El documento explica el método algebraico de factorización de polinomios llamado "factor común". Describe cómo identificar el factor común en los términos de un polinomio y dividir cada término por ese factor para agruparlos. Proporciona ejemplos de cómo aplicar este método para factorizar polinomios que contengan un factor común monomio, numérico, literal o agrupado. También explica cómo factorizar polinomios utilizando la diferencia de cuadrados y trinomios cuadrados perfectos.

1. Instituto
Tecnológico
Superior
Concejo Provincial
de Pichincha

2. TECNICISMO ALGEBRAICO
El tecnicismo algebraico consiste en transformar 1 polinomio en todos los factores
como sea posible comúnmente conocido como factorización y de acuerdo a la
naturaleza del polinomio se utilizan casos especiales con sus respectivas
características
FACTOR COMÚN MONOMIO
Este polinomio se caracteriza por que “EN TODOS SUS TERMINOS EXISTE
1ELEMENTO COMUN EL CUAL PUEDE TENER SU SIGUIENTE NATURALEZA”
NUMEROS
FACTOR COMUN MONIO LITERAL
NUMERO y LITERAL
N = N1 MONOMIO = 1 TERMINO = -18am2n
N = 1N BINOMIO = 2 TERMINOS = 4x2y+ 8ab
N0= 1 TRINOMIO = 3 TERMINOS =7xy+8x2-9
2 O MAS TERMINOS = POLINOMIO
1. Identifica en todos los términos la naturaleza del elemento común.
3ax4+6bx7-12cx9+18dx5
2. Para la parte numérica extraiga aquella cantidad que sea el máximo común
de los divisores; Para la parte literal extraiga la letra o letras en comunes
con el menor de los exponentes.
3X4(a + 2bx3 + 4cx5 + 9dx)
3. Divida cada 1 de los términos y para verificar aplique la propiedad
distributiva
3ax4+6bx7-12cx9+18dx5
3X4(a + 2bx3 + 4cx5 + 9dx)

3. EJERCICIOS
 3ax4+6bx7-12cx9+18dx5
3x4 (a + 2bx3 - 4cx5 - 6dx)
 9a3b4c + 7a2b2c2 - 13a2b4c5 + 8a7b2c2
A2b2c (pab3 + 7c - 13ª2b3c5 + 8ª5c2)
 26am + 52cn - 104ef + 208hj
26 (am + 2cn - 4ef +8hj)
 36x2 - 18y2 - 48x2y2
6 (6x2 - 3y2 - 8x2y2)
 20a2b - 72ab + 28ab2ç
4ab(5ª - 18 + 7b)
 135x2yz + 16zxy - 189xy2z - 108x2y
17xy (5xz + 6 - 7yz - 4x)
 13(a+b) - 19(a+b)2
13(a + b) - [1 - 3(a+b)]
13(a+b) (1 - 3a - 3b)
Observaciones:
1. Cuando existen expresiones con polinomios determine el
polinomio común y utiliza corchetes luego aplique la propiedad
distributiva para obtener los factores deseados.
2. Recuerde que términos semejantes son aquellas expresiones
que tienen la misma letra o letras con los mismos exponentes.
3. En cuantos términos no se aprecia el polinomio común el
problema bajo las condiciones ya conocidas.
4. Recuerde que la ley de signos siempre se cumple para todos las
leyes y se mantiene

4. EJERCICIOS:
Agrupacion
2(x + 3) (+ - 1) + 1 – x + (x - 1) (x - 2)
2(x + 3) (x - 1) - (x + 1) + (x - 1) (x - 2)
(x – 1) factor
(x - 1) (2x + 6 - 1 + x - 2) común
(x - 1) (3x + 3) “3” factor
común
(x - 1) (3(x + 1))
4(x - 2) (x - 4) + 4 – x + (x + 4) (x – 4)
4(x - 2) (x - 4) - (x - 4) + (x + 4) (x – 4)
(x - 4) [ 4(x - 2) - 1 + (x + 4) ]
(x - 4) (4x - 8 - 1 + x + a)
(x - 4) (5x - 5)
-6(x + 1) (x - 8) + 16 - 2x + 2 (x + 1) (x - 8)
-6(x + 1) (x - 8) - 2(x - 8) + 2 (x + 1) (x - 8)
(x - 8) [ -6(x + 1) - 2 + 2 (x + 1) ]
(x - 8) (-6x - 6 - 2 + 2x + 2)
2(x-8) (-2x - 3)
2 POSIBLES
-2(x-8) (-2x + 3) RESPUETSAS

