Capítulo 2. Funciones

1
PROYECTO REEDCB PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)
Capítulo 2 Funciones
CONCEPTOS PRELIMINARES
Conjuntos numéricos
Números naturales   1,2,3,4,5,
Números enteros     ; ,p p m n m n
Número racionales
 
    
 
; , ; 0
p
r r p q q
q
Números irracionales I
Números reales
Variables
Magnitudes constantes y variables
Intervalos de variación
Intervalo abierto    , ;a b x x a x b   
Intervalo cerrado       , ;a b x x a x b
Intervalo semiabierto   , ;a b x x a x b   
  , ;a b x x a x b   
FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
Concepto tradicional
f
2 variableA
1 variableA

2
Notación
" "x variable independiente; " "y variable dependiente
 y f x "y es igual a f de x"
     ; ; ;y g x y F x y x  
Ejemplo. Sea   2
5 12f x x x  
Obtener:          0 ; 2 ; 3 ; ; 2f f f f a f b 
Ejemplo. Sea   4 2
2 5 10f x x x  
Comprobar que:     0f a f a  
Ejemplo. Sea   x
g x a
Verificar que:        1 1g z g z a g z   

3
Enfoque con la teoría de conjuntos
Conjunto producto   , ,A B a b a A b B   
Ejemplo. Dados los conjuntos:
     1,0,1 ; 2,3,4 ; 5,6A B C   
Calcular: 2
; ; ;A B B C C B C  
Ejemplo. Sean los conjuntos:
   2 3 ; y 3 4 ;A x x x B y y y         
Representar gráficamente:
2 2
; ; ;A B B A A B 

4
RELACIÓN
Definición. Una relación binaria o simplemente una relación,
consiste en:
Un conjunto A
Un conjunto B
Una proposición P que es falsa o verdadera para toda
pareja ordenada  ,a b del producto cartesiano A B .
Una relación R de un conjunto A a un conjunto B es un
subconjunto del producto cartesiano A B , esto es: R A B 
Dominio Codominio Recorrido, rango, imagen
Relación     , , ; ,R a b a A b B P x y  
Ejemplo. Sean    2, 1,0,1,2 3, 2, 1,0,1,2,3A y B      
Obtener las siguientes relaciones y dar dominio y recorrido
de cada una:
3
2
1
c
b
a
3
2
1
e
d
c
b
a
4
3
2
1
b
a
R. Multiforme R.Uniforme R. Biunívoca
1
5
4
3
2
1 0
6
2
A
C
B

5
  1 , , ;R x y x A y B y x   
  2 , , ; 2R x y x A y B x y    
  2 2
3 , , ; 5R x y x A y B x y    
Ejemplo. Representar gráficamente las siguientes relaciones
y dar dominio y recorrido:
  1 , , ;R x y x y y x   
  2 , , ; 1R x y x y y x    
 
2 2
3 , , ; 1
4 1
x y
R x y x y
 
     
 
  2 2
4 , , ; 1R x y x y x y    

6
Toda función es relación, pero no toda relación es función
Toda función es una relación y por consiguiente,
subconjunto del producto cartesiano
Definición. Una función es una relación uniforme
Definición. Una función es una terna formada por:
a) Un primer conjunto llamado Dominio de la función.
b) Un segundo conjunto llamado Codominio de la función.
c) Una regla de correspondencia que tiene las siguientes
propiedades:
- A todo elemento del dominio se le puede asociar un
elemento del codominio.
- Ningún elemento del dominio ha de quedarse sin su
asociado en el codominio.
- Ningún elemento del dominio puede tener más de un
asociado en el codominio.
Ejemplo. Representar gráficamente, con diagramas de Venn,
la siguiente función definida mediante parejas ordenadas:
          
 
3,0 , 2,1 , 1,2 , 0,3 , 1,4
5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5f
f
C
   
     
fD
fC
fR
f

7
    ,f x y y f x 
en donde  f x es la imagen de x en el codominio, obtenida
a partir de la regla de correspondencia  y f x
Ejemplo. Dada la siguiente relación, decir si es función,
justificar la respuesta y, en caso de no serlo, analizar la
factibilidad de que fuera función.
  2 2
, , ; 4R x y x y x y    
Condición geométrica para una función: toda recta paralela
al eje " "y debe cortar a su gráfica en un solo punto
Notación
    , ;ff x y x D y f x  
        1 1 2 2 3 3, , , , , ,..., ,n nf x y x y x y x y
  ; fy f x x D 
    , ; ff x y y f x x D  
 : ;f ff D C y f x 

8
Representación gráfica
Ejemplo. Considérese la siguiente función  y f x x  
   0, ; ; 0,f f fD C R    
Ejemplo. Determinar el dominio y el recorrido, así como
hacer un trazo aproximado de la gráfica de las siguientes
funciones:
) 2 3 ; (ecuación de una recta)i y x 
2
) 6 ; (parábola; superficie de un cubo en
función de la longitud de cada arista)
ii S x
) 0.204 ; (parábola; tiempo de caída libre en
función de la distancia en metros)
iii t d 
 
2
2
) ; (ecuación de una recta con un hueco)
x x
iv f x
x


 2
4
) ; ecuación de una curva asintótica
6
v y
x x

 
 22
) 9 ; ecuación de parte de una elipse
3
vi y x  
 y f x x  
x
y

9
Ejemplo. Dadas las siguientes funciones, obtener su dominio:
 
   
2
3 2
1 3
) 2 5 1 ; ) ; )
1
) ; ) 2 5 ; ) 3 7
1
x
i y x x ii f x iii y
x x
x x
iv f x v y x vi f x x
x

    


     

 2 21
) 16 ; ) 4
2
vii y x viii f x x    
  2
2
4 2 6
) ; ) 25 ; )
6 5 5
x x
ix y x f x x xi y
x x x

   
  

10

11
FUNCIONES DEFINIDAS EN VARIOS INTERVALOS
Función valor absoluto  
0
0
x si x
f x x
x si x
 
  

