Binômio de newton e triângulo de pascal

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Material do Professor Daniel Mascarenhas sobre Binônio de Newton e Triângulo de Pascal para os alunos do 3o. ano do Ensino Médio - Colégio Espaço Aberto - Set. 2012

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Binômio de newton e triângulo de pascal

  1. 1. Profº Daniel Mascarenhas
  2. 2. Números binomiaisDefinição Sejam m e p dois números naturais quaisquer e tais que n ≥ p. Chama-se número binomial e indica-se n  por  p  o número binomial assim definido:     n  n!  =  p  p! (n − p )!   Em que n é chamado de numerador e p, de denominador do binomial.
  3. 3. Binomiais complementares Dois números binomiais são complementares se apresentarem o mesmo numerador, o mesmo denominador e a soma dos denominadores for igual ao numerador. n  n p = q  = ⇔  p q      p + q = n
  4. 4. Binomiais consecutivos Dois números binomiais de mesmo numerador são consecutivos se seus denominadores forem números consecutivos.  n − 1  n − 1  n    p − 1 +  p  =  p            
  5. 5. Exercício de Aprofundamento -01
  6. 6. 02.
  7. 7. 03.
  8. 8. 04.
  9. 9. Triângulo de Pascal• O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético formado por números que têm diversas relações entre si. Muitas dessas relações foram descobertas pelo próprio Pascal, o que justifica o nome que lhe é dado.• Este triângulo forma-se de forma recursiva, ou seja, as diagonais de fora são formadas por 1s, os restantes números são a soma dos números acima. Como exemplo podemos dizer que: 10=4+6 (10- linha 5; 4 e 6-linha 4).• NOTA: Considera-se que o topo do triângulo corresponde à linha 0, coluna 0. http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/pascal.htm
  10. 10. PropriedadesPropriedade 1• A primeira propriedade do triângulo que iremos apresentar está relacionada à soma dos elementos de cada uma das linhas.• A soma dos elementos de uma linha de numerados n será: n n  Σ =2 n p = 0 p   
  11. 11. Propriedade 2• A próxima propriedade do triângulo que veremos é a relação de Stifel.• Ela diz que a soma de dois números de uma mesma linha do triângulo é o número que está na linha logo abaixo, bem abaixo dos dois números somados.  n − 1  n − 1  n    p − 1 +  p  =  p            
  12. 12. • Propriedade 3• Nossa próxima propriedade diz respeito à soma dos números dispostos em diagonal, começando sempre do 1 a partir da direita.• Para uma diagonal genérica, podemos escrever: n   n + 1  n + 2   n + 3   n + k   n + k + 1 + 0   1  +  2  +  3  + .... +  k       =  k             
  13. 13. • Propriedade 4• Desde o primeiro até um determinado elemento, é igual ao binomial situado imediatamente à direita e abaixo do último elemento considerado.• Para uma coluna genérica, podemos escrever: n   n + 1  n + 2   n + 3   n + k   n + k + 1 +n n  + n  +  n  + .... +   n =  n +1             
  14. 14. 05.
  15. 15. 06.
  16. 16. 07.
  17. 17. 08.
  18. 18. Binômio de Newton• Fórmula do termo geral do binômio  n  n−p p Tp +1 =  ( x ) (a )  p   Dicas Importantes!!! i)Invertendo-se os expoentes de a e b da fórmula acima, obtém-se a fórmula do binômio de Newton segundo as potências crescentes de a. ii)A soma dos coeficientes do binômio é : n n  Σ   = 2n p = 0 p    iii) O termo médio ou central é calculado pela expressão : n Tmédio = + 1, se n for par 2 Se n for ímpar, o desenvolvi mento não tem termo médio ou central
  19. 19. 09.
  20. 20. 10.
  21. 21. 11.
  22. 22. 12.
  23. 23. 13.
  24. 24. PS - Revisional • Pág: 108 q(38 – a, b, d), q(39) • Questões para aprofundamento • Pág: 108 q (40, 41, 42, 43, 44 e 45)

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