PARTE 3 - Progressao Geometrica

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PARTE 3 - Progressao Geometrica

  1. 1. Progressões Numéricas PARTE 3 – Progressão Geométrica
  2. 2. PARTE 3 – Progressão Geométrica <ul><li>Considere a seguinte construção geométrica: </li></ul><ul><li>Ter um segmento de Reta, digamos AB e encontrar o seu ponto Médio, observando quantos pontos serão marcados para este fim. </li></ul><ul><li>A M 1 B </li></ul><ul><li>Encontrados UM ponto ( M1 ) </li></ul><ul><li>Refaça agora, com os dois segmentos encontrados: </li></ul><ul><li>A M 2 M 1 M 3 B </li></ul><ul><li>Foram encontrados DOIS pontos ( M2 e M3 ) </li></ul><ul><li>De novo, refazer: </li></ul>
  3. 3. PARTE 3 – Progressão Geométrica <ul><li>A M 4 M 2 M 5 M 1 M 6 M 3 M 7 B </li></ul><ul><li>Aqui foram QUATRO pontos ( M4 , M5 , M6 , M7 ) </li></ul><ul><li>Outra Vez: </li></ul><ul><li>A M8 M4 M9 M2 M10 M5 M11 M1 M12 M6 M13 M3 M14 M7 M15 B </li></ul><ul><li>Foram encontrados OITO pontos ( M8 , M9 , M10 , M11 , M12 , M13 ,M14 ,M15 ) </li></ul><ul><li>Com o Processo Acima ilustrado, obteve a seguinte seqüência: </li></ul><ul><li>1 - 2 - 4 e 8 </li></ul><ul><li>Ocorre que nesta seqüência tem que cada número é o anterior MULTIPLICADO por 2. </li></ul>
  4. 4. PARTE 3 – Progressão Geométrica <ul><li>E quando se tem uma seqüência com a característica acima ( UM VALOR É O ANTERIOR MULTIPLICADO SEMPRE PELO MESMO NÚMERO) diz-se que ela forma uma Progressão Geométrica. </li></ul><ul><li>Com isto tem a: </li></ul><ul><li>DEFINIÇÃO </li></ul><ul><li>A seqüência: </li></ul><ul><li>: a 1 . a 2 . a 3 . a 4 . . . . .a n </li></ul><ul><li>Diz ser uma progressão Geométrica se: a k = a k-1 . q </li></ul><ul><li>Em que: </li></ul><ul><li>q é a razão desta progressão; a 1 o primeiro termo ; a n o termo geral </li></ul>
  5. 5. PARTE 3 – Progressão Geométrica <ul><li>PROPRIEDADES </li></ul><ul><li>Termo Geral. </li></ul><ul><li>O termo geral de uma Progressão Geométrica é dado por: </li></ul><ul><li>a n = a 1 . q n - 1 </li></ul><ul><li>Demonstração </li></ul><ul><li>Sabe que: </li></ul><ul><li>a 2 = a 1 . q = a 1 . q 2 - 1 </li></ul><ul><li>a 3 = a 2 . q = a 1 . q . q = a 1 . q 2 = a 1 . q 3 - 1 </li></ul><ul><li>a 4 = a 3 . q = a 1 . q 2 . q = a 1 . q 4 - 1 </li></ul><ul><li>De forma similar chega a: </li></ul><ul><li>a n = a 1 . q n - 1 </li></ul>
  6. 6. PARTE 3 – Progressão Geométrica <ul><li>Soma dos Termos de Uma Progressão Geométrica </li></ul>
  7. 7. PARTE 3 – Progressão Geométrica <ul><li>Soma dos Termos de Uma Progressão Geométrica </li></ul>
