La Fórmula de Feynman Kac: Entre el azar, el determinismo y la física

El movimiento Browniano y la ecuación del calor
Integral estocásticas
Diferenciales estocásticas
Tiempos de paro
Fórmulas probabilisticas para soluciones de EDP
La Fórmula de Feynman Kac
Entre el azar, el determinismo y la f´ısica
Juliho David Castillo Colmenares
Escuela de Ciencias, UABJO
Juliho David Castillo Colmenares La Fórmula de Feynman Kac

Tiempos de paro
En el siglo XIX, Robert Brown observ´o el movimiento irregular de las
particulas de polen en el agua, observando que
El camino de un particula dada es irregular, sin tangente en punto
alguno.
El movimiento de dos particulas distintas, aparentemente, son
independientes.
A un movimiento tal se le conoce como movimiento Browniano, en honor
de R. Brown.

Tiempos de paro
Para la ecuación del calor
∂u
∂τ
= D∆u, (1.1)
la solución fundamental K, llamada núcleo del calor, esta dado por
K(x, x0; τ − τ0) =
(4πD(τ − τ0))−1/2
e−(x−x0)2
/4D(τ−τ0)
, τ − τ0 > 0,
δ(x − x0), τ − τ0 = 0.
(1.2)
Revisaremos la relación entre el movimiento Browniano y la ecuación del
calor, descubierta por A. Einstein.

Tiempos de paro
Aproximaremos el movimiento de una part´ıcula Browniana por un
salto de longitud ∆x durante un tiempo discreto ∆τ.

Tiempos de paro
Damos una probabilidad p = 1/2 al evento de que el salto sea para
adelante (y q = 1/2 que el salto sea para atras), lo cual se conoce
como paseo aleatorio unidimiensional.

Tiempos de paro
Damos una probabilidad p = 1/2 al evento de que el salto sea para
adelante (y q = 1/2 que el salto sea para atras), lo cual se conoce
como paseo aleatorio unidimiensional.
Los saltos sucesivos se consideran eventos independientes, y
denotaremos por Xj el salto en el tiempo j∆τ. Entonces, {Xj }n
i=1 es
una familia de variables aleatorias intependientes, con media
E(Xj ) = 0 y varianza V (Xj ) = (∆x)2
.

Tiempos de paro
Si D(n) denota el desplazamiento en el tiempo n∆τ, su distribuci´on de
probabilidad esta dada por
P(D(n) = j∆x) =
n!
((j + n)/2)!((n − j)/2)!
1
2n
=
n
(j + n)/2
1
2n
para j + n par y cero en otro caso, ya que el n´umero n+
para saltos para
adelante (n−
, si son para atras) satisface n+
− n−
= j, n+
+ n−
= n, es
decir, n+
= (j + n)/2.

Tiempos de paro
Definimos el desplazamiento en el tiempo τ ∈ R por una interpolación
ente lineal entre el desplazamiento entre [τ/∆τ] y [τ/∆τ] + 1. Entonces,
el desplazamiento cuadrático medio esta dado por
Dn(τ)2
:= (∆x)2
n, Dn(τ) =
n
j=1
Xj , n = [τ/∆τ].
Observación
(∆x)2
/∆τ debe converger a limite diferente de cero, digamos α, y de
esta manera tenemos ∆x ≈ α (∆τ.)

Tiempos de paro
La distribuci´on de probabilidad de una desplazamiento Dn(τ) en el
tiempo τ = n∆τ es el mismo que la suma normalizada
Sn(τ) ≡
1
√
n


n
j=1
Yj

 ,
donde Yj ≡
√
nXj son variables aleatorias identicamente distribuidas con
media cero y varianza nα2
∆τ = α2
τ.

Tiempos de paro
Observación
Por el teorema del l´ımite central, la distribución de probabilidad de Sn(τ),
converge débilmente a una distribución Gaussiana
ρ(x, τ) = (2α2
τπ)−1/2
e−x2
/2α2
τ
.
cuando n → ∞, es decir, cuando ∆x, ∆τ → 0.

Tiempos de paro
Observación
Por el teorema del l´ımite central, la distribución de probabilidad de Sn(τ),
converge débilmente a una distribución Gaussiana
ρ(x, τ) = (2α2
τπ)−1/2
e−x2
/2α2
τ
.
cuando n → ∞, es decir, cuando ∆x, ∆τ → 0. Esta distribución es el
propagador para la ecuación del calor (o de difusión), con constante de
difusión D = α2
/2, el cuál puede ser interpretado como la probabilidad
de una particula con una caminata aleatoria e inicialmente en cero
esté en x en el tiempo τ.

Tiempos de paro
Definición
1 Una colección {X(t)|t ≥ 0} de variables aleatorias es llamada
proceso estocástico
2 Para cada punto ω ∈ Ω, el mapeo t → X(t, ω) es la correspondiente
trayectoria de muestra.

