Ejercicios resueltos de Sistemas de inecuaciones

1. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con dos incógnitas
}
y<−2x+ 4
y≥ x
Solución:
Vamos a representar las rectas y=−2x +4 y y=x
Una vez representadas, hemos de señalar, en cada una de la
inecuaciones, el área solución:
a)
Para la ecuación y <−2x+ 4 , vamos a elegir un valor
cualquiera, como puede ser el punto (1,1).
1<−2 ·1+4 ⇒1<−2+4 ⇒1< 2
Es correcto: el área solución de la 1ª inecuación será la
que contiene este punto (sin incluir la recta
y=−2x +4 ).
De la misma forma, podemos ver que el área solución de
la segunda inecuación y≥x es el conjunto de puntos
que está por encima de la recta y=x ( incluida la
propia recta).
Si marcamos las dos áreas, nos encontramos con:
El área sombreada será la solución de nuestro sistema.
b) 6x−5y≤−30
4x+ 3y≤0
Solución:
Representamos las rectas: 6x−5y=−30 y 4x +3y=0
Una vez representadas, hemos de señalar, en cada una de la
inecuaciones, el área solución:
Para la ecuación 6x−5y≤−30 vamos a elegir un valor
cualquiera, como puede ser el punto (0,0).
6 · 0−5 · 0≤−30 ⇒0≤−30
Es incorrecto y por tanto el área solución de la primera
inecuación será la que no contiene a este punto (incluida la
recta 6x−5y=−30 ).
De la misma forma, podemos ver el área solución de la
segunda inecuación 4x +3y≤0 . Vamos a ver qué ocurre con el punto (1,1):
4 · 1+3 ·1≤0⇒ 7≤0 También es incorrecto, por lo que el área solución de esta inecuación es la
que está por debajo de la recta (incluida la recta 4x +3y=0 ).
Si marcamos las dos áreas, nos encontramos con:
}
El área sombreada será la solución de nuestro sistema.

2. }
x− y≥0
y−2≤0
c)
2x+ y≤10
y≥0
Solución:
Vamos a representar las dos rectas: x− y =0 ,
y−2=0 , 2x + y=10 y y=0
Una vez representadas, hemos de señalar, en cada
una de la inecuaciones, el área solución:
Para la ecuación x− y =0 vamos a elegir un
valor cualquiera, como puede ser el punto (1,0).
1−0≥0 ⇒1≥0
Es correcto y por tanto el área solución de la primera inecuación será la que contiene a este punto
(incluida la recta x− y =0 ).
De la misma forma, podemos ver el área solución de la segunda inecuación y−2≤0 ⇒ y≤2 . En
este caso, está claro que el área solución para esta inecuación será el área que hay por debajo de la
recta y=2 .
Para la ecuación 2x + y≤10 , podemos probar con el punto (0,0).
Sustituyendo: 2 · 0+0≤10 ⇒0≤10 Es correcto, por lo que el área solución de esta inecuación es
la que contiene al punto (0,0) (incluida la recta 2x + y=10 ).
Por último, para y≥0 vemos que el área solución será todo lo que esté por encima de la recta
y=0 (incluida la recta y=0 ).
Si marcamos las dos áreas, nos encontramos con:
El área sombreada será la solución de nuestro sistema.