Matemática Computacional<br />Programação Linear<br />Aula 002<br />
Programação Linear<br />Aula 002<br />Exercícios e Solução Gráfica<br />Flávio Augusto de Freitas<br />
O problema da tomada de decisão leva em conta variáveis e as condições que “prendem” estas variáveis, às quais denominarem...
Um agricultor deseja cultivar duas variedades de cereais, digamos A e B, em uma área restrita a um hectare, sendo que cada...
Sejam x1 = quantidade de ares cultivados pelo cereal tipo A, e x2 = quantidade de ares cultivados pelo cereal tipo B.<br /...
Os únicos custos considerados nesse modelo são os de pagamento de mão-de-obra.<br />A mão-de-obra de cultivo do cereal A s...
Tomando-se agora o lucro Z = Receitas – Custos, tem-se Z = 1200x1 + 1200x2 - (600x1 + 400x2), ou Z = 600x1 + 800x2.<br />A...
Já o consumo de homens-hora mede-se por 3x1 para o cultivo do cereal tipo A, pois cada are cultivado por cereal A precisa ...
A quantidade total de sacas do cereal tipo A é de 8x1, pois cada are produz 8 sacas.<br />Essa quantidade produzida será n...
O modelo matemático completo para esse problema traduz-se por:<br />Max Z = 600x1 + 800x2<br />sujeito a<br /> x1 +   x2 ≤...
Exemplo Numérico – Solução Gráfica<br />x2<br />x1 ≤ 60<br />120<br />Solução encontrada!!!<br />x1 = 20 e x2 = 80<br />10...
Uma empresa pode fabricar, com uma máquina trabalhando 45 horas por semana, três artigos diferentes: P1, P2 e P3.<br />O a...
Uma empresa pode fabricar, com uma máquina trabalhando 45 horas por semana, três artigos diferentes: P1, P2 e P3.<br />O a...
Uma metalúrgica deseja maximizar sua receita bruta. A Tabela 1 ilustra a proporção de cada material na mistura para a obte...
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Flávio Augusto de Freitas<br />http://sites.google.com/site/flavioifetrp<br />flaviocefetrp@gmail.com<br />
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Matemática computacional aula 002

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2ª aula de matemática computacional (pesquisa operacional)

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  • olááá!?!?
    Belezinha ?! É beeem grande essa resolução. Mas, se formos fazer análise lógica - sem cálculos - qual seria?! srsrsrs...
    De qualquer forma, valeu aí... tava precisando de um norte para essa resolução, mas mesmo assim, achei muito complexa... por isso que eu questionei no início se não há uma resolução lógica... até mesmo com regra de três simples... (?)
    Até !
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Matemática computacional aula 002

  1. 1. Matemática Computacional<br />Programação Linear<br />Aula 002<br />
  2. 2. Programação Linear<br />Aula 002<br />Exercícios e Solução Gráfica<br />Flávio Augusto de Freitas<br />
  3. 3. O problema da tomada de decisão leva em conta variáveis e as condições que “prendem” estas variáveis, às quais denominaremos restrições.<br />Há problemas que envolvem milhares de restrições e variáveis.<br />Geralmente, uma decisão está ligada a certo objeto: minimizar os custos de produção, maximizar os lucros, melhorar as condições de vida de uma população etc.<br />Discussão Geral<br />
  4. 4. Um agricultor deseja cultivar duas variedades de cereais, digamos A e B, em uma área restrita a um hectare, sendo que cada are cultivado pelo cereal A produz 8 sacas, enquanto cada are cultivado pelo cereal B produz 10 sacas. Para o plantio, cada are cultivado de cereal tipo A precisa de 3 homens-hora (Hh), sendo que se dispõe de até 240 Hh de trabalho para o cultivo. O custo da mão-de-obra é de 200 R$/Hh. A demanda máxima é limitada pelo mercado consumidor a 480 sacas de cereal tipo A, vendido a 150 R$/saca, e 800 sacas de cereal tipo B, vendido a 120 R$/saca. O agricultor deseja planejar sua produção de forma a maximizar o lucro.<br />Exemplo Numérico <br />
  5. 5. Sejam x1 = quantidade de ares cultivados pelo cereal tipo A, e x2 = quantidade de ares cultivados pelo cereal tipo B.<br />Passemos agora à formulação da função objetivo: maximizar o lucro.<br />Lucro = Receitas – Custos<br />Receita cereal A é igual a<br />8 sacas/are x x1 ares x 150 R$/saca = R$ 1200x1<br />Receita cereal B é igual a<br />10 sacas/are x x2 ares x 120 R$/saca = R$ 1200x2<br />Receitas = 1200x1 + 1200x2<br />Exemplo Numérico - Modelagem<br />
  6. 6. Os únicos custos considerados nesse modelo são os de pagamento de mão-de-obra.<br />A mão-de-obra de cultivo do cereal A será 3 Hh/are x x1 ares = 3x1Hh.<br />Esse trabalho é remunerado a 200 R$/Hh = R$ 600x1, para o cereal A.<br />Para o cereal B, 2x2Hh x 200 R$/Hh = R$ 400x2. Assim,<br />Custos = 600x1 + 400x2<br />Exemplo Numérico - Modelagem<br />
  7. 7. Tomando-se agora o lucro Z = Receitas – Custos, tem-se Z = 1200x1 + 1200x2 - (600x1 + 400x2), ou Z = 600x1 + 800x2.<br />Agora serão formadas as restrições.<br />Um hectare de terra disponível para o cultivo corresponde a 100 ares. Assim, a área cultivada pelo cereal tipo A mais a área cultivada pelo cereal tipo B devem ocupar parte ou toda essa área de 100 ares, o que se traduz por meio da restrição x1 + x2 ≤ 100.<br />Exemplo Numérico - Modelagem<br />
  8. 8. Já o consumo de homens-hora mede-se por 3x1 para o cultivo do cereal tipo A, pois cada are cultivado por cereal A precisa de 3 homens-hora.<br />O cultivo de cereal tipo B necessita ao todo de 2x2 homens-hora.<br />O consumo total será a soma dessas quantias e não poderá exceder a 240. Assim, 3x1 + 2x2 ≤ 240.<br />Exemplo Numérico - Modelagem<br />
  9. 9. A quantidade total de sacas do cereal tipo A é de 8x1, pois cada are produz 8 sacas.<br />Essa quantidade produzida será não superior à demanda máxima do mercado consumidor, e assim 8x1 ≤ 480, ou, o que é o mesmo, x1 ≤ 60.<br />Para a demanda máxima do cereal tipo B, teremos 10x2 ≤ 800, ou x2 ≤ 80.<br />Além do mais, essas quantidades não podem assumir valores negativos, pois não há nenhum sentido nisso.<br />Exemplo Numérico - Modelagem<br />
  10. 10. O modelo matemático completo para esse problema traduz-se por:<br />Max Z = 600x1 + 800x2<br />sujeito a<br /> x1 + x2 ≤ 100<br />3x1 + 2x2 ≤ 240<br /> x1 ≤ 60<br /> x2 ≤ 80<br /> x1 ≥ 0<br /> x2 ≥ 0<br />Exemplo Numérico - Modelagem<br />
  11. 11. Exemplo Numérico – Solução Gráfica<br />x2<br />x1 ≤ 60<br />120<br />Solução encontrada!!!<br />x1 = 20 e x2 = 80<br />100<br />x2 ≤ 80<br />80<br />Z = 600x1 + 800x2<br />Max Z = 600x1 + 800x2<br />sujeito a<br />x1 ≥ 0<br />x2 ≥ 0<br />x1 ≤ 60<br />x2 ≤ 80<br />x1 + x2 ≤ 100<br />3x1 + 2x2 ≤ 240<br />x1 + x2 ≤ 100<br />∇Z<br />0<br />60<br />100<br />80<br />x1<br />3x1 + 2x2 ≤ 240<br />
  12. 12. Uma empresa pode fabricar, com uma máquina trabalhando 45 horas por semana, três artigos diferentes: P1, P2 e P3.<br />O artigo P1 dá um lucro líquido de R$ 4, o artigo P2 de R$ 12 e o artigo P3 de R$ 3.<br />Os rendimentos da máquina são, respectivamente, para os três produtos, 50, 25 e 75 artigos por hora.<br />Um estudo de mercado mostrou que as possibilidades de venda não ultrapassam 100 objetos P1, 500 objetos P2 e 1500 objetos P3, por semana.<br />Pede-se que se reparta a capacidade de produção entre os três produtos, de maneira que se maximize o lucro líquido total.<br />Exercício 1 <br />
  13. 13. Uma empresa pode fabricar, com uma máquina trabalhando 45 horas por semana, três artigos diferentes: P1, P2 e P3.<br />O artigo P1 dá um lucro líquido de R$ 4, o artigo P2 de R$ 12 e o artigo P3 de R$ 3.<br />Os rendimentos da máquina são, respectivamente, para os três produtos, 50, 25 e 75 artigos por hora.<br />Um estudo de mercado mostrou que as possibilidades de venda não ultrapassam 100 objetos P1, 500 objetos P2 e 1500 objetos P3, por semana.<br />Pede-se que se reparta a capacidade de produção entre os três produtos, de maneira que se maximize o lucro líquido total.<br />Exercício 1  - Modelagem<br />x1, x2, x3 = horas de máquina<br />x1 + x2 + x3 ≤ 45<br />50x1 ≤ 100 ⇒ x1 ≤ 2<br />25x2 ≤ 500 ⇒ x2 ≤ 20<br />75x3 ≤ 1500 ⇒ x3 ≤ 20<br />Z = 50x1.4 + 25x2.12 + 75x3.3<br />Z = 200x1 + 300x2 + 225x3<br />Max Z = 200x1 + 300x2 + 225x3<br />Sujeito a<br />x1 + x2 + x3 ≤ 45<br />x1 ≤ 2<br />x2 ≤ 20<br />x3 ≤ 20<br />x1 ≥ 0<br />x2 ≥ 0<br />x3 ≥ 0<br />
  14. 14. Uma metalúrgica deseja maximizar sua receita bruta. A Tabela 1 ilustra a proporção de cada material na mistura para a obtenção das ligas passíveis de fabricação. O preço está cotado em R$/tonelada da liga fabricada. Também em toneladas estão expressas as restrições de disponibilidade de matéria-prima. Formule o modelo de Programação Matemática.<br />Exercício 2 <br />Tabela 1: Restrições/custos<br />
  15. 15. ?<br />
  16. 16. Flávio Augusto de Freitas<br />http://sites.google.com/site/flavioifetrp<br />flaviocefetrp@gmail.com<br />
  17. 17. FIM<br />

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