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Cours Systèmes Multivariables @ EPFL, 2011

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  1. 1. Systèmes discrets linéaires et stationnaires Solution k 1 x (k + 1) = ⇥x (k) + u (k) x (k) = ⇥k k0 x (k0 ) + ⇥k l 1 u (l) ⌅ ⇤⇥ ⇧ y (k) = Cx (k) + Du (k) l=k0 R´ponse libre e ⌅ ⇤⇥ ⇧ R´ponse forc´e e e Matrice de transfert et stabilité ⇥ 1 Y (z) = C (zI ⇥) + D U (z) = H (z) U (z) ⇤ ⌅ H11 (z) . . . H1r (z) ⇥ ⌥ . . Hij (z) H (z) = ⇧ . . . . ⌃ = [Hij (z)] = det (zI ) Hp1 (z) · · · Hpr (z) Pˆles zi des Hij solution de: det (zI o )=0 Valeurs propres vi de solution de: det ( I )=0 zi = vi Asymptotiquement stable si: |vi | < 1 pour i = 1, . . . , nDenis Gillet @ EPFL 1
  2. 2. Commande d’étatSystème x (k + 1) = ⇥x (k) + u (k) x (k + 1) ˜ = ⇥˜ (k) + u (k) x ˜à régler y (k) = Cx (k) + Du (k) y (k) ˜ = C x (k) + D˜ (k) ˜ uRégulateur u (k) = Kx (k) u (k) = ˜ K x (k) ˜ ¯ u ¯ y y (k) u (k) ˜ y (k) ˜ u (k) Système à Système à + - régler avec régler avec AD & DA u (k) AD & DA y (k) x (k) x (k) - -K ¯ x x (k) ˜ -K 2
  3. 3. Commande d’étatSystème à régler x (k + 1) = ⇥x (k) + u (k) y (k) = Cx (k) + Du (k)Régulateur u (k) = Kx (k) BF ⌅⇤ ⇥Système en boucle x (k + 1) = (⇥ K) x (k)fermée (BF) y (k) = (C DK) x (k) ⇤ ⇥ ⌅ CBF 1 X (z) = (zI BF ) zx (0) = W (z) x (0) Xi (z) = Wi1 (z) x1 (0) + . . . + Wij (z) xj (0) + . . . + Win (z) xn (0) Z −1 ⎡Wij ( z ) ⎤ = ∑ ci zik + 2∑ ci* ri k cos ( kω i + ϕ i ) + ∑ ⎡ c1i zik + c2i kzik −1 + …⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ i i iLa commande d’état ramène l’état à zéro x (k) 0 pour k ⇥En variables écart, la commande d’état x (k) ˜ 0 ou x (k) x pour k ¯ ⇥ramène l’état à l’état nominal 3
