GEOMETRIA ANALÍTICA cap 01

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GEOMETRIA ANALÍTICA cap 01

  1. 1. 1CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACAPÍTULO 1VETORESA noção de vetor, que muitos matemáticos e físicos, já discutiam há muito tempo atrás, suaformalização com a Teoria do Cálculo Vetorial, é algo recente datado próximo ao final do século XIV einício do século XX. Seu desenvolvimento da álgebra vetorial e da análise vetorial como conhecemos hojefoi revelado primeiramente em um conjunto de notas de aula feitos por J. Willard Gibbs (1839--1903) feitopara seus alunos na Universidade de Yale. Gibbs nasceu em New Haven, Connecticut (seu pai também foiprofessor em Yale) e suas conquistas científicas principais foram em física, termodinâmica propriamentedita. Maxwell apoiava o trabalho de Gibbs em termodinâmica, especialmente as apresentações geométricasdos resultados de Gibbs e concluiu que vetores forneceriam uma ferramenta mais eficiente para seutrabalho em física. Assim, começando em 1881, Gibbs imprimiu por conta própria notas de aulas sobreanálise vetorial para seus alunos, as quais foram amplamente distribuídas para estudiosos nos EstadosUnidos, na Inglaterra e na Europa. Ao introduzir as teorias de Maxwell sobre eletricidade e magnetismo naAlemanha (1894), os métodos vetoriais foram defendidos e vários livros sobre análise vetorial em alemão seseguiram. Os métodos vetoriais foram introduzidos na Itália (1887, 1888, 1897), na Rússia (1907) e naHolanda (1903). Vetores agora são a linguagem moderna de grande parte da física e da matemáticaaplicada e continuam tendo seu próprio interesse matemático intrínseco.1 Grandeza Escalar e Grandeza VetorialNa natureza encontramos dois tipos de grandezas (físicas): as grandezasescalares e as grandezas vetoriais. Para se operar com as grandezas escalares sãoutilizadas as mesmas operações definidas no conjunto dos números reais. Para operarcom grandezas vetoriais são necessárias outras operações e outras definições,também chamado de Cálculo Vetorial.Grandeza Escalar: É toda grandeza que para estar bem definida é necessáriocaracterizar seu módulo (quantidade) e uma unidade de medida.Exemplos de grandezas escalares:1) Massa: Se estamos interessados em dizer qual é a massa de um determinadocorpo, basta dizer, por exemplo: um corpo com massa de 75 kg, onde, 75 é omódulo da grandeza e kg (quilograma) é a unidade de medida.2) Temperatura: Para você informar sobre a temperatura de um determinadoambiente, basta dizer, por exemplo: a temperatura do ambiente é de 36 oC, onde,36 é o módulo da grandeza e oC (grau Celsius) a unidade de medida.Grandeza Vetorial: É toda grandeza que para estar bem definida é necessáriocaracterizar seu módulo e uma unidade de medida, direção e sentido.
  2. 2. 2Exemplos de grandezas vetoriais:1) Força: Quando uma força é aplicada em um corpo, ela é aplicada com certaintensidade (seu módulo), numa determinada direção e num determinado sentido.Por exemplo: uma força de intensidade 20 N (Newtons), na direção horizontal comsentido para direita.2) Velocidade: A velocidade indica movimento de um corpo, assim, se um corpopossui uma velocidade diferente de zero, este corpo está se deslocando com certavelocidade, numa determinada direção e num determinado sentido. Por exemplo:uma velocidade de 12m/s (metros por segundo), numa direção vertical com sentidopara cima.2 VetorDefinição: Um segmento orientado é um par ordenado (A,B) de pontos do espaçoe representado pela "flecha" com abaixo. O ponto A (início da flecha) é a origem e B(a "ponta" ou "seta" da flecha) é a extremidade. Um segmento orientado do tipo(A,A) é chamado segmento orientado nulo.Observe que, se A≠B, então (A,B) é diferente de (B,A). No caso do segmentoorientado (B,A), B passa ser a origem e A a extremidade.Dado um segmento orientado (A,B), vamos definir os seus três elementos básicos:módulo, direção e sentido.20N12 m/sBABA
