Distribuciones comúnmente usadas explicando: Bernoulli, Binomial, Poisson, Gamma, Normal y T de Student.

1. PROCESOS INDUSTRIALES
ÁREA MANUFACTURA
DISTRIBUCIONES COMÚNMENTE
USADAS
Angel Alberto García Guerrero
Matrícula: 1110289
2° A

2. DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI


3. SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI
 a) Determine la media y la varianza de X.
 Sabemos que la probabilidad de que enceste el tiro
es de 0.55 o bien 55% de modo que el resto es la
probabilidad de NO encestar o sea 0.45 ó 45%.
 Si se sabe que X=1 representa el éxito (encestar) y
X=0 el fracaso (no encestar), entonces calculamos
por medio de las probabilidades anteriormente
mencionadas la media y la varianza.

4. SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI
X P XP σ2x=(X-μx)2(p)
1 0.55 1(0.55)= 0.55 (1-0.55)2(0.55) 0.111375
0 0.45 0(0.45)= 0 (1-0.55)2(0.45) 0.136125
μx = 0.55 σ2x = 0.2475
 μx = Representación de la media de X.
 σ2x = Representación de la varianza de X.

5. SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI
 b) ¿Tiene distribución de Bernoulli?
 No, porque en una distribución de Bernoulli cuenta
solamente dos resultados: 1 y 0, es decir, éxito y
fracaso.
 Y en éste caso si el jugador encesta el tiro gana el
equipo dos puntos, por lo que el éxito no puede
ser igual a dos.

6. SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI
 c) Determine la media y varianza de Y.
 De igual forma como se determinó la media y
varianza de X, se hacen los mismos
procedimientos. Aunque en éste caso, el éxito
tendrá el valor de 2, que son los puntos ganados al
encestar.
Y P YP σ2x=(Y-μy)2(p)
2 0.55 1(0.55)= 1.1 (1-0.55)2(0.55) 0.4455
0 0.45 0(0.45)= 0 (1-0.55)2(0.45) 0.5445
μy = 1.1 σ2y = 0.99

7. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
 5.- En un patrón aleatorio de ocho bits utilizado para probar
un microcircuito, cada bit tiene la misma probabilidad de ser 0
o 1. Suponga que los valores de los bits son independientes.
 a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los bits sean 1?
 b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres de los
bits sean 1?
 c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos seis de los bits
sean 1?
 d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de los bits
sean 1?

8. SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
 Primero hay que identificar cuantas probabilidades
tienen los bits en ser 0 y 1.
 Como son dos probabilidades para todos los bits,
entonces por deducción lógica sabemos que para
que un bit sea 0 su probabilidad será de 0.5, es
decir el 50%, y para que sea 1 su probabilidad será
nuevamente 0.5 puesto que como solamente son
dos probabilidades al final la suma de todas las
probabilidades tiene que dar 1, es decir el 100%.
 Por lo tanto…

9. SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL


10. SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
 b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente
tres de los bits sean 1?
 Ahora se quiere encontrar la probabilidad de que
sean 1 exactamente tres de los bits.
 Por lo tanto:
 P(X=3) = 0.21875

11. SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
 c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos seis
de los bits sean 1?
 P(X=6) = 0.109375

12. SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
 d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de
los bits sean 1?
 P(X=2) = 0.109375

13. DISTRIBUCIÓN DE POISSON
 5.- El número de mensajes recibidos por el tablero
computado de anuncios es una variable aleatoria
de Poisson con una razón media de ocho mensajes
por hora.
 a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban cinco
mensajes en una hora?
 b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez
mensajes en 1.5 horas?
 c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban
menos de 3 mensajes en 12 horas?

14. SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
 El problema nos da como dato el número 8 que son
los mensajes que se reciben por hora.
 Ese dato se considera variable aleatoria de
Poisson:
 Es decir, que a partir de ese dato podremos
resolver las cuestiones que nos plantea el
problema.
 Recordemos que λ es la variable aleatoria de
Poisson por lo que…

15. SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
 a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban
cinco mensajes en una hora?
 Si se reciben en promedio 8 mensajes por hora
entonces para calcular la probabilidad de recibir
cinco se sustituye la fórmula anterior obteniendo el
resultado de la probabilidad:

16. SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
 b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez mensajes
en 1.5 horas?
 En ésta pregunta nos especifica hallar la probabilidad de
recibir 10 mensajes en 1.5 horas.
 Si en una hora se reciben un promedio de 8 mensajes,
entonces: ¿cuántos mensajes se reciben en promedio en 1.5
horas?
 Lo que se hizo fue calcular el número de mensajes que se
reciben en 1.5 horas por medio de una regla de tres:
8 mensajes – 1 hora
? = λ Mensajes – 1.5 horas
 1.5 * 8 = 12 mensajes.

17. SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
 b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez
mensajes en 1.5 horas?
 Se sigue el mismo procedimiento que como
anteriormente se hizo, sustituyendo y
posteriormente encontrando el resultado de la
probabilidad.

18. SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
 c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de
3 mensajes en 12 horas?
 Ahora nos especifican la probabilidad de recibir menos
de 3 mensajes en 12 horas, pero primero necesitamos
saber cuántos mensajes en promedio se reciben en 12
horas, para ello se repetirá una vez más una regla de
tres como se hizo en el inciso anterior, a continuación
se muestra:
8 mensajes – 1 hora
? = λ Mensajes – 12 horas
 12 * 8 = 96 mensajes.
.

19. SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
 c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban
menos de 3 mensajes en 12 horas?
 Ahora el procedimiento cambiará un poco, puesto
que nos pide encontrar la probabilidad de recibir
menos de 3 mensajes en 12 horas.
 Por deducción lógica sabemos entonces que nos
pide que encontremos la probabilidad de recibir 2
mensajes, 1 mensaje y ningún mensaje dentro de
las 12 horas especificadas.

20. SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
 Por lo que desarrollaremos el procedimiento de tres
probabilidades en éste mismo inciso del problema,
como quien dice se harán “3 en 1” empleando la
misma fórmula tres veces.
 Mismo procedimiento, sustituimos: 0, 1 y 2 y
encontramos el resultado de la probabilidad.

21. SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
 Es lógico que haya salido éste resultado,
probablemente nos parezca extraño pero es muy
obvio puesto que según el problema por cada
hora se reciben 8 mensajes… cuántos no se
recibirán por 12 horas sabiendo que recibir menos
de tres mensajes en una hora es muy poco
probable, en 12 horas sería casi imposible de
recibir menos de 3 mensajes.

22. DISTRIBUCIÓN NORMAL
 1.- Determine el área bajo la curva normal.
 a) A la derecha de z = -0.85
 b) Entre z = 0.40 y z = 1.30

23. SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN NORMAL
 a) Determine el área bajo la curva normal a la
derecha de z = -0.85.
 Para encontrar el área bajo la curva normal es
necesario desde el valor de z hallar las unidades
estándar, para ello recurriremos a la tabla de
distribución normal que a continuación se presenta.

26. SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN NORMAL
 a) Determine el área bajo la curva normal a la
derecha de z = -0.85.
 En la diapositiva anterior se ubica el valor en
unidades estándar encerrado en color rojo:
 Una vez encontrado las unidades estándar, ahora
podemos determinar el área bajo la curva normal a
la derecha de z = -0.85, a continuación se explica.

27. SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN NORMAL
 El valor total bajo la curva normal es de 1 o bien
100%.
 Se ubica el punto donde tiene que estar situado:
 Posteriormente se calcula el área bajo la curva
normal a la derecha de z = -0.85 con sus
respectivas unidades estándar:

28. SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN NORMAL

29. SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN NORMAL
 1 = Representación del área total bajo la curva
normal.
 -0.1976 = Representación de las unidades
estándar de z = -0.85 que se restan para encontrar
el área que se encuentra a la derecha de dicha
curva.
 0.8024 = Representación del área bajo la curva
normal a la derecha de z = -0.85.

30. SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN NORMAL
 b) Determine el área bajo la curva normal entre: z =
0.40 y z = 1.30
 Nos ubicamos en las diapositivas 24 y 25 para
encontrar las unidades estándar de los valores de z que
nos especifica el inciso b, los valores están encerrados
en color azul.
24 25
 z = 0.40 = 0.655422 unidades estándar.
 z = 1.30 = 0.903200 unidades estándar.
 Posteriormente se efectúan operaciones.

31. SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN NORMAL
 Lo que se hizo fue encontrar el área bajo la curva
normal que hay entre z = 0.40 y z = 1.30 por medio
de sus respectivas unidades estándar, el área entre
los valores antes mencionados de z es de 0.24778.
 Ahora se ubican los valores de z en la gráfica de la
curva normal señalando el área encontrada entre
dichos valores de z.

32. SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN NORMAL

33. DISTRIBUCIÓN GAMMA
 1.- Suponga que cierta pieza metálica se romperá
después de sufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estos
ciclos ocurren de manera independiente a una
frecuencia promedio de dos por cada 100 horas.
Obtener la probabilidad de que el intervalo de
tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo
ciclo.
 a) Dentro de una desviación con respecto del
tiempo promedio.
 b) A más de dos desviaciones por encima de la
media.

34. SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN GAMMA
 a) Dentro de una desviación con respecto del tiempo
promedio.
 b) A más de dos desviaciones por encima de la media.
 Identificamos que X es el lapso que ocurre hasta que la
pieza sufre el segundo ciclo de esfuerzo en horas.
 Y es el número de ciclos por 100 horas por lo que:
 Y’ es el número de ciclos por hora.

35. SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN GAMMA

36. DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT
 1.- Un fabricante de focos afirma que su producto
durará un promedio de 500 horas de trabajo. Para
conservar este promedio esta persona verifica 25 focos
cada mes. Si el valor y calculado cae entre – t 0.05 y t
0.05, él se encuentra satisfecho.
 Con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar
de una muestra de 25 focos cuya duración fue…?
 l

37. SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT
 Se puede concluir que la media poblacional no es
500, porque la muestra poblacional está por
encima de esta, y por lo tanto debería estar por
encima de 500.

38. GRACIAS POR TU VISITA.
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