1. O documento apresenta apontamentos sobre álgebra linear, incluindo definições de equações e sistemas lineares, exemplos ilustrativos e classificação de sistemas de acordo com o seu conjunto de soluções. 2. Uma equação linear relaciona variáveis por meio de coeficientes e um termo independente. Um sistema linear é um conjunto de equações lineares. 3. Os sistemas podem ser classificados como possíveis ou impossíveis, e os possíveis como determinados ou indeterminados de acordo com o número de soluções.

1. Apontamentos de Álgebra Linear
Ricardo.Coutinho@math.ist.utl.pt
1
a
Aula
2013.02.15
AL
1.1
L E G M , L M A C , M E F T , M E B io m , M E C
Chama-se equação linear nas n incógnitas (ou variáveis) x1 , ..., xn a uma
equação da forma
a1 x1 + ... + an xn = d,
(1.1)
onde a1 , ..., an e d são números (reais ou complexos); a1 , ..., an , dizem-se os coeficientes da equação e d o seu segundo membro ou termo independente.
Uma vez fixada uma ordem para as incógnitas, uma lista ordenada de números
(s1 , ..., sn ) diz-se solução de da equação (1.1) se
a1 s1 + ... + an sn = d.
Exemplo 1.1 Nas variáveis x, y a equação linear x + 2y = 1 define uma recta em
R2 que passa nos pontos 0, 1 e (1, 0).
2
Exemplo 1.2 Nas variáveis x, y, z a equação linear x−y +4z = 3 define um plano
em R3 que passa no ponto (3, 0, 0) e é perpendicular ao vector (1, −1, 4) . Ou seja o
plano
{(3 + y − 4z, y, z) : y, z ∈ R} .
Um sistema de m equações lineares nas n incógnitas (ou variáveis)
x1 , ..., xn , é um conjunto ordenado de m de equações lineares:

 a11 x1 + ... + a1n xn = d1


a21 x1 + ... + a2n xn = d2
.
...



am1 x1 + ... + amn xn = dm
(1.2)
Uma lista ordenada de números (s1 , ..., sn ) é uma solução do sistema (1.2) se
essa lista for solução de cada uma das equações lineares que constituem o sistema
(considerando sempre a mesma ordem para as variáveis).
O conjunto das soluções de um sistema linear de equações é o conjunto
de todas as suas soluções. Dois sistemas de equações lineares nas mesmas n
incógnitas ordenadas são equivalentes se tiverem o mesmo conjunto de soluções
(não precisam de ter o mesmo número de equações).
Exemplo 1.3 O sistema linear
x+y =2
x−y =0
nas variáveis x, y define a intersecção das rectas x + y = 2 e x − y = 0 que é o
ponto (1, 1), e portanto, a única solução do sistema.

2. 1.2
Ricardo.Coutinho@math.ist.utl.pt
Exemplo 1.4 O sistema linear
x+y = 2
x+y = 4
nas variáveis x, y define a intersecção das rectas x + y = 2 e x + y = 4 que é o
conjunto vazio. Portanto o conjunto das soluções do sistema é o conjunto vazio.
Exemplo 1.5 O sistema linear
x+y+z = 8
x+y−z =0
nas variáveis x, y, z define a intersecção dos planos x + y + z = 8 e x + y − z = 0.
De facto o conjunto das soluções do sistema é recta definida por
S = {(4 − y, y, 4) :
y ∈ R} .
Portanto neste caso temos uma infinidade de soluções do sistema (os pontos da
recta).
Exemplo 1.6 O sistema linear
x+y = 2
x−y =0
nas variáveis x, y, z define a intersecção dos planos de R3 com equações x + y = 2
e x − y = 0. Neste caso o conjunto S das soluções representa uma recta:
S = {(1, 1, z) :
z ∈ R} .
Compare-se com o Exemplo 1.3. Qual é a diferença?
Exemplo 1.7 O sistema linear
x1 + x2 + x3 + x4 = 8
x1 + x4 = 8
nas variáveis x1 , x2 , x3 , x4 tem com o conjunto das soluções o conjunto definido
por
S = {(8 − x4 , −x3 , x3 , x4 ) : x3 , x4 ∈ R} .
Exemplo 1.8 Os sistemas
x+y = 3
x−y =1
e
x + 2y = 4
x − 2y = 0
são equivalentes porque têm o mesmo conjunto solução que é S = {(2, 1)}.

3. 1. a Aula
2013.02.15
AL
L E G M , L M A C , M E F T , M E B io m , M E C
1.3
De acordo com o seu conjunto de soluções classificamos um sistema de equações
lineares como
• Impossível se o conjunto das soluções for vazio (ou seja quando não existirem
soluções).
• Determinado se o conjunto das soluções possuir uma único elemento (uma
só solução).
• Indeterminado se o conjunto das soluções possuir mais de uma solução (caso
em que, como veremos a seguir, existem sempre infinitas soluções).
Portanto os sistemas podem ser possíveis ou impossíveis; e os sistemas possíveis
podem ser determinados ou indeterminados.
No caso de um sistema ser indeterminado vamos determinar (descrever) o conjunto das soluções identificando variáveis livres que podem tomar qualquer valor
e variáveis dependentes que são funções lineares das variáveis livres de forma a
obter todos os elementos do conjunto de soluções. Assim dando valores arbitrários
às variáveis livres e calculando o valor correspondente das variáveis dependentes
obtemos diversas soluções do sistema indeterminado.
Exemplo 1.9 O sistema linear
x+y+z =8
⇔
x+y−z =0
x+y = 4
z=4
nas variáveis x, y, z tem o conjunto das soluções
S = {(4 − y, y, 4) :
y ∈ R} ,
onde y é uma variável livre e x = 4 − y e z = 4 são dependentes.
Dando o valor y = 3, obtemos x = 1 e z = 4, concluímos (1, 3, 4) ∈ S. Ou
fazendo por exemplo y = 0, obtemos x = 4, z = 4 e (4, 0, 4) ∈ S.
Mas este mesmo conjunto S pode ser descrito na forma
S = {(x, 4 − x, 4) :
x ∈ R} ,
onde x é uma variável livre e y = 4 − x e z = 4 são dependentes.
No entanto a variável z nunca poderá ser considerada livre neste sistema.
O algoritmo de Gauss que analisaremos de seguida, indica-nos de forma única
uma escolha possível das variáveis livres e das variáveis dependentes; não sendo uma
escolha obrigatória é a escolha que seguiremos e portanto o problema de saber quais
as variáveis que podem ser consideradas livres não nos vai interessar.

4. 1.4
Ricardo.Coutinho@math.ist.utl.pt
Uma vez fixada a ordem das variáveis, toda a informação de um sistema (1.2)
a m equações e n incógnitas pode ser condensada no seguinte quadro de números
com m linhas (numeradas de cima para baixo) e n colunas (numeradas da esquerda
para a direita) que tem o nome de matriz aumentada do sistema:


a11 ... a1n d1
 a21 ... a2n d2 

.
 ...
... ...
... 
am1 ... amn dm
Exemplo 1.10 A matriz aumentada do sistema

 x2 + x3 + x4 = 1


x1 − x2 − x3 − x4 = 2
 x1 + 2x4 = 3


x1 + 5x2 − 7x4 = 4
nas variáveis x1 , x2 , x3 , x4 é

0
 1

 1
1
1
−1
0
5
1
−1
0
0
1
−1
2
−7

1
2 
.
3 
4
Exemplo 1.11 A matriz aumentada do sistema
x+y = 2
x−y =0
nas variáveis x, y, z é
1 1 0
1 −1 0
2
0
.