  3. 3. 3(a) módulo: representa o tamanho ou comprimento do segmento orientado (A,B)que é definido como sendo do tamanho do segmento geométrico AB .(b) direção: é a reta suporte que sustenta o segmento orientado (A,B), ou seja, seprolongarmos o segmento orientado além da sua origem e da sua extremidadeatravés de uma reta tracejada, a reta obtida indica sua direção.(c) sentido: o sentido do segmento orientado (A,B) é indicado pela "seta" da flechaque o representa.Definição:(a) Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são de mesmo comprimento se ossegmentos geométricos AB e CD têm comprimentos iguais.(b) Os segmentos orientados (A,B) e (C,D), não nulos, são paralelos se eles tem amesma direção, ou seja, se as retas suportes de ambos são paralelas.Considere os vetores abaixo e note que, conforme as definições acima temos:- Os segmentos orientados (A,B) e (E,F) têm o mesmo módulo, mesma direção (sãoparalelos) e o mesmo sentido;- Os segmentos orientados (A,B) e (G,H) têm módulos diferentes, direções diferentes(não são paralelos) e sentidos diferentes;- Os segmentos orientados (E,F) e (D,C) tem módulos diferentes, mesma direção (sãoparalelos) e sentidos opostos."seta": sentido de (A,B)reta suporte:direção de(A,B)módulo:ABBAABCDEFGH
  4. 4. 4Definição: Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são equipolentes se forem demesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido. Indica-se a equipolência entre(A,B) e (C,D) por: (A,B)~(C,D).OBS: Decorre da definição que:(a) se ambos os segmentos forem nulos então eles são equipolentes;(b) equipolente a um segmento orientado nulo, somente outro segmento orientadonulo.Proposição: A relação de equipolência é uma relação de equivalência, ou seja,quaisquer que sejam os segmentos orientados (A,B), (C,D) e (E,F):(a) (A,B)~(A,B) (Propriedade Reflexiva)(b) (A,B)~(C,D)⇒(C,D)~(A,B) (Propriedade Simétrica)(c) (A,B)~(C,D) e (C,D)~(E,F)⇒(A,B)~(E,F) (Propriedade Transitiva)Proposição: Considere os segmentos orientados (A,B) e (C,D). Se(A,B)~(C,D)⇒(A,C)~(B,D).Definição: Dado o segmento orientado (A,B), a classe de equipolência de (A,B) éo conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a (A,B). O segmentoorientado (A,B) é o representante da classe.OBS: Decorre da definição de classe de equipolência o que segue:(a) Todos os segmentos orientados pertencentes a uma classe de equipolência sãoequipolentes entre si. O próprio (A,B) é um deles, pela propriedade reflexiva;(b) Se (C,D) pertence à classe de equipolência de (A,B), então (A,B) pertence àclasse de equipolência de (C,D), devido a propriedade simétrica. Na verdade, essaduas classes coincidem, pois quem for equipolente a (C,D) será equipolente a (A,B), evice-versa, pela propriedade transitiva;(c) Qualquer segmento pertencente a uma classe de equipolência pode ser o seurepresentante.AB DC
  5. 5. 5Definição: Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados. Se(A,B) é um segmento orientado, o vetor que tem (A,B) como representante seráindicado por AB ou simplesmente por uma letra minúscula, por exemplo v . Logo,vAB = .OBS: Deve estar claro que, se os segmentos orientados (A,B) e (C,D) sãoequipolentes, então os vetores AB e CD são iguais. Cuidado para não usar aexpressão "vetores equipolentes", pois a equipolência é uma relação entre segmentosorientados, não entre vetores;Portanto, o vetor vAB = , com um significado geométrico, nada mais é que umobjeto matemático representado por um segmento orientado.Assim, o vetor v , tem o ponto A como origem e B é sua extremidade. Outrasnotações são usadas para denotar o vetor v , como: AB (sempre a origem primeiro edepois a extremidade) ou a notação: AB − (a extremidade menos a origem). Logo,podermos escrever: ABABv −== . O vetor representado pelo segmento orientado(A,A) será chamado de vetor nulo e denotado por 0 .Para definirmos bem o vetor é necessário caracterizar seu módulo, direção esentido. Como estamos representando o vetor por um segmento orientado, essasnoções já foram introduzidas. Então:Módulo: é o tamanho do vetor, ou seja, o comprimento do segmento orientado(A,B), e será denotado por |AB|v|v| == .Direção: é a reta suporte que sustenta o vetor.Sentido: é indicado pela seta do segmento orientado.reta suporte que indica adireção do vetorvvsentidodo vetoraBA
  6. 6. 6Uma particularidade entre os vetores, e muito importante, é que vetoresparalelos têm a mesma direção, assim como os segmentos orientados que osrepresentam. Na figura abaixo, os vetores têm a mesma direção (são paralelos), têmmódulos (tamanhos) diferentes, a e c têm o mesmo sentido e b tem sentido opostodos vetores a e c .Vetores que têm o mesmo módulo, a mesma direção (paralelos) e o mesmosentido são chamados de vetores iguais. Na figura abaixo os vetores são iguais.OBS: Existe uma definição muito mais ampla do conceito de vetor (nãonecessariamente geométrica) que envolve uma gama bastante variada de objetosmatemáticos como: matrizes, conjuntos, funções, soluções de equações diferenciais,etc. Inicialmente, trabalharemos apenas com o vetor como definido acima.3 Operações com vetores3.1 Adição: Considere os vetores u e v , cuja soma vu + , é determinada daseguinte forma: Adotar um ponto A qualquer e, com origem nele, traçar o segmentoorientado (A,B) que representa o vetor ABu = . Utilizar a extremidade B para traçar osegmento orientado (B,C) que representa o vetor BCv = . O vetor representado pelosegmento orientado (A,C) é, por definição, o vetor soma de u com v , isto é,ACvu =+ , ou seja, ACBCAB =+ .Note que, a ordem em que se somam os vetores não altera o resultado, pois:Este método para somar dois vetores é conhecido como "método da poligonal", oqual pode ser aplicado para a soma de mais de dois vetores. Veja o exemplo a seguir.cbadcbauvACvu =+vuCBAACuv =+AvuCB
  7. 7. 7Exemplo (1): Considere os vetores wev,u dados abaixo. Determinar wvu ++ euwv ++ .OBS: Uma variação do método da poligonal e o que chamamos de "método doparalelogramo" (muito usado na soma de dois vetores). O método doparalelogramo consiste em: dados dois vetores veu , adotamos um ponto Oqualquer, transportamos as origens dos dois vetores para este ponto O. Pelaextremidade do vetor u traçamos uma reta paralela ao vetor v e, pela extremidadedo vetor v traçamos uma reta paralela ao vetor u . Estas duas retas se interceptamnum ponto O. A figura obtida é um paralelogramo, cuja diagonal determinada pelospontos OO é o vetor soma OOvu =+ .Propriedades da Adição.1) Comutativa: uvvu +=+2) Associativa: w)vu()wv(u ++=++u vwADwvu =++ DCBAwvuADuwv =++BC DAwuvu vOOvu =+OOuvOuv +vu +vuOuvw)vu()wv(u ++=++wv +vu +wvu
  8. 8. 83) Elemento Neutro: 0,u ∃∀ (o vetor nulo) tal que uu00u =+=+ .4) Elemento Oposto (ou simétrico): u∀ , com ABu = , u−∃ (o vetor oposto do vetoru ), com BAu =− tal que 0u)u()u(u =+−=−+ .3.2 Subtração: Considere os vetores veu . O vetor diferença entre veu , indicadopor vu − , é a soma do vetor u com o oposto do vetor v , ou seja, )v(uvu −+=− .Cuidado! Não vale a propriedade comutativa, isto é, uvvu −≠− . Note que,)uv(vu −−=− . Esta propriedade é chamada de anti-comutativa. Considerando quesempre se interpreta a subtração )v(uvu −+=− , neste caso as propriedades são asmesmas da adição.Exemplo (2): Considere os vetores veu , como abaixo, determinar vu − .OBS: Dados dois vetores veu , vamos determinar adição vu + e a subtração vu − ,usando o método do paralelogramo.Assim, dados dois vetores quaisquer, não paralelos, eles determinam umparalelogramo onde uma diagonal é vu + e a outra vu − . Isso é muito útil naresolução de problemas.uv −u−vu +vu −uv−vuACvu =−CBAv−uv v−uv vu −vu −uv−v vu +
  9. 9. 93.3 Multiplicação por Escalar: Sejam qualquer vetor ℜ∈α∀ev . Então amultiplicação do número real α pelo vetor v , denotado por v⋅α , ou simplesmentepor vα , é um vetor que satisfaz:a) Se 0ventão,0vou0 =α==αb) Se vvetoro,0ve0 α≠≠α caracteriza-se por:• vα é paralelo a v ;• vevα são de mesmo sentido se 0>α , e de sentidos contrários se 0<α ;• |v||||v| ⋅α=α .Exemplo (3): Seja v um vetor qualquer. Note que os vetores v21ev2,v2 − ,representados abaixo, são todos paralelos, ou seja, têm a mesma direção.Propriedades da Multiplicação por escalar:1) ℜ∈β∀ℜ∈α∀βα=αβ e,v)()v( 3) ℜ∈β∀ℜ∈α∀β±α=β±α e,vvv)(2) ℜ∈α∀α±α=±α ,uv)uv( 4) vv1 =⋅3.4 Soma de um ponto com um vetor: Dados um ponto P e um vetor u , o ponto Qtal que o segmento orientado (P,Q) é representante de u é chamado soma de P comu e indicado por uP + (figura abaixo). Em símbolos: PQuPQuQuP =⇔−=⇔=+Decorre da definição que, quaisquer que sejam os pontos P e Q, QPQP =+ .Intuitivamente, podemos entender uP + como o resultado do deslocamento de umponto material, inicialmente na origem do vetor, até sua extremidade. Usaremos anotação uP − para indicar a soma do ponto P com o oposto de u , ou seja,)u(PuP −+=− .uPuPQ +=v21v2−v2v
  10. 10. 10Propriedades: Quaisquer que sejam os pontos A e B e os vetores veu , valem:1) )vu(Av)uA( ++=++2) vuvAuA =⇔+=+ (lei do cancelamento de pontos)3) BAuBuA =⇔+=+ (lei do cancelamento de vetores)4) Au)uA( =+−Definição: O versor de um vetor v , diferente do vetor nulo, denotado por ov , é umvetor unitário, ou seja, 1|v| o = , como mesma direção e sentido do vetor v , definidopor|v|vvo = .Por exemplo: se o vetor v tem módulo 3|v| = e o vetor u tem módulo21|u| = , entãoseus versores são, respectivamente, v31vo = e u2uo = . Assim:4 Ângulo entre dois vetoresO ângulo entre dois vetores veu , não nulos, denotado por CAˆB)v,u(ang ==θ ,é o ângulo entre os segmentos orientados que representam os vetores, com arestrição oo1800 ≤θ≤ , quando as origens dos vetores são transportadas para ummesmo ponto A.Da geometria plana sabemos que α−+= cosuv2vuw 222, chamada de Lei doscossenos, onde u, v e w são os lados de um triângulo qualquer e α é um ângulointerno ao triângulo, oposto ao lado w.uovvouα vwuuvCBvuAθ
  11. 11. 11Vetorialmente vuw += .Note que o ângulo entre os vetores veu é θ e não o α . Temos queo180=θ+α e θ−=α coscos . Logo, de α−+= cosuv2vuw 222vem que:θ++=+= cosuv2vu|vu|w 2222. Quando o ângulo entre dois vetores é 900, dizemosque eles são ortogonais.Exemplo (4): Dois vetores bea , onde 6b|b|e2a|a| ==== formam entre si umângulo de 120o. Determine o módulo da soma de ba + e da diferença de ab − .Solução:Aplicando a lei dos co-senos temos:282162262)120cos(ab2ba|ba| 22o222=−⋅⋅⋅++=++=+ ⇒ 7228|ba| ==+522162262)60cos(ab2ba|ab| 22o222=⋅⋅⋅++=++=− ⇒ 13252|ab| ==−Exemplo (5): Seja um triângulo ABC. Mostre, vetorialmente, que o segmento queune os pontos médios M e N de dois lados do triângulo é paralelo ao terceiro lado emetade do comprimento deste. O segmento MN é chamado de base média dotriângulo.Solução: Basta mostrar que: AC21MN = . A operação produto por escalar conserva adireção, logo, os vetores ACeMN são paralelos.αθuvwuab −ba +ba−a 120o60oNMBCA
  12. 12. 12Como M é ponto médio de AB , então AM2AB = e N sendo ponto médio de BC ,então NC2BC = . Pela figura acima temos:=+=++ACBCABACNCMNAM)I( . Em (I)multiplicando a primeira equação por 2 e na segunda equação substituindo AM2AB =e NC2BC = , obtém-se:=+=++ACNC2AM2AC2NC2MN2AM2. Subtraindo a segunda da primeiraequação: AC21MNACMN2 =⇒= .Exemplo (6): Três forças de mesmo módulo F e aplicadas no mesmo ponto P podemequilibrar-se?Solução: Sim, desde que elas estejam defasadas de um ângulo de α=120o. Aplicandoa lei dos cossenos para duas forças de mesmo módulo F, cujo ângulo entre elas é120o, a resultante terá a direção da bissetriz do ângulo entre elas e módulo igual a F,pois:F|FF|FFF221F2F2)120cos(FF2FF|FF| 22222o222=+⇒=−=−⋅+=++=+Portanto, a resultante é zero e as três forças estão em equilíbrio.OBS: Vetores coplanares são vetores que estão no mesmo plano, ou seja, existe umplano que os contém. A Figura (a) ilustra a situações em que os vetores sãocoplanares e a Figura (b) quando eles não são coplanares.Figura (a): Vetores coplanares. Figura (b): Vetores não coplanares.uvwuvwαααFFFF
