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Matrizes
Ao final dessa aula você saberá: <ul><li>O que é matriz e suas representações. </li></ul><ul><li>Igualdade de matrizes. </...
O que é  matriz ? <ul><li>É uma  tabela  de números que pode ser </li></ul><ul><li>representada  entre  chaves  ou entre  ...
Como é a  representação genérica  de uma matriz?
O que é  índice  de um elemento? <ul><li>É a representação da  posição  que o </li></ul><ul><li>elemento ocupa dentro da m...
Quando duas  matrizes  A e B são  iguais ?  <ul><li>Quando os elementos  de mesmo índice  são </li></ul><ul><li>correspond...
Tente fazer sozinho! <ul><li>(PUC-MG)A matriz A = (a ij ) 2x3  é tal que: </li></ul><ul><li>É correto afirmar que: </li></ul>
Solução   <ul><li>a 11  = 2.1 – 3.1 = 2 – 3 = -1 </li></ul><ul><li>a 12  = 3.1 + 2 = 3+ 2 = 5 </li></ul><ul><li>a 13  = 3....
O que é  matriz linha ? <ul><li>É uma matriz formada por  apenas uma linha . </li></ul><ul><li>Exemplo: </li></ul><ul><li>...
O que é  matriz nula ? <ul><li>É uma matriz que apresenta  todos   os </li></ul><ul><li>elementos  iguais a  zero . </li><...
O que é  matriz quadrada ? <ul><li>É a matriz que apresenta o  mesmo número </li></ul><ul><li>de  linhas e colunas . </li>...
O que é  diagonal principal ? <ul><li>É a  diagonal  formada pelos  elementos a ij , </li></ul><ul><li>sendo  i=j  de uma ...
Tente fazer sozinho! <ul><li>(Ufop-MG) Observe a matriz: </li></ul><ul><li>Chama-se traço de uma matriz a soma dos </li></...
Solução <ul><li>x = 3y </li></ul><ul><li>1 + 3y + y = 9    4y = 8    y = 2 </li></ul><ul><li>x = 3.2    x = 6 </li></ul>
O que é  matriz   diagonal ? <ul><li>É a  matriz quadrada  na qual todos os  elementos que não pertencem a diagonal princi...
O que é  matriz   triangular ? <ul><li>É a  matriz quadrada  na qual os  elementos abaixo ou acima da diagonal principal s...
O que é  matriz   oposta ? <ul><li>É a  matriz  cujos  elementos são os opostos de uma matriz dada. </li></ul><ul><li>Exem...
O que é  matriz   transposta ? <ul><li>É a  matriz  cujas  colunas  são  iguais às linhas de uma matriz dada. </li></ul><u...
Tente fazer sozinho! <ul><li>(UF-AM) Uma matriz quadrada é simétrica se, e </li></ul><ul><li>somente se, A t  = A. Se a ma...
Solução Resposta: letra c
O que é  matriz   identidade ? <ul><li>É a  matriz quadrada  que apresenta todos os elementos da  diagonal principal  igua...
Como  somamos ou subtraímos matrizes? <ul><li>Basta  somar ou subtrair  os  elementos </li></ul><ul><li>correspondentes . ...
Como  multiplicamos  uma  matriz por  um  número real ? <ul><li>Basta  multiplicar todos os elementos  da </li></ul><ul><l...
Como o  tipo  da matriz  influencia na multiplicação  de duas matrizes? Matriz A 4 x 3 Matriz B 3 x 2 Devem ser iguais O r...
Como  efetuamos  o  produto  de  duas matrizes ? <ul><li>Dada uma matriz A = (a ij ) mxn  e uma matriz </li></ul><ul><li>B...
<ul><li>Exemplo 1 : </li></ul>
<ul><li>Exemplo 2 : </li></ul>
Tente fazer sozinho! <ul><li>1) (Mackenzie-SP) Se o   produto de matrizes </li></ul><ul><li>é a matriz nula, x + y é igual...
Solução
 
<ul><li>2) (Fatec-SP) Seja a matriz  , tal que  </li></ul><ul><li>. É verdade que a+b é igual a: </li></ul><ul><li>a) 0 </...
Solução Resposta: Letra B
O que é  matriz inversa ? <ul><li>É  matriz  X de ordem n,  cujo produto com </li></ul><ul><li>a matriz A é igual a matriz...
<ul><li>Exemplo: </li></ul>Logo, B = A -1
Tente fazer sozinho! <ul><li>(Unifor-CE) Se a matriz b( ij ) de ordem 2, é a </li></ul><ul><li>matriz inversa de  , então:...
Solução Resposta:  Letra B
Bibliografia <ul><li>Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática – SP. Páginas...