  8. 8. PARTE 3 – Progressão Geométrica <ul><li>Resumo: </li></ul><ul><li>Exercícios </li></ul><ul><li>01. Dada a seqüência: 32 - 48 - 72 - 108 - 162 - 243. Faça: </li></ul><ul><li>Verifique se ela caracteriza ou não uma Progressão Geométrica; </li></ul><ul><li>Caso sim, ache o valor do 8º. Termo; </li></ul><ul><li>Caso sim ache a soma dos 9 primeiros termos. </li></ul><ul><li>Solução </li></ul><ul><li>a . Para verificar se é uma Progressão Geométrica tem que dividir um valor pelo seu anterior. </li></ul>
  9. 9. PARTE 3 – Progressão Geométrica <ul><li>Solução - Exercício 1 </li></ul><ul><li>Lembre a seqüência é: 32 - 48 - 72 - 108 - 162 - 243. </li></ul><ul><li>Verifique se ela caracteriza ou não uma Progressão Geométrica; </li></ul><ul><li>a 2 : a 1 = 48 : 32 = 1,5; </li></ul><ul><li>a 3 : a 2 = 72 : 48 = 1,5; </li></ul><ul><li>a 4 : a 3 = 108 : 72 = 1,5; </li></ul><ul><li>a 5 : a 4 = 162 : 108 = 1,5; </li></ul><ul><li>a 6 : a 5 = 243 : 162 = 1,5; </li></ul><ul><li>Como o valor de cada divisão foi o mesmo indica que se trata de uma Progressão Geométrica. </li></ul>
  10. 10. PARTE 3 – Progressão Geométrica <ul><li>Solução - Exercício 1 </li></ul><ul><li>Lembre a seqüência é: 32 - 48 - 72 - 108 - 162 - 243. </li></ul><ul><li>b . Pede-se: a 8 </li></ul><ul><li>Assim: n = 8 e também: a 1 = 32; </li></ul><ul><li>a 8 = a 1 . q 8 – 1 = 32 . 1,5 8 – 1 = 32 . 1,5 7 = 946,75 </li></ul><ul><li>Resposta: 946,75 </li></ul><ul><li>c . Pede-se: S 9 </li></ul><ul><li>S 9 = a 1 .( q 9 - 1 ) / ( q – 1 ) = 32 . (1,5 9 – 1 ) / ( 1,5 – 1 ) </li></ul><ul><li>S 9 = 32 . (38,44 – 1 ) / 0,5 = 32 . 37,44 / 0,5 = 1 198,18 / 0,5 = 2 396, 38. </li></ul><ul><li>Resposta: 2 396,38 </li></ul>
  11. 11. PARTE 3 – Progressão Geométrica <ul><li>Exercício 2 </li></ul><ul><li>Uma construção geométrica consiste em: </li></ul><ul><li>Ter inicialmente um quadrado; </li></ul><ul><li>Traçar uma reta perpendicular ao ponto médio dos lados opostos, formando novos quadrados; </li></ul><ul><li>Traçar, de novo, uma reta perpendicular ao ponto médio dos lados opostos de cada quadrado obtidos no passo anterior; </li></ul><ul><li>Repetir o anterior. </li></ul><ul><li>Pede para achar: </li></ul><ul><li>Na sexta divisão o número de quadrados obtidos; </li></ul><ul><li>O total de quadrados até a sexta divisão. </li></ul><ul><li>Solução </li></ul>
  12. 12. PARTE 3 – Progressão Geométrica <ul><li>Solução - Exercício 2 </li></ul><ul><li>Inicialmente vamos simular tal construção: </li></ul><ul><li>Início: UM quadrado. </li></ul><ul><li>Primeiro Passo: QUATRO quadrados. </li></ul><ul><li>Segundo Passo: DEZESSEIS quadrados. </li></ul><ul><li>E assim sucessivamente. </li></ul>
