DOCUMENTO

1. CÁLCULO DE UNA VARIABLE
FORMACIÓN POR COMPETENCIAS
INTEGRAL INDEFINIDA
(INTEGRACIÓN DIRECTA Y
SUSTITUCIÓN)

2. Formación Básica Cálculo de una variable
ANTIDERIVADA E INTEGRAL
INDEFINIDA

3. Formación Básica Cálculo de una variable
Objetivos
1. Reconocer la antiderivada de funciones elementales
2.- Interpretar la integral y su relación con la derivada
3.- Aplicar el método de integración por sustitución
algebraica
4.- Aplicar la antiderivada general a problemas aplicados de
contexto real.

4. Formación Básica Cálculo de una variable
Introducción
La integración indefinida es el proceso inverso de la
derivación; así, para hallar la función original a partir de su
derivada se utiliza el operador integral,
Derivación
𝒗 = 𝒔′(𝒕)
velocidad
𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏
𝒔 = 𝒔(𝒕)
Posición

5. Formación Básica Cálculo de una variable
Planteamiento del problema
El investigador de un laboratorio estima que la
velocidad de una partícula que parte del reposo
moviéndose en línea recta, en el instante t es:
𝒗 𝒕 = 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒕 + 𝟑𝒕 𝟐
Para hallar la función posición 𝐬 = 𝒔 𝒕 de la partícula
en cualquier instante t a partir de la función velocidad
𝒗 𝒕 = 𝒔′(𝒕), es necesario efectuar la operación inversa
llamada integración.
Para ello es necesario conocer el concepto de integral
indefinida y sus reglas básicas.

6. Formación Básica Cálculo de una variable
Antiderivada (primitiva) de una función
Sea 𝒇:𝑰→𝑹 una función definida en un intervalo 𝑰
⊂𝑹. La función 𝑭 es una antiderivada (o
primitiva) de 𝒇, si para cada 𝒙∈𝑰, se cumple:
𝑭′ 𝒙 = 𝒇(𝒙)
Observación
Si 𝑭 es una antiderivada de 𝒇 en un intervalo 𝑰⊂𝑹
, entonces la antiderivada más general de 𝒇, en 𝑰
es: 𝑭 𝒙 + 𝑪
donde 𝑪 es una constante arbitraria.

7. Formación Básica Cálculo de una variable
Ejemplo
Halle las funciones que son antiderivadas de:
𝑓(𝑥)=2𝑥
𝑭 𝟏 𝒙 = 𝒙 𝟐
+ 𝟏
𝑭 𝟐 𝒙 = 𝒙 𝟐
𝑭 𝟑 𝒙 = 𝒙 𝟐
− 𝟏
𝑭 𝒙 = 𝒙 𝟐 + 𝐂, C: constante.
Algunas funciones antiderivadas de 𝑓 son:
Pues: 𝑭′ 𝟏 𝒙 = 𝟐𝒙
Pues: 𝑭′ 𝟐 𝒙 = 𝟐𝒙
Pues: 𝑭′ 𝟑 𝒙 = 𝟐𝒙
= 𝒇(𝒙)
= 𝒇(𝒙)
= 𝒇(𝒙)
Como las funciones 𝐹1, 𝐹2, 𝐹3, se diferencian en
una constante, por lo tanto la antiderivada
general de 𝑓 se escribe:

8. Formación Básica Cálculo de una variable
Representación geométrica
𝑥
𝑦
𝑭 𝟏(𝒙) = 𝒙 𝟐
+ 𝟏
𝑭 𝟐(𝒙) = 𝒙 𝟐
𝑭 𝟑(𝒙) = 𝒙 𝟐
− 𝟏
Entonces:
𝑭 𝒙 = 𝒙 𝟐
+ 𝐂,
𝑪: constante
representa:
La Antiderivada
general de 𝑓 𝑥 .

