Juego de dados de Mozart

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  • Gracias por adjuntar las tablas de Mozart. Intentaré comprender el juego de dados y obtener mi primer vals.
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Juego de dados de Mozart

  1. 1. MÚSICA Y MATEMÁTICAS EL JUEGO DE DADOS DE MOZART DOMÍNGUEZ HORTA, CAROLINA FUSTES FRAGA, LAURA LOIS FILGUEIRA, VERÓNICA MARTÍNEZ NEIRA, RAQUEL
  2. 2. 2 ÍNDICE: - Introducción Página 3 - Música y matemáticas Página 8 - Breve historia de Mozart Página 9 - El juego de dados de Mozart Página 12 - Conclusiones Página 20 - Bibliografía Página 22 - Anexos Página 23
  3. 3. 3 INTRODUCCIÓN Es común escuchar que hay Matemática en la Música porque cuando se abre una partitura ésta está llena de “números” (los números del compás, las digitaciones…), obviamente esta observación es muy simple. Se dice que hay Matemática en la Música, que la Música y la Matemática están muy relacionadas. Pero ¿hay Matemática en la Música? ¿Están relacionadas? ¿Qué relación existe entre la Música y la Matemática? Para dar respuesta a estas preguntas podemos fundamentarnos acerca de lo que algunos artistas o científicos han hecho al respecto durante la historia de la Humanidad. Pitágoras (550 AC) explicó la Música como una expresión de esa armonía universal la cual también se realiza en la Aritmética y la Astronomía. Estaba influenciado por sus conocimientos sobre las medias (aritmética, geométrica y armónica) y el misticismo de los números naturales, especialmente los cuatro primeros. Había experimentado que cuerdas con longitudes de razones 1:2, 2:3 y 3:4 producían combinaciones de sonidos agradables y construyó una escala a partir de estas proporciones, la escala diatónica.
  4. 4. 4 Platón reconoce la importancia del elemento matemático. Dice que si a cualquier arte se le quita la aritmética, la medida, y lo pesable, lo que queda no es mucho. También expresa que a través de la medida y la proporción siempre se llega a la belleza y a la excelencia. Aristóteles expresa que están equivocados aquellos que claman que la matemática no dice nada acerca de la belleza y la bondad, y que los elementos de la belleza son el orden, la simetría, la limitación definida y que éstas son las propiedades a las cuales la matemática les pone atención. El punto de vista de la filosofía griega estaba inclinado a seleccionar la forma y la proporción como los elementos típicos de la belleza. En la Edad Media la Música estaba agrupada con la Aritmética, la Geometría y la Astronomía en el Cuadrivio. La Música no se consideraba un arte en el sentido moderno sino una ciencia aliada con la Matemática y la Física (la Acústica). Matemáticas un poco más elevadas se utilizaron en el cálculo de intervalos, el cual requería el uso de logaritmos, y los problemas del temperamento requerían del uso de fracciones continuas.
  5. 5. 5 El matemático Luca Pacioli en su "De Divina Proporcione" (divina proporción) de 1509 considera la sección dorada, misma que utilizó su amigo Miguel Ángel. Finalmente concluímos este recorrido con Leibniz, quien describe a la Música como "un ejercicio inconsciente en la Aritmética". Esta afirmación quizás se podría justificar sobre la base de que el músico intérprete cuenta los tiempos del compás cuando comienza a estudiar una obra pero después de un tiempo de tocarla, ya no está contando conscientemente sino que deja fluir la magia de la Música. Sin embargo casi todos los "elementos externos" de la Música se definen numéricamente: 12 notas por octava; compás de 3/4, 7/8,...; 5 líneas en el pentagrama; altura de 440 hz; lo horizontal y lo vertical en la textura musical; arriba y abajo en la escala; etc. Leibniz pudo admitir las percepciones y juicios estéticos como parte del saber y definió la Música como el contar sin saber que se está contando. Esto último concuerda con el concepto de Birkhoff en el sentido de que la densidad de ciertas relaciones ordenadas entre las notas consideradas intuitivamente, miden el efecto estético. De Crousaz escribe, que el buen gusto nos hace apreciar, al principio, por sensaciones, aquello que la razón hubiera aprobado.
  6. 6. 6 En la misma línea, Rameau observó que una nota musical está compuesta por un sonido fundamental y varias parciales, y que las notas que difieren por una octava son similares en cuanto a su efecto estético y pueden considerarse casi idénticas. Estos hechos conducen al entendimiento de la música occidental. Fue Bela Bartok, alrededor de 1915 quien desarrolló un método para integrar todos los elementos de la música (escalas, estructuras de acordes con los motivos melódicos apropiados, proporciones de longitud, tanto de la obra en general como los de la exposición, desarrollo, reexposición, frases de conexión entre movimientos etc.) basado en la razón áurea. Podemos concluir que la relación más importante entre la Matemática y la Música es, que ambas son "Bellas Artes". Poseen características similares. Están relacionadas en el sentido de que la Matemática provee una base científica para comprender la Música y la Musicología y para que esta última pueda considerarse una ciencia, no una rama de la literatura poética común y corriente.
  7. 7. 7 Nuestro trabajo manifiesta la relación existente entre la Música y la Matemática. Como ejemplo de ello el tema elegido para el desarrollo del mismo es Musikalisches Würfelspiel obra del gran compositor Wolfgang Amadeus Mozart. Mozart, en 1777, a los escasos 21 años de edad, escribió un "Juego de Dados Musical K. 294 (Anh. C) para escribir valses con la ayuda de dos dados sin ser músico ni saber nada de composición. Este trabajo consta de un PowerPoint, un trabajo escrito, y un juego de dados (cartulinas y dados). Esto último será para trabajar con niños, pero lo anterior podrá servirnos de guía para posteriormente poder realizar una unidad didáctica, aprovechando el trabajo hecho. Podríamos aprovechar esto para hacer diferentes actividades partiendo de este juego. Un ejemplo, sería que los alumnos buscasen por si mismos información sobre Mozart: quién era, qué hacía, a qué época pertenecía, sus obras más conocidas, etc. Otra actividad que los niños podrían realizar sería la construcción de su propio juego a través de una serie de pautas. Con todo esto, lo que pretendemos es relacionar más detalladamente música y matemáticas, como a continuación explicamos.
  8. 8. 8 MÚSICA Y MATEMÁTICAS Durante muchos siglos se ha considerado que las matemáticas y la música tienen cierta similitud y relación. Ambas tienen algo de mágico, son tan abstractas que parecen pertenecer a otro mundo y sin embargo tienen gran poder en el mundo. Una parte de las matemáticas estudia los números, sus patrones y formas y estos elementos son inherentes a la ciencia, la composición y la ejecución de la música. La música cambia su textura y carácter según el lugar y la época, por su parte las matemáticas son directas, nunca alteran su carácter. La música se crea a partir de algo físico, las matemáticas en cambio son abstracciones que no necesitan material alguno para producirse. La música está cargada de emociones sin embargo las matemáticas no, no pueden ser tristes ni agresivas. El matemático y el músico ocupan su tiempo con tareas similares, los dos resuelven problemas, componen o interpretan, además de enseñar a sus alumnos, sin pensar en que sus disciplinas son paradigmas de lo abstracto. Tanto matemáticas como música han tenido un poder místico desde la Antigüedad hasta incluso hoy en día donde el aspecto mágico y ritualista se mantiene. Esto es porque hay que tener cierto grado de iniciación para
  9. 9. 9 introducirse en la lectura de una partitura así como para seguir la demostración de un teorema. Hay algo de genial en ellas: en la notación que es capaz de indicarnos tiempos, ritmos y altura de sonidos en el caso de la música, o una numeración tan sofisticada como la arábiga y notaciones tan desarrolladas que dan estructura y sentido a los conceptos. Las matemáticas nacen de la necesidad de registrar el paso del tiempo, de llevar un registro de las cosechas, del ganado y de las operaciones comerciales. Así se desarrollaron signos y palabras para los números. La música nace de la necesidad de protegerse de ciertos fenómenos naturales, alejar espíritus malignos, atraer ayuda de los dioses, honrarlos y festejar sus fiestas, y también celebrar el cambio de las estaciones. BREVE HISTORIA DE MOZART Mozart nació en Austria el 27 de enero de 1756. Ya de niño destacó como músico y antes de los cinco años interpretaba compases de algunas piezas y realizó su primera composición. Viajó con su familia a Múnich donde las más importantes personalidades de allí se maravillaron con sus
  10. 10. 10 conciertos. Después viajaron a París donde interpretó su música en los más distinguidos auditorios parisinos. La siguiente etapa del viaje fue Londres donde conoció a Bach de quien recibió lecciones de canto y escuchó por primera vez las composiciones de Händel enriqueciendo así su formación musical. Allí compuso sus primeras sinfonías. Se convirtió en un gran músico, triunfando en cuantas ciudades hacía escala, además su trabajo como compositor fue muy intenso. Se casó con Constanza, una antigua discípula y su producción fue más intensa a partir de entonces y también superior su calidad. En 1785 concluyó “Las bodas de Fígaro” cuyo éxito le valió un contrato de trabajo. Praga le proclamó el más genial músico de su tiempo, sin embargo su situación económica no mejoraba y Mozart empezaba a sentirse enfermo. Concluyó “La Clemenza de Tito” y “La flauta mágica”, y a la edad de 36 años moría víctima del agotamiento y la enfermedad. «no sé de dónde ni cómo me llegan las ideas; en ocasiones fluyen abundantemente y mejor cuando viajo en coche, paseando, o cuando no puedo dormir».
  11. 11. 11 CRONOLOGÍA 1756: Nace 1761: Ya domina su primera composición, según su padre. 1762: Mozart debuta como músico en la corte imperial de Viena.Surgen los primeros problemas de salud del genio. 1763: Gira musical por toda Europa, junto a su familia. 1764: Con ocho años compone su sinfonía K 16. 1769: Gana la plaza “sin sueldo” de maestro en conciertos. 1770: Es admitido en la famosa Academia Filarmónica de Bolonia. Estreno de la épica opera “Mitridates, rey de Ponto”. 1771: El príncipe arzobispo Colloredo le asigna una paga fija. 1777: Su padre lo envía por Europa para afianzar su carrera. 1778: Se enamora de Aloysia Weber. No es correspondido. 1779: Readmitido en la corte de Salzburgo como organista. 1780: Estrena con éxito su ópera “Idomeneo, rey de Creta”.
  12. 12. 12 1781: Presenta su dimisión a Colloredo y se muda a Viena. 1782: Se casa con Constanze Weber, hermana de Aloysia. 1784: Se inicia en la Zur Wohlthatigkeit, logia masónica de Viena. 1786: Triunfal estreno en Munich de “Las bodas de Fígaro”. 1787: Mozart dirige el estreno de su ópera “Don Giovanni”. 1790: Enferma su esposa, Constanze. Se traslada a Baden. Concluye y estrena una gran ópera “La flauta mágica”. 5-1-1791 Mozart muere en la cama, postrado y enfermo. EL JUEGO DE DADOS DE MOZART Un aspecto interesante de la relación entre música y matemáticas es la composición de obras musicales a partir de reglas y conceptos tales como la probabilidad aplicada a juegos de azar, modelos estadísticos, entre otros. Éste es el caso, puesto que se generan composiciones musicales a partir de juegos de azar, lanzamiento de dados.
  13. 13. 13 Mozart compuso la obra “Musikalisches Würfelspiel”(Dados musicales), creación artística en la que su ingenio la llevó a componer, no una pieza para piano, sino un generador de valses. La obra no contiene una partitura para un pequeño vals de 16 compases, sino que tiene un sistema que, por azar, puede generar un número muy grande de valses diferentes de 16 compases cada uno. La obra consiste en 176 compases numerados, de los cuales todos se dedicarán a un minueto de 16 compases y 96 de ellos a un trío también de 16 compases. Los compases están numerados del 1 al 176 y los agrupó en 16 conjuntos de 11 compases cada uno. El procedimiento para generar un vals particular a partir de esta combinación de habilidad en la composición y el uso del azar consiste en que cada compás del 1 al 16 se selecciona con unos dados, del correspondiente conjunto de 11 compases. Estos 16 conjuntos o columnas de números, que identifican cada uno de los 176 compases son los siguientes:
  14. 14. 14 I II III IV V VI VII VIII 2 96 22 141 41 105 122 11 30 3 32 6 128 63 146 46 134 81 4 69 95 158 13 153 55 110 24 5 40 17 113 85 161 2 159 100 6 148 74 163 45 80 97 36 107 7 104 157 27 167 154 68 118 91 8 152 60 171 53 99 133 21 127 9 119 84 114 50 140 86 169 94 10 98 142 42 156 75 129 62 123 11 3 87 165 61 135 47 147 33 12 54 130 10 103 28 37 106 5
  15. 15. 15 IX X XI XII XIII XIV XVI XVII 2 70 121 26 9 112 49 109 14 3 117 39 126 56 174 18 116 83 4 66 139 15 132 73 58 145 79 5 90 176 7 34 67 160 52 170 6 25 143 64 125 76 136 1 93 7 138 71 150 29 101 162 23 151 8 16 155 57 175 43 168 89 172 9 120 88 48 166 51 115 72 111 10 65 77 19 82 137 38 149 8 11 102 4 31 164 144 59 173 78 12 35 20 108 92 12 124 44 131 En el encabezado en números romanos aparece el número del compás. Mozart, designó los compases por columna siguiendo un sencillo patrón armónico, de acuerdo a su época. En ésta, se utiliza una escala de siete sonidos correspondientes a siete grados, los que más utiliza son: el primer grado (I), el quinto grado (V) y el cuarto grado (IV), lo cual, en una escala de Do Mayor, corresponde al Do, Sol y Fa, además de los acordes que se
  16. 16. 16 construyen sobre ellos, lo cual lleva a una composición con la siguiente armonía: I II III IV V VI VII VIII Do Do Do Do Sol Sol Sol Sol I I V I-IV V I IV-V I IX X XI XII XIII XIV XV XVI Sol Sol Do Do Do Do Do Do V I IV-I V I I IV-V I Identificando cada una de las filas aparece un número entre 2 y 12 que corresponde a la suma de las caras de dos dados que deben ser lanzados para definir en cada compás, cuál es el elemento que deberá incluirse en la partitura. Se lanzan los dados en 16 ocaciones. En principio el número de posibles partituras corresponde al número 11 elevado a la potencia 16. Este número es tan grande que se estima que si se interpretaran continuamente y
  17. 17. 17 con un orden sistemático, todas las partituras posibles se extenderían a cientos de años la interpretación. Una vez concluida la partitura del minueto, se crearía la partitura del trío. El método es el mismo, salvo que ahora se arroja un solo dado al aire. La tabla correspondiente es la siguiente: I II III IV V VI VII VIII 1 72 6 59 25 81 41 89 13 2 56 82 42 74 14 7 26 71 3 75 39 54 1 65 43 15 80 4 49 73 16 68 29 55 2 61 5 83 3 28 53 37 17 44 70 6 18 45 62 38 4 27 52 94 IX X XI XII XIII XIV XV XVI 1 36 5 46 79 30 95 19 66 2 76 20 64 84 8 35 47 88 3 9 34 93 48 69 58 90 21 4 22 67 49 77 57 87 33 10 5 63 85 32 96 12 23 50 91 6 11 92 24 86 51 60 78 31
  18. 18. 18 El lanzamiento de un único dado tiene un espacio muestral de seis puntos, su función de densidad de probabilidad es discreta-uniforme, ya que para cualquier resultado tiene una probabilidad de 1/6. El lanzamiento de dos dados genera un espacio muestral bidimensional de 36 parejas de resultados con una probabilidad p=1/36. El lanzamiento de dos dados permite construir una variable aleatoria, la cual se deriva de la suma de los resultados del lanzamiento. Las probabilidades de lanzamiento de los dos dados serían: Resultado Probabilidad 2 1/36 3 2/36 4 3/36 5 4/36 6 5/36 7 6/36 8 5/36 9 4/36 10 3/36
  19. 19. 19 11 2/36 12 1/36 En la tabla anterior, se denota que el resultado de mayor probabilidad de aparecer es el número 7. Los resultados 2, 3, 10, 11 y 12 a pesar de ser el 55% de los resultados, tienen una probabilidad de aparición de 0.167. Esta obra en realidad no es tan elegante como muchas de las piezas cortas que compuso Mozart, sin embargo, no deja de ser sorprendente que usando un método aleatorio, por la forma en la que está diseñado, tenga su sello debido a la manera en la que está escrito cada compás y el respeto de las reglas de armonía de su tiempo.
  20. 20. 20 CONCLUSIONES El fin de este trabajo es relacionar dos áreas, música y matemáticas. Lo que se pretende es que haya más relación y comunicación entre profesores de diferentes materias, que es algo escaso en muchos centros escolares. Normalmente tenemos la conciencia de que estas dos asignaturas son muy dispares, pero en realidad la música, al igual que el universo, no es nada sin las matemáticas. La mayoría del alumnado ve las matemáticas como algo aburrido y complicado, sin embargo las clases de música suelen considerarse mucho más divertidas y amenas. Todo esto depende del profesor que imparta la materia, si hay un profesor que sea capaz de que sus alumnos cambien su opinión acerca de las matemáticas llegarán a verlas de otra manera. En este trabajo lo que intentamos es conseguir esto, precisamente. Como hemos dicho anteriormente, los materiales son adaptados a los niños; por ejemplo, los dados que utilizaremos son de peluche para que el niño no se haga daño, y son lo suficientemente grandes. Otra de las cualidades de estos dados es que son llamativos debido a que tienen colores vivos, que una de las cosas que puede motivar al niño a jugar. Esto último también sucedería con las cartulinas presentadas en clase.
  21. 21. 21 Para finalizar, decir que con este trabajo nos hemos dado cuenta, aún más, la relación existente entre nuestra futura docencia, que es la música, y las matemáticas.
  22. 22. 22 BILIOGRAFÍA - Mankiewicz, R., Historia de las matemáticas, Paidós, 2000. - Rothstein, E., Emblems of Mind. The inner life of music and mathematics, Avon Books, New York, 1996. - Reinthaler, J., Mathematics and Music. Some intersections, Mu Alpha Theta, 1990. - Hammmel Garland, T. y Vaughn Kahn, Ch., Math and Music. Harmonious Connections, Dale Seymour Publications, 1995. - Xenakis, I., Formalized Music. Thought and Mathematics in Music, Pendragon Revised Edition, 1992.
  23. 23. 23 ANEXOS
  24. 24. 24
  25. 25. 25
  26. 26. 26
  27. 27. 27
  28. 28. 28
  29. 29. 29
  30. 30. 30
  31. 31. 31

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