O documento apresenta conceitos fundamentais sobre números binomiais, binomiais complementares e consecutivos, o triângulo de Pascal e suas propriedades, e a fórmula do binômio de Newton.

1. Profº Daniel Mascarenhas

2. Números binomiais
Definição
Sejam m e p dois números naturais quaisquer e tais
que n ≥ p. Chama-se número binomial e indica-se
n 
por  p  o número binomial assim definido:
 
 
n  n!
 =
 p  p! (n − p )!
 
Em que n é chamado de numerador e p, de
denominador do binomial.

3. Binomiais complementares
Dois números binomiais são complementares se
apresentarem o mesmo numerador, o mesmo
denominador e a soma dos denominadores for
igual ao numerador.
n  n p = q
 = ⇔
 p q 
    p + q = n

4. Binomiais consecutivos
Dois números binomiais de mesmo numerador
são consecutivos se seus denominadores forem
números consecutivos.
 n − 1  n − 1  n 

 p − 1 +  p  =  p 
    
     

5. Exercício de Aprofundamento -01

6. 02.

7. 03.

8. 04.

9. Triângulo de Pascal
• O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético
formado por números que têm diversas relações
entre si. Muitas dessas relações foram descobertas
pelo próprio Pascal, o que justifica o nome que lhe é
dado.
• Este triângulo forma-se de forma recursiva, ou seja,
as diagonais de fora são formadas por 1's, os
restantes números são a soma dos números acima.
Como exemplo podemos dizer que: 10=4+6 (10-
linha 5; 4 e 6-linha 4).
• NOTA: Considera-se que o topo do triângulo
corresponde à linha 0, coluna 0.
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/pascal.htm

11. Propriedades
Propriedade 1
• A primeira propriedade do triângulo que iremos
apresentar está relacionada à soma dos
elementos de cada uma das linhas.
• A soma dos elementos de uma linha de
numerados n será:
n n 
Σ =2 n
p = 0 p 
 

12. Propriedade 2
• A próxima propriedade do triângulo que
veremos é a relação de Stifel.
• Ela diz que a soma de dois números de uma
mesma linha do triângulo é o número que está
na linha logo abaixo, bem abaixo dos dois
números somados.
 n − 1  n − 1  n 

 p − 1 +  p  =  p 
    
     

13. • Propriedade 3
• Nossa próxima propriedade diz respeito à soma
dos números dispostos em diagonal,
começando sempre do 1 a partir da direita.
• Para uma diagonal genérica, podemos escrever:
 n   n + 1  n + 2   n + 3   n + k   n + k + 1
 +
 0   1  +  2  +  3  + .... +  k
      =
 k 

           

14. • Propriedade 4
• Desde o primeiro até um determinado elemento,
é igual ao binomial situado imediatamente à
direita e abaixo do último elemento considerado.
• Para uma coluna genérica, podemos escrever:
 n   n + 1  n + 2   n + 3   n + k   n + k + 1
 +
n n  + n  +
 n  + .... + 
 n =
 n +1  
           

15. 05.

16. 06.

17. 07.

18. 08.

19. Binômio de Newton
• Fórmula do termo geral do binômio
 n  n−p p
Tp +1 =  ( x ) (a )
 p
 
Dicas Importantes!!!
i)Invertendo-se os expoentes de a e b da fórmula acima, obtém-se a fórmula
do binômio de Newton segundo as potências crescentes de a.
ii)A soma dos coeficientes do binômio é :
n n 
Σ   = 2n
p = 0 p 
 
iii) O termo médio ou central é calculado pela expressão :
n
Tmédio = + 1, se n for par
2
Se n for ímpar, o desenvolvi mento não tem termo médio ou central

20. 09.

21. 10.

22. 11.

23. 12.

24. 13.

25. PS - Revisional
• Pág: 108 q(38 – a, b, d), q(39)
• Questões para aprofundamento
• Pág: 108 q (40, 41, 42, 43, 44 e 45)