1. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Clasificaci´on de capacidades simpl´ecticas
en superficies sin frontera
Juliho Castillo
05/02/13

2. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
1 Preeliminares
Geometr´ıa simpl´ectica
Capacidades simpl´ecticas
2 Clasificaci´on de superficies sin frontera
Clasificaci´on de superficies cerradas
Fronteras ideales de superficies abiertas
Clasificaci´on de superficies abiertas
3 Teorema de clasificaci´on de capacidades en superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de capacidades

3. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Definici´on
Decimos que una variedad M es simpl´ectica si existe una 2-forma
diferencial cerrada no degenerada ω en M. Esto quiere decir que:
1 En cada punto p ∈ M, wp es una forma bilinear antisim´etrica en
TpM × TpM, de manera que ωp var´ıa de suavemente respecto
de p,

4. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Definici´on
Decimos que una variedad M es simpl´ectica si existe una 2-forma
diferencial cerrada no degenerada ω en M. Esto quiere decir que:
1 En cada punto p ∈ M, wp es una forma bilinear antisim´etrica en
TpM × TpM, de manera que ωp var´ıa de suavemente respecto
de p,
2 dω = 0, donde d es la derivada exterior y

5. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Definici´on
Decimos que una variedad M es simpl´ectica si existe una 2-forma
diferencial cerrada no degenerada ω en M. Esto quiere decir que:
1 En cada punto p ∈ M, wp es una forma bilinear antisim´etrica en
TpM × TpM, de manera que ωp var´ıa de suavemente respecto
de p,
2 dω = 0, donde d es la derivada exterior y
3 Si u ∈ TpM es tal que para toda v ∈ TpM, tenemos que
ω(u, v) = 0, entonces u = 0.

6. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Ejemplo
Sea M = R2n
y ω0 =
n
k=1 dxk ∧ dyk . Decimos que (R2n
, ω0) es la
estructura simpl´ectica estandar.

7. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Ejemplo
Sea M = R2n
y ω0 =
n
k=1 dxk ∧ dyk . Decimos que (R2n
, ω0) es la
estructura simpl´ectica estandar.
Si definimos
J =
0 −In
In 0
,
entonces para todo u, v ∈ R2n
, ω0(Ju, v) = u, v .

8. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Teorema (Darboux)
Sea (M, ω) una estructura simpl´ectica, y sea p ∈ M. Entonces,
podemos encontrar un sistema coordenado
(U, x1, ..., xn, y1, ..., yn)
centrado en p, de manera que en U:
ω =
n
k=1
dxk ∧ dyk .

9. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Definici´on
Sean (M, ω), (N, τ) variedades simpl´ecticas. Recordemos que un
encaje es una funci´on φ : M → N suave, tal que
1 Para todo p ∈ M, dφ(p) es una aplicaci´on inyectiva y
2 φ es un homeomorfismo sobre su imagen.

10. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Definici´on
Sean (M, ω), (N, τ) variedades simpl´ecticas. Recordemos que un
encaje es una funci´on φ : M → N suave, tal que
1 Para todo p ∈ M, dφ(p) es una aplicaci´on inyectiva y
2 φ es un homeomorfismo sobre su imagen.
Decimos que este encaje es simpl´ectico si φ∗
τ = ω.

11. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Definici´on
Sean (M, ω), (N, τ) variedades simpl´ecticas. Recordemos que un
encaje es una funci´on φ : M → N suave, tal que
1 Para todo p ∈ M, dφ(p) es una aplicaci´on inyectiva y
2 φ es un homeomorfismo sobre su imagen.
Decimos que este encaje es simpl´ectico si φ∗
τ = ω.
En este texto usaremos la notaci´on para un encaje simpl´ectico:
φ : U
sym
−−→ V .

12. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Una capacidad simpl´ectica es una asignaci´on
c : Sym(2n) → [0, ∞], (M, ω) → c(M, ω)
que satisface los siguientes axiomas:
1 (Monotonicidad) Sea φ : (M, ω)
sym
−−→ (N, τ). Entonces
c(M, ω) ≤ c(N, τ).
2 (Conformalidad) Para toda α ∈ R, c(M, αω) = |α| c(M, ω).
3 (Normalizaci´on) Si definimos B(r) = v ∈ R2n
| v < r y
Z(R) = (x1, ..., xn, y1, ...yn) ∈ R2n
|x2
1 + y2
1 < R2
,
entonces c(B(1)) = c(Z(1)) = π.

13. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Proposici´on
Una capacidad simpl´ectica es un invariante simpl´ectico.

14. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Proposici´on
Una capacidad simpl´ectica es un invariante simpl´ectico.
Teorema (Ekeland-Hofer, [10])
Un difeomorfismo φ en (R2n
, ω0) que preserva volumen es simpl´ectico
si y solo si existe una capacidad c tal que c(φ(U)) = c(U), para todo
abierto U ∈ R2n
.

15. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Observaci´on
• Una superficie S es una variedad suave, conexa de dimensi´on 2
sin frontera (eso ´ultimo, al menos que se indique lo contrario).

16. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Observaci´on
• Una superficie S es una variedad suave, conexa de dimensi´on 2
sin frontera (eso ´ultimo, al menos que se indique lo contrario).
• Por convenci´on, se dice que una superficie compacta sin frontera
es cerrada, mientras que una superficie no compacta sin frontera
se llama abierta.

17. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Observaci´on
• Una superficie S es una variedad suave, conexa de dimensi´on 2
sin frontera (eso ´ultimo, al menos que se indique lo contrario).
• Por convenci´on, se dice que una superficie compacta sin frontera
es cerrada, mientras que una superficie no compacta sin frontera
se llama abierta.
• Si ω : M → M es una forma simpl´ectica y 2n = dim M, entonces
ωn
es una forma de volumen. Por lo cual, cualquier superficie
simpl´ectica es orientable.

18. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Observaci´on
• Una superficie S es una variedad suave, conexa de dimensi´on 2
sin frontera (eso ´ultimo, al menos que se indique lo contrario).
• Por convenci´on, se dice que una superficie compacta sin frontera
es cerrada, mientras que una superficie no compacta sin frontera
se llama abierta.
• Si ω : M → M es una forma simpl´ectica y 2n = dim M, entonces
ωn
es una forma de volumen. Por lo cual, cualquier superficie
simpl´ectica es orientable.
• Las demostraciones de los resultados de esta secci´on se puede
encontrar en el libro de L. Ahlfors y L. Sario, [14] y el ´articulo de
I. Richards, [15].

19. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Teorema ([4], cap. 9, teorema 3.5)
Sea S una superficie cerrada orientable. Entonces existe un ´unico
entero g ≥ 0 tal que S es una superficie orientable de g´enero g, es
decir, una esfera con g asas. La caracter´ıstica de Euler de S esta dad
por χ(S) = 2 − 2g.

20. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Definici´on
Una exhausi´on compacta de una superficie S es una sucesi´on de
compactos {Ki }
∞
i=0 , tales que Ki ⊂ ˚Ki+1 y ∪∞
i=0Ki = S.

21. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Definici´on
Una exhausi´on compacta de una superficie S es una sucesi´on de
compactos {Ki }
∞
i=0 , tales que Ki ⊂ ˚Ki+1 y ∪∞
i=0Ki = S.
Proposici´on ([12], Teorema 5.2)
Toda variedad diferenciable admite una exhausi´on por compactos.

22. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Definici´on
Sea {Ki }
∞
i=1 una exhausi´on compacta de una superficie abierta S. Un
componente de la frontera ideal de S es una sucesi´on P1 ⊃ P2 ⊃ ...
de regiones conexas tales que Pi ⊂ SKi .

23. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Definici´on
Sea {Ki }
∞
i=1 una exhausi´on compacta de una superficie abierta S. Un
componente de la frontera ideal de S es una sucesi´on P1 ⊃ P2 ⊃ ...
de regiones conexas tales que Pi ⊂ SKi .
Decimos que dos componentes de la frontera P1 ⊃ P2 ⊃ ... y
P1 ⊃ P2 ⊃ ... son equivalentes si, para cada n existe un
correspondiente N tal que PN ⊂ Pn y viceversa. Denotamos por p∗ la
clase de equivalencia del componente frontera p y diremos que es una
punta de la superficie.

24. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Definici´on
La frontera ideal B(S) de una superficie abierta S es el espacio
topol´ogico que tiene por elementos las puntas de la superficie y esta
dotado de la siguiente topolog´ıa:

25. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Definici´on
La frontera ideal B(S) de una superficie abierta S es el espacio
topol´ogico que tiene por elementos las puntas de la superficie y esta
dotado de la siguiente topolog´ıa:
Para cualquier abierto U ⊂ S cuya frontera sea compacta, definimos
U∗
como el conjunto de todas las puntas p∗
, tales que si
p ∈ p∗
, p = P1 ⊂ P2..., entonces Pn ⊂ U para n suficientemente
grande. Elegimos el conjunto de tales U∗
como la base de la
topolog´ıa de B(S).

26. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Definici´on
Decimos que una punta p∗
∈ B(S) es de g´enero infinito si para alg´un
p ∈ p∗
, p = P1 ⊃ P2 ⊃ ..., todo Pn contiene al menos una
subsuperficie compacta de g´enero positivo.

27. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Definici´on
Decimos que una punta p∗
∈ B(S) es de g´enero infinito si para alg´un
p ∈ p∗
, p = P1 ⊃ P2 ⊃ ..., todo Pn contiene al menos una
subsuperficie compacta de g´enero positivo.
Definici´on
Definimos B (S) como el subespacio topol´ogico de B(S), cuyos
elementos son puntas de g´enero infinito

28. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Proposici´on
Cualquier espacio totalmente disconexo, separable y compacto es
homeomorfo a un subconjunto del conjunto de Cantor.

29. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Proposici´on
Cualquier espacio totalmente disconexo, separable y compacto es
homeomorfo a un subconjunto del conjunto de Cantor.
Proposici´on ([14], cap. 1, p´arrafos 36 y 37)
La frontera ideal de una superficie abierta S es un conjunto
compacto, separable y totalmente disconexo.

30. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Teorema ([15], teorema 1)
Sean S y S superficies orientables del mismo g´enero. Entonces S y
S son difeomorfas si y solo si (B(S), B (S)) y (B(S ), B (S )) son
equivalentes como pares de espacios topol´ogicos.

31. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Teorema ([15], teorema 2)
Sean (X, Y ) un par de espacios totalmente disconexos, separables y
compactos. Entonces existe una superficie abierta y orientable cuya
frontera ideal (B(S), B (S)) es topol´ogicamente equivalente a (X, Y ).

32. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Teorema ([15], teorema 3)
Toda superficie abierta y orientable es difeomorfa a una superficie
formada de una esfera Σ al remover primeramente un conjunto X
cerrado totalmente disconexo de Σ; posteriormente, removiendo una
sucesi´on (finita o infinita) de discos cerrados disjuntos
D1,1, D1,2, D2,1, D1,2, ... en ΣX y finalmente, identificando ∂Di,1 con
∂Di,2 para obtener una asa.
La suceci´on D1,1, D1,2, D2,1, D1,2, ... aproxima a X, en el sentido de
que para cada abierto U ⊂ Σ, todos los discos, salvo un n´umero
finito, est´an contenidos en U.

33. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
• Por Σg denotaremos cualquier superficie cerrada de g´enero g
(necesariamente finito).
• Por Σ(X, Y , g) denotaremos cualquier superficie abierta tal que
B(Σ(X, Y , g)) = X, B (Σ(X, Y , g)) = Y y que tenga g´enero g.

34. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
• Por Σg denotaremos cualquier superficie cerrada de g´enero g
(necesariamente finito).
• Por Σ(X, Y , g) denotaremos cualquier superficie abierta tal que
B(Σ(X, Y , g)) = X, B (Σ(X, Y , g)) = Y y que tenga g´enero g.
Observaci´on
B (Σ(X, Y , g)) = Y = ∅ si y solo si g = ∞.

35. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Por |S|τ denotaremos el ´area de la superficie simpl´ectica (S, τ), es
decir,
|S|τ =
S
τ ,
la cu´al llamaremos τ−´area de S.

36. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Por |S|τ denotaremos el ´area de la superficie simpl´ectica (S, τ), es
decir,
|S|τ =
S
τ ,
la cu´al llamaremos τ−´area de S.
Proposici´on
Si n = 1, entonces c(M, ω) = M
ω es una capacidad.

37. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Por |S|τ denotaremos el ´area de la superficie simpl´ectica (S, τ), es
decir,
|S|τ =
S
τ ,
la cu´al llamaremos τ−´area de S.
Proposici´on
Si n = 1, entonces c(M, ω) = M
ω es una capacidad.
Los resultados de esta subsecci´on se pueden encontrar originalmente
en [5, Secci´on 4].

38. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Sea Σ0 el conjunto Σ0 de subsuperficies simpl´ecticas compactas de
(R2
, ω0) y m la medida de Lebesgue en el plano.

39. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Sea Σ0 el conjunto Σ0 de subsuperficies simpl´ecticas compactas de
(R2
, ω0) y m la medida de Lebesgue en el plano.
Teorema
En Σ0, la ´unica capacidad simpl´ectica es m.

40. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Sea Σ0 el conjunto Σ0 de subsuperficies simpl´ecticas compactas de
(R2
, ω0) y m la medida de Lebesgue en el plano.
Teorema
En Σ0, la ´unica capacidad simpl´ectica es m.
Corolario
Para cualquier subsuperficie simpl´ectica Ω ⊂ R2
, no necesariamente
compacta, y cualquier capacidad c, tenemos que
c(Ω) ≥ m(Ω).

41. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Denotaremos por Σ la clase de todas las superficies simpl´ecticas
compactas.

42. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Denotaremos por Σ la clase de todas las superficies simpl´ecticas
compactas.
Lema
Para toda superficie compacta M ∈ Σ, y cada capacidad simpl´ectica
c, tenemos que
c(M, ω) ≥
M
ω .

43. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Sea c : Sym(2)∗
→ [0, +∞] una capacidad simpl´ectica en la categor´ıa
Sym(2)∗
de superficies simpl´ecticas sin frontera, con una cantidad
finita (posiblemente cero) de puntas de g´enero infinito. Entonces:

44. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
1 Existe una sucesi´on de n´umeros no negativos (0) = 1, (1) ...,
tales que para toda superficie simpl´ectica abierta (Σ(X, Y , g), τ)
de τ−´area finita, con X = ∅, |Y | = 0,
c(Σ(X, Y , g), τ) = |Σ(X, Y , g)|τ
g
k=0
(k) .

45. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
2 Existe una sucesi´on de n´umeros no negativos ς(0), ς(1), ..., tales
que para toda superficie simpl´ectica abierta (Σ(X, Y , ∞), τ), de
τ−´area finita, con X = ∅, 0 < |Y | < ∞
c(Σ(X, Y , ∞), τ) = |Σ(X, Y , ∞)|τ


|Y |
k=0
ς(k)

 .

46. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
3 Existe una sucesi´on de n´umeros no negativos υ(0), υ(1)... tales
que para toda superficie simpl´ectica cerrada (Σg , τ) de τ−´area
finita,
c(Σg , τ) = c(Σ∗
g , τ|Σ∗
g
) + |Σg |τ υ(g),
donde g es el g´enero y Σ∗
g es una superficie obtenida al remover
un punto de Σg .

47. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
De hecho, para cualquier sucesi´on de n´umeros
(0) = 1, (1) , ..., ς(1), ς(2), ..., υ(0), υ(1), ... no negativos, hay una
capacidad c : Sym(2)∗
→ [0, ∞] tal que para X ⊃ Y totalmente
disconexos, separables y compactos, con X = ∅ y |Y | < ∞ :
1 c(Σ(X, ∅, g), τ) = |Σ(X, ∅, g)|τ
g
k=1 (k) ,
2 c(Σ(X, Y , ∞), τ) = |Σ(X, Y , ∞)|τ
|Y |
k=1 ς(k) y
3 c(Σg , τ) = c(Σ∗
g , τ|Σ∗
g
) + |Σg |τ υ(g).

48. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Teorema (Moser-Dacorogna. [6])
Si S es una superficie cerrada, y si ω y τ son formas simpl´ecticas en
S, de manera que S
ω = S
τ, entonces existe un difeomorfismo
simpl´ectico φ : (S, ω) → (S, τ).

49. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Teorema (Teorema de Greene-Shiohama, [3])
Si M es una superficie abierta y ω, τ son formas simpl´ecticas en M,
de manera que
1
M
ω = M
τ,
2 Cada punta de la variedad tiene ω−´area finita si y solo si tiene
τ−´area finita.
entonces existe un difeomorfismo simpl´ectico φ : (M, ω) → (M, τ).

50. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Observaci´on
Si (S, τ) tiene τ−´area infinita, entonces siempre ser´a posible
encontrar, para cualquier A > 0, un encaje simpl´ectico φ : U → S, de
manera que
A = |U| = c(U)
≤ c(φ(U), τ)
≤ c(S, τ),
por lo cual, c(S, τ) = +∞.
Por tanto, ahora s´olo consideraremos superficies de ´area finita.

51. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Lema
Sea (S, τ), (S , τ ) dos superficies simpl´ecticas difeomorfas tales que
|S|τ , |S |τ < ∞ y c es cualquier capacidad simpl´ectica, entonces
|S|τ c(S , τ ) = |S |τ c(S, τ).

52. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Definici´on
Sea (S, τ) una superficie simpl´ectica. Si |S|τ < ∞, definimos
τ =
τ
|S|τ
,
de modo que |S|τ
= 1.

53. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Definici´on
Sea (S, τ) una superficie simpl´ectica. Si |S|τ < ∞, definimos
τ =
τ
|S|τ
,
de modo que |S|τ
= 1.
Observaci´on
Si definimos
c (S) := c(S, τ),
entonces
c(S, τ) = |S|τ c (S) .

54. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Lema
Sean (Σ(X, ∅, g), ω) una superficies simpl´ectica con estructura
normalizable.
Entonces
c (Σ(X, ∅, g)) = c (Σ(X , ∅, g)) ,
donde |X| = 1.

55. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Lema
Sean (Σ(X, Y , ∞), ω) una superficies simpl´ectica con estructura
normalizable.
Entonces
c (Σ(X, Y , ∞)) = c (Σ(Y , Y , ∞)) ,
donde |X| = 1.

56. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Lema
Sea c : Sym(2) → [0, +∞] una capacidad simpl´ectica. Entonces
existe una sucesi´on de n´umeros no negativos (1) , ..., (k) , ..., tales
que para toda superficie simpl´ectica abierta (Σ(X, ∅, g), τ) de
τ−´area finita:
c(Σ(X, ∅, g), τ) = |Σ(X, ∅, g)|τ
g
k=1
(k) .

57. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Lema
Sea c : Sym(2) → [0, +∞] una capacidad simpl´ectica. Entonces
existe una sucesi´on de n´umeros no negativos υ1, ..., υk, ..., tales que
para toda superficie simpl´ectica cerrada (Σg , τ) de τ−´area finita,
c(Σg , τ) = c(Σ∗
g , τ|Σ∗
g
) + |Σg |τ υ(g),
donde g es el g´enero y Σ∗
g es una superficie obtenida al remover un
punto de Sg .

58. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Lema
Sea c : Sym(2) → [0, +∞] una capacidad simpl´ectica. Entonces
existe una sucesi´on de n´umeros no negativos ς(1), ... tales que para
toda superficie simpl´ectica abierta (Σ(X, Y , ∞), τ) de τ−´area finita:
c(Σ(X, Y , ∞), τ) = |Σ(X, Y , ∞)|τ


|Y |
k=1
ς(k)

 .

59. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Consideremos una sucesi´on de n´umeros no negativos
(0) = 1, (1) , ..., ς(1), ς(2), ..., υ(0), υ(1), ...
y superficies abiertas de Σ∗
g , Σ∗
g , g < g .

60. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Observaci´on
Independientemente de n´umero de puntos que se remuevan para
construir Σ∗
g , Σ∗
g a partir de Σ0, existe un encaje simpl´ectico
φ : (Σ∗
g , ω) → (Σ∗
g , τ).

61. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
1 (Monotonicidad)
c(Σ∗
g , τ) = Σ∗
g τ
g
k=0
(k)
≥ Σ∗
g ω
g
k=0
(k)
= c(Σ∗
g , ω).

62. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
2 La conformalidad se sigue de la definici´on de ´area, ya que para
α ∈ R,
|S|αω =
S
αω = |α| |S|ω .

63. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
3 Por ´ultimo, notemos que B(1) = Z(1) es difeomorfo a Σ∗
0 y
recordando que pedimos que ρ(0) = 1,
c(B(1)) = |B(1)|ω0
(ρ(0)) = π.

64. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
La demostraci´on para superficies cerradas se sigue de esta
construcci´on. Para superficies abiertas de g´enero infinito, la definici´on
recursiva de la capacidad es semejante al caso de g´enero finito,
haciendo esta recursi´on sobre |Y | en lugar de g.

65. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Zehnder, Eduard; Lectures on Dynamical Systems; European
Mathematical Society, 2010.
Evans, Lawrence; Partial Differential Equations; American
Mathematical Society, Vol. 19.
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Dacorogna, B. / Moser, J.; On a Partial Differential Equation
involving the Jacobian Determinant; Ann. Inst. Henri Poincar´e,
Analyse non lin´eaire 7, 1-26 (1990).
Cielieback, K., et. al.; Quantitative symplectic geometry; Junio
8, 2005.

66. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Hofer, H., Zenhder, E.; Symplectic Invariants and Hamiltonian
Dynamics; Birkh¨auser Verlag, 1994.
Arnold, V.; Mathematical Methods of Classical Mechanics;
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Ahlfors, L., Sario, L.,; Riemann Surfaces; Princeton University
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67. Clasificaci´on de
capacidades
simpl´ecticas
en superficies sin
frontera
Juliho Castillo
Preeliminares
Geometr´ıa
simpl´ectica
Capacidades
simpl´ecticas
Clasificaci´on de
superficies sin
frontera
Clasificaci´on de
superficies cerradas
Fronteras ideales de
superficies abiertas
Clasificaci´on de
superficies abiertas
Teorema de
clasificaci´on de
capacidades en
superficies
Resultados previos
Enunciado
Teorema de
Greene-Shiohama
Demostraci´on
Contrucci´on de
capacidades
Richards, I.; On the classification of noncompact surfaces;
Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 106,
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