Función escalonada  
2 1
1 1 2
4 2
si x
f x si x
si x
  

   
 
Función parte entera de " "x :  f x x
Ejemplos   ; 2,2f x x x     y   ; 3,3f x x x x     
x
0
45
y
0
45
fD  0,fR  

12
Ejemplo Determinar el dominio, el recorrido y hacer un trazo
aproximado de la gráfica de la función:
 
 
2
2
3 9 4 3
3 3 1
4 1 2
2 4 2 4
2 10 4 6
x si x
x si x
f x si x
x x si x
x si x
    

    

   

   
    
ALGUNOS TIPOS DE FUNCIONES
Función Constante
   ; ; ; constantef x y C x f x C C    
Función Identidad
   ; ;f x y x x f x x   
Funciones Enteras o Polinomiales
  2
0 1 2
n
ny f x a a x a x a x     
fD 
Una función entera de grado 2 se llama función cuadrática.
  2
y f x ax bx c   

13
donde , ,a b c son constantes y 0a  . Una función
cuadrática es una cónica y el saberlo facilita la obtención
del dominio, recorrido y gráfica
   1) 3 2 lineali f x x 
   2
2) 2 5 6 cuadráticaii f x x x  
   2 3
3) 4 6 2 cúbicaiii f x x x x   
   6 4
4) 5 2 9 de sexto gradoiv f x x x x   
Cabe aclarar que en la asignatura de Álgebra un polinomio
se define como una expresión del siguiente tipo:
  1
1 1 0
n np x a x a x a x a
n n
    

Ejemplo. Entre los cero y los 13 minutos, un horno de
incineración aumenta la temperatura  0
T C , en función del
tiempo de operación  mint , de acuerdo con la siguiente
expresión: 2
4 2 ; 0 13T t t t   
Determinar el dominio, el recorrido y la gráfica de esta
función temperatura.
Solución. Función entera o polinomial. 0,13fD    
Se trata de una parábola:
2
2 2 1 1 1 1
4 2 4 4
2 16 16 4 4
t
T t t T t T t
   
             
   
 mint
 0
T C
728
13
2
4 2T t t 
0,728fR    

14
Funciones Algebraicas
Ejemplo. Determinar el dominio, el recorrido y hacer un trazo
aproximado de la gráfica de las funciones algebraicas:
 
1
)i f x
x

 
 
2 4
)
2
x
ii f x
x x



Funciones Algebraicas Racionales. Aquellas que resultan del
cociente de dos funciones enteras
Funciones Algebraicas Irracionales. Aquellas que además
de considerar las operaciones de la racional, incluyen la
radicación.
Funciones Periódicas. Una función f es periódica si se
cumple que:
   f x f x  
x
22 o

15
para algún valor real positivo " " distinto de cero. Al mínimo
valor de " " que cumple esta relación se le llama periodo
de la función
Importantes aplicaciones en física e ingeniería, en lo que se
refiere a fenómenos que se repiten periódicamente, tales
como el movimiento ondulatorio, vibraciones, etcétera.
Ejemplo. Dos funciones conocidas son
Se observa que para la función “tren de pulsos” el periodo es
4  y para la función “diente de sierra” es 1 
Funciones trascendentes
Una función trascendente es aquella que en su definición no
intervienen las operaciones que definen a las funciones
algebraicas. Incluyen las circulares directas
(trigonométricas), las circulares inversas, las logarítmicas, las
exponenciales, y muchas otras más.
1
y
x
22 1
función "diente de sierra"
x
y
5 3 1 1 3 5
función "tren de pulsos"

16
Funciones circulares directas
Se definen a partir de un círculo unitario de ecuación
2 2
1x y  .
cos x y sen y  
Las funciones seno y coseno son periódicas con periodo
2  , luego:
   2 cos 2 cossen sen y        
x
y
cos 0
0sen





cos 0
0sen





cos 0
0sen





cos 1
0sen


 


cos 1
0sen





cos 0
0sen





cos 0
1sen




 
I cuadranteII cuadrante
IV cuadrante
cos 0
1sen





III cuadrante
s
y
x

 cos ,P sen 
c
2 2
1x y 
O

17
tan
cos
sen



cos 1
cot
tansen


 
 
1
sec
cos



1
csc
sen



Identidades Trigonométricas más importantes
  2 2
cos 1sen 2 2
sec tan 1  
 cos cos cos sen sen      
  cos cossen sen sen       
2 2 cossen sen   2 2
cos2 cos sen   
2 1 1
cos cos2
2 2
   2 1 1
cos2
2 2
sen   
Para graficar estas funciones trigonométricas y determinar su
dominio y recorrido, es conveniente construir la siguiente
tabla:
f
0
6

3

2
 2
3
 5
6


7
6
 4
3
 3
2
 5
3
 11
6

2
Sen 0
1
2
3
2
1
3
2
1
2
0
1
2

3
2
 1
3
2

1
2
 0
Cos 1
3
2
1
2
0
1
2

3
2
 1
3
2

1
2
 0
1
2
3
2
1
Tan 0
3
3
3  3
3
3
 0
3
3
3  3
3
3
 0
Cot  3
3
3
0
3
3
 3  3
3
3
0
3
3
 3 
Sec 1
2 3
3
2  2
2 3
3
 1
2 3
3
 2  2
2 3
3
1
Csc  2
2 3
3
1
2 3
3
2  2
2 3
3
 1
2 3
3
 2 

18
; , ; ;
2
f fD n n R

     
 
       
 
x
y
1 2 3 5 6
22
4
2

2



3
2


3
2

  tanf x x
1 2 3 5 6
x
22
4
2

2



3
2


3
2

y
  cosf x x fD  1,1fR    
1 2 3 5 6
x
22
4
2

2



3
2


3
2

y
 f x senx fD  1,1fR    

19
 ; , ; ;f fD n n R          
 ; , ; , 1 1, ; 2
2
f fD n n R

     
 
