1. Ejercicios resueltos
1.- Deriva las siguientes funciones:
a) y = x 3 (2 x −1) 5 ;
b) y =
2x +1
;
2x −1
c) y =
2
x +x
3
Solución:
a) y = x 3 (2 x −1) 5
y ′ = 3 x 2 (2 x − 1) 5 + 5(2 x − 1) 4 .2.x 3 = 3 x 2 (2 x − 1) 5 + 10 x 3 ( 2 x − 1) 4
2x +1
2x −1
2(2 x − 1) − 2(2 x + 1) 4 x − 2 − 4 x − 2
−4
y′ =
=
=
2
2
(2 x − 1)
(2 x − 1)
(2 x − 1) 2
b) y =
c) y =
2
= 2( x 3 + x) −1
x +x
3
y ′ = −2( x 3 + x) −2 (3 x 2 + 1) =
− 2(3x 2 + 1)
( x 3 + x) 2
2.- Halla las derivadas de las funciones siguientes:
f ( x) = L ( 4 x + 1) , g ( x) = cos(3 x +1) 2 y h( x) = senx cos 2 x
Solución:
f ( x) = L ( 4 x + 1)
4
f ′( x ) =
4x +1
g ( x) = cos(3 x + 1) 2
g ′( x) = −sen(3 x + 1) 2 .[(3 x + 1) 2 ]′ = −sen(3 x + 1) 2 .2(3 x + 1).3 = −6(3 x + 1) sen(3 x + 1) 2
h( x) = senx cos 2 x
h ′( x) = cos x cos 2 x + ( −sen 2 x.2) senx = cos x cos 2 x − 2 sen2 xsenx
3.- Demuestra, aplicando la definición, que la derivada de una constante es 0.
Solución:
Sea la función constante f ( x) = k
Como la función es constante, f ( x + h) = k
Entonces,
f ′( x) = lim
h →0
f ( x + h) − f ( x )
k −k
= lim
= lim 0 = 0
h →0
h →o
h
h

2. 4.- Aplicando logaritmos, halla la derivada de la función y = x x
Solución:
Sería un error derivar como si fuese una función potencial. Estamos en el caso de
derivadas del tipo y = f g que se resuelven aplicando logaritmos neperianos y
derivando los dos miembros de la expresión resultante, es decir,
y =xx
Aplicando logaritmos, Ly = Lx x ⇒ Ly = x.Lx
y′
1
y′
Y derivando los dos miembros, y =1.Lx + x .x ⇒ y = Lx + 1
Despejando la derivada, y ′ = y ( Lx + 1)
Y como y = x x se obtiene finalmente
y ′ = x x ( Lx + 1)
5.- Halla la derivada de la función y = L
x 2 −1
x2 +1
Solución:
Antes de derivar es conveniente desarrollar la expresión logarítmica:
y=L
x 2 −1
x2 +1
Teniendo en cuenta el logaritmo de un cociente, y = L( x 2 − 1) − L ( x 2 + 1)
Y ahora derivamos;
y′ =
2 x( x 2 + 1) − 2 x( x 2 − 1) 2 x 3 + 2 x − 2 x 3 + 2 x
2x
2x
4x
− 2
=
=
= 2
2
2
2
2
2
x −1 x +1
( x − 1)( x + 1)
( x − 1)( x + 1)
( x − 1)( x 2 + 1)
6.- Deriva y simplifica: y =
2x
( x + 1) 2
Solución:
Aplicando la fórmula de la derivada de un cociente,
y′ =
2.( x + 1) 2 − 2( x + 1).2 x ( x + 1)[2( x + 1) − 4 x] 2( x + 1) − 4 x
2 − 2x
=
=
=
4
4
3
( x + 1)
( x + 1)
( x + 1)
( x + 1) 3
7.- Deriva y simplifica: y =
Solución:
e x + e −x
e x − e −x

3. y′ =
(e x + e − x ) ′.(e x − e − x ) − (e x − e − x ) ′.(e x + e − x ) (e x − e − x )(e x − e − x ) − (e x + e − x )(e x + e − x )
=
(e x − e − x ) 2
(e x − e − x ) 2
Realizando las operaciones del numerador,
y′ =
e 2 x − 1 − 1 + e −2 x − (e 2 x + 1 + 1 + e −2 x ) e 2 x − 2 + e −2 x − e 2 x − 2 − e −2 x
−4
=
= x
x
−x 2
x
−x 2
(e − e )
(e − e )
(e − e − x ) 2
8.- Deriva y simplifica la función y = L
1 + cos x
1 − cos x
Solución:
Antes de derivar desarrollamos el logaritmo:
1 + cos x
 1 + cos x 
y =L
= L

1 − cos x
 1 − cos x 
1
2
=
1  1 + cos x  1
1
L
 = L(1 + cos x) − L(1 − cos x)
2  1 − cos x  2
2
Y ahora derivamos:
y′ =
1 − senx
1
senx
1  − senx
senx  1 − senx + sen. cos x − senx − senx cos x
.
− .
= 
−
= .
2 1 + cos x 2 1 − cos x 2  1 + cos x 1 − cos x  2
(1 + cos x)(1 − cos x)
1 − 2 senx
− senx
1
=
=−
2
2
2 1 − cos x sen x
senx
es decir, y ′ = .
9.- Halla la pendiente de la recta tangente a la curva f ( x) = x 2 + x + 1 en el punto de
abscisa x = 2. Escribe la ecuación de dicha recta.
Solución:
La pendiente es el valor de la derivada: f ′( x) = 2 x + 1
Pendiente: m = f ′(2) = 2.2 + 1 = 5
Ecuación de la recta: y − y 0 = m( x − x 0 )
Necesitamos las coordenadas del punto: Para x =2, f (2) = 2 2 + 2 + 1 = 7 ; P(2, 7)
La ecuación de la recta es, por tanto, y − 7 = 5( x − 2)