1. MÚSICA Y
MATEMÁTICAS
EL JUEGO DE DADOS DE MOZART
DOMÍNGUEZ HORTA, CAROLINA
FUSTES FRAGA, LAURA
LOIS FILGUEIRA, VERÓNICA
MARTÍNEZ NEIRA, RAQUEL
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ÍNDICE:
- Introducción Página 3
- Música y matemáticas Página 8
- Breve historia de Mozart Página 9
- El juego de dados de Mozart Página 12
- Conclusiones Página 20
- Bibliografía Página 22
- Anexos Página 23
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INTRODUCCIÓN
Es común escuchar que hay Matemática en la Música porque cuando se
abre una partitura ésta está llena de “números” (los números del compás, las
digitaciones…), obviamente esta observación es muy simple. Se dice que hay
Matemática en la Música, que la Música y la Matemática están muy
relacionadas. Pero ¿hay Matemática en la Música? ¿Están relacionadas?
¿Qué relación existe entre la Música y la Matemática?
Para dar respuesta a estas preguntas podemos fundamentarnos acerca
de lo que algunos artistas o científicos han hecho al respecto durante la
historia de la Humanidad.
Pitágoras (550 AC) explicó la Música como una expresión de esa
armonía universal la cual también se realiza en la Aritmética y la
Astronomía. Estaba influenciado por sus conocimientos sobre las medias
(aritmética, geométrica y armónica) y el misticismo de los números
naturales, especialmente los cuatro primeros. Había experimentado que
cuerdas con longitudes de razones 1:2, 2:3 y 3:4 producían combinaciones
de sonidos agradables y construyó una escala a partir de estas
proporciones, la escala diatónica.
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Platón reconoce la importancia del elemento matemático. Dice que si a
cualquier arte se le quita la aritmética, la medida, y lo pesable, lo que queda
no es mucho. También expresa que a través de la medida y la proporción
siempre se llega a la belleza y a la excelencia.
Aristóteles expresa que están equivocados aquellos que claman que la
matemática no dice nada acerca de la belleza y la bondad, y que los
elementos de la belleza son el orden, la simetría, la limitación definida y que
éstas son las propiedades a las cuales la matemática les pone atención. El
punto de vista de la filosofía griega estaba inclinado a seleccionar la forma
y la proporción como los elementos típicos de la belleza.
En la Edad Media la Música estaba agrupada con la Aritmética, la
Geometría y la Astronomía en el Cuadrivio. La Música no se consideraba un
arte en el sentido moderno sino una ciencia aliada con la Matemática y la
Física (la Acústica). Matemáticas un poco más elevadas se utilizaron en el
cálculo de intervalos, el cual requería el uso de logaritmos, y los problemas
del temperamento requerían del uso de fracciones continuas.
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El matemático Luca Pacioli en su "De Divina Proporcione" (divina
proporción) de 1509 considera la sección dorada, misma que utilizó su amigo
Miguel Ángel.
Finalmente concluímos este recorrido con Leibniz, quien describe a la
Música como "un ejercicio inconsciente en la Aritmética". Esta afirmación
quizás se podría justificar sobre la base de que el músico intérprete cuenta
los tiempos del compás cuando comienza a estudiar una obra pero después
de un tiempo de tocarla, ya no está contando conscientemente sino que deja
fluir la magia de la Música. Sin embargo casi todos los "elementos externos"
de la Música se definen numéricamente: 12 notas por octava; compás de
3/4, 7/8,...; 5 líneas en el pentagrama; altura de 440 hz; lo horizontal y lo
vertical en la textura musical; arriba y abajo en la escala; etc.
Leibniz pudo admitir las percepciones y juicios estéticos como parte
del saber y definió la Música como el contar sin saber que se está contando.
Esto último concuerda con el concepto de Birkhoff en el sentido de que la
densidad de ciertas relaciones ordenadas entre las notas consideradas
intuitivamente, miden el efecto estético. De Crousaz escribe, que el buen
gusto nos hace apreciar, al principio, por sensaciones, aquello que la razón
hubiera aprobado.
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En la misma línea, Rameau observó que una nota musical está
compuesta por un sonido fundamental y varias parciales, y que las notas que
difieren por una octava son similares en cuanto a su efecto estético y
pueden considerarse casi idénticas. Estos hechos conducen al entendimiento
de la música occidental.
Fue Bela Bartok, alrededor de 1915 quien desarrolló un método para
integrar todos los elementos de la música (escalas, estructuras de acordes
con los motivos melódicos apropiados, proporciones de longitud, tanto de la
obra en general como los de la exposición, desarrollo, reexposición, frases
de conexión entre movimientos etc.) basado en la razón áurea.