9. Formación Básica Cálculo de una variable
La integral indefinida
Sea 𝒚=𝒇(𝒙), 𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) una función real. La
integral indefinida de la función 𝒇, es su
antiderivada general en su 𝑫𝒐𝒎(𝒇) y se denota
por:
𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝐂, 𝐂: constante
Ejemplo:
𝒙 𝟒 𝒅𝒙
𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟒 Su antiderivada general es:
𝒙 𝟓
𝟓
+ 𝑪
Pues:
𝒅
𝒅𝒙
𝒙 𝟓
𝟓
+ 𝑪 = 𝒙 𝟒
Calcular la siguiente integral:
Solución:
𝒙 𝟒
𝒅𝒙 =
𝒙 𝟓
𝟓
+ 𝑪

10. Formación Básica Cálculo de una variable
OBSERVACIONES
 𝒇 𝒙 , es la función integrando y 𝒙 es la
variable de integración.
El símbolo (una s alargada) se llama
integral y la expresión 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 se denomina
la integral de 𝒇(𝒙) con respecto a 𝒙.
El diferencial de 𝒙 (𝒅𝒙) sirve para identificar
a 𝒙 como variable de integración.
La constante 𝑪, se denomina constante de
integración.

11. Formación Básica Cálculo de una variable
TEOREMA
 𝒌𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒌 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 , 𝒌 constante real.
Sean 𝒇 y 𝒈 funciones que admiten antiderivadas en
el intervalo 𝑰. Entonces se tiene

𝒅
𝒅𝒙
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 =
𝒅
𝒅𝒙
𝑭 𝒙 + 𝑪 = 𝑭′
𝒙 = 𝒇(𝒙)
Esta propiedad indica que la derivación es la operación
inversa de la integración indefinida.
 𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 ± 𝒈 𝒙 𝒅𝒙
 𝒇′
𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅(𝒇(𝒙)) = 𝒇(𝒙)
En forma similar, la integración es la operación inversa
de la derivación.

12. Formación Básica Cálculo de una variable
Ejercicios
1. En cada caso, determine la integral
indefinida, simplificando su resultado:
𝒙𝒇′
𝒙 + 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙
𝟐𝒇 𝒙 𝒇′(𝒙)
𝒙
−
𝒇 𝟐(𝒙)
𝒙 𝟐
𝒅𝒙
Solución:
a)
b)

13. Formación Básica Cálculo de una variable
Ejercicios
2. En cada caso, determine la antiderivada más
general o la integral indefinida, verifique su
respuesta mediante derivación:
𝟏
𝒙 𝟐
− 𝒙 𝟐
−
𝟏
𝟑
𝒅𝒙
𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 − 𝟑𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙) 𝒅𝒙
a)
b)
Solución:

14. Formación Básica Cálculo de una variable
Reglas básicas de integración
• Ejemplo: 𝟎 𝒅𝒖 = 𝒄; 𝒅𝒖 = 𝒖 + 𝒄
𝒌 𝒅𝒖 = 𝒌𝒖 + 𝒄; 𝒄: constante de integración
• Ejemplo: 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 =
𝒙 𝟑
𝟑
+ 𝒄
𝒖 𝒏 𝒅𝒖 =
𝒖 𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏
+ 𝒄; 𝒏 ≠ −𝟏
• Ejemplo:
𝒅𝒙
𝒙+𝟑
=
𝒅(𝒙+𝟑)
𝒙+𝟑
= 𝐥𝐧(𝒙 + 𝟑) + 𝒄
𝒅𝒖
𝒖
= 𝒍𝒏 𝒖 + 𝒄
• Ejemplo: 𝒆 𝟐𝒙
𝒅𝒙 = 𝒆 𝟐𝒙 𝟏
𝟐
𝒅(𝟐𝒙) =
𝟏
𝟐
𝒆 𝟐𝒙
𝒅 𝟐𝒙 =
𝒆 𝟐𝒙
𝟐
+ 𝒄
𝒆 𝒖 𝒅𝒖 = 𝒆 𝒖 + 𝒄
Sea 𝒖 = 𝒖 𝒙 , y además 𝑘; 𝑎 constantes; entonces:

15. Formación Básica Cálculo de una variable
Reglas básicas de integración
• Ejemplo: 𝟑 𝒙 𝒅𝒙 =
𝟑 𝒙
𝒍𝒏𝟑
+ 𝐜
𝒂 𝒖 𝒅𝒖 =
𝒂 𝒖
𝒍𝒏𝒂
+ 𝒄, 𝒂 > 𝟎 𝐲 𝒂 ≠ 𝟏 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞.
• Ejemplo: 𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙)𝒅𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙
𝟏
𝟑
𝒅 𝟑𝒙 =
𝟏
𝟑
𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙) + 𝒄
𝐜𝐨𝐬(𝒖) 𝒅𝒖 = 𝒔𝒆𝒏(𝒖) + 𝒄
• Ejemplo: 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙
𝟏
𝟒
𝒅(𝟒𝒙) = −
𝟏
𝟒
𝐜𝐨𝐬(𝟒𝒙) + 𝒄
𝒔𝒆𝒏(𝒖) 𝒅𝒖 = −𝐜𝐨𝐬(𝒖) + 𝒄
• Ejemplo: 𝒔𝒆𝒄 𝟐(𝒙 + 𝟏)𝒅𝒙 = 𝐭𝐚𝐧(𝒙 + 𝟏) + 𝒄
𝒔𝒆𝒄 𝟐(𝒖) 𝒅𝒖 = 𝐭𝐚𝐧(𝒖) + 𝒄

16. Formación Básica Cálculo de una variable
Reglas básicas de integración
• Ejemplo:
𝒅𝒙
𝒙 𝟐+𝟗
=
𝟏
𝟑
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(
𝒙
𝟑
) + 𝐜
𝒅𝒖
𝒖 𝟐 + 𝒂 𝟐
=
𝟏
𝒂
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝒖
𝒂
+ 𝒄
• Ejemplo:
𝒅𝒖
𝒙 𝟐±𝟒
= 𝒍𝒏 𝒙 + 𝒙 𝟐 ± 𝟒 + 𝒄
𝒅𝒖
𝒖 𝟐 ± 𝒂 𝟐
= 𝒍𝒏 𝒖 + 𝒖 𝟐 ± 𝒂 𝟐 + 𝒄
• Ejemplo:
𝒅𝒖
𝟗−𝒙 𝟐
= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏
𝒙
𝟑
+ 𝒄
𝒅𝒖
𝒂 𝟐 − 𝒖 𝟐
= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏
𝒖
𝒂
+ 𝒄
• Ejemplo:
𝒅𝒖
𝒙 𝟐−𝟒
=
𝟏
𝟐(𝟐)
𝒍𝒏
𝒙−𝟐
𝒙+𝟐
+ 𝒄
𝒅𝒖
𝒖 𝟐 − 𝒂 𝟐
=
𝟏
𝟐𝒂
𝒍𝒏
𝒖 − 𝒂
𝒖 + 𝒂
+ 𝒄

17. Formación Básica Cálculo de una variable
Ejemplos
1. Use la tabla de integración para calcular las
siguientes integrales:
𝒙 𝟑 − 𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝟑 𝒙 𝒅𝒙a)
Solución:
Usando:
𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 ± 𝒈 𝒙 𝒅𝒙, entonces:
= 𝒙 𝟑
𝒅𝒙 − 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒅𝒙 + 𝟑 𝒙
𝒅𝒙
=
𝒙 𝟒
𝟒
+ 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙 +
𝟑 𝒙
𝒍𝒏𝟑
+ 𝑪

18. Formación Básica Cálculo de una variable
Ejemplos
𝒆 𝒙 + 𝒙
𝒙𝒆 𝒙
𝒅𝒙b)
Solución:
=
𝒆 𝒙
𝒙𝒆 𝒙
+
𝒙
𝒙𝒆 𝒙
𝒅𝒙
=
𝒅𝒙
𝒙
+ 𝒆−𝒙
𝒅𝒙
= 𝒍𝒏 𝒙 − 𝒆−𝒙 + 𝑪
Usando:
𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 ± 𝒈 𝒙 𝒅𝒙, entonces:

19. Formación Básica Cálculo de una variable
Ejercicios
𝒆 𝟐𝐥𝐧(−𝟐𝒙+𝟓)
𝟑𝒙
𝒅𝒙
Solución:
1. Use la tabla de integración para calcular la
siguiente integral:

20. Formación Básica Cálculo de una variable
Ejercicios
3. El jefe de un laboratorio de fisicoquímica estima
que una partícula se mueve de tal forma que su
velocidad en cualquier instante 𝑡 (en segundos)
es: 𝒗 𝒕 = 𝒕 𝟑
− 𝟓𝒕 𝟐
+ 𝟔𝒕; y su posición inicial es:
𝒔 𝟎 = 𝟓. Halle la función de posición de la
partícula.
Solución:

21. Formación Básica Cálculo de una variable
MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR
SUSTITUCIÓN (CAMBIO DE
VARIABLE)

22. Formación Básica Cálculo de una variable
Objetivos
1.- Entender el teorema de sustitución en el cálculo de
integrales definidas
2.- Aplicar el método de integración por sustitución
algebraica
2.- Utiliza el método de integración por sustitución para
calcular integrales definidas.

23. Formación Básica Cálculo de una variable
Teorema
Sea 𝒇 y 𝒈 funciones reales de variable real tales
que existe 𝒇𝒐𝒈; 𝒇 es continua y 𝒈 es derivable. Si
𝑭 es una antiderivada de 𝒇, entonces:
𝒇 𝒈 𝒙 . 𝒈′ 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒈 𝒙 + 𝑪
Para aplicar esta propiedad se procede de la siguiente manera
1) Se identifica la expresión por sustituir 𝑢 = 𝑔 𝑥 y su
diferencial 𝒅𝒖 = 𝒈′ 𝒙 𝒅𝒙.
2) Se efectúa la sustitución
𝒇 𝒈 𝒙 . 𝒈′
𝒙 𝒅𝒙 = 𝒇 𝒖 𝒅𝒖
3) Se integra utilizando la fórmulas básicas de integración,
luego se expresa en términos de la variable original.

24. Formación Básica Cálculo de una variable
Ejemplos
1) Calcular la siguiente integral:
𝒙 𝟐
𝒙 𝟑 + 𝟖
𝟑
𝒅𝒙
La sustitución adecuada es:
𝒖 = 𝒙 𝟑 + 𝟖 → 𝒅𝒖 = 𝟑𝒙 𝟐 𝒅𝒙
Luego, se efectúa la sustitución y se integra
Solución:
→ 𝒅𝒖
𝟑
= 𝒙 𝟐 𝒅𝒙
𝒙 𝟐 𝒙 𝟑 + 𝟖
𝟑
𝒅𝒙 = (𝒙 𝟑 + 𝟖)
𝟏
𝟑. 𝒙 𝟐 𝒅𝒙
=
𝒖
𝟏
𝟑
𝟑
𝒅𝒖 =
𝒖
𝟒
𝟑
𝟒
+ 𝑪 =
(𝒙 𝟑 + 𝟖)
𝟒
𝟑
𝟒
+ 𝑪

25. Formación Básica Cálculo de una variable
Ejemplos
2) Calcular la siguiente integral:
𝒅𝒙
𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(𝒙)
La sustitución adecuada es:
𝒖 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏𝒙 → 𝒅𝒖 =
𝒅𝒙
𝟏−𝒙 𝟐
Luego, se efectúa la sustitución y se integra
Solución:
𝒅𝒙
𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(𝒙)
= (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥)−
1
2
𝑑𝑥
1 − 𝑥2
𝒅𝒙
𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(𝒙)
= 𝑢−
1
2 𝑑𝑢 = 2𝑢
1
2 + 𝐶
= 2(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥)
1
2+𝐶

26. Formación Básica Cálculo de una variable
Ejercicios
1) Calcular las siguientes integrales:
𝒅𝒙
𝒙( 𝒙 + 𝟏)
Solución:
a)
b)
𝒅𝒙
𝒙 (𝟔𝒍𝒏𝒙 + 𝟓)
c) 𝒆 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝒙
𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒙
d)
𝒅𝒙
𝒙 𝟐 − 𝒂 𝟐. 𝒍𝒏(𝒙 + 𝒙 𝟐 − 𝒂 𝟐)

27. Formación Básica Cálculo de una variable
Ejercicios
2) La pendiente de una curva en cualquier punto
(𝒙; 𝒚) de ella es igual a
𝟐𝒙
𝒙 𝟐+𝟏
. Si la curva pasa por
el punto 𝟎; 𝟐 , encontrar la ecuación de la curva.
Solución: