PARTE 3 - Progressao Geometrica

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  • 1. Progressões Numéricas PARTE 3 – Progressão Geométrica
  • 2. PARTE 3 – Progressão Geométrica
    • Considere a seguinte construção geométrica:
    • Ter um segmento de Reta, digamos AB e encontrar o seu ponto Médio, observando quantos pontos serão marcados para este fim.
    • A M 1 B
    • Encontrados UM ponto ( M1 )
    • Refaça agora, com os dois segmentos encontrados:
    • A M 2 M 1 M 3 B
    • Foram encontrados DOIS pontos ( M2 e M3 )
    • De novo, refazer:
  • 3. PARTE 3 – Progressão Geométrica
    • A M 4 M 2 M 5 M 1 M 6 M 3 M 7 B
    • Aqui foram QUATRO pontos ( M4 , M5 , M6 , M7 )
    • Outra Vez:
    • A M8 M4 M9 M2 M10 M5 M11 M1 M12 M6 M13 M3 M14 M7 M15 B
    • Foram encontrados OITO pontos ( M8 , M9 , M10 , M11 , M12 , M13 ,M14 ,M15 )
    • Com o Processo Acima ilustrado, obteve a seguinte seqüência:
    • 1 - 2 - 4 e 8
    • Ocorre que nesta seqüência tem que cada número é o anterior MULTIPLICADO por 2.
  • 4. PARTE 3 – Progressão Geométrica
    • E quando se tem uma seqüência com a característica acima ( UM VALOR É O ANTERIOR MULTIPLICADO SEMPRE PELO MESMO NÚMERO) diz-se que ela forma uma Progressão Geométrica.
    • Com isto tem a:
    • DEFINIÇÃO
    • A seqüência:
    • : a 1 . a 2 . a 3 . a 4 . . . . .a n
    • Diz ser uma progressão Geométrica se: a k = a k-1 . q
    • Em que:
    • q é a razão desta progressão; a 1 o primeiro termo ; a n o termo geral
  • 5. PARTE 3 – Progressão Geométrica
    • PROPRIEDADES
    • Termo Geral.
    • O termo geral de uma Progressão Geométrica é dado por:
    • a n = a 1 . q n - 1
    • Demonstração
    • Sabe que:
    • a 2 = a 1 . q = a 1 . q 2 - 1
    • a 3 = a 2 . q = a 1 . q . q = a 1 . q 2 = a 1 . q 3 - 1
    • a 4 = a 3 . q = a 1 . q 2 . q = a 1 . q 4 - 1
    • De forma similar chega a:
    • a n = a 1 . q n - 1
  • 6. PARTE 3 – Progressão Geométrica
    • Soma dos Termos de Uma Progressão Geométrica
  • 7. PARTE 3 – Progressão Geométrica
    • Soma dos Termos de Uma Progressão Geométrica
  • 8. PARTE 3 – Progressão Geométrica
    • Resumo:
    • Exercícios
    • 01. Dada a seqüência: 32 - 48 - 72 - 108 - 162 - 243. Faça:
    • Verifique se ela caracteriza ou não uma Progressão Geométrica;
    • Caso sim, ache o valor do 8º. Termo;
    • Caso sim ache a soma dos 9 primeiros termos.
    • Solução
    • a . Para verificar se é uma Progressão Geométrica tem que dividir um valor pelo seu anterior.
  • 9. PARTE 3 – Progressão Geométrica
    • Solução - Exercício 1
    • Lembre a seqüência é: 32 - 48 - 72 - 108 - 162 - 243.
    • Verifique se ela caracteriza ou não uma Progressão Geométrica;
    • a 2 : a 1 = 48 : 32 = 1,5;
    • a 3 : a 2 = 72 : 48 = 1,5;
    • a 4 : a 3 = 108 : 72 = 1,5;
    • a 5 : a 4 = 162 : 108 = 1,5;
    • a 6 : a 5 = 243 : 162 = 1,5;
    • Como o valor de cada divisão foi o mesmo indica que se trata de uma Progressão Geométrica.
  • 10. PARTE 3 – Progressão Geométrica
    • Solução - Exercício 1
    • Lembre a seqüência é: 32 - 48 - 72 - 108 - 162 - 243.
