1. S.E.P.
S.E.I.T.
D.G.I.T.
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MINATITLÁN
MATEMATICAS IV
GRUPO: C242
ESPECIALIDAD:
INGENIERIA INDUSTRIAL
EQUIPO:
LAS ESTRELLAS
4.6 CAMBIO DE BASE, BASE ORTONORMAL, PROCESO DE
ORTONORMALIZACION DE GRAM SCHMIDT
PRESENTAN:
ABURTO GARCIA OFELIA
MAZARIEGOS LOPEZ CANDY ADRIANA
CATEDRATICO:
ING. BELINDA PASTRANA
M
INAT L
IT ÁN, VE 27 DE NOVIE B
R.
M RE DE 2006
L
3. UNIDAD 4
Cambio de base
MATEMATICAS IV
Existe un número infinito
de bases para tener un
espacio
vectorial
de
dimensión n cualquiera y n
vectores
linealmente
independientes.
Se cambia de base mediante el cálculo de una matriz.
4. Ejemplo 4.6.1
UNIDAD 4
Sean U1 = 1
0 ÷
Entonces B1 =
U2 = 0
÷
1
{ U1 , U 2 }
Sean V1 = 1
÷
3
MATEMATICAS IV
es la base canónica en R2
V2 = −1
÷
2
Como V1 y V2 son linealmente independientes, V1 no es múltiplo de V2.
B2 = { V1 , V2 }
es una segunda base en R2
Sea X = x1 un vector en R2
÷
x2
5. UNIDAD 4
MATEMATICAS IV
Esta notación significa que:
X=
x1
÷
x2
=
1
0
x1 ÷+ x2 ÷ = x1u1 + x2u2
0
1
Es decir X esta en términos de B, entonces:
x1
( X ) B1 = ÷
x2
6. UNIDAD 4
MATEMATICAS IV
Base ortonormal
V es ortogonal si sus elementos son entre si perpendiculares:
< Vi Vj > = 0 (producto punto).
Si además cada elemento de la base tiene de norma = 1,
la base se llama ortonormal.
Base ORTOGONAL
Base ORTONORMAL
x
x
⊥y
⊥ y ; |x| = 1; |y| = 1
7. Ejemplo 4.6.2
UNIDAD 4
MATEMATICAS IV
Los vectores unitarios canónicos E1 …En en Rn forman una base
ortonormal de Rn y además cada uno de ellos tiene norma = 1,
por lo tanto:
Ei . Ej = 0 ( 1, 0 )( 0, 1 )
Producto escalar = producto interno de las coordenadas de los vectores.
8. UNIDAD 4
MATEMATICAS IV
Proceso de ortonormalización gram schmidt
Pasos para aplicar el proceso de ortonormalizacion de Gram Schmidt:
Paso 1. A1 = B1
Paso 2. Se toma A2 y se resta su proyección a lo largo de A1
para tener B2.
Paso 3. Se toma A3 y se resta sus proyecciones a lo largo de B1
y B2 para obtener B3.
Paso 4. Se toma A4 y se restan sus proyecciones a lo largo de B1,
B2 y B3 para obtener B4
Paso 5. Se continúa hasta que se genere una base ortogonal de W.
9. UNIDAD 4
MATEMATICAS IV
Método de Gram–Schmidt
Los dos primeros pasos del método de Gram–Schmidt
Definimos el operador proyección con
proyecta el vector V ortogonalmente en el vector U.
11. UNIDAD 4
Ejemplo 4.6.3
MATEMATICAS IV
Considera el siguiente conjunto de vectores en Rn
(con el convencional producto interno)
Ahora, aplicamos Gram–Schmidt, para obtener un conjunto
de vectores ortogonales:
12. UNIDAD 4
MATEMATICAS IV
Verificamos que los vectores U1 y U2 son de hecho ortogonales:
Entonces podemos normalizar los vectores dividiendo su
tamaño como hemos mostrado anteriormente:
