Graficas polares (estudiantes)

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Coordenadas
Polares, Vectores
y Números Complejos
Gráficas Polares
1

Objetivos
Identificar la gráfica de una ecuación polar.
Simetría de las gráficas de ecuaciones polares.
Desarrollar los modelos de las gráficas polares.
Espiral
Rectas
Circunferencias
Caracoles
Rosas
Lemniscata
Describir la gráfica de una ecuación polar.
Graficar ecuaciones polares utilizando modelos.
2

Una ecuación cuyas variables están en coordenadas
polares es una ecuación polar.
La gráfica de una ecuación polar
consiste de todos los puntos cuyas
coordenadas polares satisfacen la
ecuación. A la derecha se presenta
un ejemplo de una gráfica polar.
𝜋
2
eje polar
Ejemplo:
La ecuación polar de una circunferencia es 𝑟 = −5𝑐𝑜𝑠 𝜃
Gráficas Polares
3

Pruebas de simetría
Simetría con el eje polar:
La gráfica de 𝑟 = 𝑓(𝜃) es simétrica con respecto
al eje polar si la sustitución de −𝜃 por 𝜃 nos lleva a
una ecuación equivalente.
Simetría de las gráficas
4
de ecuaciones polares
Simetría con la recta 𝜃 = 𝜋
2
:
a la recta vertical 𝜃 = 𝜋
2
si la sustitución de π − 𝜃
por 𝜃 o – 𝑟 por 𝑟 y −𝜃 por 𝜃 nos lleva a una ecuación
equivalente.
Simetría con el polo:
al polo si la sustitución de π + 𝜃 por 𝜃 o – 𝑟 por 𝑟
nos lleva a una ecuación equivalente.
𝜋
2
eje polar
𝜃
−𝜃
𝑟, −𝜃
𝑟, 𝜃
𝜋
2
eje polar−𝜃
𝜃
𝑟, 𝜃
𝑟, 𝜋 − 𝜃
o −𝑟, −𝜃
𝜋
2
eje polar
𝑟, 𝜃
𝜃
−𝑟, 𝜃
o 𝑟, 𝜃 + 𝜋

Ejemplo:
Determine si la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠 3𝜃 tiene
simetría con el eje polar, la recta 𝜃 = 𝜋
2
o el polo.
Simetría de las gráficas
5
de ecuaciones polares
Solución:
Simetría con el eje polar:
Se sustituye el punto 𝑟, −𝜃 en la
ecuación. Luego se simplifica la
expresión trigonométrica utilizando
identidades, si es necesario. La
ecuación es equivalente a la ecuación
original por lo tanto, tiene simetría
con el eje polar.
ecuación que se obtiene no es
equivalente, por lo tanto, no tiene
simetría con la recta 𝜃 =
𝜋
2
.
Simetría con recta 𝜃 =
𝜋
2
:
Se sustituye el punto 𝑟, 𝜋 − 𝜃 en
la ecuación. Después se simplifica la
Simetría con el polo:
Se sustituye el punto 𝑟, 𝜋 + 𝜃 en
la ecuación. Luego se simplifica la
ecuación no es equivalente, por lo
tanto, no tiene simetría con el polo.

𝜋
2
eje polar
Llamada espiral de Arquímedes. Es una ecuación polar
en la que el radio crece según aumenta el ángulo. Su
ecuación es de la forma 𝑟 = 𝜃.
Gráficas Polares
Ecuaciones de espiral
6

Se dibuja el ángulo 𝛼 y
luego se dibuja una línea
con la inclinación de este
ángulo.
Recta inclinada
Es una recta que pasa por el polo formando un
ángulo 𝛼 con el eje polar.
Ecuaciones de la recta
Gráficas Polares
𝜋
2
eje polar
7
𝛼
Ecuación polar
𝜃 = 𝛼

Gráficas Polares
Recta vertical
Es una recta vertical que está 𝑎 unidades a la
derecha o izquierda del polo.
Esta línea está 𝑎
unidades a la derecha del
polo si 𝑎 > 0 y está 𝑎
unidades a la izquierda
del polo si 𝑎 < 0.
𝜋
2
eje polar
Ecuación polar
𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 𝑎
𝑎
8