Tiempos de paro
Definición
Un proceso estocástico real valuado W (·) se dice movimiento Browniano
o proceso de Wiener si
1 W (0) = 0 a.s.
2 W (t) − W (s) es N(0, t − s) para toda t ≥ s ≥ 0,
3 Para todos los tiempos 0 < t1 < t2 < ... < tn, las variables aleatorias
W (t1), W (t2) − W (t1), ..., W (tn) − W (tn−1) son independientes, es
decir, incrementos independientes.
Observación
E(W (t)) = 0, E(W 2
(t)) = t para t ≥ 0.

Tiempos de paro
Teorema
Sea (Ω, U, P), un espacio de probabilidad, en el que una cantidad
numerable de variables aleatorias independientes, N(0,1) estan definidas.
Entonces existe un movimiento Browniano unidimensional, definido para
ω ∈ Ω, t ≥ 0.
Cualquier proceso de Wiener tiene un versión con trayectorias de
muestreo continuas c.t.p.
Las trayectorias de muestreo son no diferenciables c.t.p.

Tiempos de paro
Observaci´on
Como las trayectorias de muestra son continuas c.t.p., podemos deﬁnir la
variable aleatoria Y : Ωρ(R,)
Y (ω) =
t≥0
W (t, ω)dt,
donde la integras es de Riemman.

Tiempos de paro
Consideremos x(t), t ≥ 0 diferenciable. Por la regla de la cadena,
tenemos que
b
a
f (x)dx =
t2
t1
f (x(t))˙x(t)dt,
para x(t1) = a, x(t2) = a.

Tiempos de paro
tenemos que
b
a
f (x)dx =
t2
t1
f (x(t))˙x(t)dt,
para x(t1) = a, x(t2) = a.
Pregunta
Usando esta idea ¿Podr´ıamos deﬁnir la siguiente integral?
f (W )dW =
t2
t1
f (W (t)) ˙W (t)dt

Tiempos de paro
tenemos que
b
a
f (x)dx =
t2
t1
f (x(t))˙x(t)dt,
para x(t1) = a, x(t2) = a.
Pregunta
f (W )dW =
t2
t1
f (W (t)) ˙W (t)dt
Respuesta
No, porque W (t) tiene trayectorias de muestreo no diferenciables c.t.p.

Tiempos de paro
tenemos que
b
a
f (x)dx =
t2
t1
f (x(t))˙x(t)dt,
para x(t1) = a, x(t2) = a.
Pregunta
f (W )dW =
t2
t1
f (W (t)) ˙W (t)dt
Respuesta
No, porque W (t) tiene trayectorias de muestreo no diferenciables c.t.p.
Pregunta
Entonces, ¿Como podemos deﬁnir f (W )dW de manera que
generalice nuestro concepto de integral?

Tiempos de paro
Consideremos {t0, t1, ..., tn} una partici´on del intevalo [t0, t1] y
x(t) =



x0 t0 ≤ t < t1
x1 t1 ≤ t < t2
...
xn−1 tn−1 ≤ t ≤ tn,
de manera que x0 < ... < xn.
Entonces
b
a
F(x)dx =
n−1
i=0
Fi [xi+1 − xi ]
=
n−1
i=0
Fi [x(ti+1) − x(ti )],
donde Fi = F(xi ).

Tiempos de paro
Ahora, para {0 = t0, t1, ..., tn = T} una partici´on del intevalo [t0, t1],
consideremos el siguiente proceso por pasos
G(t) =



G0 t0 ≤ t < t1
G1 t1 ≤ t < t2
...
Gn−1 tn−1 ≤ t ≤ tn.

Tiempos de paro
Ahora, para {0 = t0, t1, ..., tn = T} una partición del intevalo [t0, t1],
consideremos el siguiente proceso por pasos
G(t) =



G0 t0 ≤ t < t1
G1 t1 ≤ t < t2
...
Gn−1 tn−1 ≤ t ≤ tn.
Utilizando la idea anterior, tenemos la siguiente
Definición
T
0
GdW =
n−1
i=1
Gi [W (ti+1) − W ti ].

Tiempos de paro
Observaci´on
Recordemos que W (ti+1) − W (ti ) es una variable aleatoria y por tanto
T
0
GdW es una variable aletoria.
Lema (Propiedades de la integral estoc´astica para un proceso por pasos)
Para todo a, b ∈ R, G, H ∈ L2
(0, T) procesos por pasos, se tiene que
1
T
0
aG + bH dW = a
T
0
G dW + b
T
0
H dW ,
2 E
T
0
G dW = 0,
3 E
T
0
G dW
2
= E
T
0
G2
dt .

Tiempos de paro
Pregunta
¿Podemos definir GdW para un clase más amplia de procesos
estocásticos?
Respuesta
S´ı. De hecho, podemos definirlos para un tipo de procesos que se llaman
progresivamente medibles.
Observación
Sin embargo, es un poco complicado definir este concepto, y más si no se
esta familiarizado con teor´ıa de la medida.

Tiempos de paro
Definición
L2
(0, T) es el espacio de todos procesos estocásticos progresivamente
medibles, real-valuados G tales que
E
T
0
G2
dt < ∞.

