Triangulaciones irreducibles en el toro perforado (ponencia)

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  • Prof. Lawrencenko lies: this work has been presented at VIII EAMD (VIII Encuentros Andaluces de Matemática Discreta) as a joint work and it has been exposed by M.J. Chaves (http://congreso.us.es/viiieamd/fichsaux/Ponencias_VIIIEAMD.pdf) in Seville at October 2013 http://www.rsme.es/component/option,com_extcalendar/Itemid,99999999/extmode,view/extid,1889/ . I have the emails from Dr. Lawrencenko where he agree with the presentation of this work. I have also a lot of emails with Dr. Lawrencenko (about 700+) where I send him the computer code and the results of programation.
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Triangulaciones irreducibles en el toro perforado (ponencia)

  1. 1. Triangulaciones irreducibles en superficies 1-perforadas M.J. Ch´veza , S. Lawrencenkoa , J.R. Portilloa , M.T. Villarc a (a) Departamento de Matem´tica Aplicada 1, Universidad de Sevilla. a E-mail: {mjchavez,josera}@us.es (b) Russian State University de Tourism y Service, Lyubertsy, Moscow Region, Russia. E-mail: lawrencenko@hotmail.com (c) Departamento de Geometr´a y Topolog´a, Universidad de Sevilla. ı ı E-mail: villar@us.es Resumen. Una triangulaci´n de una superficie es irreducible si no contiene aristas o tales que su contracci´n produzca otra triangulaci´n de la superficie. En este trabajo o o presentamos un algoritmo que construye el conjunto de triangulaciones irreducibles de cualquier superficie con exactamente una componente en el borde. Palabras clave. Triangulaci´n irreducible, superficie perforada, algoritmo. o ´ Introduccion y terminolog´ ıa Fijamos nuestra atenci´n en los siguientes objetos: o • S es una superficie cerrada. Ora la superficie orientable Sg de g´nero g, e ora la superficie cerrada no orientable Nk de g´nero no orientable k. En e particular, S0 es la esfera, S1 el toro, N1 el plano proyectivo y N2 la botella de Klein. • S − D es S menos el disco abierto D (el agujero). Estas superficies compactas se denominan 1-perforadas. Asumimos que el borde ∂S de S (que es tambi´n ∂D) es homoeomorfo a una circunferencia. e Usamos la notaci´n Σ para representar superficies en cualquiera de los dos casos o anteriores, o sea, Σ ∈ {S, S − D}. Si un grafo (finito, no dirigido, simple) G es una inmersi´n 2-celular en Σ, a o las componentes de Σ − G se les llaman caras. Una triangulaci´n de Σ mediante o un grafo G es una inmersi´n 2-celular T : G → Σ en la cual cada cara est´ o a acotada por un 3-ciclo (i.e., un ciclo de longitud 3) de G y cualesquiera dos caras son disjuntas o comparten un unico v´rtice o comparten una unica arista. ´ e ´
  2. 2. 124 Triangulaciones irreducibles en superficies 1-perforadas Denotamos por V = V (T ), E = E(T ) y F = F (T ) a los conjuntos de v´rtices, e aristas y caras de T , respectivamente. Del mismo modo, la triangulaci´n T de o una superficie cerrada se puede definir como un hipergrafo de rango 3 (un 3grafo) cuyo conjunto de v´rtices es V (T ) y sus hiperaristas es la colecci´n F (T ) e o de tripletas de V (T ) (llamadas 3-aristas o tri´ngulos de T ) (v´ase [4]). Para las a e superficies perforadas el conjunto de hiperaristas est´ constituido por las 2-aristas a ∂(T ) de pares de v´rtices que constituyen las aristas del borde del agujero y las e 3-aristas F (T ) de tripletas de v´rtices que son los tri´ngulos. e a Denotamos G(T ) al grafo (V (T ), E(T )) de la triangulaci´n T . Dos triangulao ∼ T2 ), si existe una biyecci´n α : V (T1 ) → V (T2 ) ciones T1 y T2 son isomorfas, (T1 = o tal que uvw ∈ F (T1 ) si y s´lo si α(u)α(v)α(w) ∈ F (T2 ). En este trabajo consio deraremos que triangulaciones isomorfas son la misma triangulaci´n. o En el caso Σ = S − D, denotaremos por ∂T (que es tambi´n ∂D) al ciclo e borde de T . Los v´rtices y aristas de ∂T se llaman v´rtices-borde y aristas-borde e e de T , respectivamente. Una triangulaci´n de una superficie perforada es irreducible si ninguna arista o puede ser contra´ sin producir aristas m´ltiples o sin cambiar el tipo topol´gico ıda u o de la superficie. Este t´rmino ser´ definido de forma m´s precisa en la secci´n 1. e a a o Las triangulaciones irreducibles de Σ forman una base de la familia de todas las triangulaciones de Σ, en el sentido de que cualquier triangulaci´n de Σ se puede o obtener a partir de un miembro de la base aplicando la operaci´n explosi´n, o o (definida as´ ımismo en la secci´n 1) un n´mero finito de veces. Poseer esta base o u es, por tanto, muy util en aplicaciones pr´cticas de generaci´n de triangulaciones ´ a o (vid. [6] y [19]). Es conocido que para cada superficie Σ la base de triangulaciones irreducibles es finita (el caso de superficies cerradas est´ probado en [2], [13], [12] y [7] y el a caso de superficies con borde en [3]). En la actualidad, tales bases s´lamente se conocen para siete superficies cero radas y dos superficies 1-perforadas: la esfera ([14]), el plano proyectivo ([1]), el toro ([8]), la botella de Klein ([9] y [15]), S2 , N3 , y N4 ([16, 17]), el disco y la banda de M¨bius ([5]). o En este trabajo presentamos un algoritmo dise˜ado como aplicaci´n de ren o cientes avances en el estudio de triangulaciones irreducibles de superficies 1perforadas [5]. Espec´ ıficamente, los lemas 1-3 de la secci´n 1 son el soporte o te´rico del citado algoritmo. Como ejemplo de las aplicaciones del mismo, se han o determinado todos los tipos combinatorios no isomorfos de triangulaciones del toro 1-perforado: existen exactamente 293 tipos.
  3. 3. M.J. Ch´vez, S. Lawrencenko, J.R. Portillo, M.T. Villar a 1 125 Resultados previos Sea T una triangulaci´n de Σ. Un par no ordenado de distintas aristas vu o y vw de T adyacentes en el mismo v´rtice v se denomina una esquina de T en e el v´rtice v y se denota como u, v, w (= w, v, u ). La explosi´n de una esquina e o u, v, w se denota sp u, v, w y es la operaci´n que consiste en cortar T en las o aristas vu y vw y cerrar el agujero resultante con dos nuevas caras triangulares, v ′ v ′′ u y v ′ v ′′ w, d´nde v ′ y v ′′ denotan dos im´genes del v´rtice v que aparecen o a e como resultado del corte. Bajo esta operaci´n, el v´rtice v se convierte en la o e arista v ′ v ′′ y las dos nuevas caras que tienen esta arista en com´n se insertan en u la triangulaci´n. Por lo tanto, el orden del grafo se incrementa en una unidad y o el tama˜o en tres. n Si una esquina u, v, w se compone de dos aristas vu y vw con el v´rtice v en e com´n, sp u, v, w equivale a la subdivisi´n estelar de la cara uvw. u o Especialmente en el caso {Σ = S − D, uv ∈ E(T ), y v ∈ V (T )}, la operaci´n o de explosi´n de una esquina truncada u, v], sp u, v], produce una cara triangular o simple uv ′ v ′′ , d´nde v ′ v ′′ ∈ E(∂(sp u, v](T ))). o Bajo la operaci´n inversa, contraer la arista v ′ v ′′ (denotado como sh v ′ v ′′ ) o la arista colapsa a un unico v´rtice v y las caras v ′ v ′′ u y v ′ v ′′ w colapsan en las ´ e aristas vu y vw, respectivamente. En este caso, sp u, v, w ◦ sh v ′ v ′′ (T ) = T . Debe hacerse notar que en el caso {Σ = S − D, v ′ v ′′ ∈ E(∂T )}, hay s´lo una o cara incidente con v ′ v ′′ y esta unica cara colapsa a una arista mediante sh v ′ v ′′ . ´ Obviamente, la operaci´n explosi´n no cambia el tipo topol´gico de Σ if Σ ∈ o o o {S, S − D}. Observemos que la operaci´n contraer debe preservar tambi´n el o e tipo topol´gico de Σ; m´s a´n, aristas m´ltiples no pueden ser creadas en una o a u u triangulaci´n. Un 3-ciclo de T se llama no-cara si no acota ninguna cara de T . En o el caso que una arista e ∈ E(T ) aparezca en alg´n 3-ciclo no-cara y si insistimos u en contraer e, es posible que se produzcan aristas m´ltiples, que expulsar´n a u a sh e (T ) de la clase de triangulaciones. Una arista e se denomina contr´ctil o a cable si sh e (T ) sigue siendo triangulaci´n de Σ; en otro caso la arista se llama o no contr´ctil o barra. El subgrafo de G(T ) formado por los cables de G(T ) se a llama el subgrafo de cables de G(T ). Los impedimentos para contraer una arista en una triangulaci´n T de una o superficie perforada S − D fueron identificados en [2, 3, 1, 8]; una arista e ∈ E(T ) es una barra si y s´lo si e satisface una de las siguientes condiciones: o (1) e pertenece a un 3-ciclo no-cara de G(T ). En particular, e es una aristaborde en el caso de que el ciclo borde sea un 3-ciclo. (2) e es una cuerda de D -i.e., los v´rtices de e pertenecen a V (∂D) pero e e ∈ E(∂D). / A partir de ahora, asumiremos que S = S0 y asumiremos que por “3-ciclo
  4. 4. 126 Triangulaciones irreducibles en superficies 1-perforadas no-cara” entendemos un 3-ciclo no homot´picamente nulo siempre que nos refio ramos a las condiciones (1) y (2). Entonces, una arista e ser´ una barra cuando a e pertenezca a alg´n 3-ciclo no homot´picamente nulo, y e ser´ un cable en u o a cualquier otro caso. En particular, las aristas-borde de caras subdivididas estelarmente ser´n consideradas cables a menos que que pertenezcan a 3-ciclos no a homot´picamente nulos. El inter´s de este acuerdo es que una vez que una barra o e deviene cable en el curso de alguna secuencia de explosiones, seguir´ siendo un a cable bajo subsiguientes explosiones. Diremos que una triangulaci´n es irreducible si no tiene cables o, lo que es lo o mismo, si cada arista es una barra. Por ejemplo, un unico tri´ngulo es la unica ´ a ´ triangulaci´n irreducible del disco S0 − D. o Sea T una triangulaci´n irreducible de una superficie perforada S − D donde o S = S0 . Cerremos ahora el agujero de T restaurando el disco D a˜adiendo un n v´rtice p en D y uniendo p con todos los v´rtices de ∂D. De esta manera obtene e emos una triangulaci´n, T ∗ , de la superficie cerrada S. En estas circunstancias o llamaremos a D el parche, p ser´ el v´rtice central del parche y diremos que T se a e obtiene de la correspondiente triangulaci´n T ∗ de S mediante eliminar parche. o N´tese