Este documento presenta varias historias e interacciones que muestran la presencia y utilidad de las matemáticas en la vida cotidiana, aunque a veces no nos demos cuenta. Un hombre que vende comida rápida se sorprende al escuchar que la imagen publicitaria diseñada por su hijo contiene elementos matemáticos, lo que podría indicar aptitud para las matemáticas. Anteriormente, un amigo descubre que un método para enseñar división a su hija mediante restas sucesivas, aunque creía original, ya

1. Historias y vivencias, entre lo
real y lo imaginario.
(José Acevedo Jiménez)
Que desconozcamos su uso no significa que no
sirva de nada.
En sentido general, nadie duda de la utilidad práctica que tienen las matemáticas. Sin embargo,
resulta paradójico que tantas personas piensen que una gran parte de los enunciados
matemáticos no sirven para nada. Más importante que preguntarnos para qué sirve es
preguntar: qué uso le podemos dar.

2. Hace unos meses me reuní con Javier, un viejo amigo. Hablamos de todo un poco y, por
supuesto, no podían faltar las matemáticas.
No recuerdo como dimos a parar con Pitágoras o las palabras previas a la comparación, lo que
sí recuerdo es que mi amigo dijo:
…es como el teorema de Pitágoras, no sirve para nada Creo que la símil hacía referencia a algo
que había comprado su esposa, pero la verdad no lo recuerdo.
Me parece muy mala la comparación. Aunque no lo creas el teorema de Pitágoras tiene
muchas aplicaciones. – Le dije.
Por avor exclamó incr d lo no me digas e lo vas a emplear para constr ir na escalera
que usarás para subir a un edificio de once metros de altura. ¡Vamos, seamos sinceros! Si
necesitas una escalera no usas el teorema de Pitágoras, simplemente se la pides prestada a un
vecino Argumentó.
¡Por Dios Javier! eres un programador – dije – no puedo creer que hables en serio. – Agregué.
Y, ¿qué tiene que ver la programación con Pitágoras? – preguntó – lo dije y vuelvo a repetirlo,
el teorema de Pitágoras no sirve para nada…es sólo n bonito teorema y nada más – Agregó.
En eso último tienes razón, el teorema de Pitágoras es un bonito teorema y es por esa razón
que aunque no tuviera aplicaciones prácticas no dejaría de ser interesante para los
matemáticos. Pero, lo cierto es e le podemos dar m c os sos en la vida real… e pres
antes que Javier tomara la palabra.
Entonces, puedes decirme que otros usos le darías.
… p es, p ede ser tilizado para determinar la trayectoria de na bala Tambi n se podría
emplear para guiar hasta el blanco, con precisión quirúrgica, un misil. Los celulares pueden
rastrearse por medio de un método llamado triangulación. Cuando el método es utilizado en
base a un ángulo de noventa grados es Pitágoras quien nos ayuda a rastrearlos. Los geólogos se
valen del teorema de Pitágoras para determinar el epicentro de n terremoto… como p edes
notar, le podemos dar muchos usos al teorema de Pitágoras. – Expuse – eso sin incluir las
escaleras y las sombras de los edificios. – Agregué a modo de broma.
– ¡Interesante eso de los terremotos! – expresó Javier mostrando gran interés – tengo que
investigar más sobre ese tal Pitágoras; nunca imaginé que su teorema fuera tan atrayente. –
Añadió.