              
 
x
y
1 2 3 5 6
22
4
2

2



3
2


3
2

  secf x x
1
1
x
y
1 2 3 5 6
22
4
2

2



3
2


3
2


  cotf x x

20
   ; , ; , 1 1, ; 2f fD n n R                
Funciones Explícitas. Son aquellas en la que la variable
dependiente se encuentra despejada, es decir,  y f x
Funciones Implícitas. Son aquellas que se encuentran dentro
de una ecuación  , 0f x y  que la involucra a ella y a otras
funciones, y en la que, como se observa, la variable
dependiente no se encuentra despejada
Ejemplo. Dada la ecuación
2 2
1
9 4
x y
  , obtener dos funciones
explícitas de ella, dar sus dominios y recorridos y hacer un
trazo aproximado de sus gráficas.
x
y
1 2 3 5 6
22
4
2

2



3
2


3
2

  cscf x x

21
Función Par. Una función es par si se cumple que
    ff x f x x D   
Entonces su gráfica es simétrica con respecto al eje " "y .
Ejemplos    2
cosf x x y f x x 
Función Non. Una función es non o impar si se cumple que:
    ff x f x x D    
Entonces su gráfica es simétrica con respecto al origen.
Ejemplos    3
f x x y f x senx 
; 1,1f fD R    
  3
f x x
 f x senx
yy
x
   1.5 3.375 1.5f f     1
2 2
f f
    
       
   
;f fD R 
x
  2
f x x   cosf x x
yy
x
x
   1.5 2.25 1.5f f   0
2 2
f f
    
     
   
; 0,f fD R   ; 1,1f fD R    

22
Funciones expresadas en forma paramétrica
Existe una forma de representar a una función en la que tanto
la variable dependiente " "y como la variable independiente
" "x , se expresan en términos de una tercera variable
conocida como parámetro de la función.
 
 
: ; : parámetro
x g t
f t
y h t
 


Ejemplos
3 5cos
) : ; 0 ; ) : ; 2
3
x t x
i f t ii f
y seny t

  

  
   
  

23
Ejemplo. El mecanismo que acciona los “blancos” en un
campo deportivo consta de una corredera horizontal sobre la
cual se mueve una rueda con una aguja situada en su
periferia. La rueda gira sobre la corredera sin deslizarse.
Cada vez que la aguja toca a la corredera, acciona un
mecanismo que levanta al “blanco”. En la figura se muestra
la trayectoria que describe la aguja al moverse (cicloide)
La forma más sencilla de describir matemáticamente este
movimiento es a partir de ecuaciones paramétricas que son:
 
 
  

  1 cos
x a t sent
y a t
 0 2 ; ;f fR y y a y D    
 1 cos cos
cos cos
y a t y a a t
a y a y
t t ang
a a
    
 
   
 
2
2ay y
x a t sent x at asent x at a
a
 
         
 
 
2
cos 2
a y
x aang ay y
a

   
 
22 2
2a a y ay y   
a
t
a y
2a
a
a
2 a
y
x
t

24
OPERACIONES CON FUNCIONES
Igualdad de funciones
Dos funciones f y g son iguales si tienen la misma regla
de correspondencia y están definidas en el mismo dominio
con mapeo en el mismo contradominio.
Adición, sustracción, multiplicación y división de funciones
Definición. Sean las funciones 1 2yf f con sus respectivos
dominios 1 2
yf fD D . Entonces se definen las siguientes
funciones:
    1 2 1 21 2) ; f f f fi y f x f x D D D   
    1 2 1 21 2) ; f f f fii y f x f x D D D   
    1 2 1 21 2) ; f f f fiii y f x f x D D D   
 
 
 1 1 2
2
1
2
2
) ; ; 0f f f
f
f x
iv y D D D f x
f x
   
Composición de funciones
Definición. Dadas las funciones f y g con dominios
f gD y D respectivamente, se define como la composición
de la función f con la función g a la función:
    f g x f g x  
f g se lee " composición g"f y se trata de una función
cuyo dominio está formado por todos los elementos " "x que
pertenecen al dominio de " "g , para los cuales  g x
pertenece al dominio de " "f , lo que se expresa como:
  ;f g g fD x x D g x D  

25
Forma alternativa: f g h gD D D 
Ejemplo. Sean las funciones siguientes, dadas como
conjuntos de parejas ordenadas  ,x y :
               1,3 , 2,4 , 3,5 , 4,6 0, 3 , 3,2 , 4,1f y g  
Entonces:
         3,4 , 4,3 1,2 , 2,1f g y g f 
Aquí se ve con claridad que:
     f g g f g f f gD x x D g x D y D x x D f x D       
Ejemplo. Dadas las funciones siguientes, obtener
f g y g f
y determinar sus respectivos dominios.
   
2
)
3 2
x
i f x y g x
x x
 

   
2
) ; 1
1
ii f x g x x
x
  

A C
B
f g
g
f
x
 g x
  f g x

26
FUNCIONES INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA
: f ff D C
Función Inyectiva (uno a uno). Una función : f ff D C es
inyectiva o uno a uno y se denota como 1 1 , si a diferentes
elementos del dominio le corresponden diferentes elementos
del codominio. En esta función, para dos valores
cualesquiera 1 2x y x de su dominio se cumple que:
   1 2 1 2x x f x f x  
Ejemplo. Sea la función :f  dada por   2
f x x

27
Si en este ejemplo se limita el dominio de la función es
evidente que se obtienen funciones inyectivas:
 : 0f 
  dada por   2
f x x
 : 0f 
  dada por   2
f x x
Comprobación analítica: para cada valor de " "y exista un
solo valor de " "x . Comprobación gráfica: toda recta paralela
al eje " "x corta a la gráfica de la función en un solo punto.
Ejemplo. Sea la función  : , ; cos
2 2
f f x x
  
   
 
. Si se
grafica se observa que no es 1 1 . Sin embargo, si se cambia
su dominio y ahora se define como:
 : 0, ; cosf f x x    
se verá que cualquier recta horizontal corta a la gráfica en un
solo punto por lo que sí es 1 1 .
"sí inyectiva"
y
xx
,
2 2
fD
  