Esta línea está 𝑏
unidades hacia arriba del
polo si 𝑏 > 0 y está 𝑏
unidades hacia abajo del
polo si 𝑏 < 0.
Ecuación polar
𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝑏
Recta horizontal
Es una recta horizontal que está 𝑏 unidades abajo o
arriba del polo.
Gráficas Polares
𝜋
2
eje polar
𝑏
9

Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 4.
Gráficas Polares
10

Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 4.
Gráficas Polares
10
La ecuación 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 = 4 es el
modelo de la gráfica de una
recta horizontal.
Esta recta se dibuja paralela
al eje polar a 4 unidades
arriba de este.
𝜋
2
eje polar
Solución:
4

Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃 = −3.
Gráficas Polares
11

Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃 = −3.
Gráficas Polares
11
La ecuación 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 = −3 es el
recta vertical.
Esta recta se dibuja paralela
a la recta 𝜃 = 𝜋
2
a 3 unidades a
la izquierda de esta.
𝜋
2
eje polar
Solución:
3

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PrácticaBuscar el Manual de Práctica
Hacer los ejercicios de la página 1

Gráficas Polares
13
𝜋
2
eje polar
𝜋
2
eje polar
Práctica:
Dibujar las siguientes ecuaciones polares.
1. 𝜃 =
2𝜋
3
2. 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃 = −3

Ecuación polar
𝑟 = 𝑎 donde, 𝑎 > 0
Se identifica el
radio 𝑎 y se dibuja la
circunferencia.
Circunferencia con centro en el polo
Es una circunferencia con centro en el polo y radio 𝑎.
Gráficas Polares
Ecuaciones de la circunferencia
14
𝜋
2
eje polar
𝑎

Circunferencia con centro en el eje polar.
Es una circunferencia que pasa por el polo, es
tangente con la recta 𝜃 =
𝜋
2
, tiene centro en el eje polar
y radio 𝑎.
Gráficas Polares
15
𝜋
2
eje polar
2𝑎
𝑎
Se dibuja 2𝑎 y se
identifica el radio 𝑎. Luego
se dibuja la circunferencia.
Ecuación polar
𝑟 = ±2𝑎𝑐𝑜𝑠 𝜃 donde, 𝑎 > 0

Circunferencia con centro en recta 𝜃 = 𝜋
2
.
Es una circunferencia que pasa por el polo, es
tangente con el eje polar, tiene centro en la recta 𝜃 = 𝜋
2
y radio 𝑎.
Gráficas Polares
16
𝜋
2
eje polar
2𝑎
𝑎
Se dibuja 2𝑎 y se
identifica el radio 𝑎. Luego
se dibuja la circunferencia.
Ecuación polar
𝑟 = ±2𝑎𝑠𝑒𝑛 𝜃 donde, 𝑎 > 0

Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4𝑠𝑒𝑛 𝜃 .
Gráficas Polares
17

Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4𝑠𝑒𝑛 𝜃 .
Gráficas Polares
17
𝜋
2
eje polar
Solución:
2
4
La ecuación 𝑟 = 4𝑠𝑒𝑛𝜃 es el
circunferencia con centro en la
recta 𝜃 = 𝜋
2
que pasa por el polo.
Esta circunferencia tiene un
diámetro de 4 unidades y el
centro está a la mitad de los
puntos 0,0 y 4, 𝜋
2
.
Dibujar la circunferencia de radio
2 pasando por estos puntos.

Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = −4𝑐𝑜𝑠 𝜃 .
Gráficas Polares
18

Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = −4𝑐𝑜𝑠 𝜃 .
Gráficas Polares
18
𝜋
2
eje polar
Solución:
24
La ecuación 𝑟 = −4𝑐𝑜𝑠𝜃 es el
circunferencia con centro en el
eje polar que pasa por el polo.
Esta circunferencia tiene un
diámetro de 4 unidades y el
centro está a la mitad de los
puntos 0, 𝜋
2
y −4,0 .
Dibujar la circunferencia de radio
2 pasando por estos puntos.

