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Matemática - Vídeo Aula Matrizes Exercícios Resolvidos
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Matemática - Vídeo Aula Matrizes Exercícios Resolvidos

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  • 1. Matrizes
  • 2. Ao final dessa aula você saberá:
    • O que é matriz e suas representações.
    • Igualdade de matrizes.
    • A definição de: matriz nula, matriz linha, matriz coluna, matriz quadrada, matriz diagonal, matriz triangular, matriz oposta, matriz identidade e matriz inversa.
    • O que é diagonal principal e diagonal secundária.
    • Soma, subtração e multiplicação de matrizes.
  • 3. O que é matriz ?
    • É uma tabela de números que pode ser
    • representada entre chaves ou entre colchetes .
    • Exemplos:
    São matrizes com 2 linhas e 3 colunas. Então dizemos que é uma matriz 2 x 3.
  • 4. Como é a representação genérica de uma matriz?
  • 5. O que é índice de um elemento?
    • É a representação da posição que o
    • elemento ocupa dentro da matriz.
    • Exemplo:
    • O 3 é o elemento a 12 , ou seja, está
    • na 1ª linha e na 2ª coluna .
  • 6. Quando duas matrizes A e B são iguais ?
    • Quando os elementos de mesmo índice são
    • correspondentes .
    • Exemplo:
  • 7. Tente fazer sozinho!
    • (PUC-MG)A matriz A = (a ij ) 2x3 é tal que:
    • É correto afirmar que:
  • 8. Solução
    • a 11 = 2.1 – 3.1 = 2 – 3 = -1
    • a 12 = 3.1 + 2 = 3+ 2 = 5
    • a 13 = 3.1 + 3 = 3 + 3 = 6
    • a 21 = 3.2 + 1 = 6 + 1 = 7
    • a 22 = 2.2 – 3.2 = 4 – 6 = -2
    • a 23 = 3.2 + 3 = 6 + 3 = 9
    • Resposta: D
  • 9. O que é matriz linha ?
    • É uma matriz formada por apenas uma linha .
    • Exemplo:
    • É uma matriz formada por apenas uma coluna .
    • Exemplo:
    O que é matriz coluna ?
  • 10. O que é matriz nula ?
    • É uma matriz que apresenta todos os
    • elementos iguais a zero .
    • Exemplos:
  • 11. O que é matriz quadrada ?
    • É a matriz que apresenta o mesmo número
    • de linhas e colunas .
    • Exemplos:
    Dizemos que a matriz A é de ordem 3 e que a matriz B é de ordem 2. Matriz 3 x 3 Matriz 2 x 2
  • 12. O que é diagonal principal ?
    • É a diagonal formada pelos elementos a ij ,
    • sendo i=j de uma matriz quadrada.
    diagonal principal diagonal secundária
  • 13. Tente fazer sozinho!
    • (Ufop-MG) Observe a matriz:
    • Chama-se traço de uma matriz a soma dos
    • elementos de sua diagonal principal. Determine
    • x e y na matriz acima de tal forma que seu
    • traço valha 9 e x seja o triplo de y.
  • 14. Solução
    • x = 3y
    • 1 + 3y + y = 9  4y = 8  y = 2
    • x = 3.2  x = 6
  • 15. O que é matriz diagonal ?
    • É a matriz quadrada na qual todos os elementos que não pertencem a diagonal principal são iguais a zero . A diagonal principal deve apresentar pelo menos um elemento diferente de zero .
    • Exemplos:
  • 16. O que é matriz triangular ?
    • É a matriz quadrada na qual os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são iguais a zero .
    • Exemplos:
  • 17. O que é matriz oposta ?
    • É a matriz cujos elementos são os opostos de uma matriz dada.
    • Exemplos:
  • 18. O que é matriz transposta ?
    • É a matriz cujas colunas são iguais às linhas de uma matriz dada.
    • Exemplo:
    Note que o número de linhas de A é o número de colunas de A t . O mesmo acontece com o número de colunas A é 3x2 e A t =2x3
  • 19. Tente fazer sozinho!
    • (UF-AM) Uma matriz quadrada é simétrica se, e
    • somente se, A t = A. Se a matriz
    • É simétrica, então o valor de é:
    • a) – 1 b) 3 c) 1 d) 4 e) 0
  • 20. Solução Resposta: letra c
  • 21. O que é matriz identidade ?
    • É a matriz quadrada que apresenta todos os elementos da diagonal principal iguais a 1 e os outros elementos iguais a zero .
    • Exemplo:
  • 22. Como somamos ou subtraímos matrizes?
    • Basta somar ou subtrair os elementos
    • correspondentes . As matrizes devem ser do mesmo tipo (m x n).
    • Exemplos:
  • 23. Como multiplicamos uma matriz por um número real ?
    • Basta multiplicar todos os elementos da
    • matriz por esse número real.
    • Exemplo:
  • 24. Como o tipo da matriz influencia na multiplicação de duas matrizes? Matriz A 4 x 3 Matriz B 3 x 2 Devem ser iguais O resultado é do tipo 4 x 2
  • 25. Como efetuamos o produto de duas matrizes ?
    • Dada uma matriz A = (a ij ) mxn e uma matriz
    • B = (b ij ) nxp , o produto é uma matriz C = (c ij ) mxp ,
    • onde o elemento c ij é calculado multiplicando
    • ordenadamente os elementos da linha i, da
    • matriz A, pelos elementos da coluna j, da
    • matriz B, e somando os produtos obtidos .
  • 26.
    • Exemplo 1 :
  • 27.
    • Exemplo 2 :
  • 28. Tente fazer sozinho!
    • 1) (Mackenzie-SP) Se o produto de matrizes
    • é a matriz nula, x + y é igual a:
    • a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
  • 29. Solução
  • 30.  
  • 31.
    • 2) (Fatec-SP) Seja a matriz , tal que
    • . É verdade que a+b é igual a:
    • a) 0
    • b) 1
    • c) 9
    • d) -1
    • e) -9
  • 32. Solução Resposta: Letra B
  • 33. O que é matriz inversa ?
    • É matriz X de ordem n, cujo produto com
    • a matriz A é igual a matriz identidade de
    • ordem n .
    • Ou seja,
    A.X = X.A = In, onde X = A -1 A matriz inversa de A É indicada por A -1 .
  • 34.
    • Exemplo:
    Logo, B = A -1
  • 35. Tente fazer sozinho!
    • (Unifor-CE) Se a matriz b( ij ) de ordem 2, é a
    • matriz inversa de , então:
    • a) b 11 = - ½
    • b) b 12 = -1
    • c) b 21 = 1
    • d) b 22 = -1
    • e) b 22 = - ½
  • 36. Solução Resposta: Letra B
  • 37. Bibliografia
    • Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática – SP. Páginas: 118 a 145.
    • Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo, Roberto; Degenszajn, David – Matemática (volume único). 4ª edição – 2007. Editora Atual – SP. Páginas: 287 a 302.
    • Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval – Curso de Matemática. 3ª edição – 2003. Editora Moderna – SP. Páginas: 283 a 308.