    • b . Pede-se: a 8
    • Assim: n = 8 e também: a 1 = 32;
    • a 8 = a 1 . q 8 – 1 = 32 . 1,5 8 – 1 = 32 . 1,5 7 = 946,75
    • Resposta: 946,75
    • c . Pede-se: S 9
    • S 9 = a 1 .( q 9 - 1 ) / ( q – 1 ) = 32 . (1,5 9 – 1 ) / ( 1,5 – 1 )
    • S 9 = 32 . (38,44 – 1 ) / 0,5 = 32 . 37,44 / 0,5 = 1 198,18 / 0,5 = 2 396, 38.
    • Resposta: 2 396,38
  • 11. PARTE 3 – Progressão Geométrica
    • Exercício 2
    • Uma construção geométrica consiste em:
    • Ter inicialmente um quadrado;
    • Traçar uma reta perpendicular ao ponto médio dos lados opostos, formando novos quadrados;
    • Traçar, de novo, uma reta perpendicular ao ponto médio dos lados opostos de cada quadrado obtidos no passo anterior;
    • Repetir o anterior.
    • Pede para achar:
    • Na sexta divisão o número de quadrados obtidos;
    • O total de quadrados até a sexta divisão.
    • Solução
  • 12. PARTE 3 – Progressão Geométrica
    • Solução - Exercício 2
    • Inicialmente vamos simular tal construção:
    • Início: UM quadrado.
    • Primeiro Passo: QUATRO quadrados.
    • Segundo Passo: DEZESSEIS quadrados.
    • E assim sucessivamente.
  • 13. PARTE 3 – Progressão Geométrica
    • Solução - Exercício 2
    • Pela construção, percebe que em cada passo, cada quadrado se transforma em quatro quadrados, assim é uma Progressão Geométrica de Razão 4.
    • a. Na sexta divisão indica que completou SETE quadrados ( Inicial e mais SEIS)
    • Então tem-se: a 1 = 1 ; r = 4 e n = 7.
    • Logo : a 7 = 1 . 4 7 – 1 = 1 . 4 6 = 4 096.
    • Resposta : Na Sexta Divisão terão: 4 096 quadrados.
    • b. O Total de quadrados até a sexta divisão é:
    • S 7 = 1 . (4 7 – 1 ) / (4 – 1) = (16 384 – 1 ) / 3 = 16 383 / 3 = 5 461.
    • Resposta: Ao todo terão 5 461 quadrados.
  • 14. PARTE 3 – Progressão Geométrica
    • Exercício 3
    • Um cidadão conseguiu fazer um empréstimo de R$ 12 000,00 à taxa de juro de 5% ao mês, e calculado no Saldo Devedor do mês anterior. Ao final de um ano, calcule o total de juros que terá de pagar.
    • Solução
    • Note que a dívida, em cada período é:
    • No contrato: 12 000,00
    • No Primeiro mês: 12 000,00 + 12 000,00x0,05 = 12 600,00
    • No Segundo Mês: 12 600,00 + 12 600,00x0,05 = 13 230,00
    • No terceiro Mês: 13 320,00 + 13 320x0,05 = 13 891, 50
    • O Saldo Devedor é uma progressão Geométrica de Razão: 0,05 e Primeiro termo: 12 000,00 e n=12.
  • 15. PARTE 3 – Progressão Geométrica
    • Solução - Exercício 3
    • Assim após UM ano o saldo devedor será:
    • SD 12 = a 12 = a 1 . q 12 – 1 = 12 000. 1,05 12 – 1 = 12 000 . 1,05 11
    • SD 12 = 21 550,28
    • Devido a que o que deseja é o Juro vem:
    • Juro = Saldo Devedor – Inicial = 21 550,28 – 12 000,00 = 9 550,28
    • Resposta: O Total de Juro a pagar é de: R$ 9 550,28
  • 16. PARTE 3 – Progressão Geométrica
    • Um caso Particular: Razão Menor Que 1.
    • Como se sabe a fórmula de encontrar o termo geral é:
    • a n = a 1 . q n – 1
    • Ocorre que se a razão for menor que UM, o valor de q n – 1 vai reduzindo de valor, tal qual a Ilustração:
    • Seja o caso particular de q = 0,5, com isto tem:
    • q = 0,5
    • q 2 = 0,5 x 0,5 = 0,25;
    • q 3 = 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125;
    • q 4 = 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,0625;
    • q 5 = 0,5 x 0,5 x 0,5 x0,5 x 0,5 = 0,03125; etc.
    • O motivo disto é bem simples: Ao Multiplicar um Número por outro menor que UM , reduz o seu valor.
  • 17. Progressões Numéricas
    • PARTE 3 - Progressão Geométrica
    • FIM
    • Prof. Gercino Monteiro Filho