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Fonctions exponentielles et puissances

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  • 1. CHAPITRE 6 FONCTIONS EXPONENTIELLES ET PUISSANCES 1 Introduction à la fonction exponentielle 1. Équation différentielleG On appelle équation différentielle une égalité dans laquelle figurentune fonction et ses dérivées successives. Les solutions d’une telle équationsont des fonctions.G Théorème Il existe une unique fonction non nulle, dérivable sur telle que f ′ = f et f ( 0 ) = 1, qui soit solution de l’équation différentielle f ′ = kf. Cette fonction est la fonction exponentielle notée exp.G Conséquences : ( ∀x ∈ ) exp′x = exp x exp 0 = 1On note : exp x = e x . 2. Propriétés• Propriété fonctionnelle caractéristique des fonctions exponentielles : ( ∀x ∈ ) ( ∀y ∈ ) f(x + y) = f(x) × f(y)soit exp ( x + y ) = ( exp x ) × ( exp y )ou bien e x + y = e x × e y .• Quels que soient les réels x et y : exp x 0 ⇔ e x 0 exp x ex ------------- = exp ( x – y ) ⇔ ---- = e x – y - - exp y ey 1 1 ------------- = exp ( – y ) ⇔ e –y = ---- - exp y ey n ∈ , ( exp x ) n = exp ( nx ) ⇔ ( e x ) n = e nx . 3. ConséquencesLa fonction exponentielle base e, dont la dérivée est elle-même, est stricte-ment croissante sur . Elle est continue et bijective.( ∀x ∈ ) ( ∀y ∈ ), exp x = exp y ⇔ x = y (bijection)exp x exp y ⇔ x y (stricte croissance).182
  • 2. cours savoir-faire exercices corrigés exemples d’application³ En utilisant la définition de la fonction exponentielle et la propriété caracté- 1ristique, démontrer que pour tout réel x : exp x 0 et exp ( – x ) = ------------- . - exp xcorrigé commenté • Pour montrer que exp x 0, il est nécessaire de prouver qu’il n’existe pas de réel x 0 tel que exp x 0 = 0.Supposons qu’il existe un réel x0 tel que exp x 0 = 0, alors pour tout réel x : exp x = exp ( x 0 + ( x – x 0 ) ) = exp x 0 × exp ( x – x 0 ) = 0 donc la fonction « exp »serait la fonction nulle, ce qui contredit la définition. x xPar ailleurs ( ∀x ∈ ) exp ( x ) = exp  -- + --  = exp  --  × exp  --  . x x - - - -  2 2  2  2 x 2Soit exp ( x ) =  exp --  d’où - exp x 0.  2• exp 0 = 1 ⇔ exp ( x + ( – x ) ) = 1 ⇔ exp x × exp ( – x ) = 1soit : 1 exp ( – x ) = ------------- - car exp x ≠ 0. exp x· Simplifier les écritures des nombres a et b suivants : exp ( – 3 ) × ( exp ( 3 ) ) exp ( – x ) × ( exp x ) 2 a = ---------------------------------------------------- - et b = ------------------------------------------------- . - ( exp 1 ) 2 exp xcorrigé commenté Il est souvent plus facile d’utiliser la notation e x pour expx. e –3 × e 3 e0 1 1a = ------------------- = ---- = ---- d’où a = ---- - - -. ( e1 )2 e2 e2 e2 e– x × ( ex )2b = -------------------------- = e – x × e 2x × e – x = e 0 d’où - b = 1. ex 183
  • 3. CHAPITRE 6 FONCTIONS EXPONENTIELLES ET PUISSANCES 2 Étude de la fonction exponentielle base e 1. Étude et représentation graphiqueG Lafonction exponentielle base e est continue et bijective et elle admet lafonction logarithme népérien pour fonction réciproque. ∗• x∈ et exp x = y ⇔ x = ln y avec y ∈ +d’où ln ( exp x ) = x et exp ( ln x ) = x.• lim exp x = 0 ; lim exp x = + ∞ x → –∞ x → +∞donc la droite d’équation y = 0 est asymptote à la courbe représentativede la fonction « exp ».• e ≈ 2,718. x –∞ 0 1 +∞ e B exp′ ( x ) + + + +∞ 1 e A exp exp 1 0 0 1RemarquesLa tangente en A à exp a pour équation y = x + 1 et la tangente en B a pouréquation y = ex.Les courbes représentant ln et exp sont symétriques l’une de l’autre par rapportà la droite d’équation y = x. 2. Limites remarquables et croissances comparées ex –1• lim ------------- = 1 ; exp x ≈ 1 + x dans un voisinage de zéro. - x→0 x ex lim ---- = + ∞ ; lim xe x = 0 ; - x → +∞ x x→– ∞ ex lim ----- = 0 ; avec α 0 ; x → + ∞ xα lim x α e x = 0 ; avec α 0. x→–∞ ln x• lim --------- ; avec α 0. x → + ∞ xα an• Si α 0 et a 1, lim ----- = + ∞. - nα184
  • 4. cours savoir-faire exercices corrigés exemples d’application³ Soit f et g deux fonctions telles que :f ( x ) = e ln x et g ( x ) = e ln x .1. Indiquer les ensembles de définition de f et g.2. Suivant les valeurs de x, donner une écriture de f(x) et g ( x ) sans barre devaleur absolue.corrigé commenté ∗1. La fonction « ln » est définie sur +, or x 0 et x = 0 si, et seulement si, ∗ ∗x = 0, donc Df = et D g = +.2. Si x 0, alors x = x, donc f(x) = e ln x = x. Si x 0, alors x = – x , donc f(x) = e ln ( –x ) = – x . Rappel : la fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction loga- rithme népérien.• ln x = ln x ⇔ ln x 0 ⇔ x 1. ln x = – ln x ⇔ 0 x 1, donc : si x 1, g ( x ) = e ln x = x ; 1 1 si 0 x 1, g ( x ) = e ( – ln x ) = --------- = -- . - - e ln x x e –1 x· Soit la fonction f définie sur ]0 ; + ∞[ par f ( x ) = ln  -------------- .  x Déterminer les limites de f en 0 et + ∞.corrigé commenté ex – 1Pour tout x de ]0 ; + ∞ [ , -------------- 0 donc f ( x ) existe bien. x ex – 1 ex 1 ex 1• -------------- = ---- – -- , or lim ---- = + ∞ et lim -- = 0, - - - - x x x x → +∞ x x → +∞ x ex – 1donc lim -------------- = + ∞ et lim ln X = + ∞ d’où lim f ( x ) = + ∞ . x → +∞ x X → +∞ x → +∞ ex – 1• D’après le cours, lim -------------- = 1 et lim ln X = 0 d’où lim f ( x ) = 0. x→0 x X→1 x→0 185
  • 5. CHAPITRE 6 FONCTIONS EXPONENTIELLES ET PUISSANCES 3 Autres fonctions 1. Dérivées et primitives• Soit une fonction u, définie et dérivable sur un intervalle I. ( exp ◦ u )′ = u′ × ( exp ◦ u ).• Les primitives des fonctions u′exp ( u ) sont les fonctions ( exp ◦ u ) + Cavec C ∈ . 2. Fonctions exponentielles base aG Soit a un réel strictement positif et différent de 1. La fonction logarithme ∗de base « a » est une bijection de + sur qui admet pour réciproque lafonction exponentielle de base a notée x ax . ln x Rappel : ln a ( x ) = --------- - avec a ∈ ]0 ; 1 [ ]1 ; +∞[. ln aG Propriétés• a 0 = 1 ; a 1 = a ; ( ∀x ∈ ) ( ∀y ∈ ) ax + y = ax × ay . ax• a x – y = ---- ; a nx = ( a x ) n avec n ∈ . - ay• Pour x 0 et a 0, a x = e x ln a . 0 a 1 a 1 x –∞ 0 1 +∞ a = e a +∞a 0 x ax a 1 0 e x –∞ 0 1 +∞ 1 +∞ a0 a 1 x ax 1 a 0 0 1 3. Fonctions puissancesG Pour x 0 et pour tout réel α, on appelle fonctions puissances les fonc-tions x xα . x α = e α ln x186
  • 6. cours savoir-faire exercices corrigésRemarque : on définit la fonction racine nième, noté n , comme la réciproque sur 1 -- - + de x x n avec n 2 et n ∈ . On note aussi n x = xn .G PropriétésPour α ∈ , β ∈ , x 0 et y 0:xα yα = ( xy ) α ; xα xβ = xα + β ; ( xα )β = x αβ . α 0 α 1 x 0 +∞ α = 1 x αx α – 1 – +∞ x xα 0 0 α 1 α 0 x 0 +∞ α = 0 x αx α – 1 + α 0 +∞ x xα 0 0 exemple d’application e3 4 e 5 -- - Simplifier les nombres suivants : -------------- ; (5 e)3 . 3 2 e corrigé commenté Indication : on utilise les propriétés des racines nièmes. 1 1 -- - 3 + -- - 13 2 31 e3 4 e e3 e4 e 4 ------ – -- - ------ 12 • -------------- = ------------ = ----------- = e 4 3 = e 12 = 1 - 2 - e 31 . 3 2 e -- - -- - ( e2 )3 e3 5 -- -  5 1 -- -- - - 1 -- - • ( 5 e ) 3 =  e 3 5 = e 3 = 3 e. 187
  • 7. CHAPITRE 6 FONCTIONS EXPONENTIELLES ET PUISSANCES 4 Équations différentielles du premier ordre 1. Équations différentielles du premier ordre sans second membreCe sont les équations différentielles dont le second membre est nul et quilient une fonction et sa dérivée première.Ces équations sont de type y′ – ay = 0 ⇔ y′ = ay. Les solutions sont les fonctions x Ce ax avec C ∈ .Remarque : il existe une unique solution s’il y a une condition initiale y 0 = f ( x 0 ).Cette condition permet de déterminer la constante C. 2. Équations différentielles du premier ordre avec second membreCe sont des équations différentielles dont le second membre est une fonc-tion quelconque.Pour résoudre une telle équation, on cherche une solution particulière demême forme que le second membre, puis on la résout en suivant toutes lesindications du texte. exemple d’application Soit l’équation différentielle (E) : y′ + 2y = 2x 3 – 4x + 7. 1. Déterminer un polynôme P du troisième degré solution de (E). 2. Soit (E′) l’équation différentielle sans second membre telle que y′ + 2y = 0. Résoudre l’équation (E′). 3. Démontrer qu’une fonction g est solution de (E) si, et seulement si, g – P est solution de (E′). Écrire les solutions g de (E). 1 4. Déterminer la fonction f solution de (E) telle que f ( 0 ) = – -- . - 4 corrigé commenté 1. Soit P le polynôme défini sur par : P ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d avec a ≠ 0. P est solution de (E) si, et seulement si, P′ + 2P = 2x 3 – 4x + 7. P′ ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c.188
  • 8. cours savoir-faire exercices corrigésP est solution de (E) si, et seulement si, quel que soit x de :2ax 3 + ( 3a + 2b )x 2 + ( 2b + 2c )x + c + 2d = 2x 3 – 4x + 7.Par identification des deux polynômes, quel que soit x de : a = 1 2a = 2 b = – -- 3 -  2 3a + 2b = 0  ⇔ c = – -- 1 - 2b + 2c = – 4  2 c + 2d = 7  15 d = ------  4 3 1 15d’où : P ( x ) = x 3 – -- x 2 – -- x + ------ . - - 2 2 42. (E′) : y′ + 2y = 0 ⇔ y′ = – 2 y.Les solutions de (E′) sont les fonctions : x Ce –2x avec C ∈ .3. • La fonction ( g – P ) est solution de (E′) si, et seulement si,( g – P )′ + 2 ( g – P ) = 0 soit g′ + 2g – ( P′ + 2P ) = 0 ; ( g′ + 2g ) ( x ) –  3x 2 – 3x – -- + 2x 3 – 3x 2 – x + ------ = 0 ; 1 15soit ( ∀x ∈ ) -  2 2soit ( ∀x ∈ ) ( g′ + 2g ) ( x ) = 2x 3 – 4x + 7 ce qui signifie que g est solution del’équation (E).• La fonction g – P est solution de (E′) signifie que g ( x ) – P ( x ) = Ce –2x avecC∈ soit : 3 1 15 g ( x ) = x 3 – -- x 2 – -- x + ------ + Ce –2x . - - 2 2 44. Soit f la fonction g particulière telle que 1 15 1f ( 0 ) = – -- d’où ------ + Ce 0 = – -- ⇔ C = – 4. - - 4 4 4Par suite : 3 1 15 f ( x ) = x 3 – -- x 2 – -- x + ------ – 4e –2x . - - 2 2 4 189