Lecturas de fundamentos de Matemática

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Estas lecturas le permitirán al estudiante fortalecer los contenidos impartidos en el aula

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Lecturas de fundamentos de Matemática

  1. 1. SISTEMA DE APRENDIZAJE AUTOGESTIONADO ASISTIDO ELPRESENTE MATERIAL SE ENCUENTRA EN PROCESO DE EVALUACIÓN FORMATIVA, AGRADECEMOS COMENTARIOS U OBSERVACIONES QUE PERMITAN LA OPTIMIZACIÓN DEL MISMO. Todos los derechos reservados. Sólo se admitirá la reproducción total o parcial de este material didáctico con fines exclusivamente instruccionales y no comerciales. 2007 Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Bolivariana (UNEFA) Av. La Estancia con Av. Caracas y Calle Holanda frente al Edificio Banaven (Cubo Negro), Chuao. Código Postal 1061 Caracas, Venezuela saaa.unefa@gmail.com 2
  2. 2. ÍNDICE DE CONTENIDO Pág. INTRODUCCIÓN 5 UNIDAD Nº 1: NÚMEROS REALES 7 LECTURA Nº 1. Los Sistemas de Numeración 7 LECTURA Nº 2. El Conjunto de los Números Reales 15 LECTURA Nº 3. El Mundo de las Proporciones 34 LECTURA Nº 4. Proporciones y Porcentajes 36 UNIDAD Nº 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS 46 LECTURA Nº 5. Terminología Básica de las Expresiones Algebraicas 46 LECTURA Nº 6. Tipos de Expresiones Algebraicas 51 LECTURA Nº 7. Operaciones con Expresiones Algebraicas 56 LECTURA Nº 8. Planteamiento de Problemas 74 LECTURA Nº 9. Productos Notables 80 LECTURA Nº 10. La Factorización como Herramienta de Simplificación 89 LECTURA Nº 11. ¿Cómo completar Cuadrados? 90 LECTURA Nº 12. Métodos de Factorización 91 UNIDAD Nº 3: UNIDADES DE MEDIDA Y GEOMETRÍA 99 LECTURA Nº 13. Algunos Sistemas de Medida 99 LECTURA Nº 14. El Sistema Métrico Decimal 100 LECTURA Nº 15. Figuras Poligonales 105 LECTURA Nº 16. Los Triángulos, los Cuadriláteros y sus Relaciones Métricas 107 LECTURA Nº 17. La Circunferencia y sus Elementos 111 LECTURA Nº 18. Los Cuerpos Geométricos y sus Elementos 113 LECTURA Nº 19. El Número Pi (Π) y el Cálculo de Áreas 116 LECTURA Nº 20. Thales y la Pirámide de Keops 123 UNIDAD Nº 4: RADICACIÓN 125 LECTURA Nº 21. Importancia de los Radicales 125 LECTURA Nº 22. Operaciones con Radicales 128 LECTURA Nº 23. Expresiones Conjugadas 142 UNIDAD Nº 5: ECUACIONES E INECUACIONES 155 LECTURA Nº 24. Algunos casos de Ecuaciones Lineales 155 LECTURA Nº 25. Ecuaciones 158 3
  3. 3. LECTURA Nº 26. Los Sistemas de Ecuaciones 193 LECTURA Nº 27. Inecuaciones 218 UNIDAD Nº 6: TRIGONOMETRÍA 235 LECTURA Nº 28. La Trigonometría ¿para qué sirve? 235 LECTURA Nº 29. Trigonometría 237 LECTURA Nº 30. Relaciones Trigonométricas 241 LECTURA Nº 31. Solución y Aplicaciones de Triángulo Rectángulo 261 BIBLIOGRAFÍA 268 4
  4. 4. INTRODUCCIÓN Alguna vez te has preguntado ¿para qué sirve la matemática? y ¿cuál de estas respuestas te has dado?: es una materia obligatoria en la carrera estudiantil, son torres de números, paréntesis y fracciones que me confunden, están referidas al estudio y dominio de operaciones y cálculos necesarios para resolver problemas de la vida cotidiana y profesional, es un invento de algunos para fastidiarnos la vida, representa una magia hermosa de números y símbolos que no sé para qué sirven y muchas otras respuestas más. Pues bien, Aristóteles (384 a.C.) dijo alguna vez: Es la ciencia de la cantidad. Otro antepasado manifestó: es el arte de pensar bien. Sigamos adelante y estudiemos algunos conceptos de la palabra Matemática. Los griegos la escribieron como “μαθημα” que se transcribe mathema, cuyo significado es conocimiento. La matemática es una ciencia deductiva de género femenino que estudia las propiedades de los entes abstractos como números, figuras geométricas o símbolos. Se utiliza en plural con el mismo significado que en singular. La palabra matemático (a) se deriva de la palabra griega maqhmaqtikoz, utilizada como adjetivo tiene el significado de exacto, preciso. El término también se refiere a un objeto perteneciente o relativo a las matemáticas. Como sustantivo, masculino o femenino, se usa para nombrar a la persona que enseña matemática o tiene de ella un conocimiento especial. Por su parte Aris (1978), utilizando el propio lenguaje matemático, señala: un modelo matemático es cualquier sistema completo y compatible de ecuaciones matemáticas, diseñadas para que correspondan con cualquier otra entidad, su prototipo puede ser una entidad física, biológica, social, psicológica o conceptual; o tal vez otro modelo matemático. Tradicionalmente han existido dos razones básicas para enseñar matemáticas: a) Permite desarrollar habilidades de razonamiento. Actualmente, se sabe que su incidencia en el desarrollo de la capacidad de razonamiento de una persona depende del modo en que se enseña (Cockcroft, 1985). b) Su utilidad en la vida cotidiana y el aprendizaje de otras disciplinas necesarias para el desarrollo personal y profesional. La facultad de predecir a través de métodos numéricos, es utilizado a diario a nivel cotidiano, como por ejemplo: ¿qué cantidad de gasolina gastaremos en un viaje?, ¿cuál es su costo?, ¿en qué tiempo seremos alcanzados por una tormenta? Etc. Al analizar el rendimiento académico en matemática, de una buena parte de los estudiantes de diferentes niveles educativos, podemos observar que no es satisfactorio y las posibles causas podrían ser entre otras las siguientes: • Los estudiantes desconocen la aplicabilidad de los conocimientos matemáticos en otras áreas del saber. • Consideran esta asignatura como un requisito obligatorio, más no como una herramienta necesaria. • Los conocimientos adquiridos se aprenden de forma mecánica y/o memorística; es decir, sin comprender los procesos básicos. Debido a esto, cuando llega el momento de iniciar estudios universitarios, muchos de ellos se enfrentan al grave problema de no reunir los conocimientos mínimos básicos que les permitan comprender otros de mayor complejidad. 5