3. ¡Logaritmos de Números Negativos! Posibles,
más allá de los Reales.
Las matemáticas y la ciencia en general están atadas a reglas. Si decimos que el cero puede ser
dividido por cualquier número estaremos cometiendo un error, pero, el mismo se puede
corregir de manera sencilla con tan solo excluir al cero, en otras palabras hemos dado las reglas
que le dan veracidad al enunciado.
Aunque ha pasado mucho tiempo, aún recuerdo las enseñanzas de matemáticas del profesor
Francisco. Hay muchas historias que podría contar, pero una en particular está muy viva en mis
recuerdos.
Era una tarde cálida de septiembre, y el profesor Francisco, como siempre, relataba alguna
historia relacionada con las matemáticas antes de iniciar su programa curricular. Recuerdo que
nos contó la anécdota del joven Gauss y su maestro de primaria, de como a la edad de diez
años el pequeño Gauss pudo calcular, de manera ingeniosa, la suma de los primeros cien
números naturales.
– Ha sido una entretenida historia, sin embargo debemos continuar con el programa de clases.
– Dijo el profesor Francisco ante el descontento de muchos que se quedaron con el deseo de
escuchar más historias. – Hoy vamos a ablar de los logaritmos y s s propiedades… alguien se
anima a decirme: ¿qué es un logaritmo? – concluyó el maestro con una pregunta.
– Pues, no es más que el exponente al que un número fijo, llamado base, se debe elevar para
dar un número dado. – Respondió de forma certera Susana.
– Muy bien Susana, es una buena definición. ¿Podrías repetírsela a tus compañeros para que
tomen nota? – Indicó el maestro mientras escribía algunas fórmulas relacionadas con los
logaritmos en la pizarra. – El logaritmo de un producto
es igual a la suma de los
logaritmos de los componentes.
El logaritmo de una fracción x/y es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del
denominador.

4. Si lo que tenemos es el logaritmo de una potencia, entonces, equivale a decir que es igual al
producto del exponente por el logaritmo de la base.
Observen que no hemos dado la expresión equivalente de la radicación. – Señaló el maestro –
alguien me podría decir ¿Por qué? – preguntó.
La pregunta del maestro no tardó en ser contestada y, fue entonces cuando Nelson dijo: – profe
y, ¿qué sucede si es negativo el número al que le calculamos el logaritmo?
– Eso es imposible. – Dijo Lucas – no puedes calcular el logaritmo de un número negativo. La
razón, sencilla,
por lo tanto no existen los exponentes negativos y, por
definición, tampoco existen los logaritmos de números negativos. – Concluyó.
– Profe, ¿es correcto? – preguntó Nelson.
– Pues, aunque la explicación de Lucas no estuvo mal, le faltó decir algo. – Indicó el profesor
Francisco. – Le agregaría: en el conjunto de los números reales. – Añadió, mientras escribía la
identidad:
– Entonces, ¿es posible? – preguntó Nelson.
– Si observan, Euler nos facilita la respuesta en su identidad. Por mucho tiempo los
matemáticos sospecharon que era imposible calcular el logaritmo de un número negativo,
pero, gracias a la identidad del gran matemático la duda fue finalmente despejada. En
conclusión, es posible calcular el logaritmo de un número negativo, pero, sólo en el conjunto de
los números complejos. – Indicó el maestro. – La matemática está llena de verdades. No
absolutas, sino más bien acondicionadas. – Concluyó.

5. Pasión por los Números Primos
¿Qué misterio tienen los números primos que magnetizan a matemáticos y aficionados a las
matemáticas por igual?
Podemos dar varias respuestas a la pregunta, pero lo cierto es que simplemente no nos
podemos resistir a sus encantos. Quizás se deba a que muchos de sus misterios permanecen
ocultos a nuestro saber. Incluso matemáticos de primera línea, como Euler, han sucumbido
ante tales indivisibles y, aunque parezca paradójico los misterios que ocultan los convierten en
los números preferidos de los matemáticos.
Hace unos días Raúl Esquivel, un viejo amigo de la infancia, me invitó a su casa con motivo de
las celebraciones de fin de año. Recordamos momentos vividos y hablamos de todo un poco,
incluso de matemáticas.
– ¿Recuerdas esto? – me preguntó Raúl mostrándome una especie de fórmula que había sido
grabada con tiza sobre un trozo de madera (ver imagen).
– ¡No puede ser! – expresé sorprendido – ¡claro que la recuerdo, debe tener más de cinco años
y permanece casi igual! – adicioné.
– Así es, tiene más de cinco años. Aunque no es muy eficaz y no es de lo más elegante, que
digamos. Me recuerda que quizás no son tan indomables los números primos. Llegará el día que
conoceremos todos sus secretos, el día que serán sometidos. – Expuso Raúl.
– T optimismo es inspirador A n e la “ órm la” siempre genera números primos, no estoy
seguro si es la que tanto han buscado los matemáticos. Que contenga un factorial le quita
cierto atractivo. – Le comenté.
– Eso me recuerda las ilusiones que tenía entonces. Deseaba poder encontrar una especie de
fórmula mágica generadora de números primos. ¿Recuerdas cuando te mostré el polinomio:
– Concluyó.

6. – ¡Claro! – respondí. – Recuerdo que le dabas valores enteros consecutivos, iniciando con el
cero y terminando con el 39, el resultado siempre era primo, pero, al llegar al 40 el polinomio
fallaba. La explicación nos la dio Legendre quien demostró que era imposible que alguna
función algebraica racional generara siempre números primos, anterior a Legendre, Goldbach lo
había demostrado para los polinomios cuyos coeficientes son números enteros. – Expuse.
– Sí, eso me desencantó un poco. Habría sido genial poder contar con alguna fórmula
polinómica que generara sólo números primos, pero eso simplemente es imposible. Sin
embargo, la fórmula:
mod
, cuyo autor desconozco, me da
esperanzas de que algún día podremos domar a los indomables. – Dijo Raúl esperanzado.
El Placer de Descubrir.
Alguna vez dieron con la solución de un problema matemático y pensaron que era muy original.
De seguro a muchos nos ha pasado, me incluyo entre ellos. Una sensación de satisfacción
invade nuestro ser hasta que descubrimos que alguien se nos ha adelantado y lo que creímos
haber descubierto no resulta ser tan novedoso.
− Profesor, mientras buscaba una manera más sencilla para enseñar a dividir a mi hija Giselly, di
con un método muy novedoso que permite realizar divisiones de una forma fácil. – Le dijo
Arturo a su antiguo maestro Carlos.
− ¡De verdad! – exclamó el profesor – pues me gustaría ver tal método. De ser como dices,
podríamos implementarlo en la escuela para enseñar a dividir a los estudiantes. – Agregó.
− Sí, es muy sencillo. Le va a gustar mucho, ya lo verá. – Indicó Arturo muy confiado. – Pues,
observé que la división no es más que una resta sucesiva; entonces es posible dividir 9
(dividendo) entre 3 (divisor), sólo empleando restas, de la siguiente manera: 9 – 3 = 6; 6 – 3 = 3;

7. 3 – 3 = 0. Como puede observar, la operación resta se ha realizado tres veces, hasta llegar a un
número menor que el divisor, dicho número es el residuo. El cociente es el número es la
cantidad de veces que hemos realizado la operación resta, en este caso es igual a 3. Otro
ejemplo puede ser 19 dividido entre 4, por el método de restas sucesivas obtenemos lo
siguiente: 19 – 4 = 15; 15 – 4 = 11; 11 – 4 = 7; 7 – 4 = 3. Como 3 es menor que 4, tenemos que: 4
es el cociente y 3 es el residuo. – Explicó Arturo.
− Pues está muy bien el método, pero la verdad ya lo conocía. – Indicó el profesor Carlos. – Lo
interesante es que, aunque no has sido el primero en descubrirlo, ahora sabes el placer que
provoca el descubrir; aunque sea algo modesto. – Añadió.
− Pues, tiene toda la razón. Me sentí muy bien al pensar que había descubierto algo nuevo. –
Indicó Arturo.
− Le confieso, me sentí muy atraído por el método cuando lo conocí hace algunos años.
Siempre me pregunté si era posible, mediante el método de las restas sucesivas, encontrar la
parte decimal de la división y no sólo la parte entera. – Expresó el profesor con inquietud.
− ¡Claro, es posible! – exclamó Arturo con cierta alegría. – Sólo hay que multiplicar el residuo
por diez y continuar con el proceso, veamos el caso 19 entre 4. El residuo es 3, multiplicado por
10 es igual a 30 y aplicando el método tenemos: 30 – 4 = 26; 26 – 4 = 22; 22 – 4 = 18; 18 – 4 =
14; 14 – 4 = 10; 10 – 4 = 6; 6 – 4 = 2. Como 2 < 4, paramos y contamos las veces que hemos
realizado la operación resta, en este caso 7 veces. El 7 es nuestro primer digito después del
punto decimal, es decir que tenemos 4.7; podemos seguir agregando más números, después
del punto decimal repitiendo una y otra vez el proceso. Si continuamos, tenemos que: 2 por 10
es igual a 20, entonces: 20 – 4 = 16; 16 – 4 = 12; 12 – 4 = 8; 8 – 4 = 4; 4 – 4 = 0. Como podemos
ver: 19/4 = 4.75; de esa forma hemos realizado la división sólo empleando restas. – Explicó.
− Pues eso no lo sabía y la verdad nunca lo he visto. Uno nunca sabe, a lo mejor has logrado
generalizar el método. – Indicó el profesor con una agradable sonrisa.

8. Matemáticas, más presentes de lo que
creemos.
En nuestra vida cotidiana, empleamos más de lo que creemos las matemáticas. Incluso aquellas
personas que dice odiar la ciencia de los números la emplean mucho más de lo que creen.
En cierta ocasión me dirigía a casa de un amigo para saber de su estado de salud. Por el camino,
me encontré con un señor que vendía comida rápida en un pequeño establecimiento. Sediento,
me dirigí hacia el mostrador y pedí algo para beber. Luego de sentarme y tras un momento de
quietud, pude observar la imagen publicitaria que se encontraba en la parte delantera del
negocio. – Bonita imagen. – Le dije al señor.
– Así es, llama mucho la atención. – Me dijo.
Es una imagen muy matemática. – Comenté.
¡Matemática! – expresó el buen hombre, algo sorprendido – la imagen la diseñó mi hijo, él sabe
m c o de arte…pero de matemáticas, nada de nada – Agregó.
– Pues veo matemáticas en la imagen y le aseguro que su hijo tiene buena madera para las
matemáticas.
– Ojalá fuera cierto. Mi sueño era ver a mi hijo convertido en un ingeniero o algo parecido, pero
la verdad es que él odia las matemáticas. No le va mal en la escuela, pero en matemáticas es un
desastre.
– Pues insisto, su hijo tiene talento para ser un matemático. No podría haber concebido tal obra
de no tenerlo. Note usted la recursividad que hay en la imagen; eso mi buen señor es

9. matemáticas. – Expuse.
– ¡Recursividad! – expresó el señor – no sé lo que significa, pero lo único que veo, en la imagen,
es un dibujo animado con una de nuestras bebidas en la mano.
– Y, en la bebida, ¿qué otra cosa ve?
– P es… – dijo el señor, permaneciendo en silencio por unos segundos –…veo la misma imagen
pero más pequeña.
– Y, ¿en esa imagen pequeña que hay? – Le pregunté, con la intención de convencerlo.
–…imagino e se repite la misma imagen. – Dijo después de un breve silencio. – aunque es
mucho más pequeña que las anteriores. – Agregó.
– Así es buen señor. La imagen nos crea la sensación de infinito, una cosa que se repite sin fin.
Una imagen que hace una réplica dentro de sí misma hasta formar un bucle que nunca termina,
como una fracción continua que se define en base a ella misma. – Enuncié, revelando la
igualdad:
que escribí en una servilleta (en forma de fracción continua).
– No creí posible encontrar matemáticas en la imagen publicitaria de mi propio negocio, pero
ahí están presentes aunque no las podamos ver.
Maravillas ocultas.
Cuando era niño, recuerdo mi fascinación al ver pasar un rayo de luz por un orificio. Observaba
como el círculo, que se formaba al incidir el rayo de luz sobre una superficie plana, poco a poco

10. se iba alargando hasta adoptar una forma elíptica. ¿Por qué ocurre? – me preguntaba
ignorando a Apolonio de Perga. Luego crecí y aprendí de matemáticas y secciones cónicas, pero
olvidé lo que es sentir asombro por aquellas cosas que para un adulto simplemente son
insignificantes. Olvidé que para descubrir algo nuevo debemos ser curiosos y nunca perder el
sentido del asombro. Porque en ciencias, algo que aparenta ser tan sólo una curiosidad puede
en realidad ser un gran descubrimiento.
Ya sea porque no tenemos tiempo o sencillamente porque no nos interesa, muy pocas veces
nos detenemos a observar las cosas que nos rodean. Esas cosas sencillas y simples que
esconden una gran belleza. Al crecer, perdemos esas ganas de curiosear que sentíamos de
niños y a la vez desaprovechamos la oportunidad de poder apreciar las maravillas ocultas de
nuestro mundo.