1. TEOREMA DI LAGRANGE:
DIMOSTRAZIONE GEOMETRICA E
APPLICAZIONE ECONOMICA
Matematica per le Decisioni
Strategiche e il Controllo
REFERENTE :
Prof.ssa Gioia Federica
Angela Berardinelli
0255/000053

2. La scienza economica studia l’allocazione ottima di risorse
scarse.
Le Persone Ottimizzano
 Compagnie Aeree: programmano i voli e gestiscono il
personale di bordo in maniera tale da minimizzare i costi
 Investitori: gestiscono il loro portafoglio titoli in maniera tale
da minimizzare il rischio e massimizzare il ritorno atteso
 Industrie: organizzano il processo produttivo in maniera tale
da massimizzare l’efficienza.
La Natura Ottimizza
 Sistemi Fisici: tendono ad uno stato ad energia minima
 Molecole: reagiscono tra loro fino a quando l’energia
potenziale degli elettroni non raggiunge il minimo

3. Concetti e assunti di base
PROBLEMI DI OTTIMO LIBERO
PROBLEMI DI OTTIMOVINCOLATO

5. Condizione necessaria del primo ordine

6. Le Forme Quadratiche

7. Il segno di una matrice

8. Condizione sufficiente del secondo ordine

9. Condizione necessaria del secondo
ordine

10. L’ottimizzazione vincolata

11. Proprietà di un insieme compatto

12. Teorema diWeierstrass

13. Un problema può essere formulato come:

15. La matrice Jacobiana
Un punto x* è un punto stazionario della funzione vettoriale
h=(h₁,h₂,…,ℎ) se il rango di Jh(x*) è minore di m.

16. Teorema di Lagrange

17. Ossia:

18. Teorema di Lagrange: dimostrazione economica

19. Dal punto di vista geometrico, la massimizzazione
vincolata della funzione obiettivo consiste
nell’individuazione della più “alta” curva di livello di f
che tocca la curva C.

22. Dalla precedente doppia uguaglianza si possono ricavare le 2
equazioni:

23. In conclusione abbiamo un sistema di 3 equazioni
in 3 incognite:

24. La funzione Lagrangiana

25. Il moltiplicatore di Lagrange
Esprime la sensibilità del valore ottimo della funzione
obiettivo alle variazioni della costante che compare al
secondo membro dei vincoli.

27. Teorema di Lagrange: dimostrazione
geometrica

29. ossia:
da cui si ottiene immediatamente il sistema:

30. Applicazione economica
Teorema di Lagrange

31. Una compagnia necessita di €600000 per finanziare marketing e ricerca e vi
destinerà 30x4/5 y1/3 euro derivanti dalla vendita dei suoi prodotti. A quanto
ammontano i profitti derivanti dalla vendita dei prodotti x e y ? Che cosa accade
se il budget a disposizione subisce un incremento dell’1%?e se subisce un
decremento dell’1.5%?