  5. 5. La situación planteada preocupa a tal grado, que la UNEFA reconociendo estos problemas en los estudiantes que aspiran ingresar a sus aulas ha considerado pertinente incluir la asignatura: “Fundamentos de Matemática” en el Plan de Estudios del curso de Inducción Universitaria. Este curso será un importante recurso para adquirir, nivelar o retroalimentar los conocimientos matemáticos necesarios para que el estudiante pueda emprender sus estudios a nivel superior. De acuerdo y en consonancia con todas las ideas expuestas, en este material se incluyen lecturas, en las cuales se describen y/o explican las ideas de manera didáctica, no sólo para facilitar el desarrollo de los procesos lógicos y de razonamiento matemático, sino para promover en ti el proceso de autogestión del aprendizaje. El contenido de las lecturas responde a un nivel de complejidad que va de lo sencillo a lo complejo, con el propósito de motivarte a recordar, repasar o adquirir los conocimientos indispensables para lograr el nivel exigido en los cursos subsiguientes. Te preguntarás ahora: ¿Cómo hacer de este material un recurso valioso y determinante para lograr aprendizajes significativos? Las recomendaciones que continuación te presentamos, te serán de gran utilidad: • El trabajo con textos de matemáticas, será más fácil, si comienzas dando una primera lectura, en la misma observarás las ideas más sencillas y reconocerás las que son más difíciles de comprender. Lee nuevamente con más detenimiento y comenzarás a ver con claridad lo que probablemente antes no entendías. • Relaciona tus conocimientos previos del tema con lo que vas aprendiendo. Puedes ir realizando los ejemplos y ejercicios aclaratorios por ti mismo. • Asegúrate de entender las ideas expuestas y los ejemplos correspondientes al tema que estás trabajando. Te sorprenderás de la rapidez con la que avanzas en el trabajo. • Si algunos de los ejercicios te resultan complejos o difíciles, lee detenidamente el tema precedente, tal vez obviaste algún paso o procedimiento. Trata de solucionarlo y continúa con el resto. • Para la resolución de problemas, sigue las instrucciones indicadas en el material. La ejercitación continua es importante y beneficiosa. Te invitamos a emprender esta hermosa experiencia de ser un estudiante universitario (a), confiado (a) en que lograrás con éxito todo lo que te propongas. Atiende las recomendaciones dadas. Es probable que cambies tu percepción acerca de la matemática. 6
  6. 6. UNIDAD 1 NÚMEROS REALES LECTURA N° 1: LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN Material recopilado con fines instruccionales por: Ochoa, A. (2007). Los Sistemas de Numeración. Artículo no publicado. Caracas. ORIGEN DE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN Las civilizaciones primitivas utilizaron diversas formas para resolver el problema de contar, comúnmente usaban los dedos, guijarros, marcaron signos sobre los troncos de los árboles o en huesos disecados. Los indios y los chinos lo hacían en bastones, nudos en cuerdas especiales o usaban piedras pequeñitas coleccionadas en serie. La mayor parte de los pueblos primitivos crearon un sistema de numeración a base de 5,10 ó 20, relacionados con los cinco dedos de la mano, o los 10 de ambas o los 20 si se toman manos y pies. La base que más se ha utilizado a lo largo de la historia es 10, empleada por los antiguos chinos, los egipcios, los griegos y romanos con algunas excepciones, como son la numeración babilónica que usaba 10 y 60 como bases y la numeración maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad. Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones contaban en unidades, decenas, centenas, millares etc., es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy en día. Casi todos los sistemas utilizados para la época, representaban con exactitud los números enteros, aunque en algunos podían confundirse unos números con otros. Muchos de estos sistemas no representaban grandes cantidades, y otros requerían tal cantidad de símbolos que los hacían poco prácticos, por lo que no permitían efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicación; necesitando procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos. Cuando se empezó a utilizar en Europa el sistema de numeración actual, los seguidores del ábaco, los profesionales del cálculo se opusieron con argumentos increíbles, entre ellos: que siendo el cálculo algo complicado en sí mismo, tendría que ser un método diabólico, aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla. Seis siglos antes de Jesucristo, fue inventado en la India un signo redondo como punto para representar el orden de unidad que faltaba, y se inició el sistema de numeración basado en la colocación de las cifras y el uso del cero o punto. El sistema numérico actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes; de la existencia del sistema de origen indio hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci), quién introdujera el nuevo sistema en la Europa del año 1200. En este caso, su gran aporte fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permitió un sistema en el que sólo diez símbolos podían representar cualquier número por grande que fuera y simplificar la forma de efectuar las operaciones. 7
  7. 7. ¿Qué es un Sistema de Numeración? Existen diversos conceptos para definir lo sistema de numeración; uno de ellos dice: Es el conjunto de elementos (símbolos o números), operaciones y relaciones que utilizando reglas propias, permite contar, representar cantidades, establecer relaciones entre ellas y resolver operaciones. Historia Las culturas originarias lograron, con mucha sabiduría, asociar tempranamente variados elementos para representar cantidades: una colección de objetos, un grupo de signos o de cosas: trazos marcados en la madera en un hueso o en la arena, montones de piedras, gestos con la mano o con la cabeza. Ejemplos de ellos lo constituyen los pastores sumerios quienes llevaban la cuenta de los nacimientos, pérdidas, compras y ventas de sus ovejas, representando cada animal del rebaño mediante un cono de arcilla (calculi) colocado en una envoltura del mismo material. En las primeras aglomeraciones urbanas de la Baja Mesopotamia, se eligió un sistema más elaborado: se imprimieron sobre la envoltura de arcilla signos semejantes a los representados por los calculi. Éstos últimos, que ya no tenían razón de ser, fueron poco a poco suprimidos, y las envolturas reemplazadas por las primeras