19

Práctica:
Dibujar las siguientes ecuaciones polares.
1. 𝑟 = −5𝑠𝑒𝑛 𝜃 2. 𝑟 = 4
Gráficas Polares
𝜋
2
eje polar
𝜋
2
eje polar
20

Palabra francesa que proviene del latín “limax” y que
significa caracol (o limacon) es la gráfica de una ecuación
polar de la forma: 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑐𝑜𝑠 𝜃 o 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑠𝑒𝑛 𝜃 , donde
𝑎 > 0 y 𝑏 > 0 . Existen cuatro tipos de caracoles, que
dependen de la razón
𝒂
𝒃
.
Caracol (Limaςon)
Ecuaciones de caracoles
Gráficas Polares
21

𝒂
𝒃
.
Cardiode
𝒂
𝒃
= 𝟏
𝜋
2
eje polar
Caracol (Limaςon)
Gráficas Polares
21

𝒂
𝒃
.
Cardiode
𝒂
𝒃
= 𝟏
Caracol con un lazo
𝒂
𝒃
< 𝟏
Caracol (Limaςon)
Gráficas Polares
𝜋
2
eje polar
21

𝒂
𝒃
.
Cardiode
𝒂
𝒃
= 𝟏
Caracol con un lazo
𝒂
𝒃
< 𝟏
Caracol con hendidura 1<
𝒂
𝒃
< 𝟐
Caracol (Limaςon)
Gráficas Polares
𝜋
2
eje polar
21

𝒂
𝒃
.
Cardiode
𝒂
𝒃
= 𝟏
Caracol con un lazo
𝒂
𝒃
< 𝟏
Caracol con hendidura 1<
𝒂
𝒃
< 𝟐
Caracol convexo
𝒂
𝒃
≥ 𝟐
Caracol (Limaςon)
𝜋
2
eje polar
Gráficas Polares
21

Cardiode
Es una epicicloide con sólo un vértice, es decir, es una
curva descrita por un punto de un círculo que gira sin
deslizar sobre otro círculo fijo del mismo radio.
Gráficas Polares
𝜋
2
eje polar
𝑎, 𝜋
2
𝑎,
3𝜋
2
2𝑎,0
Se dibujan los puntos que estan en el
eje polar y la recta 𝜃 = 𝜋
2
. Luego se
dibuja la gráfica del cardiode.
Operación + cardiode hacia la derecha
Operación − cardiode hacia la izquierda
22
Ecuación polar
𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑐𝑜𝑠 𝜃 donde, 𝑎
𝑏
= 1

Cardiode
Es una epicicloide con sólo un vértice, es decir, es una
curva descrita por un punto de un círculo que gira sin
deslizar sobre otro círculo fijo del mismo radio.
Gráficas Polares
𝜋
2
eje polar𝑎, 0𝑎, 𝜋
2𝑎, 𝜋
2
Se dibujan los puntos que estan en
el eje polar y la recta 𝜃 = 𝜋
2
. Luego se
dibuja la gráfica del cardiode.
Operación + cardiode hacia arriba
Operación − cardiode hacia abajo
23
Ecuación polar
𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑠𝑒𝑛 𝜃 donde, 𝑎
𝑏
= 1

Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 2 − 2𝑐𝑜𝑠 𝜃 .
Gráficas Polares
24

Ejemplo:
Gráficas Polares
24
𝜋
2
eje polar
Solución:
La ecuación 𝑟 = 2 − 2𝑐𝑜𝑠 𝜃 es el
modelo de la gráfica de un
cardiode hacia la izquierda.
Se evalúa la función para los
ángulos 0 , 𝜋
2
, 𝜋 , 3𝜋
2
y 2𝜋 . Se
obtienen los radios 0, 2 y 4.
Dibujar el cardiode pasando por
estos puntos.
2, 𝜋
2
2, 3𝜋
2
4, 𝜋 0,0
Se localizan los puntos en el
sistema polar.

Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 2 + 2𝑠𝑒𝑛 𝜃 .
Gráficas Polares
25

Ejemplo:
Gráficas Polares
25
𝜋
2
eje polar
Solución:
La ecuación 𝑟 = 2 + 2𝑠𝑒𝑛 𝜃 es el
modelo de la gráfica de un
cardiode hacia arriba.
ángulos 0 , 𝜋
2
, 𝜋 , 3𝜋
2
y 2𝜋 . Se
Dibujar el cardiode pasando por
estos puntos.
4, 𝜋
2
0, 3𝜋
2
2, 𝜋 2,0
sistema polar.

26

Gráficas Polares
Práctica:
Graficar las siguientes ecuaciones polares.
1. 𝑟 = 3 + 3𝑐𝑜𝑠 𝜃 2. 𝑟 = 2 − 2𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝜋
2
eje polar
𝜋
2
eje polar
27

Caracol con lazo
Es un caracol hacia la derecha o izquierda que pasa por el
polo.
Gráficas Polares
𝜋
2
eje polar
𝑎 + 𝑏, 0
𝑎 − 𝑏, 𝜋
𝑎, 𝜋
2
𝑎, 3𝜋
2
2
. Luego se
dibuja la gráfica del caracol con lazo.
Operación + caracol hacia la derecha
Operación − caracol hacia la izquierda
28
Ecuación polar
𝑏
< 1
𝑎 + 𝑏, 0
𝑎 − 𝑏, 𝜋

Caracol con lazo
Es un caracol hacia arriba o abajo que pasa por el polo.
Gráficas Polares
𝜋
2
eje polar
𝑎, 0𝑎, ߨ
𝑎 + 𝑏, 𝜋
2
𝑎 − 𝑏, 3𝜋
2
29
2
. Luego se
dibuja la gráfica del caracol con lazo.
Operación + caracol hacia arriba
Operación − caracol hacia abajo
Ecuación polar
𝑏
< 1
𝑎 + 𝑏, 3𝜋
2
𝑎 − 𝑏, 𝜋
2

Ejemplo:
Gráficas Polares
30

Ejemplo:
Gráficas Polares
30
𝜋
2
eje polar
Solución:
modelo de la gráfica de un caracol
con lazo hacia la izquierda.
ángulos 0 , 𝜋
2
, 𝜋 , 3𝜋
2
y 2𝜋 . Se
obtienen los radios −1, 0, 2 y 5.
Dibujar el caracol con lazo
pasando por estos puntos.
2, 𝜋
2
2, 3𝜋
2
5, 𝜋 −1,0
sistema polar.

Ejemplo:
Gráficas Polares
31

Ejemplo:
Gráficas Polares
31
𝜋
2
eje polar
Solución:
con lazo hacia arriba.
ángulos 0 , 𝜋
2
, 𝜋 , 3𝜋
2
y 2𝜋 . Se
obtienen los radios −1, 0, 2 y 5.
Dibujar el caracol con lazo
5, 𝜋
2
−1, 3𝜋
2
2, 𝜋 2,0
sistema polar.

Buscar el Manual de Práctica
Práctica
32

Práctica:
1. 𝑟 = 1 + 3𝑐𝑜𝑠 𝜃 2. 𝑟 = 2 − 3𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝜋
2
eje polar
Gráficas Polares
𝜋
2
eje polar
33

Caracol con hendidura (sin lazo)
Es un caracol hacia la derecha o izquierda que no pasa por el
polo.
Gráficas Polares
𝜋
2
eje polar
𝑎 + 𝑏, 0
𝑎 − 𝑏, 𝜋
𝑎, 𝜋
2
𝑎, 3𝜋
2
34
2
. Luego se
dibuja la gráfica del caracol sin lazo.
Ecuación polar
𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑐𝑜𝑠 𝜃 donde, 1 < 𝑎
𝑏
< 2

Caracol con hendidura (sin lazo)
Gráficas Polares
𝜋
2
eje polar
Es un caracol hacia la arriba o abajo que no pasa por el polo.
𝑎, 0𝑎, 𝜋
𝑎 + 𝑏, 𝜋
2
𝑎 − 𝑏, 3𝜋
2
35
2
. Luego se
Ecuación polar
𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑠𝑒𝑛 𝜃 donde, 1 < 𝑎
𝑏
< 2𝑎 + 𝑏, 3𝜋
2
𝑎 − 𝑏, 𝜋
2

Ejemplo:
Gráficas Polares
36

Ejemplo:
Gráficas Polares
36
𝜋
2
eje polar
Solución:
con hendidura hacia la izquierda.
ángulos 0 , 𝜋
2
, 𝜋 , 3𝜋
2
y 2𝜋 . Se
Dibujar el caracol sin lazo
3, 𝜋
2
3, 3𝜋
2
5, 𝜋 1,0
sistema polar.

Ejemplo:
Gráficas Polares
37

Ejemplo:
Gráficas Polares
37
𝜋
2
eje polar
Solución:
con hendidura hacia arriba.
ángulos 0 , 𝜋
2
, 𝜋 , 3𝜋
2
y 2𝜋 . Se
5, 𝜋
2
1, 3𝜋
2
3, 𝜋 3,0
sistema polar.

