Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Explica conceptos clave como soluciones generales, soluciones particulares, ecuaciones de primer orden y de orden superior. También cubre métodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales como ecuaciones lineales, homogéneas, de variables separables, y sistemas de ecuaciones diferenciales. Finalmente, incluye aplicaciones de ecuaciones diferenciales y métodos avanzados como series y la transformada de Laplace.

1. Ecuaciones Diferenciales
Dr. Hern´n Burgos
a
1999

2. Indice de materias
Prefacio 6
Introducci´n
o 7
1 Ejemplos de procesos modelados por Ecuaciones Diferenciales 8
1.1 Desintegraci´n de substancias radioactivas . . . . . . . . . . . . .
o 8
1.2 Mec´nica Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 9
1.3 Evoluci´n de la poblaci´n de una sola especie (Proceso biol´gico
o o o
social) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Evoluci´n de la Poblaci´n de dos especies predador-presa . . . . 11
o o
2 Ecuaciones Diferenciales. Soluci´n General. Soluci´n Particu-
o o
lar. 13
2.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Ecuaci´n Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 13
2.1.2 Interpretaci´n Geom´trica de una Ecuaci´n Diferencial de
o e o
1er orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.3 Ejemplo de ecuaciones de 1er orden en problemas pr´cti- a
cos. (f´
ısicos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.4 El Problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Ecuaciones Diferenciales de 1er Orden resueltas respecto de y . . 22
2.2.1 Ecuaciones Exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Ecuaciones de variables separables . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.3 Factor Integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.4 Ecuaciones Homog´neas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 32
2.2.5 Ecuaciones reductibles a homog´neas . . . . . . . . . . . .
e 35
2.2.6 Ecuaciones Lineales de 1er Orden . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.7 Ecuaciones Diferenciales de 1er Orden reductibles a Lineales 44
2.2.8 Ecuaciones Algebraicas en y . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 Ecuaciones Diferenciales de 1er Orden no resueltas respecto de
y , integrables por m´todos elementales . . . . . . . . . . . . . . .
e 49
2.4 Integraci´n Gr´fica de las Ecuaciones Diferenciales de 1er Orden
o a 61
1

3. 2
2.4.1 M´todo de las poligonales; (Euler) . . . . . . . . . . . . .
e 61
2.4.2 M´todo de Isoclinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 64
2.5 Trayectorias Isogonales y Ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.5.1 Trayectorias Isogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.5.2 Trayectorias Ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.6 Teorema de Existencia para Ecuaciones Diferenciales de 1er Orden 71
2.6.1 El M´todo de las Aproximaciones Sucesivas . . . . . . . .
e 76
2.7 Soluciones Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.7.1 Soluciones Singulares de la ecuaci´n y = f (x, y) . . . . .
o 77
2.7.2 Soluciones singulares de la ecuaci´n F (x, y, y ) = 0 . . . .
o 81
2.7.3 Determinaci´n de las Soluciones Singulares usando la So-
o
luci´n General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 84
3 Aplicaciones 91
3.0.4 An´lisis de Compartimientos . .
a . . . . . . . . . . . . . . 91
3.0.5 Ley de Enfriamiento de Newton . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.0.6 Bacterias en la leche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.0.7 Curvas de persecuci´n . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . 97
3.0.8 Modelo Newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4 Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior 101
4.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.1.1 Soluci´n particular, soluci´n general . . . . . . . . . . . .
o o 101
4.1.2 Integrales Intermedias, Integral Primera . . . . . . . . . . 103
4.2 Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior integrable por Cua-
draturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2.1 La Ecuaci´n: F (x, y (n) ) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 108
4.2.2 La Ecuaci´n: F (y (n−1) , y (n) ) = 0 . . . . . . . . . . . . . .
o 110
4.2.3 La Ecuaci´n: F (y (n−2) , y (n) ) = 0 . . . . . . . . . . . . . .
o 112
4.3 Ecuaciones a las que se les puede bajar el orden . . . . . . . . . . 113
4.3.1 La ecuaci´n : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 113
4.3.2 La ecuaci´n F (y, y , y , . . . , y (n) ) = 0 . . . . . . . . . . . .
o 114
4.3.3 La ecuaci´n F (x, y, y , . . . , y (n) ) = 0 . . . . . . . . . . . .
o 116
dy d2 dn y
4.3.4 La ecuaci´n F (x, y, dx , dxy , . . . , dxn ) = 0 . . . . . . . . . .
o 2 118
4.3.5 La ecuaci´n F (y, xy , x2 y , . . . , xn y (n) ) = 0 . . . . . . . .
o 119
4.3.6 Otros casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.4 Ecuaciones Diferenciales de Orden n Lineales y Homog´neas . . .e 122
4.4.1 Propiedades Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.4.2 Dependencia Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.4.3 Soluci´n general de una Ecuaci´n Diferencial Lineal . . .
o o 127
4.4.4 Construcci´n de la Ecuaci´n Diferencial Lineal de orden
o o
n dado el Sistema Fundamental de Soluciones . . . . . . . 131
4.4.5 Soluci´n al Problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . .
o 134
4.4.6 Reducci´n del orden de una ecuaci´n lineal y homog´nea
o o e 135

4. 3
4.5 Ecuaciones Diferenciales de orden n Lineales y No Homog´neas . e 137
4.5.1 Soluci´n general de una ecuaci´n no homog´nea . . . . .
o o e 137
4.5.2 M´todo de Variaci´n de las constantes para determinar
e o
una soluci´n particular de la Ecuaci´n no homog´nea . .
o o e 138
4.6 Ecuaciones Diferenciales de orden n, Lineales con coeficientes
constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.6.1 Ecuaciones homog´neas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 143
4.6.2 La ecuaci´n caracter´
o ıstica tiene ra´ıces distintas . . . . . . 144
4.6.3 La ecuaci´n caracter´
o ıstica tiene ra´ıces m´ltiples . . . . . .
u 149
4.6.4 Ecuaciones No Homog´neas . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 153
4.7 La Ecuaci´n de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 162
4.7.1 Soluci´n general de una ecuaci´n de Euler, homog´nea . .
o o e 163
4.7.2 La Ecuaci´n de Euler No Homog´nea . . . . . . . . . . .
o e 169
5 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales 172
5.1 Propiedades Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.1.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.1.2 Transformacion de un Sistema de Orden Superior en un
Sistema de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.2 Teorema de Existencia para Sistemas de Ecuaciones Diferenciales177
5.2.1 Problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.2.2 Consecuencias del Teorema de Existencia . . . . . . . . . 183
5.2.3 Consecuencias del Teorema de Existencias . . . . . . . . . 184
5.3 Sistema de Ecuaciones Diferenciales Lineales de 1er Orden . . . . 186
5.3.1 Sistemas de ecuaciones Lineales y Homog´neos . . . . . . 186
e
5.3.2 Forma matricial de un sistema lineal . . . . . . . . . . . . 187
5.3.3 Soluciones Particulares ( Wronskiano ) . . . . . . . . . . . 187
5.3.4 Solucion General de un Sistema Homog´neo . . . . . . . . 190
e
5.3.5 Sistemas Lineales No Homog´neos. M´todo de variaci´n
e e o
de par´metros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
a
5.4 Sistema de Ecuaciones Lineales con coeficiantes constantes . . . . 196
5.4.1 Sistemas homog´neos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
e
5.4.2 M´todo de Euler para sistemas de ecuaciones diferenciales
e
lineales y homog´neas con coeficientes constantes . . . . . 200
e
5.4.3 M´todo de Variaci´n de las Constantes . . . . . . . . . . . 206
e o
6 Integraci´n de Ecuaciones Diferenciales por medio de Series
o 210
6.0.4 Desarrollo de la Soluci´n en una Serie de Potencia Gen-
o
eralizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.1 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.1.1 Resoluci´n de problemas de valor inicial . . . . . . . . . .
o 222
6.1.2 Propiedad de traslaci´n de la transformada . . . . . . . .
o 222
6.1.3 Transformada Inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . 224
6.1.4 Linealidad de la Transformada de Laplace Inversa . . . . 225

5. 4
6.2 Una peque˜a introducci´n a la Teor´ de Estabilidad
n o ıa . . . . . . . 229
6.2.1 Estabilidad seg´n Liapunov . . . . . . . . . .
u . . . . . . . 229
6.2.2 Tipos Elementales de Puntos de Reposo . . . . . . . . . . 232
6.2.3 I.- λ1 = λ2 reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
7 Ejercicios Resueltos 238
Ecuaciones Diferenciales Dr. Hern´n Burgos 1999
a