tablillas numerales. Por ello, las primeras numeraciones escritas aparecieron al mismo tiempo que las primeras formas de escritura en Mesopotamia y Egipto entre 3200 y 3300 a.C. El principio aditivo de los Sistemas de Numeración El principio aditivo de los sistemas de numeración consiste en acumular los valores de los símbolos de las unidades y decenas que sean necesarias hasta completar el número. Para ilustrar la forma de representación aditiva, consideraremos el sistema jeroglífico egipcio. En este sistema por cada unidad se escribía un trazo vertical, por cada decena un símbolo en forma de arco, por cada centena, millar, decena y centena de millar y millón, un jeroglífico específico. Así, para ellos 754 usaban 7 jeroglíficos de centenas, 5 de decenas y 4 trazos. De alguna forma, todas las unidades estaban físicamente presentes. Una de las características del principio aditivo en el sistema egipcio consistía en colocar los símbolos en cualquier orden, aunque se prefería una determinada disposición. Los sistemas de numeración egipcio, sumerio, (de base 60), hitita, cretense, azteca (de base 20), romano y las alfabéticas de los griegos, armenios, judíos y árabes utilizaron este principio. Ejemplos de algunos Sistemas de Numeración Sistema de Numeración Egipcio: Los egipcios desde el tercer milenio a.C usaron un sistema para escribir los números en base diez utilizando los jeroglíficos de la Figura Nº 1 y así representaban los distintos órdenes de unidades. Se usaban tantos jeroglíficos de cada uno cómo fuera necesario y podían escribirse indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, y/o cambiando la orientación de las figuras según el caso. Cuando el orden era indiferente, se escribían atendiendo a criterios estéticos, y solían ir acompañados de los 8
  8. 8. jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas, etc.), cuyo número indicaban. Figura Nº 1 El Sistema de Numeración Egipcio 1 Raya 10 Hueso 100 Soga arrollada 1000 Flor de Loto 10000 Dedo índice 100000 Pez 1000000 Hombre asustado Fuente: //www.equipoweb.com.ar/eduteca/contenidos/curricular/pdf/22010203.pdf En la Figura Nº 1, podemos observar dichos signos, los mismos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano, quedando su uso reservado a las inscripciones monumentales. En la cotidianidad, fue sustituido por la escritura hierática y demótica, éstas eran formas más simples que permitían mayor rapidez y comodidad a los escribas. Los grupos de signos en tales sistemas de escritura, adquirieron una forma propia, y así se introdujeron símbolos particulares para 20, 30....90....200, 300.....900, 2000, 3000...... , disminuyéndose de esta forma, la cantidad de signos necesarios para escribir una cifra. El Sistema de Numeración Griego El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 aC. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos que podemos observar en la Figura Nº 2 para representar esas cantidades. Se utilizaban tantos símbolos como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas. Los griegos consideraban más la esencia y atributos de los números, que su representación gráfica, los símbolos numerales correspondían a dos sistemas: el ático (emplea seis símbolos literales básicos), y el alfabético (decimal). Figura Nº 2 Sistema de Numeración Griego Fuente: www.pallotti.edu.uy/repartidos/informatica/numeracion.doc 9
  9. 9. Los griegos usaban el sistema acrofónico, en el cual para representar la unidad y los números hasta el 4 usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100, las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi) respectivamente. Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtenían añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente, este sistema ático (de Atenas) fue reemplazado por el jónico, el cual empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos. (ver Figura Nº 3). Figura Nº 3 Sistema de Numeración Jónico Fuente: www.pallotti.edu.uy/repartidos/informatica/numeracion.doc Usando el alfabeto griego, los números parecían palabras, pues estaban formados por letras; a su vez, las palabras tenían un valor numérico y bastaba sumar las cifras que correspondían a las letras que las conformaban. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de disciplina mágica que estudiaba la relación entre los números y las palabras. El Sistema de Numeración Azteca En México, entre los siglos XIV y XVI de nuestra era, se desarrolló la civilización azteca, ellos crearon un sistema de cifras, conocido a partir de manuscritos que los especialistas llaman Codex. Allí los escribas expresaban los resultados de sus inventarios y el recuento de los tributos recogidos por el imperio, reproducían cada cifra tantas veces como fuera necesario junto a los pictogramas asociados. Esta numeración se basaba en el principio aditivo; según el cual, el valor de una representación se obtenía sumando los valores de las cifras. Era una numeración de base vigesimal (20). A la llegada de los conquistadores españoles, el imperio azteca utilizaba los siguientes símbolos pictóricos. 10
  10. 10. Para el 10 usaban dos círculos concéntricos, un cuadrado grande con otro adentro, o el más común: un cuadrado colocado con uno de los vértices hacia arriba y con los lados rectilíneos o curvos. El 80 tenía dos representaciones: una atadura de hierbas (símbolo de la izquierda). O una turquesa con hierbas en la parte superior (símbolo de la derecha). Características del Sistema de Numeración Azteca 1. Agrupamientos de 20 en 20. Emplearon un sistema vigesimal o de base 20. • Un número podía repetirse hasta nueve veces. 2. Usaban el principio aditivo. • Al escribir dos ó más símbolos juntos, se sumaban los valores asignados a cada símbolo. Un símbolo podía partirse para indicar fracciones de 3. Usaban el principio partitivo su valor. Principio partitivo. Los aztecas partían un símbolo para indicar fracciones de su valor. Por ejemplo: La bandera podía dividirse en 4 secciones con valor de 5 unidades cada una. La parte sombreada no se tomaba en cuenta. Por eso, tres secciones blancas equivalían a: 5 x 3 = 15. Si se representaba la atadura de hierbas incompleta simbolizaba un valor de 60 unidades. La mitad de la atadura correspondía a la mitad del número 80, es decir, a 40. De esta manera, un número podía escribirse de diferentes formas. El 72 se representaba así: 11
  11. 11. El Sistema de Numeración Chino. Era un sistema decimal estricto que usaba las unidades y los distintas potencias de 10. La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 a.C. aproximadamente. Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de izquierda a derecha como en el ejemplo de la Figura Nº 4. Figura Nº 4 Sistema de Numeración Chino Fuente www.pallotti.edu.uy/repartidos/informatica/numeracion.doc En este sistema de numeración, el orden de escritura se hacía fundamental, pues, 5, 10, 7, igual podría representar 57 que 75. No era necesario un símbolo para el cero siempre y cuando se colocaran todos los ideogramas, pero aún así, a veces se suprimían los correspondientes a las potencias de 10 (forma canónica). Aparte de dicha forma, para los documentos importantes se usaba una grafía más complicada a objeto de evitar falsificaciones y errores. En los sellos se escribía de forma más estilizada y lineal y se utilizaban hasta dos grafías diferentes para usos domésticos y comerciales, aparte de las variantes regionales. Los eruditos chinos, por su parte, desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual, al cual, por influencia india en el siglo VIII a.C, se le incorporó el cero. Los Sistemas de Numeración Posicionales Los sistemas de numeración posicionales son mucho más efectivos que los sistemas anteriores, porque de acuerdo a la posición de una cifra indicamos si son decenas, o centenas ó en general la potencia de la base correspondiente. Además de los Hindúes, en distintas épocas, lograron desarrollar un sistema de este tipo: los babilonios, los chinos y los mayas, llegaron al mismo principio. Los Hindúes antes del siglo VII, idearon el sistema numérico tal y como hoy lo conocemos, sin más que un cambio en la forma en la que escribimos los nueve dígitos y el cero. Es de hacer notar, que aunque con frecuencia nos referimos a nuestro sistema de numeración como arábigo, las pruebas arqueológicas y documentales demuestran el uso del cero, tanto en posiciones intermedias como finales. El Sistema de Numeración Maya Los mayas idearon un sistema de numeración de base 20 con el 5 como base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era 12
  12. 12. una raya horizontal, a la que se le añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continuaba hasta el 20, con cuatro rayas. Figura Nº 5 Sistema de Numeración Maya Fuente: www.pallotti.edu.uy/repartidos/informatica/numeracion.doc Hasta aquí parecía ser un sistema aditivo de base 5, pero en realidad, estos símbolos constituían las cifras de un sistema de base 20, en el que había que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... según el lugar que ocupaba y sumar el resultado. Por esta razón, era un sistema posicional que se escribía de arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor. Cada cifra tenía un valor relativo según el lugar que ocupaba, la presencia de un signo para el cero, para indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hacía imprescindible y ellos lo utilizaron, aunque no parecía haberles interesado el concepto de cantidad nula; a diferencia de los mayas, los babilonios lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número. El Sistema de Numeración Babilónico Entre las muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas de numeración. En el siglo XIX a.C, se inventó un sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicional para números superiores. Para representar la unidad se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. Se colocaban tantas cuñas como fuera preciso hasta llegar a 10, este número tenía su propio signo. De esta forma, se usaban las que fueran necesarias completando con las unidades hasta llegar a 60. A partir de allí se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban representando secuencialmente el número de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y así x continuaba como en los ejemplos que se acompañan. 13
  13. 13. Figura Nº 6 Sistema de Numeración Babilónico Fuente: www.pallotti.edu.uy/repartidos/informatica/numeracion.doc Sistema de Numeración Romano El sistema de numeración romano, carece del 0 por eso se convirtió en un sistema muy complicado al momento de realizar multiplicaciones y divisiones. Este sistema está en desuso, quedando solamente para fines decorativos (relojes, estatuas, monumentos) y cierto protocolo (numerar: los siglos, los papas, los reyes y reinas, etc.). Los signos que utiliza el sistema romano son: I=1 X = 10 C = 100 M = 1000 V=5 L = 50 D = 500 Las reglas para escribir el sistema de numeración romano son: 1- Los símbolos I, X, C y M pueden repetirse hasta tres veces seguidas. 2- Un símbolo de valor inferior que antecede a otro de valor superior le resta su valor. 3- Una raya encima de un símbolo, multiplica por mil el valor del símbolo. Dos rayas encima de un símbolo multiplica por un millón el valor del símbolo. Los Sistemas de Numeración Modernos Un sistema de numeración está definido por la elección arbitraria de una base de numeración (esta base debe ser igual al número de símbolos llamados cifras, que se utilizan para representar los números) y por ciertas reglas de posición. La base “α” elegida debe ser un 14
  14. 14. número natural superior a 1; una vez fijada la base, es necesario elegir signos diferentes y nombres diferentes para representar y señalar los primeros números inferiores a α. En el caso en que α = 10 se trata del sistema de numeración decimal, utilizado de manera general, y cuyo origen es con seguridad el número de dedos de las manos. Los símbolos utilizados en este caso son las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. En el caso en que α = 2 se trata del sistema de numeración binaria, utilizado por la tecnología en las máquinas de cálculo, en particular en las computadoras. Los símbolos utilizados son las cifras 0 y 1. Las calculadoras utilizan también el sistema de base 8, o sistema octal. En el caso de que α = 12 se trata del sistema de numeración duodecimal, y los doce símbolos utilizados son las cifras 0, 1, 2, …, 9, a las cuales se agregan dos letras A y B. En el caso en que α = 60 se trata del sistema de numeración sexagesimal, utilizado especialmente para las medidas de tiempo y de ángulos. La elección de una base numérica demasiado pequeña provoca rápidamente la utilización de un mayor número de cifras para la escritura de los números (el número 9, en base 2, se escribe 1001). La elección de una base numérica grande hace necesaria la utilización de un número elevado de símbolos. BIBLIOGRAFÍA • http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html • www.terra.es/personal/jftjft/Aritmetica/Numeros/NumRom.htm • www.pallotti.edu.uy/repartidos/informatica/numeracion.doc LECTURA N° 2: EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES Material recopilado con fines instruccionales por: Ochoa, A. (2007). Los Números Reales. Artículo no publicado. Caracas NÚMEROS REALES • Los números reales, tienen diversas funciones entre ellos: sirven para contar, los utilizamos en las operaciones algebraicas y podemos ubicarlos en cada punto de la recta numérica. • Los números reales conforman el conjunto de todos los números que pueden expresarse con decimales infinitos periódicos o no periódicos (en este caso un decimal finito, tal como 1,2 puede considerarse periódico de periodo 0 ya que 1,2 = 1,2000 . . .). El conjunto de los números reales es denotado por R. 15
  15. 15. Representación de los Números Reales Es posible establecer una correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta (recta numérica). Se selecciona un punto arbitrario de ésta para representar el cero (0) y otro punto a la derecha del cero para representar el uno (1). Luego, dividimos toda la recta en segmentos que tengan la misma longitud que el segmento de cero a uno, para así representar los números enteros, los números 1, 2, 3, 4, ... (en este orden) a la derecha del cero y los números -1, -2, -3, ... (en este orden) a la izquierda del cero. NÚMEROS ENTEROS -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Enteros Negativos Enteros Positivos Los restantes números reales se representan en esta recta, usando su expresión decimal tal como se muestra en el ejemplo que sigue: Ejemplo: 6 −7 1 Representa en la recta numérica los números , ,π, . 5 2 3 6 −7 Solución: = 1,2 , = − 3,5 y ya que son números con expresión decimal finita, se 5 2 1 consideran números racionales. Para = 0,33333... = 0,3 ˆ un número racional, su 3 1 representación la haremos con una = 0,3 . Mientras que para aproximación a 3 π = 3,14159265.... , es un número irracional, tomaremos una aproximación de π = 3,14. 6 −7 1 Usando estos resultados, podemos representar en la recta numérica , , , π de la 5 2 3 siguiente manera. - 7 1 6 π 2 3 5 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Algunas definiciones: 16
  16. 16. Origen: es el punto que representa el cero en la recta numérica. Números Reales Positivos: son los que se representan a la derecha del origen. Números Reales Negativos: son los que se representan a la izquierda del origen. Operaciones con Números Reales: En el conjunto de los números reales se encuentran definidas las operaciones básicas que son: la adición, la sustracción, la multiplicación y la división. Adición de Números Reales: La adición de números reales es una operación que asocia a cada par de números reales a y b, llamados sumandos, un único número real c, llamado suma de a y b. La adición es una función definida así: a + b = c Sumandos Suma Sustracción de Números Reales: Es la operación inversa de la adición. Mientras en la adición se dan los sumandos y se trata de calcular la suma: En la adición: En la sustracción; a+d=m m–a=d Sumandos Suma En la sustracción se da la suma, llamada ahora minuendo y un sumando llamado sustraendo y se trata de calcular el otro sumando llamado diferencia: m - a = d Diferencia Minuendo Sustraendo La diferencia d = m – a se calcula sumando al minuendo m el opuesto del sustraendo a: d = m – a = m + (–a) 17
  17. 17. Multiplicación de Números Reales: La multiplicación de números reales es una operación que asocia a cada par de números reales a y b, llamados factores; un único número real c, llamado producto de a y b. La multiplicación es una función definida así: a · b = c Factores Producto División de Números Reales: La división es la operación inversa de la multiplicación, mientras en la multiplicación se dan los factores y se trata de calcular el producto, en la división se da el producto llamado ahora dividendo y un factor llamado ahora divisor y se trata de calcular el otro factor, llamado cociente: c c = c ÷ a = b, (a ≠ 0) ó = c ÷ b = a, (b ≠ 0) a b en la división tenemos que: a ÷b=c si y sólo si a =b⋅c Potenciación de números reales: Una adición de sumandos iguales, se conviene en escribirlo en forma de producto, así tenemos: 3+3+3+3 7+7+7+7+7 = 4⋅3 = 5⋅7 cuatro cinco En forma similar, una multiplicación de factores iguales se conviene escribirlo en forma exponencial. Así tenemos: 4·4·4 = 43 y 5·5·5·5·5·5·5 = 57 El pequeño número colocado en la parte superior derecha del factor que se repite es denominado exponente. El exponente indica el número de veces que el factor se repite. El factor que se repite recibe el nombre de base. El símbolo completo de base y exponente recibe el nombre de potencia. Así, 34 es la cuarta potencia de tres y 75 es la quinta potencia de siete. En general, si b es un número real y n un número entero positivo, entonces b n se le llama una potencia de base b y significa el producto de b por sí mismo n veces, es decir: b ⋅ b ⋅ b ⋅ b ⋅ ⋅ ⋅ ⋅b bn = n veces 18
  18. 18. Por ejemplo: 52 = 5 · 5 = 25, la base 5 se multiplica por si misma tantas veces como lo indica el exponente (en este caso 2) y el resultado (25) recibe el nombre de potencia. La potencia de exponente 2 recibe el nombre de cuadrado. Así: 32 se lee "tres al cuadrado" o "el cuadrado de tres". La potencia de exponente 3 recibe el nombre de cubo. Así π 3 se lee "pi al cubo" o "el cubo de pi". Las potencias de exponentes 4, 5, 6. . . reciben el nombre de cuarta, quinta, sexta, . . . potencia. Así (2 − 5 ) 4 , se lee "cuarta potencia de 2 − 5 ó 2 − 5 a la cuarta". Se conviene en lo siguiente: i. Cuando la potencia de base un número real no nulo y de exponente cero, es igual a uno : a0 = 1, a ≠ 0. ii. Cuando la potencia de base un número real y exponente uno (1) es igual al mismo numero real: 101 = 10; ( 2 − 3)1 = 2 − 3 π 1 = π 1 b1 = b Radicación de Números Reales: La radicación es una de las operaciones inversas de la potenciación. Mientras en la potenciación se dan la base y el exponente para calcular la potencia: bn = ?, en la radicación se da la potencia y el exponente para calcular la base: n p = b Propiedades de los números reales (en la adición): a) Propiedad Conmutativa: en la adición de números reales, el orden de los sumandos no altera la suma. Es decir, si a y b son los números reales, entonces: a+b=b+a se dice que la adición de números reales cumple la propiedad conmutativa. Ejemplo: 2 + 7 = 9 y 7+2=9 b) Propiedad Asociativa: en la adición de números reales, la forma de agrupar los sumandos no altera la suma. Es decir, si a, b y c son números reales, entonces: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c), se dice que la adición de números reales cumple la propiedad asociativa. Ejemplo: 7 + [5 + (− 4 )] = [7 + 5] + (− 4) 7 +1 = 12 + (− 4 ) 8 = 8 19
  19. 19. c) Existencia de Elemento Neutro: en el conjunto de los números reales, el número real cero (0) es el elemento identidad o neutro para la adición porque, la suma de cualquier número “a” con el cero es el mismo número real “a”. Es decir, si “a” es un número real, entonces: a + 0 = 0 + a = a. d) Existencia de Elementos Simétricos Opuestos: para cualquier número real a, existe otro número real –a, llamado opuesto de a, tal que: a + (-a) = 0. Así, la suma de un número real y su opuesto es igual al elemento identidad o neutro para la adición, es decir cero (0). Por ejemplo: 5 + (-5) = 0 Las propiedades de los Números Reales (en la Sustracción): a) Si a y b son números reales, entonces su diferencia a - b es un número real. A causa de esta propiedad se dice que el conjunto de números reales es cerrado respecto a la sustracción. b) La sustracción de números reales no es conmutativa. Ejemplo: 3 – 5 ≠ 5 - 3 c) La sustracción de números reales no es asociativa. Observa: (3√2 – √2) – 3√2 3√2 – (√2 – 3√2) (2√2) – 3√2 3√2 – (–2√2) – √2 ≠ 5√2 (3√2 – √2) – 3√2 ≠ 3√2 – (√2 – 3√2) d) El número real cero (0) es un elemento identidad o neutro por la derecha para la sustracción. Observa que la diferencia de cualquier número a menos 0 es igual al numero a: √2 – 0 = √2 5-0=5 (3√2 – √2) – 0 = (3√2 – √2). Pero cero no es elemento identidad o neutro por la izquierda. En efecto, 0–a≠ a 0–2≠2 0− 3 ≠ 3 Propiedades de los Números Reales (en la Multiplicación): a) Si a y b son números reales, entonces su producto a · b es un número real. A causa de esta propiedad, se dice que el conjunto de números reales es cerrado respecto a la multiplicación. 20
  20. 20. b) Propiedad conmutativa: en la multiplicación de números reales, la forma de agrupar los factores no altera el producto. Es decir, si a y b son dos números reales, entonces: a·b=b·a Ejemplos: 5 · 3 = 15 6 · √2 = 6√2 − 2 ⋅ π = − 2π 3 · 5 = 15 √2 · 6 = 6√2 π ⋅ (− 2) = − 2π c) Propiedad asociativa: en la multiplicación de números reales, la forma de agrupar los factores no altera el producto. Es decir, si a , b y c son dos números reales, entonces: a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c) Ejemplo: (2 · 3) · (-4) 2 · (3 · -4)) 6 · (-4) 2 · (-12) -24 = -24 d) Existencia de elemento identidad o elemento neutro: en el conjunto R de los números reales, el número real uno (1) es el elemento identidad o neutro para la multiplicación porque el producto de cualquier número “x” por 1 es x. Es decir, si a es un número real, entonces: a·1=1·a = a e) Existencia de elemento simétrico o inverso: para cualquier número real no nulo a , existe otro número real 1 a = a −1 , llamamos inverso de a , ya que : 1 a⋅ =1 a ⋅ a −1 = 1 a f) Propiedad distributiva con respecto a la adición: así, el producto de un número real por una suma indicada, se multiplica el número por cada uno de los sumandos y luego se suman los productos obtenidos. Es decir, si a, b y c son números reales, entonces: (a + b) · c = (a · c) + (b · c) ⎛ 2⎞ Ejemplo: ⎜3 − ⎟ ⋅ 4 = (3 ⋅ 4) − ⎛ 2 ⋅ 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠ ⎝5 ⎠ ⎛ 13 ⎞ 8 ⎜ ⎟⋅4 = 12 − ⎝5⎠ 5 52 52 = 5 5 21
  21. 21. g) Factor cero: todo número multiplicado por cero da cero. Es decir, si a es un número real entonces: a·0=0 3·0=0 √3 · 0 = 0 (-4) · 0 = 0 Propiedades de los números reales en la división: a) Si a y b son números reales, con b ≠ 0, entonces su cociente a / b o a ÷ b es un número real. Debido a esta propiedad se dice que el conjunto de números reales es cerrado respecto a la división, con divisor no nulo. b) La división de números reales no es conmutativa. Observa que: 8÷2≠2÷8 4 ≠ 0,25 c) La división de números reales no es asociativa; observa que: (16 ÷ 4) ÷ 2 16 ÷ (4 ÷ 2) = 4 ÷2 = 16 ÷ 2 = 2 = 8 y como 2 ≠ 8 entonces: (16 ÷ 4) ÷ 2 ≠ 16 ÷ (4 ÷ 2) d) El número real uno (1) es elemento identidad por la derecha para la división. Observa que el cociente de cualquier número real “x” entre 1 es igual al número x: x÷1=x pero 1 no es elemento identidad por la izquierda: 1 ÷ 3 = 0,333 ≠ 3 e) El divisor en una división siempre debe ser diferente de cero. Propiedades de los Números Reales en la Potenciación: Producto de potencias de igual base: a.) 34 ⋅ 32 = (3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3) ⋅ (3 ⋅ 3) = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 36 ⎛ − 1 ⎞ ⎛ − 1 ⎞ ⎡⎛ − 1 ⎞ ⎛ − 1 ⎞ ⎛ − 1 ⎞⎤ ⎛ − 1 ⎞ − 1 − 1 − 1 − 1 ⎛ − 1 ⎞ 3 4 b.) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = ⎢⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟⎥ ⋅ ⎜ ⎟ = ⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎣⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠⎦ ⎝ 5 ⎠ 5 5 5 5 ⎝ 5 ⎠ El producto de potencias de igual base, es otra potencia que tiene la misma base y como exponente la suma de los exponentes de cada factor: a n ⋅ a m = a n + m 22