  13. 13. 13Operando-se geometricamente com vetores, obtém-se como resultado, vetores quesão coplanares com os vetores operados, ou seja, os vetores operados e os vetoresresultantes estão no mesmo plano (são coplanares).Exemplo (7): Provar que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio.Solução: Suponhamos que M e N sejam os pontos médios de BDeAC ,respectivamente, como na figura abaixo. Basta provar que NM = .Temos que: AM2AC = e ND2BD = . Por construção temos: NDANAD += e=−=+BDABADACABAD. Somando as equações vem que: ND2AM2BDACAD2 +=+= ⇒( ) ND2AM2NDAN2 +=+ ⇒ AMAN = ⇒ AMAN −=− ⇒ MN =Exercícios Propostos:1) Sejam os vetores ceb,a , de módulos 3, 5 e 7, respectivamente, e coplanares.Sabendo que o30)b,a(ang = e o30)c,b(ang = , determine 22|ba||cb|R −−+= .Resp: 35040R +=2) Na figura abaixo AD2DC = . Vetorialmente, exprimir BD em função de BA e BC .Resp:3AB2BCBD−=3) Demonstrar, vetorialmente, que o segmento que une os pontos médios dos ladosnão paralelos de um trapézio é paralelo às bases e igual a sua semi-soma.4) Demonstrar que o segmento que une os pontos médios das diagonais de umtrapézio é paralelo às bases e igual à semi-diferença das referidas bases.5) As forças 521 f,...,f,f dispostas como mostra a figura, determinam um hexágonoregular. Determine o módulo da resultante dessas forças em função do módulo da 1f .Resp: 1R f6F =MNDCBACBAD5f4f3f2f1f
  14. 14. 146) Sejam os vetores bea , de módulos 1e3 , e ortogonais entre si. Sendobam += , determine o módulo do vetor bmR += . Resp: 7|R| =7) Sabendo que 2|vu|e4|vu| =−=+ , determine 22|v||u|R += . Resp: 10R =8) Determine BA em função de u , sabendo que uBuA +=− . Resp: u2BA =9) Determine a relação entre u e v , sabendo que, para um dado ponto A, temos:Av)uA( =++ . Resp: vu −=10) Dizer se é falsa ou verdadeira cada uma das afirmações:a) Se vu = , então |v||u| =b) Se |v||u| = , então vu =c) Se v//u , então vu =d) Se vu = , então v//ue) Se vuw += , então |v||u||w| +=f) |v||u||w| += , então wev,u são paralelosg) Se CDAB = , então ABCD (vértices nesta ordem) é um paralelogramoh) |v|5|v5||v5| =−=i) Os vetores v4ev3 − são paralelos e de mesmo sentidoj) Se v//u , 4|v|e2|u| == , então u2vouu2v −==k) Se 3|v| = , o versor de3vév10 −−Resp: a) V b) F c) F d) V e) F f) V g) F h) V i) F j) V k) VCOMENTÁRIOS IMPORTANTES:• Não existe interseção de vetores. Os vetores não são constituídos de pontos comouma reta, apenas são representados pelos segmentos orientados, paracaracterizar uma grandeza vetorial que deve ter seu módulo, direção e sentidobem definidos.• Como não há interseção entre vetores, não é conveniente chamá-los de vetoresperpendiculares, ou seja, quando o ângulo entre dois vetores for de 90oé maisconveniente chamá-los de ortogonais.• As operações elementares com vetores são apenas três: adição, subtração eproduto por escalar. Não existe multiplicação e nem divisão entre vetores. Logo,escrever, por exemplo: 2u ouuv, é um erro comum. No entanto, podemoscalcular 2|u| ou|u||v|, que ambos são números reais, com 0|u| ≠ .
  15. 15. 15• Todas as operações elementares obedecem à propriedade do fechamento, ou seja,qualquer operação elementar realizada entre vetores o resultado será um vetor.Em particular, observe que 0vv =− (0 é o vetor nulo) e não 0vv =− (0 é oescalar zero). Correto seria 0|v||v| =− .

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