que T ∗ puede ser una triangulaci´n irreducible de S pero no tiene que o o serlo necesariamente. Utilizando que hemos asumido la irreducibilidad de T y el hecho de que cada cable de T ∗ no puede satisfacer la condici´n (1) (en el sentido o de no nulidad homot´pica fuerte), se puede ver f´cilmente que en el caso que o a T ∗ no sea irreducible, todos los cables de T ∗ tienen que estar completamente en D ∪ ∂D y, m´s a´n, no hay cables que est´n completamente en ∂D cuando la a u e longitud del ciclo borde ∂D sea mayor o igual que 4. En particular, observamos que cada cuerda de D (si existen) es una barra de T porque verifican la condici´n o (2), y es tambi´n una barra de T porque cumple la condici´n (1). A continuaci´n e o o presentamos un lema para el cual necesitamos algunas definiciones: Un v´rtice de una triangulaci´n R de S se denomina v´rtice pil´n si dicho e o e o v´rtice es incidente con todos los cables de R. Una triangulaci´n que tiene al e o menos un cable y al menos un v´rtice pil´n se llama triangulaci´n pil´n. e o o o Una triangulaci´n puede tener un unico cable y por lo tanto dos v´rtices o ´ e pilones. Sin embargo, si el n´mero de cables de una triangulaci´n pil´n R es al u o o menos dos, R tiene exactamente un v´rtice pil´n. e o Lema 1. Supongamos que una triangulaci´n irreducible T de una superficie pero forada S − D (S = S0 ) se ha obtenido de la correspondiente triangulaci´n T ∗ o ∗ tiene al menos dos cables, entonces o el de S mediante eliminar parche. Si T v´rtice central p del parche es el unico v´rtice pil´n de T ∗ , o la longitud de ∂D e ´ e o es 3. Sea Ξ0 = Ξ0 (S) el conjunto de triangulaciones irreducibles de una superficie
  5. 5. M.J. Ch´vez, S. Lawrencenko, J.R. Portillo, M.T. Villar a 127 cerrada fijada S, y para n ≥ 1 sea Ξn = Ξn (S) el conjunto de triangulaciones de S que puede ser obtenido de una triangulaci´n irreducible de S mediante una o secuencia de exactamente n explosiones sucesivas. En el siguiente resultado, “eliminaci´n de un v´rtice v” significa eliminar v o e junto con los interiores de las aristas y caras incidentes en v y “eliminaci´n de o una cara” significa eliminar el interior de dicha cara. Lema 2. Cada triangulaci´n irreducible T de S − D (S = S0 ) se obtiene de una o de las siguientes maneras: (I) por eliminaci´n de un v´rtice v de una triangulaci´n de Ξ0 = Ξ0 (S), o e o (II) por eliminaci´n de un v´rtice pil´n de una triangulaci´n de Ξ1 ∪Ξ2 ∪· · ·∪ΞK , o e o o donde la constante K viene dada por [3] (siempre que exista una triangulaci´n pil´n), o o (III) por eliminaci´n de cada una de las dos caras que contengan un cable en su o 3-ciclo borde si tal cable es unico en una triangulaci´n de Ξ1 (siempre que ´ o esa situaci´n se d´), o e (IV) por eliminaci´n de una cara que contenga dos o tres cables en su 3-ciclo o borde si esos dos o tres cables forman el subgrafo de cables completo de una triangulaci´n de Ξ1 ∪ Ξ2 (siempre que esa situaci´n se d´). o o e Lema 3. Si una triangulaci´n de S tiene al menos dos cables pero no tiene v´rtice o e pil´n, entonces no pueden crearse v´rtices pil´n nuevos en futuras explosiones de o e o la triangulaci´n. o 2 Esquema del algoritmo En esta secci´n consideraremos las triangulaciones como hipergrafos de rango o 3 o 3-grafos. Sea T un 3-grafo y sean V = V (T ) y F = F (T ) los conjuntos de v´rtices y de tri´ngulos de T . Ese 3-grafo puede ser representado de forma unica e a ´ (salvo isomorfismos) por un grafo bipartito BT = (V (BT ), E(BT )) de la siguiente forma: V (BT ) = V (T ) ∪ F (T ), uv ∈ E(BT ) si y s´lo si el v´rtice u est´ en el o e a tri´ngulo v de T . a La entrada del algoritmo es el conjunto Ξ0 = Ξ0 (S) de triangulaciones irreducibles de una superficie cerrada S = S0 . La salida del algoritmo es el conjunto de todos los tipos combinatorios de triangulaciones irreducibles de las superficies 1-perforadas S − D. El primer paso es la generaci´n del conjunto Ξ1 ∪Ξ2 a partir del conjunto Ξ0 . A o continuaci´n, cada 3-grafo T ∈ Ξ1 ∪ Ξ2 se representa mediante su correspondiente o
  6. 6. 128 Triangulaciones irreducibles en superficies 1-perforadas grafo bipartito BT . Este paso ha sido implementados mediante la aplicaci´n o Mathematica ([18]). El segundo paso consiste en descartar todos los grafos bipartitos duplicados. Con esto, todas las triangulaciones duplicadas de Ξ1 ∪Ξ2 tambi´n son descartadas. e De esta manera obtenemos todas las triangulaciones no isomorfas, conjuntos que denotaremos Ξ1 y Ξ2 respectivamente. Este paso se realiza haciendo uso de los paquetes de computaci´n Nauty y gtools [10, 11]. o A continuaci´n se detectan todos los v´rtices pil´n de Ξ1 ∪ Ξ2 se aplican las o e o operaciones (I)–(IV) del lema 2 para obtener las correspondientes triangulaciones irreducibles (usando Mathematica). Si Ξ2 no tiene ninguna triangulaci´n pil´n, se procede inmediatamente al paso o o final: Descartar todas las triangulaciones duplicadas usando de nuevo Nauty y gtools. En otro caso se genera Ξ3 y se aplican los pasos precedentes a Ξ3 , repitiendo el procedimiento con Ξ4 , Ξ5 , . . . hasta que no haya ninguna triangulaci´n o pil´n en el Ξn en curso; en ese caso el proceso termina y se produce la salida o deseada. Los lemas 1 - 3 junto con los resultados de [3] justifican la validez de este procedimiento. En particular, la finitud de la ejecuci´n se deduce de la cota o superior en el n´mero de v´rtices de una triangulaci´n irreducible de S − D [3]. u e o En particular, esta cota superior implica (junto con el lema 3) que Ξn no contiene ninguna triangulaci´n pil´n para alg´n n ≥ K + 1, donde K = 945 para S1 y o o u K = 376 para N1 . En realidad K es mucho menor que esos valores. Hemos verificado por ordenador (y tambi´n a mano) que, de hecho, K = 1 para S1 y e K = 2 para N1 . Mencionemos ahora dos ejemplos. En primer lugar, el algoritmo ha sido implementado para el conjunto dos triangulaciones irreducibles de N1 ([1]). El algoritmo proporciona un conjunto de 6 triangulaciones irreducibles de la banda de M¨bius, N1 −D, que es precisamente o le mismo valor obtenido por algunos de los autores de este trabajo en [5], aunque sin usar paquetes computacionales. En segundo lugar, presentamos los detalles del caso del toro, S1 . Ejemplo: el toro 1-perforado Entrada: El conjunto de 21 triangulaciones irreducibles de S1 (tal como est´n a etiquetadas en [8]). • Ξ1 (S1 ) tiene 433 triangulaciones no isomorfas: 232 no tienen v´rtice pil´n, e o 193 tienen un unico v´rtice pil´n y 8 tienen dos v´rtices pil´n. ´ e o e o • Ξ2 (S1 ) tiene 11612 triangulaciones no isomorfas y ninguna de ellas es una