Tiempos de paro
Lema (Aproximaci´on por procesos por pasos)
Si G ∈ L2
(0, T), entonces existe una sucesi´on de procesos por pasos,
acotados Gn
∈ L2
(0, T), tal que
E
T
0
|G − Gn
|
2
dt → 0 si n → ∞.

Tiempos de paro
Esbozo de la demostraci´on.
Si t → G(t, ω) es continuo para casi toda ω, podemos hacer
Gn
(t) := G(
k
n
),
k
n
≤ t <
k + 1
n
, k = 0, ..., [nT].
En general, para G ∈ L2
(0, T), deﬁnimos
Gm
(t) :=
t
0
mem(s−t)
G(s)ds.
Entonces, Gm
∈ L2
(0, T), t → Gm
(t, ω) es continua para casi toda ω y
T
0
|Gm
− G|
2
dt → 0c.s..

Tiempos de paro
Definición
Si G ∈ L2
(0, T), tomamos una sucesión Gn
, como en el lema anterior.
Entonces
T
0
G dW = l´ım
n→∞
T
0
Gn
dW .

Tiempos de paro
Teorema (Propiedades de la Integral de Itˆo)
Para todo a, b ∈ R, G, H ∈ L2
(0, T), se tiene que
1
T
0
aG + bH dW = a
T
0
G dW + b
T
0
H dW ,
2 E
T
0
G dW = 0,
3 E
T
0
G dW
2
= E
T
0
G2
dt .
4 E
T
0
G dW
T
0
H dW = E
T
0
GH dt .

Tiempos de paro
Definición
Suponga que X(·) es una proceso estocástico real-valuado que satiface
X(r) = X(s) +
r
s
F dt +
r
s
G dW
para algunas F ∈ L1
(0, T), G ∈ L2
(0, T) y para todos los tiempos
0 ≤ s ≤ r ≤ T. Decimos que X(·) satifacen la diferencial estocástica
dX = Fdt + GdW
para 0 ≤ t ≤ T.

Tiempos de paro
Teorema (La fórmula de Itô)
Suponga que u : R × [0, T] → R es continua y que ∂u
∂x , ∂u
∂t y ∂2
∂x2 u existen
y son continuas. Definamos
Y (t) = u(W (t), t).
Entonces Y tiene diferencial estocástica
dY =
∂u
∂t
dt +
∂u
∂x
dW +
1
2
∂2
u
∂x2
dt (3.1)
=
∂u
∂t
+
1
2
∂2
u
∂x2
dt +
∂u
∂x
dW .
Decimos que (3.1) es la fórmula de Itô o regla de la cadena de Itô.

Tiempos de paro
Observación
1 El argumento de u y sus derivadas es (W (t), t).
2 En vista de las definiciones, la expresión en (3.1) quiere decir que
Y (r) − Y (s) = u(W (r), r) − u(W (s), s) (3.2)
=
r
s
∂u
∂t
(X, t) +
1
2
∂2
u
∂x2
(W , t) dt
+
r
s
∂u
∂x
(W , t) dW c.s.
3 Para casi toda ω, la funciones
t →
∂u
∂t
(W (t), t),
∂u
∂x
(W (t), t),
∂2
u
∂x2
(W (t), t)
son continuas y entonces, los integrandos en (3.2) estan bien
definidos.

Tiempos de paro
Definición
Sea E un conjunto no vac´ıo, ya sea abierto o cerrado de Rn
. Entonces
τ :=´ınf{t ≥ 0|X(t) ∈ E} (4.1)
es un tiempo de paro. (Definimos τ = +∞, para las trayectorias de
muestreo de X(·) que nunca tocan E.)

Tiempos de paro
Definición
Si G ∈ L2
(0, T) y τ es un tiempo de paro con 0 ≤ t ≤ τ, definimos
τ
0
GdW :=
T
0
1(t≤τ)GdW .

Tiempos de paro
Lema (Integral de Itˆo con tiempos de paro.)
Si G ∈ L2
(0, T) y 0 ≤ τ ≤ T es un tiempo de paro, entonces
1 E
τ
0
G dW = 0
2 E
τ
0
G dW
2
= E
τ
0
G2
dt .

Tiempos de paro
Por la f´ormula de Itˆo tenemos que
u(W (t), t) − u(W (0), 0) =
τ
0
∂u
∂t
+
1
2
∆u +
τ
0
∂u
∂x
dW ,
donde ∆u = ∂2
u
∂x2 .
Si tomamos el valor esperado, obtenemos
E (u(W (τ), τ)) − E (u(W (0), 0)) = E
τ
0
∂u
∂t
+
1
2
∆u ds .

Tiempos de paro
Ejemplo
Sea U = (a, b) ⊂ R, ∂U = a, b. Consideremos el movimiento Browniano
Wx (t) = W (t) + x, es decir, que comienza en x c.s., y
τx = el primer tiempo en que W contacta ∂U.
La soluci´on de la ecuaci´on diferencial
−1
2 ∆u(x) = 1, x ∈ U
0, x = a, b.
satisface u(x) = E(τx ), para x ∈ U.

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