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Matemática - Vídeo Aula Matrizes Exercícios Resolvidos

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Matemática - Vídeo Aula Matrizes Exercícios Resolvidos

  1. 1. Matrizes
  2. 2. Ao final dessa aula você saberá: <ul><li>O que é matriz e suas representações. </li></ul><ul><li>Igualdade de matrizes. </li></ul><ul><li>A definição de: matriz nula, matriz linha, matriz coluna, matriz quadrada, matriz diagonal, matriz triangular, matriz oposta, matriz identidade e matriz inversa. </li></ul><ul><li>O que é diagonal principal e diagonal secundária. </li></ul><ul><li>Soma, subtração e multiplicação de matrizes. </li></ul>
  3. 3. O que é matriz ? <ul><li>É uma tabela de números que pode ser </li></ul><ul><li>representada entre chaves ou entre colchetes . </li></ul><ul><li>Exemplos: </li></ul>São matrizes com 2 linhas e 3 colunas. Então dizemos que é uma matriz 2 x 3.
  4. 4. Como é a representação genérica de uma matriz?
  5. 5. O que é índice de um elemento? <ul><li>É a representação da posição que o </li></ul><ul><li>elemento ocupa dentro da matriz. </li></ul><ul><li>Exemplo: </li></ul><ul><li>O 3 é o elemento a 12 , ou seja, está </li></ul><ul><li>na 1ª linha e na 2ª coluna . </li></ul>
  6. 6. Quando duas matrizes A e B são iguais ? <ul><li>Quando os elementos de mesmo índice são </li></ul><ul><li>correspondentes . </li></ul><ul><li>Exemplo: </li></ul>
  7. 7. Tente fazer sozinho! <ul><li>(PUC-MG)A matriz A = (a ij ) 2x3 é tal que: </li></ul><ul><li>É correto afirmar que: </li></ul>
  8. 8. Solução <ul><li>a 11 = 2.1 – 3.1 = 2 – 3 = -1 </li></ul><ul><li>a 12 = 3.1 + 2 = 3+ 2 = 5 </li></ul><ul><li>a 13 = 3.1 + 3 = 3 + 3 = 6 </li></ul><ul><li>a 21 = 3.2 + 1 = 6 + 1 = 7 </li></ul><ul><li>a 22 = 2.2 – 3.2 = 4 – 6 = -2 </li></ul><ul><li>a 23 = 3.2 + 3 = 6 + 3 = 9 </li></ul><ul><li>Resposta: D </li></ul>
  9. 9. O que é matriz linha ? <ul><li>É uma matriz formada por apenas uma linha . </li></ul><ul><li>Exemplo: </li></ul><ul><li>É uma matriz formada por apenas uma coluna . </li></ul><ul><li>Exemplo: </li></ul>O que é matriz coluna ?
  10. 10. O que é matriz nula ? <ul><li>É uma matriz que apresenta todos os </li></ul><ul><li>elementos iguais a zero . </li></ul><ul><li>Exemplos: </li></ul>
  11. 11. O que é matriz quadrada ? <ul><li>É a matriz que apresenta o mesmo número </li></ul><ul><li>de linhas e colunas . </li></ul><ul><li>Exemplos: </li></ul>Dizemos que a matriz A é de ordem 3 e que a matriz B é de ordem 2. Matriz 3 x 3 Matriz 2 x 2
  12. 12. O que é diagonal principal ? <ul><li>É a diagonal formada pelos elementos a ij , </li></ul><ul><li>sendo i=j de uma matriz quadrada. </li></ul>diagonal principal diagonal secundária
  13. 13. Tente fazer sozinho! <ul><li>(Ufop-MG) Observe a matriz: </li></ul><ul><li>Chama-se traço de uma matriz a soma dos </li></ul><ul><li>elementos de sua diagonal principal. Determine </li></ul><ul><li>x e y na matriz acima de tal forma que seu </li></ul><ul><li>traço valha 9 e x seja o triplo de y. </li></ul>
  14. 14. Solução <ul><li>x = 3y </li></ul><ul><li>1 + 3y + y = 9  4y = 8  y = 2 </li></ul><ul><li>x = 3.2  x = 6 </li></ul>
  15. 15. O que é matriz diagonal ? <ul><li>É a matriz quadrada na qual todos os elementos que não pertencem a diagonal principal são iguais a zero . A diagonal principal deve apresentar pelo menos um elemento diferente de zero . </li></ul><ul><li>Exemplos: </li></ul>
  16. 16. O que é matriz triangular ? <ul><li>É a matriz quadrada na qual os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são iguais a zero . </li></ul><ul><li>Exemplos: </li></ul>