6. Indice de materias
5

7. Prefacio
Un curso introductorio de ecuaciones diferenciales es absolutamente necesario
en los planes de estudios de las carreras de Licenciaturas en ciencias como en las
carreras de Ingenier´ Los estilos, calidad y cantidad de los contenidos var´
ıas. ıan
en dependencia de quien dicte el curso, como de la madurez matem´tica y los
a
conocimientos b´sicos de los alumnos, mi objetivo al redactar estas notas, es
a
de alguna forma cubrir buena parte del curso que semestralmente impartimos a
nuestros estudiantes de ingenieria de la UFRO; Un buen desaf´ es enriquecer
ıo
semestralmente estas notas formalizando algunos cap´ ıtulos que por ahora van
bastante pobres en fundamentos y demostraciones, como agregando algunos
cap´ıtulos, que en esta versi´n no he inclu´ Como tambi´n agregando ejercicios
o ıdo. e
y problemas propuestos y resueltos.
Es mi ´ıntimo deseo que ´stas notas sirvan a nuestros estudiantes como so-
e
porte bibliogr´fico principal en el curso de ecuaciones diferenciales de la UFRO.
a
(como un primer intento que queda abierto a la cr´ ıtica de estudiantes y profe-
sores para ser mejorado).
A la vez estas notas son el borrador de los temas que me corresponden
del texto que en alguna oportunidad discutimos y planificamos realizar con mi
amigo Jorge,(Q.E.P.D) sean estas notas dedicadas a su memoria.
Quiero agradecer a a Carlos Ch´vez, por su valioso aporte,en el tipeo de
a
estas notas.
Hern´n Burgos V.
a
6

8. Introducci´n
o
La gran mayor´ de las leyes b´sicas o relaciones b´sicas de la F´
ıa a a ısica, Biolog´ıa,
Ciencias Sociales, Ingenier´ etc, se expresan como relaciones matem´ticas de
ıa, a
ciertas cantidades conocidas, desconocidas y sus derivadas, tales relaciones se
llaman modelos matem´ticos (ECUACIONES DIFERENCIALES).
a
El problema m´s dif´ en el estudio de las ecuaciones diferenciales es con
a ıcil
frecuencia el de modelar cuantitativamente una situaci´n real, para lograr este
o
objetivo es casi siempre necesario hacer suposiciones para simplificar la situaci´n o
y que permita expresarla en t´rminos matem´ticos.
e a
En la modelaci´n es necesario decidir cu´les variables son importantes y
o a
cu´les no lo son, para luego clasificar las primeras en variables independientes
a
o dependientes, las variables no importantes son aquellas que tienen muy poco
o ning´n efecto en el proceso (por ejemplo en la ca´ libre de un cuerpo, su
u ıda
color, brillo y olor normalmente son de poco inter´s). Para el cuerpo en ca´
e ıda
libre, su masa, forma, posici´n y velocidad inicial y el tiempo ser´n posiblemente
o a
variables importantes para el modelo. Por otro lado las variables que resultan
afectadas por las independientes son las as´ llamadas variables dependientes, en
ı
el ejemplo que estamos analizando, la velocidad, la ubicaci´n en un determinado
o
instante, el momento y lugar de impacto son posibles variables dependientes.
Se debe determinar las relaciones que existen entre las variables inde-
pendientes, dependientes y sus derivadas (ecuaci´n diferencial), lo que demanda
o
un conocimiento profundo del problema y del ´rea en que esta enmarcado. Por
a
ejemplo se puede ignorar para comenzar la fricci´n que act´a en un cuerpo en
o u
ca´ libre. Si se quiere mayor exactitud tendremos que considerar alg´n tipo
ıda u
de roce.
Las ecuaciones diferenciales las clasificaremos en diversos tipos, veremos
varios m´todos para resolverlas y en el caso en que no puedan resolverse, veremos
e
como obtener informaci´n sobre las soluciones (si es que existen).
o
7

9. Cap´
ıtulo 1
Ejemplos de procesos
modelados por Ecuaciones
Diferenciales
1.1 Desintegraci´n de substancias radioactivas
o
La F´ısica nos asegura que: Una substancia radioactiva se desintegra, (en ausencia
de las condiciones que provocan una reacci´n en cadena) con una velocidad
o
proporcional a la cantidad de substancia existente.
A.- Problema F´
ısico:
Calcular la cantidad de substancia radioactiva existente en cada momento,
conociendo la cantidad existente en un momento inicial dado y el coefi-
ciente de proporcionalidad entre la velocidad de desintegraci´n y la canti-
o
dad de substancia existente.
A’.- Modelo Matem´tico del problema F´
a ısico
Anotamos con :
(a) x(t) ∈ IR+ la cantidad de substancia existente en el momento t ∈ IR;
(b) t0 ∈ IR el instante inicial;
(c) x0 = x(t0 ) ∈ IR+ la cantidad inicial de substancia;
y con −α < 0(α > 0), el coeficiente de proporcionalidad de desintegraci´n o
de la substancia radioactiva, por lo tanto la ley f´
ısica enunciada m´s arriba
a
se escribe:
8

10. Cap´
ıtulo 1. Ejemplos de procesos modelados por Ecuaciones Diferenciales 9
x (t) = −αx(t), ∀t ≥ t0
B.- Ahora desde el punto de vista de las ecuaciones diferenciales:
Dado t0 ∈ IR, x0 > 0, α > 0, hallar una aplicaci´n x : IR → IR derivable,
o
que satisfaga la ecuaci´n diferencial.
o
x (t) = −αx(t), x(t0 ) = x0
Evidentemente el problema B es solo una reformulaci´n del problema A
o
o A’. Por lo tanto una soluci´n de B lo ser´ de A.
o a
1.2 Mec´nica Newtoniana
a
Consideramos un punto material P , de masa m que evoluciona en un campo de
fuerza F (que puede ser: gravitacional, el´ctrico, magn´tico, etc.).
e e
La segunda ley de Newton afirma que si a es la aceleraci´n del movimiento
o
del punto material, entonces : F = ma
A.- Problema (Mec´nica)
a
Dada la masa m del punto material y el campo de fuerza F , hallar ”la
ley de evoluci´n” en el espacio, del punto material, es decir la ley de
o
correspondencia entre el momento t y la posici´n del punto en tal momento
o
t.
B.- El modelo Matem´tico.
a
Anotamos x(t) ∈ IR3 , el vector que define la posici´n del punto material en
o
el momento t ∈ IR, anotamos v(t) = x (t) la velocidad de desplazamiento
del punto material, y a(t) = x (t) la aceleraci´n.
o
Por otro lado el campo de fuerzas F es una funci´n F : IR6 → IR, lo que
o
expresa el hecho que la fuerza F que acciona sobre el punto material depende
de su posici´n en el espacio y de su velocidad.
o
La segunda ley de Newton se escribe:
1
x (t) = F (x(t), x (t))
m
que es una ecuaci´n diferencial de segundo orden.
o

11. 10 Ecuaciones Diferenciales
1.3 Evoluci´n de la poblaci´n de una sola es-
o o
pecie (Proceso biol´gico social)
o
El problema es preveer la evoluci´n de una poblaci´n de una sola especie, te-
o o
niendo en cuenta que la raz´n media de crecimiento se estima (sobre la base de
o
los seres existentes) como:
Raz´n media de crecimiento es la raz´n media de los nacimientos menos
o o
raz´n media de los que mueren.
o
Modelo Matem´tico:
a
Anotamos x(t) ∈ IR+ poblaci´n de la especie en el momento t ∈ IR, por lo
o
tanto, en un determinado intervalo de tiempo [t, t + T ], T > 0 la poblaci´n de
o
la especie crece en x(t + T ) − x(t), por lo tanto la raz´n media de crecimiento,
o
α(t) en el momento t est´ dada por:
a
x(t + T ) − x(t)
α(t) =
T x(t)
ımite para T → 0, obtenemos la ecuaci´n diferencial de la
Pasando al l´ o
evoluci´n de la poblaci´n de una sola especie. (estamos suponiendo que una
o o
funci´n x que es discreta que opera a intervalos discretos de tiempo como si
o
operara de IR → IR, y la suponemos incluso derivable), que no es lo real, (precio
del modelo)
x (t)
( ) α(t) = o
´ bien x (t) = α(t)x(t)
x(t)
Estimando de alg´n modo, o bien, haciendo algunas hip´tesis sobre la funci´n
u o o
α(t) que define la raz´n de crecimiento, podemos de la ecuaci´n ( ) la ley de
o o
evoluci´n en el tiempo, de la poblaci´n respectiva.
o o
Ejemplo 1.-
Raz´n media de crecimiento es constante, crecimiento ilimitado, es decir:
o
Suponemos α(t) = α (cte) obtenemos de ( ) la ley de evoluci´n de la
o
poblaci´n en el caso de crecimiento ilimitado:
o
x(t) = x(t0 )eα(t−t0 ) , t ∈ IR (∗∗)
Si vamos un poco m´s lejos con el modelo, podemos suponer que la raz´n
a o
de crecimiento depende de la cantidad de alimentos por individuo, τ > 0, la que