5. 3(x + 5) (x - 4) + 5(x - 4)2 – 6(x + 3) (x – 4)
(x - 4) [3(x + 5) + 5(x – 4) - 6x - 18]
(x - 4) (3x + 15 + 5x + 20 - 6x - 18)
5(x - 1) (x - 3) – 10(x - 1)2 + 15(x + 2) (x - 1)
(x - 1) [5(x - 3) - 10(x - 1) + 15(x + 2)]
(x - 1) (5x - 15 - 10x + 10 + 15x + 30)
(x - 1) (10x + 25)
(x - 1) 5(2x + 5)
FACTOR COMÚN AGRUPADO POLINOMIO
Es un polinomio especial que por lo general se presenta en pares y en casos
especiales como 9 y 15; Para resolver 1 polinomio utilizando este método realicé
lo siguiente:
Identifique los términos que posean algún elementó común
Agrúpelos cuidando la ley de signos y el orden alfabético
Aplique factor común
Aplique le polinomio común
Ejercicios:
2ax + ay - az - 2bx - by + bz
(2ax- 2bx) + (ay- by) – (az - bz)
2x(a - b) + a(a - b) - z(a – b)

6. (2ax + ay – az) – (2bx + by – bz)
a(2x + y – z) – b(2x + y – z)
(2x + y – z) (a – b)
Observaciones:
Cuando 1 aplicación posea expresiones Racionales “Fracciones” si es posible
extraiga el factor común del numerador y del denominador o ambos.
ax + 10bz + ay – 5az – 2bx
(ax + ay – 5az) – (2bx + 2by – 10bz)
a( x + y – 5z) – 2b(x + y – 5z)
(x + y) (a – 2b) (5z)
ax + 10bz + ay – 2by – 5az – 2bx
(ax + ay – 5az) – (2abx + 2by – 10bz)
a(x + y – z) – 2b(x+ y – z)
ax –xb + 2cx + 2aby + 2bcy -2b2y - 3 acz + 3bcz – 6c2z
(ax - xb + 2cx) + (2aby + 2bcy - 2b2y) - (3acz - 3bcz + 6c2z)
x(a - b + 2c) + 2by(a - b + 2c) - 3az(a - b + 2c)
(a - b + 2c) (x + 2by - 3az)
11/26a2x + 2/3b3cy + 22/13a2by + 1/2ax + 2aby + 1/6b2cx
( a2x + a2by) + ( b2cx + b3cy) + ( ax + 2aby)
a2(1/2x + 2by) + bc2 ( x + 2by) + ( x + 2by)
( a2 + b2c + a) ( ax + 2by)

7. DIFERENCIA DE CAUDARADOS
Regla común: a2 – b2 = (a+b) (a-b)
Observaciones:
1. si la aplicación se presenta en expresiones racionales, extraiga la raíz del
numerador, denominador o ambos se es necesario.
2. Para extraer la raíz de la parte literal se debe tener en cuenta que el
procedimiento lógico es divide el exponente para el índice radical.
3. Si la aplicación es compuesta aplique la regla general utilizando corchetes,
aplique la propiedad distributiva y finalmente términos semejantes
Ejercicios:
400 a10 b14 - 169 m8 n6
(20a5b7 + 13m4n3) (20a5b7 – 13m4n3)
9
p8 q14 - 324 s20
5
4 4
( p4q7+ 18s10) ( p4q7- 18s10)
5 5
4(a + b + c)2 - 25(a - c)2
[2(a + b + c) + 5(a - c)] [2(a + b + c) - 5(a - c)]
(2a + 2b +2c + 5a - 5c) (2a + 2b +2c - 5a + 5c)
(7a + 2b - 3c) (-3a + 2b +7c)
121(3m + 2n)2 - 196(2n - 5m)2
[11(3m + 2n) + 14(2n - 5m)] [11(3m + 2n) - 14(2n - 5m)]
(33m + 22n + 28n - 70m) (33m + 22n + 28n + 70m)
(-37m + 50n) (103m – 6n)