  
 
"no inyectiva"
0,fD    
y
2

 0 
2

x
y
  2 2,x f x  1 1,x f x
1x 2x
1 2x x    1 2f x f x

28
Ejemplo. Dos funciones, una que sí es 1 1 y otra que no
Ejemplo. Verificar analíticamente que la función : 0,f  
dada por   2
4f x x  , es inyectiva.
Función Suprayectiva (sobre). Una función es suprayectiva o
sobre si todo elemento de su Codominio es imagen de por lo
menos un elemento de su Dominio, lo que se expresa como:
Sea : f ff D C
 f fSi b C existe a D tal que ,
entonces es sobre
f a b
f
   
Codominio y Recorrido deben ser iguales, esto es, f fR C
1
2
3
a
b
c
d
e
1
2
3
a
b
no es 1-1sí es 1-1
fD fD fCfC

29
Ejemplo. Sea la función   3 1f x x  definida como :f 
Ejemplo. Analizar si la función definida como :f  dada
por   2
f x x es suprayectiva y, en caso de no serlo,
determinar bajo qué condiciones podría serlo.
Ejemplos
Ejemplo. Verificar que la función definida como
   : 0, ,0f    y dada por  f x x  , es suprayectiva.
1
2
3
a
b
c
d
e
fD fC
1
2
3
a
b
sí es sobre
fD fC
no es sobre

30
Función Biyectiva (1-1 y sobre). Una función es biyectiva si al
mismo tiempo es inyectiva y suprayectiva, y la relación entre
los elementos del dominio y los del codominio es biunívoca.
Una función puede ser:
)i 1-1 y sobre (biyectiva) )ii 1-1, pero no sobre
)iii No 1-1, pero sí sobre )iv Ni 1-1 ni sobre
Ejemplos
Ejemplo. Dada la función, investigar si es biyectiva y, en caso
de serlo, hacer un trazo de su gráfica:
a
b
c
1
2
3
a
b
c
1
2
3
4
1-1 sí y sobre no
4
1-1 no y sobre no
a
c
b
1
2
3
a
b
c
1
2
Biyectiva
1-1 y sobre
1-1 no y sobre sí

31
    2
) : 0, 0, dada por f xi f x     
  2
) : 0,1 0,1 dada por 1ii f f x x         
FUNCIÓN INVERSA
Si en una función biyectiva se cambian " " por " "x y y
" " por " "y x , y se despeja la nueva variable dependiente " "y ,
la relación resultante es una nueva función que se llama
“función inversa” y se denota con 1
" "f
Definición. Sea f una función biyectiva. Entonces su función
inversa es 1
" "f
y está definida por la siguiente condición:
   1
, si y sólo si ,x y f y x f
 
El dominio de f se convierte en el recorrido de 1
f 
y el
recorrido de f en el dominio de 1
f 
, esto es,
1 1f ff f
D R y R D  
Las gráficas de 1
f y f
son simétricas con respecto a la
gráfica de la función identidad y x .

32
Para que una función admita función inversa, debe ser
biyectiva. Lo importante es que sea inyectiva, ya que para
ser suprayectiva bastará considerar siempre que el
codominio es igual al recorrido.
Ejemplo. Investigar si la función dada por:
  : , 2 1; 2,2 ;f x y y x x x      
es biyectiva y, en caso de serlo, obtener su función inversa y
dar dominio, recorrido y trazo de la gráfica de 1
f y f
Ejemplo. Dadas las seis funciones trigonométricas, explicar
las condiciones que deben guardar sus respectivos dominios
para que tengan función inversa y definir ésta
 f x senx . Se limita su dominio al intervalo ,
2 2
  
 
 
, y
entonces sí tiene función inversa:
;y senx x seny y angsenx   
  1
1
; 1,1 ff
f x angsenx D R

      
  cosf x x . Se limita su dominio al intervalo 0,  , entonces
sí tiene función inversa:
cos ; cos cosy x x y y ang x   
  1
1
cos ; 1,1 ff
f x ang x D R

      

33
  tanf x x . Se limita su dominio al intervalo ,
2 2
  
 
 
y de
esta forma admite función inversa:
tan ; tan tany x x y y ang x   
   1
1
tan ; , ff
f x ang x D R

     
  cotf x x . Si se fija el dominio al intervalo  0, , entonces
tiene función inversa:
cot ; cot coty x x y y ang x   
   1
1
cot ; , ff
f x ang x D R

     
  secf x x . Se limita su dominio al intervalo 0,
2


 
    
 
,
tendrá función inversa, la que se define como:
sec ; sec secy x x y y ang x   
   1
1
sec ; , 1 1,f
f x ang x D

        
  cscf x x . Se limita su dominio al intervalo  , 0
2 2
  
  
 
y
su función inversa será:
csc ; csc cscy x x y y ang x   
   1
1
csc ; , 1 1,f
f x ang x D

        
Ejemplo. Dada la función definida como : 0, 1,1f         
dada por   cosf x x , dar dominio y recorrido de 1
f y f
y
graficarlas.
Solución.
Se construye la siguiente para graficar las dos funciones:
x 0
6

3

2
 2
3
 5
6

  1
y f x

 y f x 1 0.866 0.5 0 0.5 0.866 1 x

34
1 10, ; 1,1f ff f
D R R D            
Ejemplo. Dada la siguiente función, decir si es biyectiva y si
lo es, dar fD , fR y gráfica de 1
f y f
y definir  1
f x
:
 
2
2 2 0
) 6
0 6
3
x si x
i f x x
si x
    

   
 

 
2
1 2 0
)
1 0
2
x si x
ii f x
senx si x

    

 
  

 
2
4 1 4 2
1
) 6 2 0
2
24
0 4
4
x x si x
iii f x x si x
x
si x

      


     

 
 
x
y
1
f
f1
1
1
1 


35

36
Composición de una función con su función inversa. Las
gráficas de 1
f y f
son simétricas con respecto a la gráfica
de la función identidad. Resulta sencillo probar que:
  
  
1 1
1 1
f
f
f f f f x x x R
f f f f x x x D
 
 
   
   
Verificación gráfica:
FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL
En Cálculo en el bachillerato se estudiaron la derivada y la
integral, la primera en su interpretación geométrica y la
segunda como el área bajo la curva y ambas como
operaciones inversas. La primera fórmula que se trató en
integración fue la siguiente:
1
; 1
1
n
n x
x dx C n
n

   

Es evidente que esta expresión no se puede utilizar cuando
1n   ¿Qué sucede en este valor?
  1
x f f x
   1
x f f x
 1
f x
 f x
f 1
f
1
f
f

37
Considérese la función  
1
y f x
x
  que, como se sabe, tiene
como dominio y recorrido a:
   0 y 0f fD R   
Si se grafica la porción de esta curva, correspondiente al
primer cuadrante, partiendo del hecho de que es la
ecuación de una hipérbola equilátera, se tendrá:
El área señalada en la figura, comprendida entre la curva y
los ejes " " y " "x y , de acuerdo a lo antes expresado, se
puede calcular mediante la integral siguiente:
  1
x dt
A x
t
 
Si de esta integral, es decir, del área bajo la curva que es una
función de " "x , se estudian algunas de sus propiedades, se
obtiene:
 1 0A 
  0 si 0 1A x x  
  0 si 1A x x 
      0 y 0A uv A u A v u v    
 
1
A A u
u
 
  
 
    0 y 0
u
A A u A v u v
v
 
     
 
   r
A u r A u
 
1
f t
t

y
0 x
A
x

38
Si se comparan estas propiedades de la función  " "A x con
las propiedades de una función usada en álgebra elemental
y que es el logaritmo de base positiva y arbitraria 1b  , se ve
que:
   1 0 ; log 1 0bA  
  0 si 0 1 ; log 0 si 0 1bA x x x x     
  0 si 1 ; log 0 si 1bA x x x x   
           ; log log logb b bA uv A u A v uv u v   
   
1 1
; log logb bA A u u
u u
   
      
   
    ; log log logb b b
u u
A A u A v u v
v v
   
      
   
     ; log logr r
b bA u r A u u r u 
Como se observa, con excepción de la notación, las dos
columnas son idénticas. Es por ello que a la función  " "A x se
dio por llamarla “función logarítmica”.
La función logb x se define como un número " "n tal que
n
b x donde a " "b se le conoce como la base. Y esta
potencia está definida, sin embargo, solamente para valores
racionales de " "n ; su gráfica entonces está llena de agujeros
y, como se puede ver, no es diferenciable e integrable.
Como función tiene entonces muy poca utilidad en Cálculo.
La función que se ha venido llamando  " "A x , no solamente
tiene las mismas propiedades que el logaritmo elemental sino
que además, como se puede estudiar, es diferenciable e
integrable. Por esta y otras razones es la “natural” función
logarítmica que se usa en el Cálculo y es a la que se llama
“logaritmo natural”. Se acostumbra expresarla como:
lnx y Lx
y por lo tanto se tiene que

39
  1
ln
x dt
A x x
t
  
Esta nueva función   lny f x x  que equivale a un área,
tiene valores reales, como se observa en la figura que la
define, cuando la variable independiente es mayor que cero
y, como se vio en sus propiedades,
   1 ln 1 0f  
  ln 0 si 0 1f x x x   
  ln 0 si 1f x x x  
Se puede intuir y decir entonces que esta función “logaritmo
natural” tiene como dominio y recorrido a:
 0, yf fD R  
Es evidente en la figura del área que define a esta función
que su valor siempre crecerá, aunque mientras mayor sea el
valor de la variable independiente " "x , su crecimiento será
cada vez menor. Por el contrario, mientras el valor de " "x se
aproxime más a cero, el valor de la función crecerá más
rápido y esta se aproximará más al eje de las ordenadas,
pero sin llegar a tocarlo, por lo que lo tendrá como asíntota
vertical. Con todo lo expresado se puede construir la gráfica
de la función logaritmo natural, es decir, de lny x , que se
muestra en la siguiente figura.
x
y
  lnf x x
 1,0
 ,1e
2.718281828...e 

40
Esta nueva función, al ser equivalente a la función
logarítmica, sus valores coinciden con los de la función
logarítmica cuya base es el famoso número " "e , llamado así
en honor al célebre matemático Euler y es por ello que su
gráfica, como se ve en la figura, pasa por el punto  ,1e .
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Como la función lnx es biyectiva, admite función inversa y a
esta por el momento se le llamará " "E . Luego,
1
lnE 

y se sigue que:
  si y solo si lny E x y x 
Por lo que se trató en la función lnx y lo que se sabe de la
función y su inversa, es posible afirmar que:
 ln ln0,x E x x E xD R y R D    
y también es posible escribir que:
 
 
ln 0
ln
E x x x
E x x x
  
  
De la segunda expresión se deducen las siguientes
propiedades de esta función  E x :
Para cualquier  yu v :
           
     
       
ln ln ln
ln
ln ln
E u E v E u E v
E u E v u v
E u E v E u v
    
    
       
y por lo tanto        E u E v E u v 
De manera similar:
 
 
     ln ln ln
E u
E u E v
E v
 
  
  

41
 
 
 
 
 ln ln ln
E u E u
u v E u v
E v E v
   
           
      
y por lo tanto
 
 
 
E u
E u v
E v
 
Ahora, para cualquier número real " "u y racional " "v :
     
  
     
ln ln
ln
ln ln
v
v
v
E u v E u
E u uv
E u E uv
  
 
  
 
  
 
y por lo tanto     
v
E u E uv
Ahora se verá el porqué del nombre de “exponencial”. Para
cualquier racional " "x , la cantidad x
e está definida por las
reglas del álgebra elemental y,
  ln ln ; ln ; ln lnx x x
e x e e x e E x  
y por lo tanto
  x
E x e
para todo número racional " "x . Las potencias irracionales no
están definidas en el álgebra elemental. Entonces
x
e no está
definida para valores irracionales de " "x . Entonces se está
en libertad de instrumentar la siguiente definición:
  x
E x e x  
El dominio y el recorrido de esta función son:
 y 0,f fD R  
Las propiedades anteriormente vistas, en notación
exponencial, están dadas por:
lnx
y e x y   ln
0x
e x x  
ln x
e x x y x y
e e e 


42
x
x y
y
e
e
e

  
yx xy
e e
Dado que esta función es inversa de la logaritmo natural, se
sabe que su gráfica pasa por los puntos  0,1 y  1, e .
Además, como el dominio de esta función exponencial es el
conjunto de los reales, su gráfica se abre asintóticamente al
eje " "x hacia la izquierda y, por otro lado, crece
indefinidamente en el eje " "y . La gráfica es la siguiente:
Esta gráfica puede obtenerse de la de lnx mediante una
reflexión en la recta y x . La gráfica de ambas funciones es:
x
y
 0,1
 1,e
x
y e
 1,0
lny x ,1e
x
 0,1
 1,e
x
y e
y

43
Para graficar estas funciones, cuando el argumento es la
variable independiente u otra función de esta variable, se
recomienda utilizar los valores señalados en las siguientes
tablas:
  lnf x x   x
f x e
Ahora se realizarán ejercicios con ambas funciones para
obtener sus funciones inversas, así como los dominios,
recorridos y gráficas de ambas.
Ejemplo. Dada la siguiente función, determinar su función
inversa y dar dominio, recorrido y gráfica de 1
yf f
.
       
   2 3
) ln 2 1 ; ) ln 3
) ; )x x
i f x x ii f x x
iii f x e iv f x e 
   
 
x y
  0
0 1
1 e
x y
0  
1 0
e 1

44

45
Las funciones ln x
x y e pueden presentarse con diferentes
“bases”, por lo que se expresarían como log u
b u y a donde
 u f x .
Conviene presentar dos formas equivalentes para obtener el
valor de la función logaritmo base " "b en términos del valor
de la función logaritmo natural.
ln
ln
log log
u w
w
b b
u w e e
u e u w e
  
   
log ln logb bu u e 
log
log
ln ln ln log ln
b u v v
b
b
u v b b u b
u v b u u b
    
   
ln
log
lnb
u
u
b
 
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
En las funciones trascendentes, hubo quienes observaron que
determinadas combinaciones de las funciones
exponenciales x x
e y e
se presentaban con mucha
frecuencia en aplicaciones. La luz, la velocidad, la
electricidad o la radioactividad se absorben o extinguen de
manera gradual, y su decaimiento se puede presentar con
funciones que consideran las combinaciones de funciones
exponenciales como las antes citadas.
Una combinación de estas funciones describe la forma de un
cable colgante, esto es, que si se suspende un cable pesado
y flexible como el de una línea de transmisión o de una línea
telefónica, dicha combinación define la ecuación de la
curva.

46
Estas funciones, combinaciones de funciones exponenciales,
son deducidas de una hipérbola, de la misma forma que las
trigonométricas tienen como base al círculo unitario. Por ello
se llaman Funciones Hiperbólicas.
Se definirán estas funciones hiperbólicas a partir de la
hipérbola 2 2
1x y  , de manera semejante a como se
desarrollaron las circulares a partir del círculo 2 2
1x y  .
Considérese la circunferencia unitaria 2 2
1x y  y sea  ,P x y
un punto de ella en el primer cuadrante, como se observa en
la siguiente figura:
De la figura se puede expresar que:
Área del sector circular
2
2
2 2
r
OAP u
 


 
Área del triángulo 21
2
OAB u
de donde
Área del sector circular OAP 2
1Área del triángulo OAB
2

   
Entonces el arco  puede considerarse como la razón entre
el área del sector circular OAP y el área del triángulo OAB.
También cabría notar que la medida del ángulo  puede
x

A
 ,P x y
B
0
y2
1y x  

47
definirse como el doble del área del sector circular OAP que
el ángulo determina en el círculo unitario.
Ahora considérese la hipérbola 2 2
1x y  y un punto de ella
 ,P x y en el primer cuadrante.
Se procede de manera semejante al caso del círculo anterior
y se obtiene entonces el número  que se define como el
doble del área del sector hiperbólico OAP. Y a este número
 se le llama la medida hiperbólica del ángulo AOP, con el
arco AP de la de la hipérbola. Entonces:
Área del sector Área del sector
1Área del triángulo
2
OAP OAP
OAB
  
El cálculo del área del sector OAP se determina como sigue,
considerando la figura anterior:
Área del sector Área del triángulo ÁreaOAP OCP ACP 
donde el área ACP (área bajo la curva) es la limitada por la
hipérbola, el eje de las abscisas y las rectas x A y x C  .
Esta área se calcula de la siguiente forma:
2
1
Área 1
x
ACP z dz 
x
y
CO A
 ,P x y
2
1y x  
B
1 x

48
El cambio de variable se hace debido al límite superior de la
integral, que se resuelve por el método de sustitución
trigonométrica, que se verá en métodos de integración.
Entonces el área requerida es:
2 2 2
1
1
Área 1 1 ln 1
2 2
x x
ACP z dz x x x      
Como el área del triángulo OCP es igual a:
Área
2
xy
OCP 
entonces
2 21
Área del sector 1 ln 1
2 2 2
xy x
OAP x x x     
Como 2
1y x 
1 1
Área del sector ln ln
2 2 2 2
xy xy
OAP x y x y     
Y como el área del triángulo OAB es:
1
Área del triángulo
2
OAB 
Entonces se llega a:
1
ln
Área del sector 2 ln
1Área del triángulo
2
x y
OAP
x y
OAB
 

    
Como en el caso de las funciones trigonométricas, para la
hipérbola dada (en la figura), el punto  ,P x y y las
condiciones obtenidas, se definen las funciones:
DEFINICIÓN.
Seno hiperbólico de
2
Coseno hiperbólico de cos
2
e e
PC y senh
e e
OC x h
 
 
 
 



   

   

49
De la expresión ln x y   es posible obtener que:
ln
ln
x y
x y e e e x y 
 
      
ln
1
ln
ln
1
x y
x y
x y e e
e e e
x y

 

 
 
     
   

Mediante la ecuación de la hipérbola 2 2
1x y  y algunas
operaciones algebraicas, se llega a:
     
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 1 2
2 2 2 2 2
y x y xy y y xy y x xy y
y y
x y x y x y x y
      
      
   
 
 
 
 
2
2
2 2
1 1
12 1
2 2 2 2 2
x y
x y
x yx xy y e ex y x y
x y x y
 
 
 
     
    
 
     
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 1 2
2 2 2 2 2
x x y x xy x xy x y xy x
x x
x y x y x y x y
      
      
   
 
 
 
 
2
2
2 2
1 1
12 1
2 2 2 2 2
x y
x y
x yx xy y e ex y x y
x y x y
 
 
 
     
    
 
Por lo tanto:
cosh
2 2
e e e e
senh y
   
 
 
 
 
Y en términos de estas dos funciones se definen las siguientes
cuatro:
DEFINICIÓN.
cos
tanh ; coth ; 0
cosh h
senh e e h e e
sene e e e
   
   
 
  
 
 
 
 
    
 
1 2 1 2
sech ; csc ; 0
cosh h
h
sene e e e   
  
  
    
 

50
Antes de estudiarlas brevemente, se presenta a continuación
un interesante concepto físico con una de ellas.
LA CATENARIA Y LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Si se deja colgar libremente una cadena o un cable entre
dos soportes, se forma una curva llamada catenaria (del
griego katena que significa cadena). Las catenarias se
encuentran por donde uno mire: una reata de tender, un
cable telefónico, los cables de suspensión de un puente,
etcétera. La forma depende del peso y tensión del cable,
pero sus ecuaciones son todas de la misma forma y están
íntimamente relacionadas con la función exponencial. Una
representación gráfica de una catenaria se muestra en la
siguiente figura:
Si se considera una sección de catenaria y se analizan las
diferentes fuerzas que intervienen en ella, como son la
tensión del cable en el punto más bajo (punto mínimo de la
curva) y en otros puntos, el peso del cable y otras
consideraciones, se obtiene la ecuación de la catenaria que
corresponde al coseno hiperbólico, esto es,
cosh
2
x x
e e
y x


 
IDENTIDADES “TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓLICAS”
Así como en la trigonometría circular se tienen las conocidas
identidades trigonométricas, para las funciones hiperbólicas
catenaria
y
x

51
se presentan también identidades entre las cuales las de
mayor importancia son las siguientes (la demostración de los
teoremas se omite, pero el lector la puede hacer
considerando las formas exponenciales de cada función):
TEOREMA.
2 2
cosh 1x senh x 
TEOREMA.
2 2
tanh sec 1x h x 
TEOREMA.
2 2
coth csc 1x h x 
TEOREMA. 2 2 coshsenh x senhx x
TEOREMA.
2 2
cosh2 coshx x senh x 
Otras identidades importantes son:
2 1 1
cosh2
2 2
senh x x  
2 1 1
cos cosh2
2 2
h x x 
  cosh coshsenh x y senhx y xsenhy  
  cosh coshsenh x y senhx y xsenhy  
 cosh cosh coshx y x y senhxsenhy  
 cosh cosh coshx y x y senhxsenhy  
cosh cosh 2cosh cosh
2 2
x y x y
x y
 
 
cosh cosh 2 h h
2 2
x y x y
x y sen sen
 
 
2 cosh
2 2
x y x y
senhx senhy senh
 
 
2 cosh
2 2
x y x y
senhx senhy senh
 
 
DOMINIOS, RECORRIDOS Y GRÁFICAS
Seno hiperbólico:   2
x x
e e
f x senhx


 

52
El valor de la función es real para cualquier valor real de " "x .
Por lo que su dominio es fD  . Su gráfica es:
El recorrido de la función es el conjunto de los números
reales, es decir, fR  .
Coseno hiperbólico:   cosh
2
x x
e e
f x x


 
De la regla de correspondencia se infiere que el dominio es
el conjunto de los valores reales, es decir, fD  . Su gráfica
es la siguiente:
El recorrido de la función es: 1,fR  
Tangente hiperbólica:   tanh
cosh
x x
x x
senhx e e
f x x
x e e



  

En la gráfica de coshx se ve que esta función no se anula en
ningún valor de " "x , luego el dominio de esta función tanhx
es el conjunto de los reales, es decir, fD  . Su gráfica es:
x
1
coshy x
y
x
y
y senhx

53
x
y
1
1
tanhy x
asíntota
asíntota
Esta gráfica tiene dos asíntotas horizontales ecuaciones
1 1y y y   , luego su recorrido es  1,1fR   .
Cotangente hiperbólica:
 
1 cosh
coth
tanh
x x
x x
x e e
f x x
x senhx e e



   

La función senhx se hace cero únicamente en el origen,
donde este valor se presenta una asíntota vertical. El dominio
está dado por  0fD   . La gráfica es la siguiente:
Tiene dos asíntotas horizontales de ecuaciones
1 1y y y   por lo que su recorrido es    , 1 1,fR      .
x
y
1
1 asíntota
asíntota
cothy x

54
Secante hiperbólica:  
1 2
sec
cosh x x
f x hx
x e e
  

El dominio de esta función es el mismo que el de la función
tanhx, esto es, fD  . Su gráfica es la siguiente:
Como se observa en la gráfica, el eje " "x es una asíntota
horizontal (de ecuación 0y  ), luego su recorrido es 0,1fR  .
Cosecante hiperbólica:  
1 2
csc x x
f x hx
senhx e e
  

Su dominio es el mismo que el de la función cothx, es decir,
 0fD   . Su gráfica se muestra en la siguiente figura:
Como su asíntota es el eje " "x , su recorrido es  0fR   .
x
y
cschy x
x
y
1
secy hx
asíntota

55
FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
Se graficarán y se darán dominios y recorridos. En
cosh secx y hx se limitará el domino para que sus
respectivas inversas sean funciones.
Función seno hiperbólico inversa:  1 1
f x senh x 

1 1;f ff f
D R R D    
Función coseno hiperbólico inverso:    1 1
coshf x x 

 1 10, ; 1,f ff f
D R R D        
x
y
1
  coshf x x
1
 1 1
coshf x x 

x
y
 1 1
f x senh x 

 f x senhx

56
Función tangente hiperbólica inversa:    1 1
tanhf x x 

1 1; 1,1f ff f
D R R D       
Cotangente hiperbólica inversa:    1 1
cothf x x 

  1 10 ; 1,1f ff f
D R R D         
x
y
11
asíntota
asíntota
  cothf x x
 1 1
cothf x x 

x
y
11
  tanhf x x
asíntotaasíntota
 1 1
tanhf x x 


57
Secante hiperbólica inversa:    1 1
secf x h x 

 1 10, ; 0,1f ff f
D R R D       
Cosecante hiperbólica inversa:    1 1
cscf x h x 

   1 10 ; 0f ff f
D R R D      
x
y
  cschf x x
 1 1
cschf x x 

x
y
1
 1 1
secf x h x 

asíntota
asíntota
  secf x hx

58
FUNCIONES HIPERBÓLICAS EN TÉRMINOS DE LA LOGARÍTMICA
Las funciones hiperbólicas están en términos de la función
exponencial y ésta es inversa de la función logaritmo natural,
luego las funciones hiperbólicas inversas se pueden expresar
en términos de la función logaritmo natural.
Considérese el caso de la función seno hiperbólico inverso.
1
y senh x
 sí y sólo si x senhy
2
2
y y
y ye e
x senhy x e e


    
Se multiplican ambos miembros por y
e y se obtiene:
2
2 22 4 4
2 1 0 1
2
y y y x x
e xe e x x
 
       
Se aplica ahora la función logaritmo natural y:
2 2
ln ln 1 ln 1y
e x x y x x      
Por lo que: 1 2
ln 1senh x x x
  
Como 0y
e  , entonces
2
1 0x x x    
1er Caso: 2
1 0x x  
Como 2 2
1 0 1x x x x      
2o Caso: 2
1 0x x  
Como 2
1x x  no tiene solución en , por lo tanto
 1 2
ln 1 ;senh x x x x
   
De manera semejante, para las otras cinco funciones:
  1 2
cosh ln 1 ; 1, 0x x x x
    
 1 1 1
tanh ln ; 1,1
2 1
x
x x
x
  
    

59
   

   
1
2
1
2
2
1
2
1 1
coth ln ; , 1 1,
2 1
1 1
sec ln ; 0,1
1 1
csc ln ; , 0 0,
x
x x
x
x
h x x
x x
x
h x x
x x



 
       
 
     
 
 
      
 
 
FORMULACIÓN DE FUNCIONES
Secuela para formular funciones:
 Lectura e identificación de magnitudes e incógnitas
 Modelo geométrico con magnitudes
 Modelo matemático preliminar
 Ecuaciones auxiliares
 Modelo matemático definitivo
Ejemplo. Si se supone que la resistencia a la flexión de una
viga es directamente proporcional al ancho y al cuadrado
del peralte de su sección, formular una expresión
matemática que represente a la resistencia de dicha viga en
términos únicamente de su ancho. La viga se saca de un
tronco de sección circular cuyo diámetro es de 50 cm.

60
Ejemplo. Un ingeniero desea construir un tanque cilíndrico
(cilindro circular recto) con tapas semiesféricas. El costo del
material con el que se construye el cilindro es de 120 pesos
por 2
m y el de las tapas es de 140 pesos por 2
m . Si el
volumen del tanque debe ser de 15000 litros, el ingeniero se
pregunta: ¿Cuáles serán las dimensiones " " y " "x y del
tanque para que el costo de los materiales sea el mínimo?
Para responder a esta pregunta, decide formular la función
que relaciona al costo del cilindro en términos de una de las
variables, ya sea " "x o " "y . Se pide ahora formular un
modelo teórico del costo de los materiales para construir el
tanque, en términos únicamente del radio " "x de las
semiesferas de los lados.

61
Ejemplo. Obtener una expresión que defina el volumen de
un cilindro circular recto, inscrito en un cono circular recto de
radio 5 m y altura 12 m, en función exclusivamente del
radio del cilindro.
Ejemplo. Se trata de inscribir un cono circular recto, cuyo
radio de la base es " "x y su altura " "y , en una esfera de
radio " "R . Obtener una expresión para el volumen del cono,
en función únicamente de su altura.

62
Ejemplo. El lado de un terreno rectangular debe colindar con
un muro de piedra. Si un ingeniero cuenta con 1000 m de
cerca lineal, pretende saber qué dimensiones debe tener el
terreno para que el área sea máxima. Y para ello, el
ingeniero construye un modelo matemático con una función
a optimizar que considere como variable únicamente a la
longitud de los lados que no colindan con el muro. ¿Cómo
define este modelo?
Ejemplo. Una recta que pasa por el punto  3,4 forma con
los ejes coordenados, en el primer cuadrante, un triángulo
rectángulo. Definir una expresión del área del triángulo
formado en términos exclusivamente de la longitud desde el
origen de coordenadas al punto donde la recta corta el eje
de las ordenadas, es decir, en términos de la ordenada al
origen.

63
Ejemplo. Un tanque en forma de cilindro recto con tapa
debe contener 10,000 litros de una determinada substancia
química. Los materiales para su construcción tienen el costo
siguiente: 2
$200/m para la base, 2
$100/m para la tapa y
2
$180/m para la superficie lateral. Obtener una expresión
que defina al costo de la cantidad de material empleado en
la construcción del tanque en función solamente del radio de
su base.

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