Podemos concluir que la relación más importante entre la Matemática y
la Música es, que ambas son "Bellas Artes". Poseen características similares.
Están relacionadas en el sentido de que la Matemática provee una base
científica para comprender la Música y la Musicología y para que esta última
pueda considerarse una ciencia, no una rama de la literatura poética común y
corriente.
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Nuestro trabajo manifiesta la relación existente entre la Música y la
Matemática. Como ejemplo de ello el tema elegido para el desarrollo del
mismo es Musikalisches Würfelspiel obra del gran compositor Wolfgang
Amadeus Mozart. Mozart, en 1777, a los escasos 21 años de edad, escribió
un "Juego de Dados Musical K. 294 (Anh. C) para escribir valses con la
ayuda de dos dados sin ser músico ni saber nada de composición.
Este trabajo consta de un PowerPoint, un trabajo escrito, y un juego
de dados (cartulinas y dados). Esto último será para trabajar con niños,
pero lo anterior podrá servirnos de guía para posteriormente poder realizar
una unidad didáctica, aprovechando el trabajo hecho.
Podríamos aprovechar esto para hacer diferentes actividades
partiendo de este juego. Un ejemplo, sería que los alumnos buscasen por si
mismos información sobre Mozart: quién era, qué hacía, a qué época
pertenecía, sus obras más conocidas, etc. Otra actividad que los niños
podrían realizar sería la construcción de su propio juego a través de una
serie de pautas.
Con todo esto, lo que pretendemos es relacionar más detalladamente
música y matemáticas, como a continuación explicamos.
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MÚSICA Y MATEMÁTICAS
Durante muchos siglos se ha considerado que las matemáticas y la
música tienen cierta similitud y relación. Ambas tienen algo de mágico, son
tan abstractas que parecen pertenecer a otro mundo y sin embargo tienen
gran poder en el mundo. Una parte de las matemáticas estudia los números,
sus patrones y formas y estos elementos son inherentes a la ciencia, la
composición y la ejecución de la música.
La música cambia su textura y carácter según el lugar y la época, por
su parte las matemáticas son directas, nunca alteran su carácter. La música
se crea a partir de algo físico, las matemáticas en cambio son abstracciones
que no necesitan material alguno para producirse. La música está cargada de
emociones sin embargo las matemáticas no, no pueden ser tristes ni
agresivas.
El matemático y el músico ocupan su tiempo con tareas similares, los
dos resuelven problemas, componen o interpretan, además de enseñar a sus
alumnos, sin pensar en que sus disciplinas son paradigmas de lo abstracto.
Tanto matemáticas como música han tenido un poder místico desde la
Antigüedad hasta incluso hoy en día donde el aspecto mágico y ritualista se
mantiene. Esto es porque hay que tener cierto grado de iniciación para
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introducirse en la lectura de una partitura así como para seguir la
demostración de un teorema. Hay algo de genial en ellas: en la notación que
es capaz de indicarnos tiempos, ritmos y altura de sonidos en el caso de la
música, o una numeración tan sofisticada como la arábiga y notaciones tan
desarrolladas que dan estructura y sentido a los conceptos.
Las matemáticas nacen de la necesidad de registrar el paso del tiempo,
de llevar un registro de las cosechas, del ganado y de las operaciones
comerciales. Así se desarrollaron signos y palabras para los números. La
música nace de la necesidad de protegerse de ciertos fenómenos naturales,
alejar espíritus malignos, atraer ayuda de los dioses, honrarlos y festejar
sus fiestas, y también celebrar el cambio de las estaciones.
BREVE HISTORIA DE MOZART
Mozart nació en Austria el 27 de enero de 1756. Ya de niño destacó
como músico y antes de los cinco años interpretaba compases de algunas
piezas y realizó su primera composición. Viajó con su familia a Múnich donde
las más importantes personalidades de allí se maravillaron con sus
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conciertos. Después viajaron a París donde interpretó su música en los más
distinguidos auditorios parisinos.
La siguiente etapa del viaje fue Londres donde conoció a Bach de quien
recibió lecciones de canto y escuchó por primera vez las composiciones de
Händel enriqueciendo así su formación musical. Allí compuso sus primeras
sinfonías.
Se convirtió en un gran músico, triunfando en cuantas ciudades hacía
escala, además su trabajo como compositor fue muy intenso. Se casó con
Constanza, una antigua discípula y su producción fue más intensa a partir de
entonces y también superior su calidad. En 1785 concluyó “Las bodas de
Fígaro” cuyo éxito le valió un contrato de trabajo. Praga le proclamó el más
genial músico de su tiempo, sin embargo su situación económica no mejoraba
y Mozart empezaba a sentirse enfermo.
Concluyó “La Clemenza de Tito” y “La flauta mágica”, y a la edad de 36
años moría víctima del agotamiento y la enfermedad.
«no sé de dónde ni cómo me llegan las ideas; en ocasiones fluyen
abundantemente y mejor cuando viajo en coche, paseando, o cuando no
puedo dormir».
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CRONOLOGÍA
1756: Nace
1761: Ya domina su primera composición, según su padre.
1762: Mozart debuta como músico en la corte imperial de Viena.Surgen los
primeros problemas de salud del genio.
1763: Gira musical por toda Europa, junto a su familia.
1764: Con ocho años compone su sinfonía K 16.
1769: Gana la plaza “sin sueldo” de maestro en conciertos.
1770: Es admitido en la famosa Academia Filarmónica de Bolonia. Estreno
de la épica opera “Mitridates, rey de Ponto”.
1771: El príncipe arzobispo Colloredo le asigna una paga fija.
1777: Su padre lo envía por Europa para afianzar su carrera.
1778: Se enamora de Aloysia Weber. No es correspondido.
1779: Readmitido en la corte de Salzburgo como organista.
1780: Estrena con éxito su ópera “Idomeneo, rey de Creta”.
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1781: Presenta su dimisión a Colloredo y se muda a Viena.
1782: Se casa con Constanze Weber, hermana de Aloysia.
1784: Se inicia en la Zur Wohlthatigkeit, logia masónica de Viena.
1786: Triunfal estreno en Munich de “Las bodas de Fígaro”.
1787: Mozart dirige el estreno de su ópera “Don Giovanni”.
1790: Enferma su esposa, Constanze. Se traslada a Baden. Concluye y
estrena una gran ópera “La flauta mágica”.
5-1-1791 Mozart muere en la cama, postrado y enfermo.
EL JUEGO DE DADOS DE MOZART
Un aspecto interesante de la relación entre música y matemáticas es la
composición de obras musicales a partir de reglas y conceptos tales como la
probabilidad aplicada a juegos de azar, modelos estadísticos, entre otros.
Éste es el caso, puesto que se generan composiciones musicales a partir de
juegos de azar, lanzamiento de dados.
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Mozart compuso la obra “Musikalisches Würfelspiel”(Dados musicales),
creación artística en la que su ingenio la llevó a componer, no una pieza para
piano, sino un generador de valses. La obra no contiene una partitura para un
pequeño vals de 16 compases, sino que tiene un sistema que, por azar, puede
generar un número muy grande de valses diferentes de 16 compases cada
uno.
La obra consiste en 176 compases numerados, de los cuales todos se
dedicarán a un minueto de 16 compases y 96 de ellos a un trío también de 16
compases. Los compases están numerados del 1 al 176 y los agrupó en 16
conjuntos de 11 compases cada uno. El procedimiento para generar un vals
particular a partir de esta combinación de habilidad en la composición y el
uso del azar consiste en que cada compás del 1 al 16 se selecciona con unos
dados, del correspondiente conjunto de 11 compases. Estos 16 conjuntos o
columnas de números, que identifican cada uno de los 176 compases son los
siguientes:
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IX X XI XII XIII XIV XVI XVII
2 70 121 26 9 112 49 109 14
3 117 39 126 56 174 18 116 83
4 66 139 15 132 73 58 145 79
5 90 176 7 34 67 160 52 170
6 25 143 64 125 76 136 1 93
7 138 71 150 29 101 162 23 151
8 16 155 57 175 43 168 89 172
9 120 88 48 166 51 115 72 111
10 65 77 19 82 137 38 149 8
11 102 4 31 164 144 59 173 78
12 35 20 108 92 12 124 44 131
En el encabezado en números romanos aparece el número del compás.
Mozart, designó los compases por columna siguiendo un sencillo patrón
armónico, de acuerdo a su época. En ésta, se utiliza una escala de siete
sonidos correspondientes a siete grados, los que más utiliza son: el primer
grado (I), el quinto grado (V) y el cuarto grado (IV), lo cual, en una escala de
Do Mayor, corresponde al Do, Sol y Fa, además de los acordes que se
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construyen sobre ellos, lo cual lleva a una composición con la siguiente
armonía:
I II III IV V VI VII VIII
Do Do Do Do Sol Sol Sol Sol
I I V I-IV V I IV-V I
IX X XI XII XIII XIV XV XVI
Sol Sol Do Do Do Do Do Do
V I IV-I V I I IV-V I
Identificando cada una de las filas aparece un número entre 2 y 12 que
corresponde a la suma de las caras de dos dados que deben ser lanzados
para definir en cada compás, cuál es el elemento que deberá incluirse en la
partitura. Se lanzan los dados en 16 ocaciones. En principio el número de
posibles partituras corresponde al número 11 elevado a la potencia 16. Este
número es tan grande que se estima que si se interpretaran continuamente y
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con un orden sistemático, todas las partituras posibles se extenderían a
cientos de años la interpretación.
Una vez concluida la partitura del minueto, se crearía la partitura del
trío. El método es el mismo, salvo que ahora se arroja un solo dado al aire.
La tabla correspondiente es la siguiente:
I II III IV V VI VII VIII
1 72 6 59 25 81 41 89 13
2 56 82 42 74 14 7 26 71
3 75 39 54 1 65 43 15 80
4 49 73 16 68 29 55 2 61
5 83 3 28 53 37 17 44 70
6 18 45 62 38 4 27 52 94
IX X XI XII XIII XIV XV XVI
1 36 5 46 79 30 95 19 66
2 76 20 64 84 8 35 47 88
3 9 34 93 48 69 58 90 21
4 22 67 49 77 57 87 33 10
5 63 85 32 96 12 23 50 91
6 11 92 24 86 51 60 78 31
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El lanzamiento de un único dado tiene un espacio muestral de seis
puntos, su función de densidad de probabilidad es discreta-uniforme, ya que
para cualquier resultado tiene una probabilidad de 1/6. El lanzamiento de
dos dados genera un espacio muestral bidimensional de 36 parejas de
resultados con una probabilidad p=1/36.
El lanzamiento de dos dados permite construir una variable aleatoria,
la cual se deriva de la suma de los resultados del lanzamiento. Las
probabilidades de lanzamiento de los dos dados serían:
Resultado Probabilidad
2 1/36
3 2/36
4 3/36
5 4/36
6 5/36
7 6/36
8 5/36
9 4/36
10 3/36
19. 19
11 2/36
12 1/36
En la tabla anterior, se denota que el resultado de mayor probabilidad
de aparecer es el número 7. Los resultados 2, 3, 10, 11 y 12 a pesar de ser el
55% de los resultados, tienen una probabilidad de aparición de 0.167.
Esta obra en realidad no es tan elegante como muchas de las piezas
cortas que compuso Mozart, sin embargo, no deja de ser sorprendente que
usando un método aleatorio, por la forma en la que está diseñado, tenga su
sello debido a la manera en la que está escrito cada compás y el respeto de
las reglas de armonía de su tiempo.
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CONCLUSIONES
El fin de este trabajo es relacionar dos áreas, música y matemáticas.
Lo que se pretende es que haya más relación y comunicación entre
profesores de diferentes materias, que es algo escaso en muchos centros
escolares. Normalmente tenemos la conciencia de que estas dos asignaturas
son muy dispares, pero en realidad la música, al igual que el universo, no es
nada sin las matemáticas.
La mayoría del alumnado ve las matemáticas como algo aburrido y
complicado, sin embargo las clases de música suelen considerarse mucho
más divertidas y amenas. Todo esto depende del profesor que imparta la
materia, si hay un profesor que sea capaz de que sus alumnos cambien su
opinión acerca de las matemáticas llegarán a verlas de otra manera. En este
trabajo lo que intentamos es conseguir esto, precisamente.
Como hemos dicho anteriormente, los materiales son adaptados a los
niños; por ejemplo, los dados que utilizaremos son de peluche para que el
niño no se haga daño, y son lo suficientemente grandes. Otra de las
cualidades de estos dados es que son llamativos debido a que tienen colores
vivos, que una de las cosas que puede motivar al niño a jugar. Esto último
también sucedería con las cartulinas presentadas en clase.
21. 21
Para finalizar, decir que con este trabajo nos hemos dado cuenta, aún
más, la relación existente entre nuestra futura docencia, que es la música, y
las matemáticas.
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BILIOGRAFÍA
- Mankiewicz, R., Historia de las matemáticas, Paidós, 2000.
- Rothstein, E., Emblems of Mind. The inner life of music and mathematics,
Avon Books, New York, 1996.
- Reinthaler, J., Mathematics and Music. Some intersections, Mu Alpha
Theta, 1990.
- Hammmel Garland, T. y Vaughn Kahn, Ch., Math and Music. Harmonious
Connections, Dale Seymour Publications, 1995.
- Xenakis, I., Formalized Music. Thought and Mathematics in Music,
Pendragon Revised Edition, 1992.