  7. 7. M.J. Ch´vez, S. Lawrencenko, J.R. Portillo, M.T. Villar a 129 triangulaci´n pil´n. o o • Las operaciones descritas en el lema 2 proporcionan: (I) 184 triangulaciones; s´lo 80 son no isomorfas. o (II) 209 triangulaciones; s´lo 203 son no isomorfas. o (III) 16 triangulaciones; s´lo 10 son no isomorfas. o (IV) 0 triangulaciones. Salida: 293 tipos combinatorios no isomorfos de triangulaciones irreducibles del toro 1-perforado S1 − D. 3 Conclusiones finales Obviamente este algoritmo puede ser implementado para cualquier superficie cerrada siempre que la base de triangulaciones irreducibles sea conocida. En un pr´ximo trabajo esperamos presentar el conjunto de triangulaciones irreducibles o de la botella de Klein 1-perforada, N2 − D. Referencias [1] D. Barnette (D. W. Barnette). Generating the triangulations of the projective plane. J. Comb. Theory, Ser. B, 33, (1982), 222–230. [2] D. W. Barnette, A. L. Edelson. All 2-manifolds have finitely many minimal triangulations. Isr. J. Math., 67, (1989), No. 1:123–128. ´ [3] A. Boulch, E. Colin de Verdi`re, A. Nakamoto. Irreducible triangulations e of surfaces with boundary. Graphs and Combinatorics DOI 10.1007/s00373012-1244-1, 2012. [4] J. Bracho, R. Strausz, Nonisomorphic complete triangulations of a surface. Discrete Math. 232, (2001), 11–18. [5] M. J. Ch´vez, S. A. Lawrencenko, A. Quintero, M. T. Villar. Irreducible a triangulations of the M¨bius band. Preprint 2013. o [6] L. Giomi, M. J. Bowick. Elastic theory of defects in toroidal crystals. Eur. Phys. J. E., 27, (2008), 275–296. [7] G. Joret, D. R. Wood. Irreducible triangulations are small. J. Comb. Theory, Ser. B, 100, (2010), No. 5:446–455.
  8. 8. 130 Triangulaciones irreducibles en superficies 1-perforadas [8] S. A. Lavrenchenko (S. Lawrencenko). Irreducible triangulations of the torus. J. Sov. Math., 51, No. 5 (1990), 2537–2543; translation from Ukr. Geom. Sb. 30, (1987), 52–62. [9] S. Lawrencenko, S. Negami. Irreducible triangulations of the Klein bottle. J. Comb. Theory, Ser. B, 70, No. 2 (1997), 265–291. [10] B. McKay, Practical Graph Isomorphism. Congressus Numerantium, 30, (1981), 45–87. [11] B. McKay, nauty User’s Guide (Version 2.4) http://pallini.di.uniroma1.it/ [12] A. Nakamoto, K. Ota. Note on irreducible triangulations of surfaces. J. Graph Theory, 20, (1995), No. 2:227–233. [13] S. Negami. Diagonal flips in pseudo-triangulations on closed surfaces. Discrete Math., 240, (2001), No. 1–3:187–196. 2001. [14] E. Steinitz, H. Rademacher, Vorlesungen uber die Theorie der Polyeder unter ¨ Einschluss der Elemente der Topologie. Berlin: Springer, 1976. [Reprint of the original 1934 edition.] [15] T. Sulanke. Note on the irreducible triangulations of the Klein bottle. J. Comb. Theory, Ser. B, 96, No. 6, (2006), 964–972. [16] T. Sulanke. Generating irreducible triangulations of surfaces, preprint, 2006, arXiv:math/0606687v1 [math.CO]. [17] T. Sulanke. Irreducible triangulations of low genus surfaces, preprint, 2006, arXiv:math/0606690v1 [math.CO]. [18] Wolfram Research, Inc. Mathematica Version 8.0 (Wolfram Research, Inc.) Champaign, Illinois 2010. [19] Y. Zhongwey, J. Shouwei. STL file generation from digitised data points based on triangulation of 3D parametric surfaces.Int. J. Adv. Manuf. Technol. 23, (2004), 882–888.

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