  22. 22. Ejercicios Usando la propiedad anterior, determina el valor de k en cada uno de los siguientes casos, para que la igualdad sea verdadera. 2. 5 k ⋅ 5 3 = 5 7 1. 2 3 ⋅ 2 7 = 2 k 4. 7 ⋅ 7 k = 71 ⋅ 1 3. (− 3)2 ⋅ (− 3) = (− 3)k Potencia de una Potencia: Considera los dos ejemplos siguientes: ( ) a) 9 2 3 = 9 2 ⋅ 9 2 ⋅ 9 2 = (9 ⋅ 9) ⋅ (9 ⋅ 9 ) ⋅ (9 ⋅ 9) = 9 6 2 ⎡⎛ − 2 ⎞ 3 ⎤ ⎛− 2⎞ ⎛− 2⎞ 3 3 ⎡⎛ − 2 ⎞ ⎛ − 2 ⎞ ⎛ − 2 ⎞⎤ ⎡⎛ − 2 ⎞ ⎛ − 2 ⎞ ⎛ − 2 ⎞⎤ ⎛ − 2 ⎞ 6 b) ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ = ⎢⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⎥ ⋅ ⎢⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⎥ = ⎜ ⎟ ⎢⎝ 3 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎣⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎦ ⎣⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎦ ⎝ 3 ⎠ ( ) m Proposición: a n = a n⋅m para resolver la potencia de una potencia, se copia la misma base y se multiplican los exponentes. Ejercicios: Usando la propiedad anterior, determina el valor de k en cada uno de las siguientes casos para que la igualdad sea verdadera. 5. (5 )2 5 = 5k 6. (a ) 2 k = a12 7. (11 )k 4 = 1124 ⎡⎛ 1 ⎞ 2 ⎤ 3 ⎛1⎞ k 8. ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎜ ⎟ ⎢⎝ 3 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ ⎝3⎠ Cociente de Potencias de Igual Base: Observa los siguientes ejemplos: 65 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 84 8⋅8⋅8⋅8 1 1 a) = = 6 ⋅ 6 = 62 b) = = = 3 6 3 6⋅6⋅6 8 7 8⋅8⋅8⋅8⋅8⋅8⋅8 8⋅8⋅8 8 23
  23. 23. an Proposición: = a n−m el cociente de potencias de igual base, es otra potencia que tiene la am misma base elevada a la diferencia de los exponentes, Ejercicios: Usando la propiedad anterior determina el valor de k en cada uno de las siguientes casos, para que la igualdad sea verdadera: 57 7k 9. = 5k 10. = 7 54 72 11. (− 4)4 = (− 4)2 12. 116 = (− 11) −2 (− 4)k 11k Potencia de exponente negativo: Considera los ejemplos siguientes: 2 4 ⎛1⎞ 12 ⎛ 1 ⎞ 14 1 a) 4 −2 = ⎜ ⎟ = 2 = 2 b) (− 7 )−4 = ⎜ ⎟ = = 1 ⎝4⎠ 4 4 ⎝−7⎠ (− 7 ) (− 7 )4 4 −3 −3 3 ⎛1⎞ 1 ⎛2⎞ ⎛5⎞ 53 c) ⎜ ⎟ = d) ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 3 ⎝2⎠ ⎝5⎠ ⎝2⎠ 3 ⎛1⎞ 2 ⎜ ⎟ ⎝2⎠ Para calcular una potencia de exponente negativo, se escribe el inverso de la base elevada al mismo exponente con signo positivo. n ⎛1⎞ Según lo dicho anteriormente, debería escribirse (a ) −n = ⎜ ⎟ = 1 ⎝a⎠ (a )n 1 Proposición: a −n = an Ejercicios: Usando la propiedad anterior determina el valor de k en cada uno de los siguientes casos, para que la igualdad sea verdadera: 14. (k ) 1 −3 1 13. − (7) −3 = = k3 (6)3 24
  24. 24. −2 k −4 4 ⎛7⎞ ⎛5⎞ ⎛k⎞ ⎛ 3 ⎞ 15. ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 16. ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎝7⎠ ⎝3⎠ ⎝ −5⎠ Potencia de un producto. Considera el ejemplo siguiente: a) (3 ⋅ 5) = (3 ⋅ 5) ⋅ (3 ⋅ 5) ⋅ (3 ⋅ 5) ⋅ (3 ⋅ 5) = (3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3) ⋅ (5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5) = 3 ⋅ 5 4 4 4 El ejemplo anterior ilustra la siguiente proposición: (a ⋅ b )n = a n ⋅ b n Ejercicios: Usando la propiedad anterior, determina el valor de k en cada uno de las siguientes casos, para que la igualdad sea verdadera: 17. (4 ⋅ 7 ) = 4 k .7 3 18. (8 ⋅ k ) = 8 4.7 4 3 4 19. (6 ⋅ 9 ) = 6 5.9 5 k 7 ⎛ 2 3⎞ 7 3 20. ⎜ ⋅ ⎟ = k 7 . ⎝ 7 5⎠ 5 Potencia de un cociente: Considere los dos ejemplos siguientes: ⎛ 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞ 5⋅5⋅5 5 3 3 a) ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = = 3 ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ 4⋅4⋅4 4 ⎛−9⎞ ⎛ − 9 ⎞ ⎛ − 9 ⎞ ⎛ − 9 ⎞ ⎛ − 9 ⎞ (− 9) ⋅ (− 9) ⋅ (− 9) ⋅ (− 9) (− 9 ) 4 4 b) ⎜ ⎟ =⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⋅⎜ ⎟= = ⎝ 7 ⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎝ 7 ⎠ 7⋅7⋅7⋅7 74 Los ejemplos anteriores ilustran la siguiente proposición: n ⎛a⎞ an ⎜ ⎟ = n ⎝b⎠ b 25
  25. 25. Ejercicios: Usando la propiedad anterior, determina el valor de en cada uno de las siguientes casos para que la igualdad sea verdadera: 5 3 ⎛2⎞ 25 ⎛4⎞ 8 21. ⎜ ⎟ = k 22. ⎜ ⎟ = ⎝3⎠ 3 ⎝k⎠ 125 ⎛ −3⎞ − 27 5 2+ k k 6 ⎛5⎞ 23. ⎜ ⎟ = 24. ⎜ ⎟ = ⎝ 4 ⎠ 64 ⎝2⎠ 64 Ejercicios: Determina la fracción canónica correspondiente a cada una de las siguientes expresiones: 25) 2 2 ⋅ 35 ⋅ 2 4 = 26) (− 25)6 ⋅ 1410 ⋅ (− 4)0 = 27) 3 + 2 −1 = 32 ⋅ 2 7 (− 7 )10 ⋅ 1010 32 ⋅ 2 7 −1 ⎡ 2 2 ⋅ 35 ⋅ 4 2 ⎤ 2 − 3 −2 ⎛1⎞ = 23 + 25 − ⎜ ⎟ ⎥ = 28) ⎢ 29) 2 ⎣ 3 ⋅2 ⎦ 2 4 ⎛ 4⎞ ⎝8⎠ = ⎜1 + ⎟ 30) ⎝ 3⎠ 2 ⋅3 4 31) (3 ) ⋅ (− 3 ) 4 3 2 4 = 32) − 3 ⋅ 4 −1 + 1 + 2 ⋅ 4 −2 4 −3 ⋅ 6 2 33) −8 2 (− 3)15 ⋅ 3 4 4 −1 − 2 ⋅ 4 − 2 2 ⋅3 Relaciones de Orden en el Conjunto de los Números Reales La relación "menor que" (<) En el conjunto de los números reales se define una relación, llamada "menor que", de la siguiente manera. Definición: Si a y b son números Reales (a ∈ R y b ∈ R ) se dice que a < b , si a − b es un número negativo. Ejemplo: a.) 2 < 3 pues 2 − 3 = −1 y − 1 es negativo 26
  26. 26. b.) − 3 < −1 pues − 3 − (− 1) = −2 y − 2 es negativo c.) − 5 < 2 pues − 5 − 2 = −7 y − 7 es negativo d.) − 6 < 0 pues − 6 − 0 = −6 y − 6 es negativo De la definición de la relación "menor que" se tiene que todo número negativo es menor que cero. La relación "mayor que" (>) Definición: Si a y b son números Reales (a ∈ R y b ∈ R ) se dice que a > b , si a − b es un número positivo. Ejemplo: a.) 5 > 2 pues 5 − 2 = 3 y 3 es positivo b.) 3 > −1 pues 3 − (− 1) = 4 y 4 es positivo c.) − 2 > −4 pues − 2 − (− 4 ) = 2 y 2 es positivo d.) 7 > 0 pues 7 − 0 = 7 y 7 es positivo De la definición de la relación "mayor que" se tiene que todo número positivo es mayor que cero. d) Algunas propiedades de la relación "menor que" Si a , b y c son números Reales (a ∈ R , b∈R y c ∈ R ) entonces: i. Sólo una de las siguientes condiciones es verdadera: a < b, a > b ó a = b ii. Si a < b y b < c entonces a < c Ejm. 2 < 4 y 4 < 7 entonces 2 < 7 iii. ⎧a > 0 y b > 0 Ejm. ⎪ 2 ⋅ 5 = 10 > 0 ya que 2 > 0 y 5 > 0 a ⋅b > 0 ⇔ ⎨ ó ⎪a < 0 y b < 0 (− 2) ⋅ (− 4) = 8 > 0 ya que − 2 < 0 y − 4 < 0 ⎩ iv. ⎧a > 0 y b < 0 Ejm. ⎪ a ⋅b < 0 ⇔ ⎨ ó (− 3) ⋅ 9 = (− 27 ) < 0 ya que − 3 < 0 y 9>0 ⎪a < 0 y b > 0 6 ⋅ (− 1) = (− 6) < 0 ya que 6 > 0 y −1 < 0 ⎩ v. Si a < 0 entonces 0 < −a Ejm. − 8 < 0 entonces 0 < −(− 8) es decir 0 < 8 vi. Si a < b entonces − b < −a Ejm. − 2 < 3 entonces − 3 < −(− 2 ) es decir r − 3 < 2 vii. Si a < b entonces a + c < b + c 27