Práctica
38

𝜋
2
eje polar
Gráficas Polares
𝜋
2
eje polar
Práctica:
1. 𝑟 = 3 + 2𝑐𝑜𝑠 𝜃 2. 𝑟 = 3 − 2𝑠𝑒𝑛 𝜃
39

Caracol convexo (sin lazo)
Es un caracol hacia la derecha o izquierda que no pasa por el
polo.
𝜋
2
eje polar
𝑎 + 𝑏, 0
𝑎 − 𝑏, 𝜋
𝑎, 𝜋
2
𝑎, 3𝜋
2
Gráficas Polares
40
2
. Luego se
Ecuación polar
𝑏
≥ 2
𝑎 + 𝑏, 𝜋 𝑎 − 𝑏, 0

Caracol convexo (sin lazo)
Es un caracol hacia arriba o abajo que no pasa por el polo.
𝜋
2
eje polar
Gráficas Polares
𝑎, 0𝑎, 𝜋
𝑎 + 𝑏, 𝜋
2
𝑎 − 𝑏, 3𝜋
2
41
2
. Luego se
Ecuación polar
𝑏
≥ 2
𝑎 − 𝑏, 𝜋
2
𝑎 + 𝑏, 3𝜋
2

Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4 + 2𝑐𝑜𝑠 𝜃 .
Gráficas Polares
42

Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4 + 2𝑐𝑜𝑠 𝜃 .
Gráficas Polares
42
𝜋
2
eje polar
Solución:
convexo hacia la derecha.
ángulos 0 , 𝜋
2
, 𝜋 , 3𝜋
2
y 2𝜋 . Se
4, 𝜋
2
4, 3𝜋
2
2, 𝜋 6,0
sistema polar.

Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 2 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃 .
Gráficas Polares
43

Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 2 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃 .
Gráficas Polares
43
𝜋
2
eje polar
Solución:
La ecuación 𝑟 = 2 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃 es el
convexo hacia abajo.
ángulos 0 , 𝜋
2
, 𝜋 , 3𝜋
2
y 2𝜋 . Se
1, 𝜋
2
3, 3𝜋
2
2, 𝜋 2,0
sistema polar.

Práctica
44

Práctica:
1. 𝑟 = 4 − 2𝑐𝑜𝑠 𝜃 2. 𝑟 = 4 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃
45
Gráficas Polares
𝜋
2
eje polar
𝜋
2
eje polar

Rosas de 𝑛 pétalos
Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar.
Gráficas Polares
Ecuaciones de rosas
𝜋
2
eje polar
Ecuación polar
𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃 donde, 𝑎 > 0
Posición del primer pétalo
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜃
dividir
𝜋
2
por 𝑛
46

Rosas de 𝑛 pétalos
Es una rosa de 𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es impar.
Gráficas Polares
Ecuaciones de rosas
Ecuación polar
dividir
𝜋
2
por 𝑛
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃
dividir 0 por 𝑛
𝜋
2
eje polar
El ángulo entre los pétalos es 2𝜋
dividido por el número de pétalos (𝑛) y
cada uno mide 𝑎 unidades.
𝑎, 0
𝑎, 2𝜋
3
−𝑎, 𝜋
3
46

Rosas de 2𝑛 pétalos
Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par.
𝜋
2
eje polar
Ecuación polar
Gráficas Polares
Ecuaciones de rosas
dividir
𝜋
2
por 𝑛
47

Rosas de 2𝑛 pétalos
Es una rosa de 2𝑛 pétalos de longitud 𝑎, si 𝑛 es par.
𝜋
2
eje polar
Ecuación polar
Gráficas Polares
Ecuaciones de rosas
dividir
𝜋
2
por 𝑛
Ecuación 𝑟 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃
dividir 0 por 𝑛
La distancia entre los pétalos es 2𝜋
entre el número de pétalos (2𝑛) y cada
uno mide 𝑎 unidades.
𝑎, 𝜋
−𝑎, 𝜋
2
𝑎, 0
−𝑎, 3𝜋
2
47

Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠 2𝜃 .
Gráficas Polares
48
Ecuaciones de rosas

Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠 2𝜃 .
Gráficas Polares
48
𝜋
2
eje polar
Solución:
La ecuación 𝑟 = 4cos(2𝜃) es el
modelo de la gráfica de una rosa
de cuatro pétalos (2𝑛) = 4 . La
posición del primer pétalo está
donde 2𝜃 = 0.
La distancia entre pétalos es 𝜋
2
, se
obtiene dividiendo 2𝜋 entre el
número de pétalos.
Dibujar la rosa con pétalos de
4 unidades de largo.
−4, 3𝜋
2
−4, 𝜋
2
4,04, 𝜋
Ecuaciones de rosas

Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 5𝑠𝑒𝑛 3𝜃 .
Gráficas Polares
49
Ecuaciones de rosas

Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟 = 5𝑠𝑒𝑛 3𝜃 .
Gráficas Polares
49
𝜋
2
eje polar
Solución:
La ecuación 𝑟 = 5sen(3𝜃) es el
modelo de la gráfica de una rosa
de tres pétalos 𝑛 = 3. La posición
del primer pétalo está donde 3𝜃 =
𝜋
2
.
La distancia entre pétalos es 2𝜋
3
,
se obtiene dividiendo 2𝜋 entre el
número de pétalos.
Dibujar la rosa con pétalos de 5
unidades de largo.
5, 𝜋
65, 5𝜋
6
5, 3𝜋
2
Ecuaciones de rosas

50

Gráficas Polares
Ecuaciones de rosas
Práctica:
1. 𝑟 = 6𝑐𝑜𝑠 5𝜃 2. 𝑟 = 4𝑠𝑒𝑛 2𝜃
𝜋
2
eje polar
𝜋
2
eje polar
51

Es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuación polar:
𝑟2 = 𝑎2 𝑠𝑒𝑛 2𝜃
𝜋
2
eje polar
𝑎, 𝜋
4
𝑎, 5𝜋
4
Nota:
La longitud de cada hoja es 𝑎. La posición depende de la ecuación polar. En
la ecuación 𝑟2
= 𝑎2
𝑐𝑜𝑠 2𝜃 está donde el cos 2𝜃 = 1.
Gráficas Polares
Ecuaciones de lemniscata
52
𝜋
2
eje polar
𝑎, 0
𝑎, 𝜋
𝑟2 = 𝑎2 𝑐𝑜𝑠 2𝜃

Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟2 = 16𝑐𝑜𝑠 2𝜃 .
Gráficas Polares
53

Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟2 = 16𝑐𝑜𝑠 2𝜃 .
Gráficas Polares
53
𝜋
2
eje polar
Solución:
Los puntos principales se obtienen
al evaluar la función para 0, 𝜋
4
y 𝜋.
Estos son ±4,0 , 0, 𝜋
4
y ±4, 𝜋 .
Dibujar la lemniscata pasando por
estos puntos.
4,04, 𝜋
La ecuación 𝑟2
= 16𝑐𝑜𝑠 2𝜃 es el
lemniscata en 𝜃 = 0 de 4 unidades
de largo.

Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟2 = 25𝑠𝑒𝑛 2𝜃 .
Gráficas Polares
54

Ejemplo:
Dibuja la gráfica de la ecuación 𝑟2 = 25𝑠𝑒𝑛 2𝜃 .
Gráficas Polares
54
𝜋
2
eje polar
Solución:
Los puntos principales se obtienen
al evaluar la función para 0, 𝜋
4
y 5𝜋
4
.
Estos son 0,0 , ±5, 𝜋
4
y ±5, 5𝜋
4
.
Dibujar la lemniscata pasando por
estos puntos.
5, 𝜋
4
5, 5𝜋
4
La ecuación 𝑟2
= 25𝑠𝑒𝑛 2𝜃 es el
lemniscata en 𝜃 = 𝜋
4
de 4 unidades
de largo.

55

Práctica:
1. 𝑟2 = 36𝑠𝑒𝑛 2𝜃 2. 𝑟2 = 25𝑐𝑜𝑠 2𝜃
𝜋
2
eje polar
𝜋
2
eje polar
Gráficas Polares
56

Comenzar
Gráficas de espiral
Gráficas de rectas
Simetría en coordenadas Polares
Gráficas de caracoles
Gráficas de circunferencias
Terminar Presentación
Coordenadas Polares
57
Gráficas de rosas

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