1. Ngày thi 15-10-2012
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KÌ THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Môn TOÁN - Năm học : 2012-2013
(Đề thi chính thức) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
3008
Họ và tên:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Γ
Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CÂU 1 (2,0 điểm) . Cho hàm số y = x4 − 2mx2 + 2m − 3.Tìm các giác trị của m để hàm số có ba cực trị
,đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp
bằng 1.
CÂU II (5,0 điểm) √ √
1) Giải phương trình : 5x − 1 + 3 9 − x = 2x2 + 3x − 1

x(y 3 + 2) = −6
2) Giải hệ phương trình: (x, y ∈ R)
x3 (3y − 2) = −8
CÂU III (5,0 điểm) . √ √
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x2 + 3x + 9 + x2 − 3x + 9.
4a 4b √
2) Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a+b+ab = 3. Chứng minh rằng : + +2ab− 7 − 3ab 4
b+1 a+1
CÂU IV (5,0 điểm) .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N là hai điểm lần lượt trên các đoạn
AB AD
thẳng AB và AD (M, N không trùng A ) sao cho +2 = 4.
AM AN
1) Chứng minh rằng khi M, N thay đổi,đường thẳng M N luôn đi qua một điểm cố định .
2) Gọi V và V lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABCD và S.M BCDN . Chứng minh rằng :
2 V 3
.
3 V 4
CÂU V (4,0 điểm) . 
U = 2
 1
cho dãy số (Un) xác định bởi : 2 (N 1, n ∈ N )
Un+1 = Un

2Un − 1
1) Chứng minh rằng dãy số (Un ) giảm và bị chặn.
2) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (Un ).
...............HẾT..............
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.