Este documento presenta varios métodos para calcular volúmenes utilizando el cálculo integral, incluyendo métodos para sólidos de revolución, regiones entre curvas, y sólidos no revolucionarios. Explica cómo descomponer volúmenes complejos en secciones transversales más simples y utiliza ejemplos numéricos para ilustrar cada método.

1. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
DEMETRIO CCESA RAYME

2. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
2
Habilidades
1.Identifica los dos tipos de regiones regulares
con respecto a los ejes coordenados.
2.Calcula área entre curvas.
3.Calcula volúmenes por el método de las
secciones transversales.
4.Calcula volúmenes por el método del disco.
5.Calcula volúmenes por el método de la arandela.

3. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
3
INTRODUCCIÓN
Al tratar de calcular el volumen de un sólido
enfrentamos el mismo problema que al tratar de
calcular un área.
Debemos usar el Cálculo Integral para llegar a una
definición exacta.
Para ello, recordaremos los volúmenes de sólidos
sencillos como cilindros y prismas.

4. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
4
A
h
Cilindro Recto
V = Ah
r
h
Cilindro circular
V = r2h
a
b
c
Paralelepípedo
Rectangular
V = abc
El volumen de un sólido cualquiera podrá
descomponerse en la suma de volúmenes de sólidos
elementales como los anteriores

5. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
5
VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
Sólido de revolución es el que se obtiene al girar una
región del plano alrededor de una recta del plano
llamada eje de revolución.

6. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
6
Diferencial de
volumen
∆xi
f(xi)
a xi b
xi
y=f(x)
f(xi)
MÉTODO DEL DISCO
   iii xxfV 
2


7. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
7
TEOREMA 1
Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y
f(x) ≥ 0 en [a, b]. El volumen del sólido obtenido al
girar alrededor del eje X la región limitada por la
curva y= f(x), las rectas x=a, x=b y el eje X es:
2
1
2
lim [ ( )]
[ ( )]
n
i i
n
i
b
a
V f x x
f x dx


  
 



8. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
8
Ejemplo 1:
Calcule el volumen del sólido generado al rotar
alrededor del eje X la región acotada por la curva
y = x2 y las rectas x = 1, x = 2, y = 0.

9. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
9
Ejemplo 2:
Calcular el volumen engendrado por una semionda de la
sinusoide y = sen x, al girar alrededor del eje OX.
.

10. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
10
TEOREMA 2
Si la región R esta limitada por la curva x = g(y),
el eje Y; y las rectas y = c, y = d, (c  d) entonces
el volumen del solido generado al girar R sobre el
eje Y, esta dado por la expresión:

11. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
11
3. Calcula el volumen del sólido que se obtiene al
girar la región R, alrededor del eje y.
 







y
xyyxR
2
0;41/, 2

12. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
12
Del ejemplo anterior se desprende lo siguiente:
   dydyygV
y
24
1
4
1
2 2
 



 

13. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
13
Ejemplo 4:
Calcule el volumen del sólido de revolución
generado al rotar alrededor del eje Y la región
limitada por la curva y + x2 – 2 = 0, x = 0, y = 0,
y = 1.
y

14. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
14
Ejemplo 5:
Calcular el volumen engendrado por la rotación del área
limitada por la parábola y2 = x y la recta x = 2, alrededor
del eje OY.
El volumen será la diferencia del
engendrado por la recta y el engendrado
por la parábola entre los extremos y = −4 e
y = 4.
Como la parábola es simétrica con
respecto al eje OX, el volumen es igual a
dos veces el volumen engendrado entre y
= 0 e y = 4.
solución

15. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
15
Ejemplo 5:

16. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
16
Método de la arandela o del anillo
Cuando la región a girar está limitada por dos
funciones f(x) y g(x) continuas en [a, b], las rectas
x=a y x=b.
Diferencial de
volumen
f(xi)
g(xi)
xi
       ii xxgxfV 
22

a bx
x
(*)
y= f(x)
y= g(x)

17. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
17
TEOREMA 3
Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] tales
que f(x) ≥ g(x) para toda x en [a, b]. El volumen
del sólido generado al rotar alrededor del eje X la
región limitada por f(x), g(x) y las rectas x=a y
x=b será:
2 2
1
2 2
lim ([ ( )] [ ( )] )
([ ( )] [ ( )] )
n
i i i
n
i
b
a
V f x g x x
f x g x dx


   
  



18. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
18
Ejemplo 6:
Calcule el volumen del sólido generado al girar
alrededor del eje X la región acotada por la
parábola y = x2 + 1 y la recta y = x + 3.

19. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
19
Ejemplo 7:
Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del
eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 2x −x2,
y = −x + 2.
SOLUCION
Puntos de intersección entre la parábola y
la recta:

20. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
20
TEOREMA 4
Sean x =f(y) y x =g(y) dos curvas continuas en [c,
d] tales que f(y) ≥ g(y) para toda y en [c, d]. El
volumen del sólido generado al rotar alrededor del
eje Y la región limitada por f(y), g(y) y las rectas
y=c e y=d será:

21. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
21
Ejemplo 5:

22. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
22
Ejemplo 8:
Calcule el volumen del sólido generado al girar
alrededor del eje Y la región limitada por las curvas
x = y2 + 1 y x = -y2 + y + 4.
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2
-1
1
2
3
x
y

23. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
23
CASOS ESPECIALES
CASO 1
Si la región R limitada por las curva y =f(x); y =g(x) tales que f(x)
≥ g(x)  x en [a,b].y las rectas x = a, x = b gira alrededor de la
recta y = c donde (g(x)  c) El volumen del sólido generado al rotar
la región R alrededor de la recta y = c será:
ba 0
c
y = c
y = f(x)
y = g(x)
Y
X

24. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
24
CASOS ESPECIALES
CASO 2
Si la región R limitada por las curva x =f(y); x =g(y) y por rectas
horizontales y = c, y = d gira alrededor de la recta vertical x = k El
volumen del sólido generado al rotar la región R alrededor de la recta
x = k será:
c
d
0
x = k
x=f(y)
x=g(y)
x
Y

25. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
25

26. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
26
Ejemplo 11:
Halle el volumen del sólido que se obtiene al
girar la región limitada por y=0, y=2x2 - x3,
alrededor del eje y.
MÉTODO DE LOS CASCARONES CILÍNDRICOS

27. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
27
Método de los cascarones cilíndricos
En algunos casos se desea calcular el volumen de
una región limitada por una función y = f(x) al
girar alrededor del eje y, para lo cual se deben
hallar los extremos locales de f(x) y despejar x en
términos de y (x=g(y)). Esto muchas veces es
muy complicado por lo que se usará otro método:
los cascarones cilíndricos.
¿Cómo escogería el
elemento diferencial
de volumen?

28. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
28
xixi
f(xi)
Diferencial de
volumen
xi xi
f(xi)
Para espesores lo suficientemente pequeños, el
volumen será igual a:
  iiii xxfxV  2

29. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
29

30. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
30
TEOREMA
Sea f una función continua en el intervalo [a, b].
Suponga que f(x) ≥ 0 para toda x en [a, b], si la
región limitada por la curva y = f(x), el eje X y las
rectas x = a y x = b gira alrededor del eje Y, el
volumen obtenido será:
 
 dxxfx
xxfxV
b
a
i
n
i
ii
x








2
2lim
1

31. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
31
Ejemplo 12:
Determine el volumen del sólido de revolución
generado al girar alrededor del eje Y la región
limitada por la curva y = 3x – x3, el eje Y y la
recta y = 2.

32. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
32
Ejemplo 13:
La región limitada por la curva y = x2, las rectas
y = 1 y x = 2 se gira alrededor de la recta y = - 3.
Calcule el volumen generado.
y = -3

33. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
33
x
xi
A(b)
A(a)
ba xi
A(xi)
El diferencial
de volumen
A(xi)
xi
Vi = A(xi) xi
Cálculo de volúmenes de sólidos que
no son de revolución

34. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
34
El volumen del sólido será aproximadamente:
1 1
Δ ( ) Δ
n n
i i i
i i
V A x x
 
 
Se define el volumen V como el límite de la suma
de Riemann






1
lim ( )Δ
( )
n
i i
n
i
b
a
V A x x
A x dx

35. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
35
Ejemplo 10: Calcular el volumen de una esfera de
radio R.
x
y
x
R
y

36. Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
36
Ejemplo 11: Utilice la definición anterior para
calcular el volumen de una pirámide de altura h y
base cuadrada de lado b.
h
b
yi