Este documento introduce el concepto de integral definida y su origen histórico para el cálculo de áreas. Explica que la integración es una generalización de la suma de infinitos sumandos y que el cálculo integral se utiliza comúnmente en ingeniería y ciencia. Luego, define la antiderivada y explica teoremas como la integración por partes y métodos para resolver integrales como fracciones parciales e integrales tabuladas.

1. Integrante: Radhames Canigiani
Agosto 2014

2. Introducción
Se llega a una introducción del concepto de integral definida a partir del problema del cálculo de áreas porque así es como surgió históricamente, el concepto de integral definida surge como respuesta al problema del cálculo del área de una determinada región del plano. Su origen se remonta al saber griego, concretamente a Eudoxio, que da nombre al denominado “método de exhausción”, posteriormente difundido por Aristóteles, básicamente consiste en dividir la región en rectángulos y calcular la suma de todas las áreas.
La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución, de ah{i su importancia para nuestro estudio en la carrera universitaria.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos. A continuación se hará un desarrollo de su definición, aplicación por teoremas y principios, por supuesto explicados a través de ejemplos.

3. Definición De Antiderivada
La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.
Entonces, la antiderivada o primitiva de una función f(x) es otra función F(x)+C, donde C es una constante. Si al derivar F(x)+C nos da como respuesta f(x)
Es decir F’(x) = f(x)
A la funcion F’(x) se le llama una antiderivada de la una funcion f(x).
Su expresión o notación es:
En donde:
f(x) es el integrando;
dx, la variable de integración o diferencial de x, y
C es la constante de integración.
Ejemplo ¿Qué se derivo para que la derivada sea f´x = 4 ?
Por el método de Ensayo y Error se puede ver que la funcion que se
derivo es:
f1 (x)= 4x pero también las funciones
f2 (x)=4x+5
f3 (x)=4x-2
f4 (x)=4x-12
f5 (x)=4x+15
f6 (x)=4x+8
F(x) = 4x+C

4. Origen De La Antiderivada

5. Teoremas O Propiedades Que Lo Sustentan
Resolución de integrales por partes
De la fórmula para la derivada del producto de dos funciones, se obtiene el método de integración por partes. Si f y g son funciones diferenciables, entonces:
Ahora, si se aplican integrales a cada miembro de esta ecuación, se tiene que:
Integrando, lo que es posible integrar, se obtiene:
La Ecuación (*) se llama fórmula para integración por partes. Frecuentemente, se utiliza una expresión equivalente a (*), la cual se obtiene al realizar los siguientes cambios de variable:
y
Al hacer las derivadas de u y v, respectivamente, se obtiene:
y
Así que la ecuación (*) se transforma en:
(Ecuación 1.6)

6. La Ecuación 1.6 expresa la integral en términos de otra integral, , la cual por lo general, se resuelve más fácilmente que la integral original.
Para aplicar la integración por partes, es necesario elegir adecuadamente la parte del integrando que se va a tomar como u. Es importante resaltar que una vez hecha la elección de u, todo lo que queda dentro la integral es dv. Para efectos de hacer la mencionada elección, es conveniente tener en cuenta los dos criterios siguientes:
1. la parte que se iguala a dv debe ser fácilmente integrable.
2. no debe ser más complicada que
En la práctica, el proceso de elegir una expresión para u y otra para dv no es siempre sencillo y no existe una técnica general para efectuar dicho proceso. Sin embargo, en el desarrollo de la presente obra se hará uso de una Regla EMPIRICA de gran ayuda pero de carácter NO GENERAL, denominada I.L.A.T.E., para hacer la mencionada elección.
La única deficiencia de I.L.A.T.E., es que - en algunos casos - al hacer la elección de u, indicada por la mencionada regla, el proceso de desarrollo del ejercicio puede entrar en un ciclo infinito, que no permite obtener la solución correspondiente. Si esto ocurre, se debe detener el proceso y hacer una elección contraria a la hecha originalmente.
Las siglas de I.L.A.T.E., significan lo siguiente:
I = Funciones Inversas.
L = Funciones Logarítmicas.
A = Funciones Algebraicas.
T = Funciones Trigonométricas.
E = Funciones Exponenciales.
La regla I.L.A.T.E., se utiliza única y exclusivamente para realizar la mencionada elección, teniendo que recurrir a la ecuación 1.6 y los métodos ya expuestos, para resolver cualquier ejercicio

7. relativo al presente tópico. Por esta razón, es conveniente que el lector haya estudiado - detalladamente - los dos métodos anteriores, puesto que en la solución de los ejemplos de esta parte de la obra, no se incluye una explicación específica de esos contenidos.
Para ilustrar como se usa I.L.A.T.E., se presenta la siguiente situación:
Supóngase que piden resolver la siguiente integral:
Obsérvese que el integrando está compuesto por dos funciones, una Algebraica (x) y otraExponencial (e-x). Se buscan las iniciales A y E en la palabra I.L.A.T.E. Como en ella, leyendo de izquierda a derecha, aparece primero la letra A, se elige como u la función Algebraica, es decir, u = x. Por lo tanto, lo que queda dentro de la integral es dv. Así:
Resolución De Integrales Por Fracciones Simples o Parciales
Este método permite descomponer una integral de la forma:
En integrales cuyo integrando, está constituido por expresiones fraccionarias, que por lo general son de fácil solución.
Al momento de intentar resolver este tipo de integrales, es importante tener en cuenta los siguientes criterios:
 Criterio1: Si el numerador de la integral dada, es de menor grado que el denominador, se debe –si es posible- aplicar el proceso defactorización.
 Criterio2: Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se debe resolver primero la división de polinomios.
Para aplicar el Criterio2, es necesario recordar la siguiente información:

8. En una división, se relacionan el Dividendo (D), el divisor (d), el cociente (c) y el resto (r), mediante la siguiente expresión:
(I)
Si se dividen ambos miembros de (I) entre “d” se obtiene:
Ahora bien, esta última expresión se puede particularizar para polinomios, así:
Si p(x) es el dividendo, q(x) el divisor, c(x) el cociente y r(x) el resto, entonces
Aplicando el símbolo integral a ambos miembros y los respectivos diferenciales, se obtiene:
Ecuación1.7
Ahora, para poder aplicar el Criterio1, es necesario recordar la siguiente información:
Una fracción simple es cualquier fracción propia de polinomios (el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador), cuyo denominador sea de la forma (ax + b)n ó (ax2 + bx + c)n si el polinomio ax2 + bx+ c no tiene raíces reales, y n es un número natural.
Cuando se deba aplicar el Criterio1, se debe proceder del siguiente modo:
1. Descomponer factorialmente el polinomio q(x), es decir, se hallan las raíces de la ecuación q(x) = 0.

9. Es importante saber, que al realizar la mencionada descomposición, es posible encontrar resultados distintos y éstos se pueden clasificar en cuatro casos:
Caso1: Factores en el denominador lineales distintos. La integral dada debe escribirse en función de un cociente compuesto por: Constantes (A,B,C, etc) en el numerador y dichos factores en el denominador, como se muestra a continuación:
Caso2: Factores en el denominador lineales repetidos. La integral dada debe escribirse en función de un cociente compuesto por: Constantes (A,B,C,etc) en el numerador y dichos factores en el denominador, como se muestra a continuación:
Caso3: Factores en el denominador cuadráticos distintos. La integral dada debe escribirse en función de un cociente compuesto por: Polinomios de grado uno, en el numerador y dichos factores en el denominador, como se muestra a continuación:
Caso4: Factores en el denominador cuadráticos repetidos. La integral dada debe escribirse en función de un cociente compuesto por: Polinomios de grado uno, en el numerador y dichos factores en el denominador, como se muestra a continuación:

10. la siguiente integral:
Solución
 Método a emplear: Integración por Fracciones Parciales.
Desarrollo:
 De acuerdo al Criterio1, se debe factorizar, así se obtiene que:
(1)
 Por el caso 1. la expresión (1) , se puede escribir así:
(2)
 Ahora se deben calcular las constantes A y B que aparecen en (2), para ello:
 Se escribe la expresión (2), sin tomar en cuenta el símbolo integral. Así:
(3)
 Se resuelve la adición planteada en el miembro de la derecha de (3). Así:
(4)
 En (4), se simplifican los denominadores, obteniéndose:
(5)
 La expresión (5), constituye un sistema de ecuaciones. Al resolverlo da:
 Reemplazando A y B en (2) , se obtiene:

11.  Este tipo de integral ya fue resuelta. Así se concluye que:
Resolución de Integrales por tablas
Algunas integrales no pueden resolverse por los métodos vistos hasta el momento por lo que, en este apartado, se presenta un conjunto de integrales que pueden ser resueltas con la aplicación de una tabla de integrales.
Por lo general - a la integral dada - se le debe aplicar una serie de operaciones algebraicas de tal manera que la integral dada, se transforme exactamente a una de las formas integrales presentes en la mencionada tabla.
En las tablas de integrales, las letras a, b y n representan constantes; mientras que la variable se denota con la letra u.
También es importante tener presente que el uso de la citada tabla, debe ir acompañado de los métodos de integración ya explicados en las sesiones anteriores.
A continuación se presenta la Tabla de Integrales que será usada en este apartado. Así como también se desarrolla un conjunto de ejemplos, cuya función es introducir este quinto método de integración.
Ejemplo
Resolver la siguiente integral:
Solución
 Método a emplear: Integración por Partes.
 Regla de integración: Ecuación 1.3 y 1.6
Desarrollo:
 Por la teoría expuesta, conviene hacer las siguientes elecciones:
u = x (1) y (2)

12.  Derivar ambos miembros de (1) para obtener:
du=dx
 Aplicar integrales a ambos miembros de (2), para obtener:
(3)
 Usando integración directa en el término de la izquierda y el método de CDV, en el término de la derecha de (3), para obtener:
(4)
 Reemplazar en la Ecuación 1.6, cada uno de sus factores por las expresiones obtenidas en (1), (2)y (4), para obtener:
= (5)
 Para resolver la última integral, se efectúa un CDV y se obtiene una integral inmediata. Para su solución, se aplica la Ecuación 1.3. Así:
= (6)
 Sustituir (6) en (5) y ordenar el resultado usando factorización. Así:
=
 Por tanto, se concluye que:

13. Referencias
Calculo Diferencial E Integral By Edwin Joseph Purcell Dale Varberg. Novena edicion
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Indefinite integral» (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104