8. 36(7a - 2b)2 - 81(4b - 5a)2
[6(7a - 2b) + 9(4b - 5a)] [6(7a - 2b) - 9(4b - 5a)]
(42a - 12b + 36b - 45a) (42a - 12b - 36b + 45a)
(-3a + 24b) (87a - 48b)
3(-a + 8b) 3(29a – 16b)
9(-a + 8b) (29a – 16b)
Trinomios
Trinomio cuadrado perfecto
a2 + 2ab + b2
a2 - 2ab+ b2
1. Si 1ero y 3ero son cuadrados perfectos y positivos el 2do
termino es el doble producto de las raíces del 1ero y 3ero
términos
Solución:
(Raíz signo raíz)
1ºt 2ºt 3ºt
EJERCICIOS:
 169a4b4 – 286 a2b2c3d3 + 121 c6d6
13a2b2 *2*
11c3d3
(13a2b2 – 11c3d3)2
 100(a + b)2 - 180(a2 - b2) + 81(a - b)2
10(a + b) *2* 9(a – b)
[10(a + b) - 9(a – b)]
(10a +10b – 9ª +9b)
(a+19b)2

9.  36(3m+2n)2 - 120(3m+2n) +100
6(3m+2n) *2* 10
[6(3m+2n) -10]
(18m+12n-10)2
 121(x + 9)2 + 220(x2 + 2x - 63) + 100(x - 7)2
11(x+9) *2* 10(x - 7)
[11(x+9) + 10(x - 7)]
(11x+ 99 +10x – 77)
(21x + 29 )2
 36(x - 3)6 - 84(x2 5x -24) + 49(x+8)2
6(x+3) *2* 7(X+8)
[6(x+3) - 7(X+8)]
(6x + 18 - 7x - 56)
(-x – 74)2
 81(x + 8)2 - 360(x2 - x - 72) + 400(x - 9)2
9(x+8) *2* 20(x - 9)
[9(x+8) - 20(x - 9)]
(9x + 72 – 20 +180)
(-11x + 252)2
 81
/169m2n8 - 84/65m2n4p6 + 196/225p12
9
/13mn4 *2* 14
/15p6
(14/15p6 -9/13mn4)

10. Trinomio de la forma x2+bx+c
C no es cuadrado perfecto;±
bx no es doble producto
Solución:
(Raíz signo + R1) (Raíz signo + R2)
1ºt 2ºt 1ºt 2º * 3ºt
R1± R2 = b
R1 * R2 = b
OBSERVACIONES:
1. En ciertas aplicaciones o simple vista no se observaran los números
buscados que en forma general es encontrar las raíces o soluciones
de un polinomio planteado; Entonces para determinar estos números
realice la descomposición de factores
Ojo
Suma
++ se suman conservando el signo
--
Resta
++ se restan conservando el signo
-- de la cantidad mayor
Ejemplos:
 a2 – 2a - 3s
(a - 7) (a + 5)
 cx2 – xy – 182y2 182 2
(x – 14y) (x + 13y) 91 7 14
13 13
1

11. 

13. PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR UN POLINOMIO POR
EL MÉTODO DE EVALUACIÓN
1. Ordene el polinomio en forma descendente
2. Extraiga los coeficientes comunes con su mismo signo en el
caso de que falte 1 termino remplácelo por 0
3. Analiza los divisores del termino independiente
4. Realiza la división sintética con cualquier de los divisores hasta
que la división quede satisfecha
5. Escriba la respuesta en forma de factores
x3 - 4x2 + x + 6 6={±1; ±2; ±5; ±6}
1 -4 +1 +6 1
-1 +5 -6 Cambia el signo al subir.
Se suma o resta dependiendo
el signo.
1 -5 +6 0 -2
+2 -6
1 -3 0
x-3 R= (x+1) (x-2) (x-3)

14. 6x3 + 23x2 + 9x - 18 6={±1; ±2; ±5; ±6}
6 +23 +9 -18 3
-18 -15 +18
6 +5 -6 0
(x - 3) (6x2 + 5x -6)
𝑥 + 5𝑥 −
36x2 +36x – 36
6
(6x + 9) (6x - 4)
6
3(2x + 3) 2(3x - 2)
6
R= (x+3) (2x+3) (3x-2)

15. X5 + 2x4 - 15x3 - 3x2 – 6x + 45
45={±1; ±3; ±5; ±9; ±15 ± 45}
1 +2 -15 -3 -6 +45 -3
+3 +15 +0 -9 -45
1 +5 +0 -3 -15 0 5
-5 +0 0 +15
1 0 +0 -3 0
x3 + x2 + x – 3 = (x3 - 3)
(x - 3) (x +5) (x3 - 3)
3 3 3
(x - 3) (x +5) (x - 3 ) (x2 + x 3 +( 3)2)
−𝑏± 𝑏2 −4𝑎𝑐
𝑎
3 3 3
− ± 9−4 9
x=
3 3
− ± − 9
x=
3 3 3 3
− − − 9 − + − 9
3 3 3 3
R=(x - 3) (x +5) (x -
3
3) ( − − − 9
)( − + − 9
)

16. X7-20x5+ 2x4 + 64x3 - 40x2 – 128
128={±1; ±2; ±4; ±8; ±16; ±64; ±128}
1 +0 -20 -2 +64 +40 +0 -128 4
-4 +16 +16 -56 -32 -32 +128
1 -4 -4 +14 +8 +8 -32 0 -2
+2 -4 -16 -4 +8 +32
1 -2 -8 -2 +4 +16 0 -2
-2 +8 0 +4 -16
1 -4 0 -2 +8 0
(x4-4x3) – (2x – 8)
X3 (x-4)-2(x-4)
(x+4) (x-2) (x+2) (x4-4x3 -2x +8 ) (x-4)(x3-2)
(x+4) (x-2) (x+2) (x-4)(x3-2)
3 3 3
(x - 2 ) (x2 + x 2 + 4)
−𝑏± 𝑏2 −4𝑎𝑐
X=
𝑎
3 3 3
− ± 4−4 4
x=
3 3
− ± − 4
x=
3 3 3 3
− − − 4 − + − 4
3 3 3 3
R=(x - 3) (x +5) (x -
3
3) ( − − − 4
)( − + − 4
)

17. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
 Máximo común divisor (MCD)
El M.C.D de 2 o más cantidades es la expresión (numérica,
literal o polinomica) que permite dividir por lo tanto se encuentra
inmerso o incluido en cada 1 de las expresiones dadas
P(x) Q(x)
M.C.D
R(x)
El M.C.D de 2 o más cantidades es el menor de los divisores
que permite dividir a las cantidades dadas y su resultado que
final no tenga elementos comunes
6 , 30 , 40 12 , 48 , 91
v
M.C.D =2 M.C.D= 3
Literal
El M.C.D de 2 o más expresiones literales es la letra o
letras que posean menores exponentes
a2 b3 c4, a3 b3 c4, a2 b5 c6
M.C.D= a2 b3 c4
Ab4, mb3, sb5
M.C.D= b3
acd ,mpq ,rst
M.C.D= 1
El M.C.D de dos o más cantidades que no tienen elementos
comunes siempre será 1