12. Cap´
ıtulo 1. Ejemplos de procesos modelados por Ecuaciones Diferenciales 11
suponemos constante. Es evidente que existe un m´ ınimo τ0 > 0 necesario para
la sobrevivencia de la especie; por lo tanto, si τ > τ0 , la raz´n de crecimiento
o
ser´ positiva, mientras que si τ ≤ τ0 , la raz´n de cambio ser´ negativa o nula.
a o a
Por lo tanto podemos presuponer que la raz´n de crecimiento constante
o
est´ dado por:
a
α = a(τ − τ0 ), donde a > 0 es un coeficiente de proporcionalidad que se
supone conocido.
En tal caso (∗∗) se transforma en:
x(t) = x(t0 )ea(τ −τ0 )(t−t0 )
Que contiene la dependencia directa de la evoluci´n de la poblaci´n de la
o o
especie respectiva de la cantidad de alimento existente.
Ejemplo 2.-
Raz´n media de crecimiento es variable. Crecimiento limitado, es decir:
o
El hecho que en la naturaleza no se ha observado el caso de alguna especie
cuya poblaci´n crezca ilimitadamente, demuestra que la hip´tesis del Ejemplo
o o
1 no es realista, (por lo menos no lo es para intervalos grandes de tiempo).
Es m´s realista suponer que cuando la poblaci´n alcanza un determinado
a o
nivel ξ, entonces la raz´n de cambio pasa a ser negativa.
o
Mas precisamente, suponemos que la raz´n de cambio depende de la
o
poblaci´n existente en el momento respectivo. Una hip´tesis que simplifica es la
o o
siguiente:
α(t) = c(ξ − x(t)) donde c es una constante conocida.
en tal caso (∗) se escribe:
x (t) = c(ξ − x(t))x(t) Ecuaci´n de crecimiento limitado
o
Un modelo matem´tico m´s realista se obtiene considerando la raz´n de
a a o
crecimiento como una funci´n m´s general. g del total de la poblaci´n en el
o a o
momento respectivo α(t) = g(x(t)); con :
g(ξ) = 0; g(x) < 0 si x > ξ; g(x) > 0 para x < ξ.
Otras caracteristicas de la funci´n g necesarias para obtener concluciones
o
acerca del comportamiento de una poblaci´n espec´
o ıfica resultaran de la obser-
vaci´n de la respectiva poblaci´n y sus caracter´
o o ısticas y particularidades. Hemos
llegado as´ al modelo:
ı
x (t) = α(g(t))x(t)

13. 12 Ecuaciones Diferenciales
El que tampoco refleja exactamente el comportamiento de la poblaci´n, o
que depende de muchos otros factores de la poblaci´n en el momento respectivo.
o
La selecci´n de estos factores, la evaluaci´n de su contribuci´n, y por lo
o o o
tanto la obtenci´n de un modelo cada vez m´s complicado, pero m´s realista.
o a a
Es un problema dif´ que solo puede ser resuelto por el especialista.
ıcil
1.4 Evoluci´n de la Poblaci´n de dos especies
o o
predador-presa
Consideramos un ”sistema biol´gico” formado por dos especies interdependi-
o
entes (uno es alimento para el otro). Suponemos la raz´n de crecimiento con-
o
stante para el predador. El problema es obtener la ley de evoluci´n de las pobla-
o
ciones de las dos especies.
Modelo Matem´tico
a
Sea x(t), y(t) ∈ IR+ las poblaciones en el momento t ∈ IR+ de las especies
predador, presa respectivamente.
Como y(t) es la cantidad de alimento disponible en el momento t para
la especie predadora, situ´mosnos en el caso de crecimiento ilimitado para esta
e
especie, resulta:
x (t) = c(y(t) − σ)x(t), donde a, σ ctes. (1.1)
Caractericemos ahora la raz´n de crecimiento para la especie presa, su-
o
poniendo que la especie dispone de alimentos suficientes que le permite un crec-
imiento ilimitado en ausencia de la especie predadora, es decir en este caso, la
raz´n de crecimiento ser´ de la forma by(t), b > 0. Para obtener la raz´n de
o a o
crecimiento en presencia de los depredadores tenemos que restar ”la raz´n de
o
consumo” de la especie depredadora que suponemos de la forma f (x(t), y(t)),
donde f es una funci´n que debe estimarse lo m´s fielmente posible, o sobre la
o a
cual deben hacerse algunas hip´tesis.
o
Por lo tanto tenemos:
y (t) = by(t) − f (x(t), y(t)) (1.2)
que junto con ?? constituye un sistema de ecuaciones diferenciales para
las funciones x(t), y(t).
Si realizamos la hip´tesis ”razonable” que f es proporcional tanto a x
o
como a y es decir: f (x, y) = βxy, β > 0, entonces el sistema se escribe:
x = (Ay − B)x
y = (C − Dx)y

14. Cap´
ıtulo 1. Ejemplos de procesos modelados por Ecuaciones Diferenciales 13
(Donde A, B, C, D > 0, son constantes), el sistema es conocido como las ecua-
ciones predador-presa de Volterra-Lotka.
Los ejemplos analizados han tenido como objetivo central demostrar como
las ecuaciones diferenciales aparecen en modo natural en matem´tica o como
a
modelo matem´tico de ciertos procesos de evoluci´n.
a o

15. Cap´
ıtulo 2
Ecuaciones Diferenciales.
Soluci´n General. Soluci´n
o o
Particular.
2.1 Generalidades
2.1.1 Ecuaci´n Diferencial
o
Definici´n 2.1 Sea F (x, y, y , y”, . . . , y (n) ) una funci´n real definida sobre [a, b]×
o o
Y ; Y ⊂ IRn+1 de argumento la variable real x ∈ [a, b], y funci´n real junto con
o
sus derivadas.
La relaci´n
o
F (x, y, y , y”, . . . , y (n) ) = 0 (2.1)
se llama ecuaci´n diferencial de orden n. Se pide determinar las funciones
o
y = f (x) definida sobre [a, b], derivable hasta el orden n ∀x ∈ [a, b] tal que
F (x, f (x), f (x), . . . , f (n) (x)) = 0 ∀x ∈ [a, b]
Una tal funci´n f (x) se llama soluci´n de la ecuaci´n diferencial (??).
o o o
14

16. Ecuaciones Diferenciales, Solucion Particular y General 15
Observaci´n
o
Si n = 1 obtenemos la Ecuaci´n Diferencial de 1er orden
o
F (x, y, y ) = 0 (Forma Impl´
ıcita)
y = f (x, y) (Forma Expl´
ıcita)
Ejemplos
1. y = 2y + x + 1 (Ec. Dif. de 1er Orden)
Una soluci´n es
o
x 3
y = e2x − − ; x ∈ IR
2 4
La funci´n y = Ce2x − x − 3 , donde C es una constante cualquiera rep-
o 2 4
resenta una Familia de Soluciones de la Ecuaci´n.
o
2. La ecuaci´n y = xy + ln y ; y > 0 es tambi´n una ecuaci´n diferencial
o e o
de 1er orden pero impl´
ıcita. La funci´n y = x, x ∈ IR es una soluci´n. La
o o
funci´n y = Cx + ln C, C > 0 es una familia de soluciones.
o
3. La ecuaci´n y” − 4y = 1 es una Ecuaci´n diferencial de 2do orden. y =
o o
C1 e2x +C2 e−2x − 1 ; x ∈ IR y C1 , C2 constantes es una familia de soluciones
4
de la ecuaci´n dada.
o
Dando valores particulares a las constantes obtenemos diferentes solu-
ciones particulares. Por ejemplo; tomando C1 = 1; C2 = 0 obtenemos la
soluci´n particular
o
1
y = e2x −
4
Nos ocuparemos ahora de la ecuaci´n de 1er orden.
o
Observaci´n
o
Demostraremos m´s adelante que la soluci´n general de una ecuaci´n de 1er
a o o
orden depende de una constante arbitraria.
Diremos que la funci´n ϕ(x, C) es la soluci´n general de la ecuaci´n di-
o o o
ferencial de 1er orden F (x, y, y ) = 0 (∗), (x, y) ∈ D. Si ϕ es soluci´n de (∗) y el
o
gr´fico de ϕ(x, c) pertenece a D.
a
La soluci´n general de la Ecuaci´n Diferencial se llama tambi´n Integral
o o e
general.

17. 16 Ecuaciones Diferenciales
La soluci´n general puede tambi´n resultar en forma impl´
o e ıcita ϕ(x, y, C) = 0,
como tambi´n puede darse la soluci´n general en forma param´trica
e o e
x = ϕ(t, C)
t ∈ [α, β]
y = ψ(t, C)
Se llama soluci´n particular de la ecuaci´n F (x, y, y ) = 0 a una funci´n
o o o
y = ϕ1 (x), x ∈ [a, b], que se obtiene de la soluci´n general y = ϕ(x, C) dando
o
un valor particular a la constante C.
Observaci´n
o
Una soluci´n de una ecuaci´n diferencial que no contenga una constante arbi-
o o
3
traria no es necesariamente una soluci´n particular, por ejemplo: y = xy − y
o
tiene soluci´n general y = Cx − C 3 ; x ∈ IR. y = 2x − 8 (C = 2) es una soluci´n
o o
3
particular, pero tambi´n es soluci´n y = 2x 2 , x ∈ IR+ , pero no es soluci´n
e o √
3 3
o
particular, pues no se obtiene de la soluci´n general. La llamamos Soluci´n
o o
Singular.
El gr´fico de una soluci´n de una ecuaci´n diferencial es una curva plana
a o o
llamada Curva Integral.
2.1.2 Interpretaci´n Geom´trica de una Ecuaci´n Diferen-
o e o
cial de 1er orden
y = f (x, y), f : D ⊂ IR2 = : (plano XOY ) → IR
A cada punto (x0 , y0 ) le corresponde una direcci´n de coeficiente angular
o
y 0 = f (x0 , y0 ), y a cada direcci´n le corresponde una recta y − y0 = y 0 (x − x0 )
o
que pasa por el punto (x0 , y0 ), por lo tanto la ecuaci´n y = f (x, y) asocia a
o
cada punto en D una direcci´n (una recta). Luego tenemos as´ en D definido
o ı
un campo de direcciones φ.
Supongamos ahora que y = ψ(x), (x, y) ∈ D es una soluci´n de la
o
ecuaci´n dada.
o

18. Ecuaciones Diferenciales, Solucion Particular y General 17
El gr´fico de la soluci´n es una curva integral en D, con la propiedad que
a o
en cada punto de la curva, la tangente a la curva tiene la direcci´n del campo
o
φ en ese punto.
El problema de integrar la ecuaci´n diferencial y = f (x, y) en D se
o
reduce por lo tanto a encontrar las curvas integrales en D, curvas que tienen la
propiedad que en cada punto son tangentes a la direcci´n del campo φ.
o
Ejemplo
y − 1 = 0, x ∈ IR define un campo de direcciones paralelo con la bisectr´ de ız
los ejes.
Las curvas integrales son rectas paralelas con la bisectr´ de los ejes y = x.
ız
La ecuaci´n de todas estas rectas es y = x + C, soluci´n general de la
o o
ecuaci´n y − 1 = 0.
o
2.1.3 Ejemplo de ecuaciones de 1er orden en problemas
pr´cticos. (f´
a ısicos)
1. La ecuaci´n fundamental de la din´mica del punto material se escribe
o a
vectorialmente as´
ı:
m·γ =F (2.2)
γ =: aceleraci´n del punto de masa m.
o
F =: resultante de las fuerzas que trabajan sobre el punto.
Tomemos el caso cuando el punto material describe una recta, y sea tal
recta el eje OX. La ecuaci´n de movimiento (??) se escribe en este caso
o
d2 x dx
m· = X(x, , t) (2.3)
dt2 dt

19. 18 Ecuaciones Diferenciales
La componente X de la fuerza F , en la direcci´n OX depende en general
o
de la posici´n del m´vil, de su velocidad y del tiempo. Esta es una
o o
ecuaci´n diferencial de 2do orden.
o
Si X no depende de la posici´n del punto x, entonces la ecuaci´n (??)
o o
d2 x dx dx
se escribe m · dt2 = X( dt , t) y con la sustituci´n v = dt , la ecuaci´n se
o o
transforma en:
dv 1 Ecuaci´n diferencial
o
= X(v, t)
dt m de 1er orden
Luego podemos tener el rec´
ıproco:
Cualquier ecuaci´n diferencial de 1er orden representa un determinado
o
movimiento de un punto material.
2. Consideremos un circuito formado por un resistor de resistencia R y una
bobina de inductancia L, alimentado en serie por una tensi´n electromo-
o
tora e = E cos wt. Se pide estudiar la variaci´n de la corriente del circuito
o
al cerrar el interruptor K.
di
Por teorema de Kirchhof tenemos e = eR + eL , pero eR = Ri, eL = L dt
luego, la relaci´n buscada es:
o
di Ecuaci´n diferencial
o
L + Ri = E cos wt
dt de 1er orden
3. Determinar las curvas planas Γ que tengan la propiedad que si P es la
proyecci´n de un punto M ∈ Γ sobre el eje X, y la tangente en M corta
o
2
al eje X en T , tenemos la relaci´n OP · P M = P T .
o

20. Ecuaciones Diferenciales, Solucion Particular y General 19
Soluci´n:
o
La familia de curvas (Γ ) que cumple esta propiedad verifica la ecuaci´n
o
diferencial de 1er orden
2
y
xy =
y
Pues:
PM y
= tg α = y ⇒ T P =
TP y
Con soluci´n general: (x + y − C)2 = 4xy Familia de par´bolas
o a
Estos ejemplos demuestran la importancia extraordinaria de las ecuacio-
nes diferenciales en aplicaciones pr´cticas.
a
El estudio de los fen´menos de la naturaleza lleva casi siempre aparejada
o
una ecuaci´n diferencial.
o
Definici´n 2.2 Una funci´n diferenciable ϕ : I ⊂ IR → IR se llama soluci´n
o o o
de la ecuaci´n dx = f (t, x), f : D = I × IR → IR, en el intervalo I si:
o dt
i) El gr´fico de ϕ est´ en D, es decir, {(t, ϕ(t)), t ∈ I} ⊂ D.
a a
dϕ
ii) dt = f (t, ϕ(t)), ∀t ∈ I
2.1.4 El Problema de Cauchy
Tomemos inicialmente dos ejemplos :

21. 20 Ecuaciones Diferenciales
1. D = I × IR, f (t, x) = g(t) cont´
ınua en I; ϕ es una soluci´n de x = g(t) en
o ˙
t
I si y solo si ϕ(t) = C + t0 g(s)ds, donde t0 ∈ I y C =cte.
2 2
2. D = IR2 , f (t, x) = 3x 3 , (x = 3x 3 ) ∀C ∈ IR. La funci´n ϕc : IR → IR dada
˙ o
por
(t − C)3 t≥C
ϕc (t) =
0 t≤C
2
es una soluci´n de la ecuaci´n x = 3x 3 en I = IR verificando directamente.
o o ˙
Pero tambi´n x = 0 es soluci´n de la ecuaci´n.
e o o
Observaci´n:
o
Las ecuaciones diferenciales poseen en general una infinidad de soluciones.
En el ejemplo (??) por todo punto de D pasa una unica soluci´n, o sea
´ o
∀(t0 , x0 ) ∈ D∃!ϕ tal que ϕ(t0 ) = x0 .
No ocurre lo mismo en (??), pues ∀(t0 , 0) pasan infinitas soluciones no
as´ para (t0 , x0 ) = (t0 , 0).
ı
Bajo Hip´tesis generales sobre f , por ejemplo si f y ∂f son cont´
o ∂x ınuas

22. Ecuaciones Diferenciales, Solucion Particular y General 21
en D, entonces ∃!ϕ soluci´n de
o
dx
= f (t, x) (2.4)
dt
en un intervalo que contenga a t0 tal que ϕ(t0 ) = x0 .
Una tal soluci´n ϕ ser´ llamada soluci´n del problema de datos iniciales
o a o
(t0 , x0 ) para la ecuaci´n (??). Este problema tambi´n se conoce como Problema
o e
de Cauchy y se anota
x = f (t, x); x(t0 ) = x0 (2.5)
Observaci´n:
o
La ecuaci´n (??) es equivalente a la ecuaci´n integral
o o
t
x(t) = x0 + f (s, x(s))ds (2.6)
t0
Ejemplo ( Elemental de ∃! )
1. D = IR × (a1 , a2 ) f (t, x) = f (x), f es una funci´n cont´
o ınua y no se anula
en (a1 , a2 ).
Dado x0 ∈ (a1 , a2 ) y t0 ∈ IR. Calcular la soluci´n para el problema de
o
Cauchy:
x = f (x); x(t0 ) = x0
˙ (2.7)
Soluci´n :
o
Si ϕ es una soluci´n de (??) entonces
o
ϕ (t) = f (ϕ(t)) y ϕ(t0 ) = x0 (2.8)
ϕ (t)
=1 (2.9)
f (ϕ(t))
Si F : (a1 , a2 ) → IR est´ dada por
a
x
dξ
F (x) =
x0 f (ξ)

23. 22 Ecuaciones Diferenciales
1
se ve que F (x) = f (x) = 0 en (a1 , a2 ) lo que prueba que F es invertible y
aplica (a1 , a2 ) en (b1 , b2 ) donde F −1 est´ definida de (??) resulta que:
a
ϕ (t)
1= = F (ϕ(t))ϕ (t)
f (ϕ (t))
o sea
t
(F ◦ ϕ) (t) = 1 ⇒ F (ϕ(t)) − F (ϕ(t0 )) = (t − t0 )
t0
y como
F (ϕ(t0 )) = 0 ⇒ F (ϕ(t)) = (t − t0 ) ⇒ ϕ(t) = F −1 (t − t0 )
hemos demostrado as´ que ϕ es unica.
ı ´
M´s adelante demostraremos un teorema de ∃!.
a
La m´s simple ecuaci´n diferencial es y = f (x),con f funci´n cont´
a o o ınua
en [a, b].
Como ya vimos su soluci´n es :
o
x
y(x) = f (x)dx + C
x0
Si buscamos la soluci´n que pasa por el punto (x0 , y0 ), entonces:
o
x
y(x) = f (x)dx + y0
x0
Pues:
x0
y(x0 ) = f (x)dx + C ⇒ C = y(x0 ) = y0
x0
Ejemplo :
Resuelva y = cos x + 1, y(0) = 2
x
y =2+ (cos(x) + 1)dx = 2 + sen x + x
0

24. Ecuaciones Diferenciales, Solucion Particular y General 23
Observaci´n :
o
El conjunto de las soluciones de una ecuaci´n diferencial de 1er orden depende
o
de una constante arbitraria.
Inversamente, toda familia de curvas planas ϕ(x, y, C) = 0, (x, y) ∈ D,
con ϕ cont´ınua y derivable parcialmente en D, verifica en D una ecuaci´n dife-
o
rencial de 1er orden.
En efecto
∂
1) ϕ(x, y, C) = 0 / ∂x
2) ϕx + ϕy y = 0
eliminando C entre las dos ecuaciones 1) y 2) se obtiene φ(x, y, y ) =
0 adem´s si g(x, y) = C; entonces derivando respecto a x ´ y se elimina la
a o
constante
gx + gy y = 0
o bien
gx dx + gy dy = 0
que no especifica cual es la variable independiente y cual es la dependiente.
Ejemplo 1
Hallar la ecuaci´n diferencial de la familia de curvas y = Cx2 + x + 1, x ∈ IR.
o
Soluci´n :
o
y = Cx2 + x + 1
y = 2Cx + 1
Eliminamos C y obtenemos
y x − 2y = −x − 2
Ejemplo 2
Hallar la ecuaci´n diferencial de la familia de curvas
o
(x2 /K 2 ) − y 2 = 1 (2.10)

25. 24 Ecuaciones Diferenciales
Soluci´n :
o
∂
(x2 /K 2 ) − y 2 = 1 / ⇒ (2x/K 2 ) − 2yy = 0 (2.11)
∂x
de (??) y (??) resulta eliminando la constante K
xyy − y 2 = 1
2.2 Ecuaciones Diferenciales de 1er Orden re-
sueltas respecto de y
2.2.1 Ecuaciones Exactas
Sea g(x, y) = C tomemos la diferencial total de g(x, y)
∂g ∂g
dg = dx + dy = 0 (2.12)
∂x ∂y
inversamente ahora consideremos
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (2.13)
por tanto si podemos hallar una funci´n g(x, y) tal que
o
∂g ∂g
= P (x, y) ∧ = Q(x, y)
∂x ∂y
entonces la ecuaci´n (??) se vuelve dg = 0, luego g(x, y) = C es la soluci´n
o o
general de (??).
En tal caso P dx + Qdy = 0 se llama diferencial exacta y la ecuaci´n (??)
o
se llama Ecuaci´n Diferencial Exacta.
o
Es relativamente f´cil averiguar si una ecuaci´n diferencial es exacta :
a o
∂P ∂Q
P dx + Qdy = 0 es exacta ⇔ = (2.14)
∂y ∂x
Demostraci´n:
o
∂g ∂g
Si P dx + Qdy = 0, es exacta entonces P = ∂x yQ= ∂y luego (??) se escribe
∂2g ∂2g
= (2.15)
∂y∂x ∂x∂y
lo cual es v´lido si ambos lados de la ecuaci´n existen y son cont´
a o ınuas.

26. Ecuaciones Diferenciales, Solucion Particular y General 25
Entonces la ecuaci´n (??) debe satisfacerse si la ecuaci´n diferencial es
o o
exacta. Rec´
ıprocamente supongamos que la ecuaci´n (??) es v´lida y mostraremos
o a
como determinar la funci´n g.
o
∂g ∂g
Como g debe satisfacer P = ∂x y Q = ∂y , integremos P con respecto a
x y Q respecto a y, entonces
∂g
g= dx = P (x, y)dx + h(y) (2.16)
∂x
∂g
g= dy = Q(x, y)dy + k(x) (2.17)
∂y
Por demostrar que (??) y (??), definen igualmente g.
P dx + h(y) = Qdy + k(x) (2.18)
d
⇒ h(y) = Qdy − P dx + K(x) / dy
∂
h (y) = Q − P dx
∂y
Si la regi´n donde ∂P = ∂Q es simplemente conexa (no contiene huecos),
o ∂y ∂x
entonces podemos tomar la derivada parcial bajo la integral y obtenemos:
∂P
h (y) = Q − dx (2.19)
∂y
El lado derecho de la ecuaci´n (??) es una funci´n de y solamente pues
o o
su derivada parcial respecto a x se anula, luego existe una funci´n h(y) que
o
depende solamente de y. Un c´lculo an´logo garantiza la existencia de k(x).
a a
Observaci´n :
o
Obs´rvese que esta demostraci´n contiene un m´todo para calcular la soluci´n
e o e o
general g(x, y) = C de una ecuaci´n diferencial exacta, cual es ajustar h(y) y
o
k(x) en la ecuaci´n (??) para que ambos lados sean iguales, entonces cada lado
o
es igual a g(x, y).
Ejemplo 1
Resolver: (1 − sen x tg y)dx + (cos x sec2 y)dy = 0
∂P ∂Q
= − sen x sec2 y = − sen x sec2 y
∂y ∂x