  13. 13. PARTE 3 – Progressão Geométrica <ul><li>Solução - Exercício 2 </li></ul><ul><li>Pela construção, percebe que em cada passo, cada quadrado se transforma em quatro quadrados, assim é uma Progressão Geométrica de Razão 4. </li></ul><ul><li>a. Na sexta divisão indica que completou SETE quadrados ( Inicial e mais SEIS) </li></ul><ul><li>Então tem-se: a 1 = 1 ; r = 4 e n = 7. </li></ul><ul><li>Logo : a 7 = 1 . 4 7 – 1 = 1 . 4 6 = 4 096. </li></ul><ul><li>Resposta : Na Sexta Divisão terão: 4 096 quadrados. </li></ul><ul><li>b. O Total de quadrados até a sexta divisão é: </li></ul><ul><li>S 7 = 1 . (4 7 – 1 ) / (4 – 1) = (16 384 – 1 ) / 3 = 16 383 / 3 = 5 461. </li></ul><ul><li>Resposta: Ao todo terão 5 461 quadrados. </li></ul>
  14. 14. PARTE 3 – Progressão Geométrica <ul><li>Exercício 3 </li></ul><ul><li>Um cidadão conseguiu fazer um empréstimo de R$ 12 000,00 à taxa de juro de 5% ao mês, e calculado no Saldo Devedor do mês anterior. Ao final de um ano, calcule o total de juros que terá de pagar. </li></ul><ul><li>Solução </li></ul><ul><li>Note que a dívida, em cada período é: </li></ul><ul><li>No contrato: 12 000,00 </li></ul><ul><li>No Primeiro mês: 12 000,00 + 12 000,00x0,05 = 12 600,00 </li></ul><ul><li>No Segundo Mês: 12 600,00 + 12 600,00x0,05 = 13 230,00 </li></ul><ul><li>No terceiro Mês: 13 320,00 + 13 320x0,05 = 13 891, 50 </li></ul><ul><li>O Saldo Devedor é uma progressão Geométrica de Razão: 0,05 e Primeiro termo: 12 000,00 e n=12. </li></ul>
  15. 15. PARTE 3 – Progressão Geométrica <ul><li>Solução - Exercício 3 </li></ul><ul><li>Assim após UM ano o saldo devedor será: </li></ul><ul><li>SD 12 = a 12 = a 1 . q 12 – 1 = 12 000. 1,05 12 – 1 = 12 000 . 1,05 11 </li></ul><ul><li>SD 12 = 21 550,28 </li></ul><ul><li>Devido a que o que deseja é o Juro vem: </li></ul><ul><li>Juro = Saldo Devedor – Inicial = 21 550,28 – 12 000,00 = 9 550,28 </li></ul><ul><li>Resposta: O Total de Juro a pagar é de: R$ 9 550,28 </li></ul>
  16. 16. PARTE 3 – Progressão Geométrica <ul><li>Um caso Particular: Razão Menor Que 1. </li></ul><ul><li>Como se sabe a fórmula de encontrar o termo geral é: </li></ul><ul><li>a n = a 1 . q n – 1 </li></ul><ul><li>Ocorre que se a razão for menor que UM, o valor de q n – 1 vai reduzindo de valor, tal qual a Ilustração: </li></ul><ul><li>Seja o caso particular de q = 0,5, com isto tem: </li></ul><ul><li>q = 0,5 </li></ul><ul><li>q 2 = 0,5 x 0,5 = 0,25; </li></ul><ul><li>q 3 = 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125; </li></ul><ul><li>q 4 = 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,0625; </li></ul><ul><li>q 5 = 0,5 x 0,5 x 0,5 x0,5 x 0,5 = 0,03125; etc. </li></ul><ul><li>O motivo disto é bem simples: Ao Multiplicar um Número por outro menor que UM , reduz o seu valor. </li></ul>
  17. 17. Progressões Numéricas <ul><li>PARTE 3 - Progressão Geométrica </li></ul><ul><li>FIM </li></ul><ul><li>Prof. Gercino Monteiro Filho </li></ul>

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