura de la tapa del de la base, se llena con agua hasta una número de pies cuadrados de techo en la tanque. (La densidad del agua es 1000 altura de 8 m. Calcule el trabajo planta. (Valor 1.5) kg/m3). (Valor 1.5) requerido para vaciarlo bombeando toda 3. Determinar: (Valor 1.0) el agua hasta la altura de la tapa del tanque. (La densidad del agua es 1000 a. ∫ e ax . cos bx.dx 3. kg/m3). Determinar: (Valor 1.5) (Valor 1.0) b. ∫x 3 3x 2 + 3x + 1 + 2x 2 + 2x + 1 .dx a. ∫ e ax . cos bx.dx 3x 2 + 3x + 1 3. Determinar: (Valor 1.0) 4. Los alambres eléctricos suspendidos entre b. ∫x 3 + 2x 2 + 2x + 1 .dx (2 x + 1) ∫ 3x dos torres forman una catenaria a. 2 .dx modelada por la ecuación − 2x − 1 4. Los alambres eléctricos suspendidos entre dos torres forman una catenaria b. ∫ 3x. cos x.dx modelada por la ecuación 4. Un tanque rectangular con base de 4 pies por 5 pies y una altura de 4 pies está lleno
  • 92.  x −x   x −x  y = 75 e 150 + e 150  donde x y y son y = 75 e 150 + e 150  donde x y y son     medidos en metros. La separación entre medidos en metros. La separación entre las dos torres es de 40 metros. Encontrar la las dos torres es de 40 metros. Encontrar la longitud del cable suspendido. longitud del cable suspendido. ( Valor 1.5) ( Valor 1.5) U.F.P.S. - LIC. MATEMATICAS E INF. 6. MATEMATICAS II - HABILITACION NOMBRE:______________________COD._________ PROF. SONIA M. MENDOZA FECHA:____________ 1. Demuestre que volumen de una pirámide cuya base es un cuadrado con lado L y L2 .h con una altura H equivale a V = . (V. 1.0) 3 2. Un tanque en forma de cono circular invertido de 10 m de altura y 4 m de radio de la base, se llena con agua hasta una altura de 8 m. Calcule el trabajo requerido para vaciarlo bombeando toda el agua hasta la altura de la tapa del tanque. (La densidad del agua es 1000 kg/m3). (Valor 1.5) 3. Determinar: (Valor 1.0) a. ∫ e ax . cos bx.dx 3x 2 + 3x + 1 b. ∫x 3 + 2x 2 + 2x + 1 .dx 4. Los alambres eléctricos suspendidos entre dos torres forman una catenaria modelada por la ecuación