18. POLINOMIOS
Para determinar el M.C.D de varios polinomios considere
aquellas expresiones o factores de menor exponente
SOLUCIÓN:
1. Factorise los polinomio dados
2. Identifique los factores comunes que se encuentre
en todos los polinomios planteados
NOTA: En ejercicios combinados se escribirá parte numeral
simple parte literal simple y factores comunes
 Mínimo común múltiplo (mcm)
El mcm de varias cantidades es el mayor de los múltiplos que
contienen a las otras expresiones dadas
c
P(X) Q(X)
R(X)
Para determinar el mcm de 2 cantidades realice la
descomposición mediante galería por todas las formas posibles
y multiplique sus factores
15, 20, 70
15 20 70 2
15 10 35 2
15 5 35 3
5 5 35 5
1 1 7 7
1 1 1 2*2*3*5*7=420

19. Literal
El mcm de 2 o más expresiones literales es aquella letra o letras
que posean el mayo de los exponentes
Observaciones:
En expresiones no comunes el mcm debe contener a todos los
elementos dados con todos los exponentes
a4 b c3, a5 b7 c2 , a b c
m.c.m = a4 b7 c2
abc,mpq,rsw
m.c.m = a b c m p q r s w
Polinomios
Para determinar el mcm de 2 o más polinomios dado determine
los factores comunes y no comunes de mayor grado o
exponente.
1) Factorize los polinomios dados
2) Identifique los factores comunes y no comunes una sola vez
con el mayor exponente.
OJO
mcd . Incluido (Dentro)
mcm . Incluir (Abarcado)
mcd . Elementos Comunes, menor guardado
mcm . Elementos Comunes y No Comunes mayor grado

20. EJERCICIOS:
Determinar el mcd y el mcm de los polinomios planteados.
3x + 3 , 6x – 6
3x + 3 = 3 (x+1)
6x – 6 = 6 (x-1)
mcd = 3
mcm = 6 (x -1) (x+1)
4a2 – 9b2 , 4a2 – 12ab + 9b2
4a2 – 9b2 = (2a + 3b) (2a – 3b)
4a2 – 12ab + 9b2 = (2a – 3b)2
mcd = (2a – 3b)
mcm = (2a – 3b)2 (2ª + 3b)
6a2 + 13a + 6 , 3a2 + 14a + 8 , 4 + 12a + 9a2
6a2 + 13a + 6 = (2a + 3) (3a + 2)* trinomio de la forma 2
a +bx+c
(6a2 + 13ª + 6)6
6
2
36a + 13(6)a + 36
6
(6ª + 9) (6ª + 4)
6
3 (3ª + 3) 2 (3ª + 2)
6
2
3a + 14ª + 8 = (a + 4) (3ª + 2) *a2+bx+c
(3a2 + 14ª + 8)3
3
2
9a + 14(3)a + 24
3
(3ª + 12) (3ª + 2)
3
3 (a + 4) (3ª + 2)
3

21. 4 +12ª + 9a2 = (2 + 3a)2
mcd = (2 + 3a)
mcm = (2 + 3a)2 (a + 4) (2ª + 3)
x2 – 25 , x3 – 125 , 2x + 10
x2 – 25 = (x + 5) (x - 5)
x3 – 125 = (x – 5) (x2 + 5x + 25)
2x + 10 = 2 (x + 5)
mcd = 1
mcm = 2(x + 5) (x - 5) (x2 + 5x + 25)
2x3 – 12x2 +18x ; 3x4 – 27x2 ; 5x3 30x2 + 45x
2x2 – 12x + 18x = 2x (x2 – 6x + 9) = 2x (x - 3)2
3x4 – 27x2 = 3x2 (x2 - 9) = 3x2 (x - 3) (x + 3)
5x3 + 30x2 + 45x = 5x (x2 + 6 + 9) = 5x (x + 3)2
mcd = x
mcm = 30x2 (x - 3)2 (x + 3)2
ax – 2bx + ay – 2by ; x2 + xy ; x2 – xy
ax – 2bx + ay – 2by = (ax – 2bx) + (ay – 2by)
x(a -2b) + y(a – 2b)
(x + y) (a – 2b)
2
x + xy = x (x + y)
x2 – xy = x (x - y)
mcd =1
mcm =x (x + y) (x - y) (a – 2b)