  17. 17. O que é matriz oposta ? <ul><li>É a matriz cujos elementos são os opostos de uma matriz dada. </li></ul><ul><li>Exemplos: </li></ul>
  18. 18. O que é matriz transposta ? <ul><li>É a matriz cujas colunas são iguais às linhas de uma matriz dada. </li></ul><ul><li>Exemplo: </li></ul>Note que o número de linhas de A é o número de colunas de A t . O mesmo acontece com o número de colunas A é 3x2 e A t =2x3
  19. 19. Tente fazer sozinho! <ul><li>(UF-AM) Uma matriz quadrada é simétrica se, e </li></ul><ul><li>somente se, A t = A. Se a matriz </li></ul><ul><li>É simétrica, então o valor de é: </li></ul><ul><li>a) – 1 b) 3 c) 1 d) 4 e) 0 </li></ul>
  20. 20. Solução Resposta: letra c
  21. 21. O que é matriz identidade ? <ul><li>É a matriz quadrada que apresenta todos os elementos da diagonal principal iguais a 1 e os outros elementos iguais a zero . </li></ul><ul><li>Exemplo: </li></ul>
  22. 22. Como somamos ou subtraímos matrizes? <ul><li>Basta somar ou subtrair os elementos </li></ul><ul><li>correspondentes . As matrizes devem ser do mesmo tipo (m x n). </li></ul><ul><li>Exemplos: </li></ul>
  23. 23. Como multiplicamos uma matriz por um número real ? <ul><li>Basta multiplicar todos os elementos da </li></ul><ul><li>matriz por esse número real. </li></ul><ul><li>Exemplo: </li></ul>
  24. 24. Como o tipo da matriz influencia na multiplicação de duas matrizes? Matriz A 4 x 3 Matriz B 3 x 2 Devem ser iguais O resultado é do tipo 4 x 2
  25. 25. Como efetuamos o produto de duas matrizes ? <ul><li>Dada uma matriz A = (a ij ) mxn e uma matriz </li></ul><ul><li>B = (b ij ) nxp , o produto é uma matriz C = (c ij ) mxp , </li></ul><ul><li>onde o elemento c ij é calculado multiplicando </li></ul><ul><li>ordenadamente os elementos da linha i, da </li></ul><ul><li>matriz A, pelos elementos da coluna j, da </li></ul><ul><li>matriz B, e somando os produtos obtidos . </li></ul>
  26. 26. <ul><li>Exemplo 1 : </li></ul>
  27. 27. <ul><li>Exemplo 2 : </li></ul>
  28. 28. Tente fazer sozinho! <ul><li>1) (Mackenzie-SP) Se o produto de matrizes </li></ul><ul><li>é a matriz nula, x + y é igual a: </li></ul><ul><li>a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2 </li></ul>
  29. 29. Solução
  30. 31. <ul><li>2) (Fatec-SP) Seja a matriz , tal que </li></ul><ul><li>. É verdade que a+b é igual a: </li></ul><ul><li>a) 0 </li></ul><ul><li>b) 1 </li></ul><ul><li>c) 9 </li></ul><ul><li>d) -1 </li></ul><ul><li>e) -9 </li></ul>
  31. 32. Solução Resposta: Letra B
  32. 33. O que é matriz inversa ? <ul><li>É matriz X de ordem n, cujo produto com </li></ul><ul><li>a matriz A é igual a matriz identidade de </li></ul><ul><li>ordem n . </li></ul><ul><li>Ou seja, </li></ul>A.X = X.A = In, onde X = A -1 A matriz inversa de A É indicada por A -1 .
  33. 34. <ul><li>Exemplo: </li></ul>Logo, B = A -1
  34. 35. Tente fazer sozinho! <ul><li>(Unifor-CE) Se a matriz b( ij ) de ordem 2, é a </li></ul><ul><li>matriz inversa de , então: </li></ul><ul><li>a) b 11 = - ½ </li></ul><ul><li>b) b 12 = -1 </li></ul><ul><li>c) b 21 = 1 </li></ul><ul><li>d) b 22 = -1 </li></ul><ul><li>e) b 22 = - ½ </li></ul>
  35. 36. Solução Resposta: Letra B
  36. 37. Bibliografia <ul><li>Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática – SP. Páginas: 118 a 145. </li></ul><ul><li>Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo, Roberto; Degenszajn, David – Matemática (volume único). 4ª edição – 2007. Editora Atual – SP. Páginas: 287 a 302. </li></ul><ul><li>Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval – Curso de Matemática. 3ª edição – 2003. Editora Moderna – SP. Páginas: 283 a 308. </li></ul>

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