27. 26 Ecuaciones Diferenciales
luego es exacta ⇒ integramos P respecto de x, y a Q respecto de y, obtenemos:
(1 − sen x tg y)dx + h(y) = cos x sec2 ydy + k(x)
luego
x + cos x tg y + h(y) = cos x tg y + k(x)
haciendo h(y) = 0 y k(x) = x, obtenemos la soluci´n general
o
g(x, y) = x + cos x tg y = C
Ejemplo 2
Resolver: (x3 + xy 2 )dx + (x2 y + y 3 )dy = 0
Soluci´n:
o
∂P ∂Q
= 2xy; = 2xy
∂y ∂x
por lo tanto:
∂P ∂Q
= ⇒ Exacta
∂y ∂x
(x3 + xy 2 )dx + h(y) = (x2 y + y 3 )dy + k(x) ⇒
x4 x2 y 2 y4 x2 y 2
+ + h(y) = + + k(x)
4 2 4 2
y4 x4
por lo tanto h(y) = 4 , k(x) = 4 . Luego la soluci´n es
o
x4 x2 y 2 y4
g(x, y) = + +
4 2 4
Claramente las ecuaciones exactas son relativamente raras, pues la con-
∂P ∂Q
dici´n
o ∂y = ∂x es muy fuerte.
M´s adelante veremos ecuaciones que no son exactas y m´todos de reso-
a e
luci´n.
o
Ejemplo 3:
2 2
Resolver: e(x +y)
(1 + 2x2 ) − sen x dx + xe(x +y)
dy = 0
2 2
P (x, y) = e(x +y) (1 + 2x2 ) − sen x ; Q(x, y) = xe(x +y)
∂P 2 ∂Q 2
= ey+x (1 + 2x2 ) ; = ex +y (1 + 2x2 )
∂y ∂x

28. Ecuaciones Diferenciales, Solucion Particular y General 27
∂P ∂Q
Luego, =
∂y ∂x
2 2
Q(x)dy = (xe(x +y)
)dy = xex +y
+ k(x)
d 2
(xe(x +y) + k(x)) = P (x)
dx
2 2 2
ex +y + 2x2 ex +y + k (x) = ex +y (1 + 2x2 ) − sen x
k (x) = − sen x ⇒ k(x) = cos x
Luego la soluci´n general es:
o
2 2
C = xe(x +y)
+ k(x) = xe(x +y)
+ cos x
Ejemplo 4:
Resolver: (2xy 3 − y 2 )dx + (3x2 y 2 − 2xy + 2y)dy = 0 Se cumple:
∂P ∂Q
=
∂y ∂x
6xy − 2y = 6xy 2 − 2y
2
Luego tenemos que:
P (x, y)dx + h(y) = Q(x, y)dy + k(x) = C
(2xy 3 − y 2 )dx + h(y) = (3x2 y 2 − 2xy + 2y)dy + k(x)
x2 y 3 − y 2 x + h(y) = x2 y 3 − xy 2 + y 2 + k(x)
Luego si h(y) = y 2 y k(x) = 0, tenemos que la soluci´n es:
o
x2 y 3 − y 2 x + y 2 = C
Tarea : Resolver
2x x
ln(2x − y) + dx − dy = 0
2x − y 2x − y

29. 28 Ecuaciones Diferenciales
2.2.2 Ecuaciones de variables separables
Sea la ecuaci´n f (x)dx + g(y)dy = 0, f cont´
o ınua en [a, b], g cont´
ınua en [c, d].
Se ve que se cumple:
∂f ∂g
= =0
∂y ∂x
luego,
f (x)dx + h(y) = g(y)dy + k(x)
y derivando respecto de y el primer miembro se obtiene h (y), pues
∂
f (x)dx = 0
∂y
luego:
h (y) = g(y) ⇒ h(y) = g(y)dy
es decir
f (x)dx + g(y)dy = C
Ejemplo 1:
(y 2 + 1)xdx + (x + 1)ydy = 0
x y
dx + 2 dy = 0
x+1 y +1
luego,
x y
dx + dy = C
x+1 y2 +1
1
x − ln(x + 1) + ln(y 2 + 1) = C x+1=0
2
Observaci´n :
o
Si buscamos la trayectoria que pasa por (0, 1) tenemos
1 1
0 + ln(0 + 1) + ln(1 + 1) = C ⇒ C = ln 2
2 2
tenemos por lo tanto:
1 1
x − ln(x + 1) + ln(y 2 + 1) = ln 2
2 2

30. Ecuaciones Diferenciales, Solucion Particular y General 29
Ejemplo 2:
Resolver:
(3x + 3y − 1)dx + (x + y + 1)dy = 0
Si x + y = z ⇒ z = 1 + y . Luego
−(3(x + y) − 1)
y =
x+y+1
entonces
−(3z − 1)
z −1=
z+1
−3z − 1 + z + 1 −2z
z = =
z+1 z+1
dz −2z z+1
= ⇒ dz = dx
dx z+1 −2z
Integrando tenemos
1
− (z + ln z) = x + C
2
1
− (x + y + ln(x + y)) = x + C
2
luego,
1
C = − (x + y + ln(x + y)) − x
2
Ejemplo 3:
y 3 dx + 2(x2 − xy 2 )dy = 0
−y 3
y =
2(x2 − xy 2 )
√ 1 √
y= x z ⇒y = √ z+z x
2 x
3
−z 3 x 2
y =
2x2 (1 − z 2 )

31. 30 Ecuaciones Diferenciales
1 √ z3
√ z+z x= √
2 x 2 x(1 − z 2 )
√ 1 1
z x=− √ − √
2 x(1 − z 2 ) 2 x
√ −1 − (1 − z 2 )
z x= √
2 x(1 − z 2 )
dz −2 + z 2
=
dx 2x(1 − z 2 )
1 − z2 dx
2)
dz = −
(2 − z 2x
2 − z2 1 dx
dz − =− /
2 − z2 2 − z2 2x
√
1 2+z 1
z − √ ln √ = − ln x + C
2 2 2−z 2
luego,
√
y 1 2+z 1
C = √ − √ ln √ + ln x
x 2 2 2−z 2
2.2.3 Factor Integrante
Sea dada la ecuaci´n diferencial
o
P dx + Qdy = 0 (2.20)
P y Q cont´ ınuas en D ⊂ IR.
ınuas con derivadas parciales cont´
Si P dx + Qdy no es una diferencial total en D, queremos encontrar una
funci´n µ(x, y) tal que, la expresi´n
o o
µ(x, y)P (x, y)dx + µ(x, y)Q(x, y)dy
sea una diferencial total en D. Necesitamos :
∂ ∂
(µQ) = (µP )
∂x ∂y
o
´ bien:
∂Q ∂P ∂µ ∂µ
µ −µ +Q −P =0 (2.21)
∂x ∂y ∂x ∂y
Definici´n 2.3 La funci´n µ(x, y) definida en D con derivadas parciales de
o o
1er orden cont´ınuas en D que verifica (??) se llama Factor Integrante de la
ecuaci´n (??).
o

32. Ecuaciones Diferenciales, Solucion Particular y General 31
Observaci´n :
o
La relaci´n (??) es una ecuaci´n diferencial en derivadas parciales, luego el
o o
problema se ha transformado en uno m´s complicado y no hemos avanzado
a
mucho.– Veremos algunos casos particulares –
Por ejemplo : Busquemos un factor integrante que dependa s´lo de x, es
o
decir ,µ(x, y) = µ(x), luego, (??) se escribe :
1 dµ 1 ∂P ∂Q
= − (2.22)
µ dx Q ∂y ∂x
La determinaci´n de µ es posible s´lo si:
o o
1 ∂P ∂Q
−
Q ∂y ∂x
es funci´n s´lo de x.
o o
De (??) se obtiene integrando
1 ∂P ∂Q
ln µ = − dx
Q ∂y ∂x
En un modo an´logo, si buscamos un factor integrante µ(y) funci´n s´lo
a o o
de y, tenemos de (??) que :
1 dµ 1 ∂Q ∂P
= −
µ dy P ∂x ∂y
y la determinaci´n de µ es posible si P ∂Q −
o 1
∂x
∂P
∂y es funci´n s´lo de y.
o o
Integrando respecto de y obtenemos:
1 ∂Q ∂P
⇒ ln µ = − dy
P ∂x ∂y
Ejemplo :
Resolver: (y 2 sen x − x)dy + (y 3 cos x + y)dx = 0
Soluci´n :
o
∂P ∂Q
= 3y 2 cos x + 1 ; = y 2 cos x − 1
∂y ∂x

33. 32 Ecuaciones Diferenciales
luego no es exacta. Buscamos un factor integrante:
∂P ∂Q
− = (3y 2 cos x + 1) − (y 2 cos x − 1) = 2y 2 cos x + 2
∂y ∂x
Por lo tanto:
∂Q ∂P ∂P ∂Q
− =− − = −2y 2 cos x − 2
∂x ∂y ∂y ∂x
1 ∂Q ∂P −2y 2 cos x − 2 2
− = =−
P ∂x ∂y y 3 cos x + y y
s´lo depende de y, luego
o
2 1 Factor
ln µ = − dy ⇒ µ = 2
y y Integrante
1
luego, la ecuaci´n dada, multiplicada por
o y2 se transforma en exacta:
x 1
(sen x − )dy + (y cos x + )dx = 0 Exacta
y2 y
x x d
sen x − dy + k(x) ⇒ y sen x + + k(x) /
y2 y dx
1
y cos x + y + k (x) ⇒ k = 0
Por lo tanto:
k(x) = C
Soluci´n :
o
x
y sen x + =C
y
adem´s la ecuaci´n ten´ la soluci´n y = 0 que se obtiene cuando C → ∞.
a o ıa o
Ejemplo 2
Resolver:
(x + y 2 )dx − 2xydy = 0
∂P ∂Q
P (x, y) = x + y 2 ; Q(x, y) = −2xy por lo tanto: ∂y = 2y; ∂x = −2y, es decir,
∂P ∂Q
∂y = ∂x , calculemos
∂P ∂Q
∂y − ∂x 2y + 2y 2 d
= =− ⇒ ln µ = −2 ln |x|
Q −2xy x dx

34. Ecuaciones Diferenciales, Solucion Particular y General 33
1 1
Por tanto µ = x2 , luego (x + y 2 )dx − 2xydy = 0 / x2 es exacta.
Resolvamos
1 y2 2y
+ 2 dx − dy = 0
x x x
tomemos
2y y2
dy + K(x) = g(x, y) ⇒ + K(x) = g(x, y)
x x
por lo tanto
∂g y2
= 2 + K (x)
∂x x
pero tambi´n
e
∂g 1 y2
= P (x, y) = + 2
∂x x x
es decir,
1
K (x) = ⇒ K(x) = ln x
x
entonces la soluci´n g(x, y) = C es:
o
y2
ln x − =C
x
Ejemplo 3:
Resolver: cos xdx − 4 sen xdy = −y 2 dy
cos xdx + (y 2 − 4 sen x)dy = 0
Veamos si depende de x ´ de y
o
de y)
1 ∂Q ∂P 1
− = (−4 cos x − 0) = −4
P ∂x ∂y cos x
luego, µ(y) = e−4y . Luego
e−4y cos xdx + (y 2 − 4 sen x)e−4y dy = 0
P dx + h(y) = Qdy + k(x)
luego, P dx = e−4y sen x + h(y)
d −4y
e sen x + h(y) = Q
dy
−e−4y sen x + h (y) = e−4y y 2 − e−4y 4 sen x
h (y) = e−4y y 2

35. 34 Ecuaciones Diferenciales
−y 2 −4y 1 −4y 1
h= e−4y y 2 = e − e y − e−4y
4 8 32
luego
y2 y 1
C = e−4y sen x − − −
4 8 32
2.2.4 Ecuaciones Homog´neas
e
Definici´n 2.4 Las ecuaciones diferenciales de la forma :
o
dy P (x, y)
=
dx Q(x, y)
donde P (x, y) y Q(x, y) son funciones homog´neas en x e y, del mismo grado
e
m se llaman Ecuaciones Homog´neas. e
y y
Tenemos : P (x, y) = xm P (1, ), Q(x, y) = xm Q(1, )
x x
Luego:
y
dy P (1, x ) y
= y = f( )
dx Q(1, x ) x
Es decir, las ecuaciones homog´neas tienen la forma:
e
dy y
= f( ) (2.23)
dx x
Teorema 2.1 Si en una ecuaci´n homog´nea hacemos el cambio de funciones
o e
y = zx, la ecuaci´n se transforma en una ecuaci´n de variable separable.
o o
Demostraci´n:
o
y = zx ⇒ y = z x + z
y la ecuaci´n (??) toma la forma
o
dz
x + z = f (z) (2.24)
dx
dz dx
⇒ = (2.25)
f (z) − z x
que es una ecuaci´n de variable separable.
o

36. Ecuaciones Diferenciales, Solucion Particular y General 35
y y
Suponemos f ( x ) cont´
y ınua y f ( x ) = x en un dominio D, integrando (??)
obtenemos la soluci´n general de (??).
o
dz
ln |x| + c = = φ(z)
f (z) − z
luego, la soluci´n general de (??) es:
o
y
ln |x| + c = φ( ) (2.26)
x
Observaciones:
1. Si z0 es ra´ de f (z) − z = 0, entonces z = z0 (cte) es tambi´n una
ız e
soluci´n de la ecuaci´n (??), como se verifica en forma inmediata, pues
o o
dz
dx = 0 luego, la recta y = z0 x es soluci´n de la ecuaci´n (??) (Soluci´n
o o o
Singular).
2. Si en (??) reemplazamos c por − ln c la soluci´n general se escribe:
o
y y
x = ceφ( x ) = cψ( )
x
y
ıprocamente una familia de curvas x = cψ( x ) verifica una ecuaci´n
3. Rec´ o
homog´nea, en efecto :
e
y d
x = cψ( ) / (2.27)
x dx
y xy − y
1 = cψ ( ) (2.28)
x x2
eliminando c de entre las ecuaciones (??) y (??) se obtiene :
y
xy − y ψ( x )
x = y
x2 ψ (x)
es decir,
y
ψ( x ) y y
y = y + = f( )
ψ (x) x x
Ejemplo:
Resolver:
x2 − y 2 = 5xyy ; y(1) = 3

37. 36 Ecuaciones Diferenciales
Soluci´n:
o
La ecuaci´n es homog´nea de orden 2 por lo tanto hacemos: y = zx ⇒ y =
o e
z x + z, por lo tanto la ecuaci´n se escribe:
o
x2 − (zx)2 = 5x2 z(z x + z)
1 − z2 dz
x2 (1 − z 2 ) = 5x2 z(z x + z) ⇒ =x +z
5z dx
1 − z2 dz 1 − z 2 − 5z 2 dz
−z =x ⇒ =x
5z dx 5z dx
5zdz dx
= /
1 − 6z 2 x
5
− ln |1 − 6z 2 | = ln |x| + c
12
5 y2
ln |x| + c = − ln 1 − 6 2
12 x
para y(1) = 3
5 9
⇒ c=− ln 1 − 6
12 1
5
c = − ln 53
12
luego, la soluci´n particular buscada es:
o
5 x2 − 6y 2 5
ln |x| + ln = ln 53
12 x2 12
Ejemplo:
x
y = ; y(1) = 0
2−y
Hacemos y = zx ⇒ y = z x + z
z 2 x2 + x2 z2 + 1
Por lo tanto, tenemos z x + z = =
x2 z z
z2 + 1 z2 + 1 − z2 1
zx= −z = =
z z z
dx z2
z dz = ⇒ = ln x + c
x z
y2
= ln x + c ⇒ y 2 = 2x2 ln x + 2Cx2
2x2
y(1) = 0 ⇒ y 2 = 2x2 ln x
Otros ejercicios propuestos:

38. Ecuaciones Diferenciales, Solucion Particular y General 37
x+y
1. y =
x−y
y
Soluci´n: ln
o x2 + y 2 = arctg +C
x
y y
2. y = + ex
x
y
Soluci´n: ln x = −e− x + C
o
2.2.5 Ecuaciones reductibles a homog´neas
e
Consideremos la ecuaci´n de la forma:
o
dy ax + by + c
=f (2.29)
dx Ax + By + C
a, b, c, A, B, Cson constantes.
a) Supongamos c = C = 0, en tal caso tenemos que
dy ax + by
=f
dx Ax + By
es homog´nea luego, con la sustituci´n y = zx se separan las variables
e o
Ejemplo :
Resolver :
dy 2x + 3y
=
dx 3x + 2y
Soluci´n :
o
Hacemos el cambio y = zx ⇒ y = z x + z
2x + 3zx 3z
z x+z = =
3x + 2zx 3 + 2z
dz 2 + 3z 2 + 3z − 3z − 2z 2 2 − 2z 2
x= −z = =
dx 3 + 2z 3 + 2z 3 + 2z
(3 + 2z)dz dx dx 1 3 + 2z
= ⇒ = dz
2 − 2z 2 x x 2 1 − z2
1 3 1−z
ln |x| = − ln |z 2 − 1| − ln + ln |C|
2 4 1+z