  4. 4. Principe de synthèse de la commande d’étatSystème à régler x (k + 1) = ⇥x (k) + u (k) y (k) = Cx (k) + Du (k)Régulateur u (k) = Kx (k) BF ⌅⇤ ⇥Système en boucle x (k + 1) = (⇥ K) x (k)fermée (BF) y (k) = (C DK) x (k) ⇤ ⇥ ⌅ CBF det(⇥I ⇥BF ) = det(⇥I ⇥ + K) = c (⇥) = (⇥ ⇥1 ) (⇥ ⇥2 ) . . . (⇥ ⇥n ) = = ⇥n + 1⇥ n 1 + ... + n 1⇥ + n = 0 Identification terme à terme dans le cas SIMO (une entrée) 4
  5. 5. Double intégrateur (5.1.2) BF ⌅⇤ ⇥ ⇥ ⇥ ⇤ Système x (k + 1) = (⇥ K) x (k) 1 h h 2 2 en BF = = y (k) = (C DK) x (k) 0 1 h ⇤ ⇥ ⌅ CBF det ( I ⇥ + K) = ( 1) ( 2) =0 Choix des valeurs propres 1,2 = 0.8 ± 0.25j ⌅⌃ ⌥ ⌃ ⌥ ⌃ ⇤ ⌥ ⇧ 0 1 h h 2 2 ⇥det + K1 K2 =( 0.8 0.25j) ( 0.8 + 0.25j) 0 0 1 h ⇤ ⌅⇥ h2 h2 1+ 2 K1 h+ 2 K2 det = 2 1.6 + 0.7 hK1 1 + hK2 2 ⇥ 2 ⇥ h h 2 + hK2 + K1 2 + K1 hK2 + 1 = 2 1.6 + 0.7 2 2 ⇧ ⌅⇤ ⌃ ⇧ ⌅⇤ ⌃ 1.6 0.7 K1 = 0.1 h2 = 10 et K2 = 0.35/h = 3.5 pour h = 0.1s 5
  6. 6. FT → Modèle d’état (2.5) Y (z) b0 + b1 z 1 + b2 z 2 + . . . + bn z n H (z) = = U (z) 1 + a1 z 1+a z 2 2 + ... + a z n n ⇥ ⇥ a1 a2 ... an 1 an 1 ⇧ 1 0 ... 0 0 ⌃ ⇧ ⌃ ⇧ ⌃ ⇧ 0 ⌃ ⇧ . . . . ⌃w (k + 1) = ⇧ 0 1 . . ⌃ w (k) + ⇧ ⇧ . . ⌃ ⌃ u (k) ⇧ ⌃ ⇧ . ⌃ ⇧ . . .. ⌃ ⇤ ⇤ . . 0 0 ⌅ 0 ⌅ 0 ... 0 1 0 0 ⌥ ⌦ ⌥ ⌦ w gw ⇥ y (k) = b1 a1 b0 b2 a2 b0 ... bn an b0 w (k) + b0 u (k) ⇧ ⌅⇤ ⌃ cT w det ( I w) = n + a1 n 1 + a2 n 2 + . . . + an + an = 0 6
  7. 7. Modèle d’état physique → artificiel (A.1.2)x (k + 1) = x (k) + gu (k) w = Px Transformation y (k) = c x (k) + du (k) T x = P 1 w P 1 w (k + 1) = P 1 w (k) + gu (k) y (k) = cT P 1 w (k) + du (k) w (k + 1) = P P 1 w (k) + P gu (k) y (k) = cT P 1 w (k) + du (k) Quelle matrice de transformation P choisir ? w (k + 1) = P ⇤⇥ ⇧ w (k) + P g u (k) ⌅ P 1 ⌅⇤⇥⇧ ? ? y (k) = cT ⇤⇥ ⇧ w (k) + du (k) ⌅ P 1 ? 7
  8. 8. Modèle d’état physique → artificiel ⇥ ⇥ eT 1 eT n n 1 ⇧ ⌃ ⇧ ⌃ ⇥ ⇧ eT ⌃ 2 ⇧ eT n n 2 ⌃ G= Ig g ... n 1 g G 1 ⇧ . ⌃ =⇧ P =⇧ . ⌃ . ⌃ ⇤ . ⌅ ⇧ ⇤ . . ⌃ ⌅ eT n eT I nConstruction de Pg ⇥ ⇥ 1 0 ... 0 eT Ig 1 eT 1 g ... eT 1 n 1 g ⇧ ⇧ .. . ⌃ ⇧ T . ⌃ ⇧ e Ig ⌃ ⇧ 0 1 . . ⌃ ⇧ 2 eT 2 g ... eT 2 n 1 g ⌃ ⌃ I=G 1 G ⇧ . .. .. ⌃=⇧ . . . ⌃ ⇧ . . . . ⇤ . . . 0 ⌃ ⇧ . ⌅ ⇤ . . ⌃ ⌅ 0 ... 0 1 eT Ig n eT g n eT n n 1 g ⇥ ⇥ eT n n 1 g 1 ⇧ T n 2 ⌃ ⇧ 0 ⌃ ⇧ en g ⌃ ⇧ ⌃ ⇧ Pg = ⇧ ⌃=⇧ . ⌃ . . ⌃ ⇧ . . ⌃ ⇤ . ⌅ ⇤ ⌅ eT Ig n 0 8
  9. 9. Modèle d’état physique → artificiel ⇥ ⇥ ⇥ eT n 1 1 0 ... 0 eT n 1 P 1 n n ⇧ ⌃ ⇧ .. . ⌃ ⇧ ⌃ eT ⇧ . . ⌃ ⇧ n 2 ⇧ n ⌃ ⇧ 0 1 . ⌃ ⇧ eT n n 2 P 1 ⌃I = PP 1 =⇧ . ⌃P 1 ⇧ . ⌃=⇧ . ⌃ ⇧ . . ⌃ ⇧ . .. .. ⌃ ⇤ . . ⌃ ⇤ ⌅ ⇤ . . . 0 ⌅ ⌅ eT I n 0 ... 0 1 eT P n 1Construction de ⇥ ⇥ ⇥ a1 a2 ... an 1 an eT n 1 eT n P 1 ⇧ ⌃ ⇧ n ⌃ ⇧ n ⌃ ⇧ 1 0 ... 0 0 ⌃ ⇧ eT n 2 ⌃ ⇧ eT n 1 P 1 ⌃ ⇧ . . . . ⌃P P 1 =⇧ n . ⌃ P 1 =⇧ n . ⌃=⇧ 0 1 . . ⌃ ⇧ . ⌃ ⇧ . ⌃ ⇧ ⌃ ⇤ . ⌅ ⇤ . ⌅ ⇧ ⇧ . . .. ⌃ ⌃ ⇤ . . 0 0 ⌅ eT I n eT n P 1 0 ... 0 1 0 ⇥ eT n n P 1 = a1 a2 ... an 1 an 9
  10. 10. Modèle d’état physique → artificiel ⇥ ⇥ eT 1 eT n n 1 ⇧ ⌃ ⇧ T n ⌃ ⇥ ⇧ eT 2 ⌃ ⇧ en 2 ⌃ G= Ig g ... n 1 g G 1 =⇧ . ⌃ P =⇧ . ⌃ ⇧ ⇤ . . ⌃ ⌅ ⇧ ⇤ . . ⌃ ⌅ eT n eT I n w = Px ⇥ ⇥ a1 a2 ... an 1 an 1 ⇧ 1 0 ... 0 0 ⌃ ⇧ ⌃ ⇧ ⌃ ⇧ 0 ⌃ ⇧ . . . . ⌃ w (k + 1) = ⇧ 0 1 . . ⌃ w (k) + ⇧ ⇧ . . ⌃ ⌃ u (k) ⇧ ⌃ ⇧ . ⌃ ⇧ . . .. ⌃ ⇤ ⇤ . . 0 0 ⌅ 0 ⌅ 0 ... 0 1 0 0 ⌥ ⌦ ⌥ ⌦ w =P P 1 gw = P g ⇥ y (k) = b1 a1 b0 b2 a2 b0 . . . bn an b0 w (k) + b0 u (k) ⇧ ⌅⇤ ⌃ cT = cT P 1 wdet ( I w) = det ( I )= n + a1 n 1 + a2 n 2 + . . . + an + an = 0 10
  11. 11. Commande d’étatSystème à régler x (k + 1) = ⇥x (k) + u (k) SIMO y (k) = Cx (k) + Du (k) =gCommande u (k) = Kx (k) x (k + 1) = (⇥ K) x (k) = ⇥BF x (k)Stabilité en BO det( I )= n + a1 n 1 + . . . + an 1 + an = 0Stabilité en BF det(⇥I BF ) = ⇥n + 1⇥ n 1 + ... + n 1⇥ + n =v.p. imposées det(⇥I ⇥ + K) = (⇥ ⇥1 ) (⇥ ⇥2 ) . . . (⇥ ⇥n ) = c (⇥) = 0Méthode w = Px w (k + 1) = (⇥w wK ) w (k) = ⇥wBF w (k)constructive ⇥ c (⇥) = c (⇥) = 0 = det(⇥I ⇥wBF ) = ⇥n + 1⇥ n 1 + ... + n 1⇥ + n = ⇥det(⇥I ⇥w + wK ⇥ ) = ⇥ + (a1 + n K1 ) ⇥n 1 ⇥ + . . . + an 1 + ⇥ Kn 1 ⇥ + (an + Kn ) ⇥ Ki = i ai u (k) = K w (k) = K P x (k) ⇤⇥ ⌅ K 11
  12. 12. Formule d’Ackermann ⇥K=KP =⇥ ( 1 a1 ) ( 2 a2 ) . . . ( n an ) P ⇥ ⇥K= 1 2 ... n P+ a1 a2 . . . an P ↵ ⌦ eT nP 1 n ⇤ ⌅ eT n n 1 ⇥⌥ ⌥ eT n n 2K= ... ⌥ . + eT n 1 2 n ⇧ . . ⌃ n eT I nK = eT n n + T 1 en n 1 + T 2 en n 2 + ... + T n en I ⇥ ⇥K= eT n n + 1 n 1 + 2 n 2 + ... + nI ↵ ⌦ c( ) ⇥K= 0 0 ... 0 1 G 1 c ( ) ⇥ ⇥ 1K= 0 0 ... 0 1 Ig g ... n 1 g c ( ) 12
  13. 13. Résumé Commande d’état SIMOSystème à régler x (k + 1) = x (k) + gu (k) y (k) = Cx (k) + Du (k)Commande u (k) = Kx (k)Système en boucle x (k + 1) = ( gK) x (k) = BF x (k)fermée (BF) c (⇥) = det (⇥I bf ) = (⇥ ⇥1 ) (⇥ ⇥2 ) . . . (⇥ ⇥n ) = ⇥n + 1⇥ n 1 + . . . ⇥an 1 + n = 0Formule d’Ackermann ⇥ K = 0 ... 0 1 G 1 c ( ) ⇥ ⇥ 1 = 0 ... 0 1 Ig g ... n 1 g c ( ) 13
  14. 14. Double intégrateur (5.3.1) BF ⌅⇤ ⇥ ⇥ ⇥ ⇤ Système x (k + 1) = (⇥ K) x (k) 1 h h 2 2 en BF = = y (k) = (C DK) x (k) 0 1 h ⇤ ⇥ ⌅ CBF Choix des valeurs propres 1,2 = 0.8 ± 0.25j det ( I ⇥ + K) = ( 1) ( 2) = 2 1.6 + 0.7 ⇥ ⇥ 1K= 0 1 Ig g ( ) c ⌅ ⇤ ⇤ ⇧ 1 ⇥ h2 2 3h 2 2 ⇥K= 0 1 2 1.6 + 0.7I h h ⌅ ⇤ ⇧ ⌃⌅ ⇧2 ⌅ ⇧ ⌅ ⇧⌥ ⇥ 1 h 3h2 ⇤2 1 h 1 h 1 0K= 0 1 h3 1.6 + 0.7 h h2 2 0 1 0 1 0 1 h ⇤ i⌅ ⇧ h h 2 2 0.1 0.4h ⇥ ⇥K= = h2 0.1 0.35 = K 1 K2 h3 0 0.1 h 14
  15. 15. Double intégrateur (5.3.1)% Modèle discreth = 0.1;phi = [ 1 h ; 0 1 ];g = [ h^2/2 ; h ];% Matrice de gouvernabilitéG = [ g phi*g];% Coefficient du polynôme caractéristique en BFalpha1 = -1.6; Code Matlabalpha2 = 0.7;% Gain de contre-réactionK = [0 1] * inv(G) * (phi^2 + alpha1 * phi + alpha2 * eye(2));% Calcul direct avec AckermannL = [0.8+0.25*1i 0.8-0.25*1i];Kbis = acker(phi,g,L); 15
  16. 16. Double intégrateur (5.3.1)Simulation avec Simulink 16
  17. 17. Double intégrateur (5.3.1) 17

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