DOCUMENTO

3. EL PRODUCTO ESCALAR, TAMBIÉN CONOCIDO
COMO PRODUCTO INTERNO, INTERIOR O PUNTO
ES LA PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE OTRO.
EL PRODUCTO ESCALAR
ES UNA
MULTIPLICACIÓN ENTRE
DOS VECTORES QUE DA
COMO RESULTADO UN
ESCALAR.

5. Expresión analítica del producto escalar
Si los vectores A y B se expresan en función de sus componentes
cartesianas rectangulares, tomando la base canónica en formada
por los vectores unitarios {i , j , k} tenemos:
El producto escalar se realiza como un producto matricial de la
siguiente forma:

7. VECTORES:
(2,4) (3,-1)
METODO DE COMPONENTES:
(2,4)
= (2X3) + (4X-1)=6-4= 2
(3,-1)

8. (2,4).(3,-1)
POR FORMULA:
A.B= |A| |B| cos O°
(2X2)+(4X4) = 4 + 16 = 20 = 4.47
(3x3)+(-1x-1)= 9+1 = 10 = 3.16

9. (2,4).(3,-1)
POR FORMULA:
A.B= |A| |B| cos O°
COS o° =
(2X3) + (4X-1)
(2^2+4^4) (3^3+-1^-1)
COS o° =
(6) + (-4)
(4+16) (9+1)
COS o° =
2
20 10
= 0.1414
Arccos(0.1414)= 81.86°
82°

10. POR FORMULA:
A.B= |A| |B| cos O°
|A|= 4.47
|B|= 3.16
COS O°= 82°
AB=4.47 x 3.16 cos 82 = 1.96 = 2
METODO DE COMPONENTES:
(2,4).(3,-1)=(2X3)(4X-1)=6-4= 2

11. Producto Escalar de dos vectores: fórmula y propiedades.
El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta
al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo
que forman.

15. EN LA FIGURA OBTENGA EL PRODUCTO ESCALAR A•B DE
DOS VECTORES CUYAS MAGNITUDES SON A=4 Y B=5.
UTILIZANDO LA FORMULA
A•B= AB COS Θ
TENDREMOS QUE Θ=130°-53°=77°
Y SUSTITUIMOS: A•B= AB COS Θ =(4)(5)COS77°= 4.5
DE IGUAL MANERA SE PUEDE HACER POR EL MÉTODO DE COMPONENTES EN “X”
Y “Y”.
Ax = (4) cos 53° = 2.407 Bx = (5) cos 130° = -3.214
Ay = (4) sen 53° = 3.195 By = (5) sen 130° = 3.83
A•B= AxBx + AyBy
= (2.407)(-3.214) + (3.195)(3.830) =4.5

16. EJEMPLO
En la Figura obtenga el producto escalar a•b de dos
vectores cuyas magnitudes son u=3 y v=2.
60°210°
Utilizando la formula
u•v= uv COS Θ
Tenemos Θ=210°-60°=150°
Sustituimos u•v= uv COS Θ =
(3)(2)COS150°= -3√3
Por el método de componentes en “x” y “y”.
Ux=3(cos 60°) =3/2 Vx=2(cos 210°)= - √3
Uy=3(sen 60°)=3(√3 /2) Vy=2(sen 210°) = -1
u•v= UxVx + UyVy
=(3/2)(- √3) + (3(√3 /2)) -1
=- 3√3 /2 - 3√3 /2
= -2( 3√3 /2)
= - 3√3

17. EJEMPLO 1
A . B = AB cos Ө’’
Ө’’ = 180° - (Ө’ + Ө)
= 180° - (45° + 24°)
= 180° - 69°
= 111°
A . B = AB cos Ө’’ = (4 x 6)(cos 111°) =
(24)(-0.3583) = -8.6
Esto es negativo porque el ángulo
entre los 2 vectores esta entre 90° y
180°

18. EJEMPLO 2
A . B = AxBx + AyBy
Componente en “x” = coseno
Componente en “y” = seno
Ax = (4)(cos 24°) = (4)(0.9135) = 3.65
Bx = (7)(cos (60°+24°) = (7)(cos 84°) =
(7)(0.1045) = 0.73
Ay = (4)(sin 24°) = (4)(0.4067) = 1.62
By = (7)(sin (60°+24°) = (7)(sin 84°) =
(7)(0.9945) = 6.96
A . B = AxBx + AyBy = (3.65)(0.73) +
(1.62)(6.96) = 2.6645 + 11.2752 =
13.9397