39. 38 Ecuaciones Diferenciales
luego,
3
1−z
x4 (z 2 − 1)2 =C
1+z
(x2 − y 2 )2 (x − y)3 = C(x + y)3
b) Si c2 + C2 = 0 ∧ aB − Ab = 0 las rectas ax+by +c = 0 ∧ Ax+ By + C = 0 se
cortan en el punto (x0 , y0 ). Y en tal caso, hacemos el cambio de variables:
u = x − x0
v = y − y0
y tenemos
dv au + bv
=f
du Au + Bv
y ya estamos en el caso anterior.
Ejemplo :
Resolver
x − 3y + 2
y =
−4x − y + 5
Soluci´n :
o
x − 3y + 2 = 0 /·4 4x − 12y + 8 = 0
−4x − y + 5 = 0 =⇒ + −4x − y + 5 = 0
−13y + 13 = 0
=⇒ y = 1 x=1
por lo tanto hacemos
u = x−1 u+1 = x
⇒
v = y−1 v+1 = y
dv (u + 1) − 3(v + 1) + 2 u − 3v
= =
du −4(u + 1) − (v + 1) + 5 −4u − v
v = zu ⇒ v = z u + z
u − 3zu 1 − 3z dz 1 − 3z
z u+z = = ⇒u = −z
−4u − zu −4 − z du −4 − z

40. Ecuaciones Diferenciales, Solucion Particular y General 39
dz 1 − 3z + 4z + z 2 z2 + z + 1
u= =
du −4 − z −(4 + z)
−(4 + z) du
dz =
z2 + z + 1 u
1 7 2z + 1
⇒ ln |u| − C = − ln |z 2 + z + 1| − √ arctg √
2 3 3
pero
u = x−1 v y−1
⇒ z= =
v = y−1 u x−1
Por lo tanto tenemos:
1 7 2y + x − 3
ln (y − 1)2 + (y − 1)(x − 1) + (x − 1)2 + √ arctg √ =C
2 3 3(x − 1)
c) Si c2 + C2 = 0 ∧ aB − Ab = 0 entonces, las rectas ax + by + c = 0 ∧ Ax +
By + C = 0 son paralelas.
De aB − Ab = 0 resulta:
B A
= =K
b a
luego,
dy ax + by + c
=f (2.30)
dx K(ax + by) + C
ponemos
dy dz
ax + by = z ⇒ a + b =
dx dx
dy 1 dz
= −a
dx b dx
la ecuaci´n se transforma en
o
1 dz z+c
−a =f
b dx kz + c
Luego:
dz z+c
= bf +a
dx kz + c
dz
= dx
z+c
bf kz+c +a
dz
x+c = = φ(z)
z+c
bf kz+c +a
x + c = φ(ax + by)

41. 40 Ecuaciones Diferenciales
Ejemplo:
(3x + 3y − 1)dx + (x + y + 1)dy = 0
−x − y − 1
y=
3x + 3y − 1
1 (x + y) + 1
y=−
3 (x + y) − 1
z = x + y, z = 1 + y
−z + 1
z −1=
3z + 1
−z + 1 + 3z − 1 2z
z = =
3z − 1 3z − 1
3z − 1
dz = dx
2z
3 1
(x + y) − ln(x + y) = x + C
2 2
2.2.6 Ecuaciones Lineales de 1er Orden
Definici´n 2.5 Una ecuaci´n de la forma :
o o
y + P (x)y + Q(x) = 0 (2.31)
con P y Q funciones cont´
ınuas en [a, b] se llama Ecuaci´n Diferencial Lineal
o
de 1er Orden.
Observaci´n :
o
La ecuaci´n
o
dy
+ P (x)y = 0
dx
se llama Ecuaci´n Lineal homog´nea (asociada).
o e
Teorema 2.2 La soluci´n general de la ecuaci´n (??) esta dada por:
o o
y = e− P (x)dx
C− Q(x)e P (x)dx
dx ∀x ∈ [a, b]

42. Ecuaciones Diferenciales, Solucion Particular y General 41
Demostraci´n :
o
Resolvamos primero la Ecuaci´n Lineal Homog´nea Asociada
o e
y + P (x)y = 0 x ∈ [a, b]
dy
= −P (x)dx ⇒ ln |y| = − P (x)dx + ln |C|
y
⇒ y = Ce− P (x)dx
Soluci´n general de la Ecuaci´n Homog´nea.
o o e
La funci´n y1 = e− P (x)dx es una soluci´n particular de la ecuaci´n
o o o
homog´nea, para C = 1.
e
Hacemos el cambio y = y1 u, luego
dy dy1 du
= u + y1
dx dx dx
entonces, reemplazando en la ecuaci´n (??) tenemos :
o
dy1 du
u + y1 + P y1 u + Q = 0
dx dx
o
´ bien
dy1 du
u + P y1 + y 1 +Q=0
dx dx
luego,
du −1
y1 + Q = 0 ⇒ du(x) = −Q(x)y1 (x)dx /
dx
u(x) + c1 = − −1
Q(x)y1 (x)dx = − Q(x)e P (x)dx dx
luego,
y(x) = y1 (x)u(x) = e− P (x)dx C − Q(x)e P (x)dx dx
Observaci´n 1 :
o
El m´todo usado para la resoluci´n de la Ecuaci´n Diferencial Lineal no Ho-
e o o
mog´nea se llama “Metodo de variaci´n de par´metros”. En efecto, cuando
e o a
hicimos y = uy1 (ten´ıamos y = Cy1 ) hemos hecho variar la constante C
(par´metro).
a

43. 42 Ecuaciones Diferenciales
Observaci´n 2 :
o
La soluci´n de la Ecuaci´n Diferencial Lineal no Homog´nea se escribe :
o o e
y = c1 e− P (x)dx
− e− P (x)dx
Q(x)e P (x)dx
dx
o sea es igual con la soluci´n general de la ecuaci´n homog´nea asociada m´s
o o e a
una soluci´n particular de la ecuaci´n no homog´nea (que se puede obtener de
o o e
la soluci´n general de la no homog´nea tomando C1 = 0.)
o e
Ejemplo :
y − xy = (1 − x2 )
y = x es soluci´n particular luego, s´lo resolvemos la homog´nea.
o o e
Observaci´n 3 :
o
La soluci´n general de la Ecuaci´n Diferencial Lineal no homog´nea es de la
o o e
forma
y = ϕ(x) + Cψ(x)
Familia de curvas que depende linealmente de un par´metro.
a
Rec´ıprocamente, toda familia de curvas que depende linealmente de un
par´metro, verifica una ecuaci´n diferencial lineal de 1er orden.
a o
En efecto:
y = ϕ (x) + Cψ (x)
y − ϕ(x) y − ϕ (x)
=C y =C
ψ(x) ψ (x)
luego, eliminando C se tiene :
ψ (x)y ψ (x)ϕ(x)
− − ϕ (x) = y
ψ(y) ψ(x)
ψ (x) ψ (x)ϕ(x)
y − y+ − ψ (x) = 0
ψ(y) ψ(x)
la cual es una Ecuaci´n Lineal de 1er orden.
o

44. Ecuaciones Diferenciales, Solucion Particular y General 43
Observaci´n 4 :
o
Si conocemos una soluci´n particular y1 de la ecuaci´n lineal
o o
y + P (x)y + Q(x) = 0
La soluci´n general se obtiene por una cuadratura (integraci´n).
o o
En Efecto: Hacemos y = z + y1
⇒ z + y 1 + P z + P y1 + Q = 0
pero
y 1 + P y1 + Q = 0
luego,
dz
z + Pz = 0 ⇒ = −P (x)dx
z
⇒ ln |z| = − P (x)dx + ln c
luego,
y = y1 + Ce− P (x)dx
Soluci´n general de la ecuaci´n lineal.
o o
Ejemplo:
Resolver la ecuaci´n y − xy = (1 − x2 ), si le conocemos la soluci´n particular
o o
y1 = x
Soluci´n:
o
y = y1 + Ce− P (X)dx
xdx 2
y = x + Ce = x + Cex /2
Observaci´n 5:
o
Sea y = ϕ(x) + Cψ(x) soluci´n general de una ecuaci´n lineal. Sean y1 , y2 , y
o o
tres soluciones particulares correspondiente a las constantes C1 , C2 , C, es decir:
y1 = ϕ(x) + C1 ψ(x) y − y2 C − C2
⇒ = = A (cte.)
y2 = ϕ(x) + C2 ψ(x) y1 − y 2 C1 − C2
y = ϕ(x) + Cψ(x)
⇒ y − y2 = A(y1 − y2 )
y = A(y1 − y2 ) + y2