22. Operaciones con Expresiones Racionales Polinomios
Con expresiones racionales polinomicas se pueden ejecutar con
suma, resta, multiplicación, división.
Suma y Resta con Expresiones Racionales Polinómicas
± ±
± ±
÷
B d f } Polinomios mcm
Solucion:
1. Factorizar los denominadores Ojo:
2. Determinar el mcm
a–a=0
3. Aplicar el esquema P. Distributiva
-a + a = 0
4. Simplificar si es posible
Ejemplo:
+ +
 2+ 3−
16x2 - 3(4)x – 40
− +4 4
(4x-8) (4x+5)
( 2+ +4) + − + − + 4
2+ 4(x-2) (4x+5)
− +4 4
(x-2) (4x+5)
2 4 8 2 3 4 6 6 12
2 2 4
4 3 1
2 2 4
2 4 5 4 5
2 2 4 2 4

23. − 2 2

9− 2 9+ + 2 9− + 2
1 6
3 3 3 3
3 3 1 3 3 6
3 3
9 1 9 6 9 6 6
3 3
4 4
9 9 9 6 54 36
3 3
12 1 54 9
3 3
+ +4 +5
 2− 2 −4 2 +5
− −5 +4
1 4 5
5 4 5 1 4 1
1 1 4 4 5 5
5 4 1
2 1 8 16 25
5 4 1
1 42
5 4 1

24. 5
 2 +5 2− 2−
+ − −
2 1 3
2 3 2 2 2 3 2 1
2 2 1 2 3 3
2 3 1 2
2 4 1 6 9
2 3 1 2
4
2 3 1 2
+ 2
 2+
+ − −
2 1 2
4 3 2 3 2 2 1 8 2 1
2 2 1 2 1 8 3 2 2
8 3 2 2 1
4 8 2 1 8 3 2 2
8 3 2 2 1
8 4 16 8 8 6 4
8 3 2 2 1
6 12 4
8 3 2 2 1
2 3 6 2
8 3 2 2 1

25. Protocolo de Expresiones Racionales
Polinomios
Para multiplicar dos o más expresiones polinomicas realice lo
siguiente:
x x
Solucion:
1. Factorizar el numerador
2. Aplicar el esquema
3. Simplificar
2− 4 2− 2− + 5
 2− 2+ 2−
− +5 + 4
8 8 6 6 5
6 5 8 8
+ − + − − −5
=
− −5 + − − 2
6
8
3+ 2− + 2+ +9
 2− 2 −9 2+
− +9
3 3 9 1 6 3
1 2 3 3 3 9
3 6 9 1 6 3
1 2 3 3 3 9

26. 6 3
2
+ 2 +4 + 2− 44 2
 2− 4 + 44 2 2+ − 2 2 −4
4
2 2 4 8 16 2
11 12 11 12
11 12 11 12
2 2
4
2 2 4 8 16 2 11 12 11 12
11 12 11 12 2 2
4
2 4 8 16 2
División de Expresiónes Racionales
Polinomios
E: Extremos
M: Medios
Producto Cruzado E
Producto Cruz M
Solucion
1. Factorizar numerador y denominador
2. Aplicar el producto cruz
3. Simplificar

27. 2+ + 5 2+ −5 4 2+ +
2 −9 9 2−
+5 4 + +5 + + +
4 + 4 − + −
+5 4 +5 + − 4 +5 4 +
4 + 4 − +5 −
+ 2+ −
4 −
+ 5 −
+5 −
+ − +

− + −
+ + −

− + +

28. − + + −

− + − −