  27. 27. Ejm. − 7 < 2 entonces − 7 + 5 < 2 + 5 Si además b ≠ 0 viii. a Si > 0 entonces a ⋅ b > 0 b 1 Ejm. > 0 entonces 1 ⋅ 3 > 0 3 ix. a Si < 0 entonces a ⋅ b < 0 b −1 Ejm. < 0 entonces (− 1) ⋅ 3 < 0 3 si c > 0 x. Si a < b entonces a ⋅ c < b ⋅ c Ejm. − 3 < 1 entonces − 3 ⋅ 9 < 1 ⋅ 9 Y si c < 0 xi. Si a < b entonces a ⋅ c > b ⋅ c Ejm. − 1 < 4 y c = (− 2 ) entonces (- 1) ⋅ (− 2 ) > 4 ⋅ (− 2 ) es decir 2 > (− 8) Observaciones: • Si en cada una de las propiedades anteriores se sustituye el símbolo “<” por el símbolo “>”; las propiedades que se obtienen son ciertas y corresponden a la relación "mayor que". • Si a y b son números reales, la expresión a < b es equivalente a decir que b > a . Simbólicamente se escribe: a<b → b>a Ejemplos: a) 2 < 3 es equivalente a 3 > 2 b) − 5 < −1 es equivalente a − 1 > −5 c) − 2 < 0 es equivalente a 0 > −2 Notación: la expresión a < b o a = b usualmente se escribe a ≤ b . La expresión a ≤ b se lee a es menor o igual que b . Observación: para que a ≤ b sea verdadera, basta con que se cumpla una de las siguientes condiciones: a < b o a = b . Ejemplos: a) 4 ≤ 6 es verdadera, pues 4 < 6 28
  28. 28. b) 2 ≤ 2 es verdadera, pues 2 = 2 c) 5 ≤ 3 es falsa, pues no se cumple 5 < 3 ni 5 = 3 Notación: la expresión a > b o a = b usualmente se escribe a ≥ b . Y se lee a es mayor o igual a b . Observación: para que a ≥ b sea verdadera basta con que se cumpla una de las siguientes condiciones: a > b ó a = b Ejemplos: a) 3 ≥ −2 es verdadera, pues 3 > −2 b) 6 ≥ 6 es verdadera, pues 6 = 6 c) − 2 ≥ 0 es falsa, pues no se cumple − 2 > 0 ni − 2 = 0 Valor absoluto en el Conjunto de los Números Reales Definición: Sean a y b números reales ( a ∈ R y b ∈ R ) y supongamos que a ≤ b ; se llama distancia entre a y b , al número no negativo que resulte de b − a . b−a a b Notemos que la distancia entre dos números reales diferentes entre sí, es un número positivo, pues el menor se resta del mayor. Véanse los siguientes ejemplos: a) La distancia entre 1 y 4 es 3, pues 4 – 1 = 3 b) La distancia entre 2 y -3 es 5, pues 2 – (-3) = 2 + 3 = 5 c) La distancia entre -7 y -4 es 3, pues (-4) – (-7) = (-4) + 7 = 3 Ejercicio: Para cada uno de los casos siguientes, determina la distancia entre los números a y b si: 34. a = 2 b=9 35. a = −3 b=5 36. a = 0 b=6 37. a = 2 b = −7 38. a = −1 b = −9 39. a = −4 b=0 29
  29. 29. Orden en el conjunto de los números reales: Supongamos que se desea calcular la distancia entre 0 y un número real x cualquiera. A esta distancia la denotaremos por x y se llama valor absoluto de x . Así: x indica la distancia entre x y 0 . Ejemplo: a) 6 = 6 1 2 3 4 5 6 0 6 b) − 5 = 5 1 2 3 4 5 -5 0 En general, sea x ∈ R i. Si x > 0 ; tenemos que x = x − 0 = x , o sea, si x > 0 entonces x = x . a−0 0 a ii. Si x < 0 ; tenemos que x = 0 − x = − x , o sea, si x < 0 entonces x = − x . 0− x x 0 30
  30. 30. iii. Si x = 0 ; tenemos que x = 0 − 0 = 0 , o sea, si x = 0 entonces x = −0 . Así tenemos la siguiente definición: Para cada número real x , definimos su valor absoluto, y lo representamos por x de la manera siguiente: x =x si x≥0 o x = −x si x<0 Ejercicios: Usando la definición de valor absoluto, calcula: 40. 11 41. − 13 42. 0 2 3 43. 44. − 45. − 115 5 4 Reglas de los Signos: En suma de números con signos iguales, se suman los números y el resultado lleva el mismo signo. Ejemplos: a) 5 + 8 = 13 b) (-2) + (-7) = -9 Si los números tienen signos diferentes, se restan y el resultado lleva el signo del mayor valor absoluto. Ejemplos: a) (-5) + 8 = +3 b) 2 + (-9) = -7 En multiplicación y división de números con signos iguales el resultado es positivo. Si los números tienen signos opuestos, el resultado es negativo. Ejemplos: a) 5 · 8 = 40 b) 2 · (-9) = -18 c) (-1) · (-4) = 4 d) (-3) · 6 = -18 Reglas Importantes para Resolver Operaciones Aritméticas: Primero: resolver todo lo que esté dentro de símbolos de agrupación. Segundo: Evaluar las expresiones exponenciales. Tercero: Hacer todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha. Cuarto: Hacer todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha. Ejemplo: 12 ⋅ (9 − 7 ) + 4 ⋅ 5 12 ⋅ (2 ) + 4 ⋅ 5 = 34 + 2 3 34 + 2 3 31
  31. 31. = 12 ⋅ (2 ) + 4 ⋅ 5 81 + 8 = 24 + 20 81 + 8 = 44 89 Subconjuntos que conforman el Conjunto de números reales En este curso se estudiará el conjunto de números reales, el cual se denota con la letra mayúscula R. Este conjunto se forma de la unión de los siguientes conjuntos: El conjunto de números Naturales denotado por N N = {1,2,3,...} Se conoce como el conjunto de números que se usa para contar. El conjunto de números Enteros denotado por Z Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} El conjunto de números Racionales denotado y definido por Q ⎧a ⎫ Q = ⎨ , siendo a ∈ Z , b ∈ Z y b ≠ 0⎬ ⎩b ⎭ Estos números representan el cociente entre dos enteros, pues: a = a ÷b b Ejemplos: 1 4 16 21 9 0 , , , , , 2 10 8 5 9 11 El conjunto de números Irracionales denotado por I y definido por I = {decimales infinitos no repetitivos} Estos números no se pueden expresar como un cociente entre dos enteros. Ejemplos: 2, π , 3 Anota y recuerda: Todo número entero se puede escribir como un número racional de la a forma a = o una fracción equivalente : 1 32
  32. 32. 2 4 −8 − 72 Ejemplos: a) 2 = ó 2= b) − 8 = ó −8 = 1 2 1 9 a Un número racional equivalente a 1 se escribe de la forma a 1 2 − 3 − 14 Ejemplo: 1 = = = = 1 2 − 3 − 14 Todo número racional puede escribirse como un decimal finito o un decimal infinito repetitivo. Ejemplos: 1 = 0,5 decimal finito 2 1 = 0, 3 3 decimal infinito repetitivo La relación entre los conjuntos antes mencionados es: R Z Q Q I N 33
  33. 33. LECTURA N° 3 : EL MUNDO DE LAS PROPORCIONES Tomado con fines instruccionales de: Fundación Polar: Matemática para todos. Fascículo 10. (pp. 153-155 y 145-151). [Consulta en Línea]. Octubre 2007 La Divina Proporción El Rectángulo de Oro En 1876, el filósofo alemán Gustav Theodor Fechner (1801- 1887) hizo un estudio sobre los rectángulos con proporciones especiales entre sus lados. Cerca del 75% de los encuestados seleccionaron los Rectángulos de Oro como más estéticos y placenteros a la vista y al gusto, entre un grupo de formas rectangulares. La selección de los rectángulos cuya razón entre las longitudes de sus lados es: (1 + 5 ) ