Aplicaciones de Integrales Definidas

1. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
APLICACIONES DE INTEGRALES DE
VELOCIDAD, ACELERACIÓN Y
DESPLAZAMIENTO
INTEGRANTES:
•LizethCisneros • Guillermo Verdezoto
•Oscar Segovia • Cristián Tibán
• Santiago Flores.
•Braulio Yumbillo

2. Se define la velocidad como la
rapidez de cambio de la
posición. Si ∆t es el tiempo
transcurrido entre A y B, la
velocidad media Vm entre estos
dos puntos será:

3. Y la velocidad instantánea es el límite de ésta razón cuando ∆t
tiende a cero, o sea,
El significado geométrico de este resultado es que en la figura a
medida que ∆t tiende a cero, B se acerca cada vez más a A y la
cuerda ∆r se aproxima más al arco ∆s, de manera que en el
límite, dr coincida con ds, y por tanto, la velocidad v es
tangente a la trayectoria.

4. Se define la aceleración como la rapidez del cambio de la
velocidad. Si ∆v es el cambio de velocidad, durante el tiempo
∆t, la aceleración media Am será
La aceleración instantánea es el límite de esta razón cuando
∆t tiende a cero, o sea

5. Las unidades para el desplazamiento, la velocidad y la
aceleración dependen de las unidades escogidas para medir
la longitud y el tiempo, como el metro, pie, milla, etc. ;
para la longitud, y el segundo, el minuto o la hora para el
tiempo.
En el Sistema Internacional tendremos:

6. Cuando el movimiento de una partícula está animado
de velocidad constante; aplicamos la ecuación e integramos
aplicando condiciones de frontera:

7. Si la partícula tiene un desplazamiento inicial
igual a cero tenemos:
Siendo las únicas ecuaciones que gobiernan cuando la
partícula está animada de velocidad constante

8. Cuando el movimiento de una partícula está animado de aceleración
constante, esta condición surge cuando un cuerpo está bajo el efecto de
fuerzas que permanecen constantes en magnitud y dirección
Integrando con los siguientes límites: cuando t = 0; velocidad inicial s 0 = 0
hasta un tiempo t con una velocidad v y una posición s tenemos:

9. Reemplazamos la ecuación e integrando tenemos:

10. La velocidad inicial v0 sale del integral porque es una constante ya que no
depende del tiempo.
A la ecuación multiplicamos y dividimos por ds y tenemos:
Tenemos:

11. Integrando esta ecuación tenemos:
Si el desplazamiento inicial s0 = 0 tenemos:

12. Las ecuaciones son válidas únicamente si la aceleración es constante.
Para cuerpos que caen desde poca altura únicamente bajo la
influencia de la gravedad, la aceleración puede suponerse constante
con valor de g = 9.8 m/s2; dirigido hacia abajo.
En cualquier movimiento que haya caída libre de cuerpos, las
ecuaciones de movimiento para la aceleración constante puede
aplicarse directamente reemplazando a por g.

13. Cuando el movimiento es rectilíneo variado, en
donde la aceleración no permanece constante
procedemos de la siguiente manera:
Si conocemos la ecuación de la partícula:
Aplicamos la ecuación e integramos la ecuación de
la aceleración aplicando las condiciones iniciales
dadas en el problema y hallamos la ecuación de la
velocidad.

14. Para hallar la ecuación de la posición
aplicamos la ecuación e integramos la
ecuación de la velocidad aplicando las
condiciones iniciales del problema y
hallamos la ecuación de la posición

15. RESUMEN
LA ACELERACIÓN ES CONSTANTE a = constante
Las ecuaciones obtenidas son

16. Ejemplo 1
El auto mostrado en la figura se mueve en línea
recta de tal manera que su velocidad para un
período corto de tiempo es definida por
pies/s, donde t es el tiempo
el cual está en segundos . Determine su posición
y aceleración cuando t = 3,00 s. Considere que
cuando t = 0. S = 0

17. Solución
POSICIÓN Para el sistema de ACELERACIÓN. Sabiendo que v
referencia considerado y sabiendo
que la velocidad es función del
= f(t), la aceleración se determina
tiempo v = f(t). La posición es: a partir de a = dv/dt
Cuando t = 3 s
Cuando t = 3 s, resulta

18. Un proyectil pequeño es disparado verticalmente hacia abajo
dentro de un medio fluido con una velocidad inicial de 60 m/s. Si
resistencia del fluido produce una desaceleración del proyectil
que es igual a donde v se mide en m/s.
Determine la velocidad v y la posición S cuatro segundos
después de que se disparó el proyectil.

19. Solución
Velocidad: Usando el sistema de POSICIÓN: Sabiendo que v = f(t),
referencia mostrado y sabiendo que a la posición se determina a
= f(v) podemos utilizar la ecuación a = partir de la ecuación v = ds/dt
dv/dt para determinar la velocidad
como función del tiempo esto es

20. Ejemplo 3
Una partícula metálica está
sujeta a la influencia de un
campo magnético tal que se
mueve verticalmente a través de
un fluido, desde la placa A hasta
la placa B, Si la partícula se
suelta desde el reposo en C
cuando S = 100 mm, y la
aceleración se mide como
donde S está en metros.
Determine; (a) la velocidad de la
partícula cuando llega a B (S =
200 mm) y (b) el tiempo
requerido para moverse de C a B

21. Solución
Debido a que a = f(S), puede El tiempo que demora en viajar
obtenerse la velocidad como la partícula de C a B se
función de la posición usando determina en la forma
vdv = a dS. Consideramos
además que v = 0 cuando S =
100 mm
La velocidad cuando S = 0,2 Cuando S = 0,2 m el tiempo es
m es

22. Ejemplo 04
Desde una ventana situada a 20
m sobre el suelo se lanza una
bola verticalmente hacia arriba
con una velocidad de 10 m/s.
Sabiendo que la bola todo el
tiempo se encuentra sometida a
un campo gravitacional que le
proporciona una aceleración g =
9,81 m/s2 hacia abajo.
Determine: (a) la velocidad y la
altura en función del tiempo, (b)
el instante en que la bola choca
con el piso y la velocidad
correspondiente

23. SOLUCIÓN
dv
= a = −9.81 m s 2
dt
v( t ) t
∫ dv = − ∫ 9.81 dt v( t ) − v0 = −9.81t
v0 0
v ( t ) = 10 m −  9.81 m  t
 2

s  s 
dy
= v = 10 − 9.81t
dt
y( t ) t
∫ dy = ∫ ( 10 − 9.81t ) dt y ( t ) − y0 = 10t − 1 9.81t 2
2
y0 0
 m  m
y ( t ) = 20 m + 10 t −  4.905 2 t 2
 s  s 

24. SOLUCIÓN
Cuando la bola alcanza su altura máxima su
velocidad es cero, entonces se tiene
m  m
v( t ) = 10 −  9.81 2  t = 0
s  s  t = 1.019 s
• Remplazando el valor del tiempo obtenido se
tiene.
 m  m
y ( t ) = 20 m +  10 t −  4.905 2 t 2
 s  s 
 m  m
y = 20 m +  10 ( 1.019 s ) −  4.905 2 ( 1.019 s ) 2
 s  s 
y = 25.1 m

25. • www.monografias.integraldefinida.com
• Libro de José Paredes (Física)
• www.wikimatemáticas.com