Summer seminar

RSA PUBLIC-KEY
CRYPTOSYSTEM
杉本英太 (@__int)

RSA暗号とは

• 公開暗号の一方式

• 素因数分解の難しさが安全性の根拠

公開暗号方式

Bob Alice
通信経路
M M

Eve M

公開暗号方式

Bob C = PA(M) M = SA(C) Alice

M PA SA M

暗号化復号

Eve C

公開暗号方式

• AliceがPA, SAを生成, PAは公開

• Bobが C = PA(M) を作成, Aliceに送信

• Aliceが M = SA(C) で復号

•M = SA(PA(M))

暗号以外にも

• 電子署名として利用できる

• 電子文書の同一性を保証

電子署名
M = PA(σ)?
σ = SA(M)
Alice Bob
SA PA
σ
M = M
(M, σ) M
署名検証

RSAでは

• P(x) = xe (mod n)

• S(x) = xd (mod n)

• ed ≡ 1 (mod φ(n))

• 公開 P = (e, n)

• 秘密 Q = (d, n)

生成手順 (前半)

• 素数 p, q をとる

•n = pq を計算

• φ(n) = 1..n のうち n と互いに素な数の総数

• ここではφ(n) = (p-1)(q-1)

• φ(n) と互いに素な奇数 e をとる

生成手順 (後半)

• ed ≡ 1 (mod φ(n)) なる d をとる

• この d は一意に決定できる

• 拡張ユークリッド互除法 (後述)

P(S(M)) = M の証明

Mφ(n) ≡ 1 (mod n)
S(P(M)) = Med
= Med-1×M
≡ M (mod n)

拡張ユークリッド互除法

• extended-euclid(a, b) = (g, x, y)

• ただし g = gcd(a, b), ax+by = g

•d ≡ extended-euclid(e, φ(n))[1] (mod φ(n))

• ed + yφ(n) = 1

素因数分解とRSA

•n が pq に素因数分解できれば復号できる

•→ 素因数分解ができれば RSA は解かれてしまう

• 逆は証明されていない

ご清聴
ありがとうございました

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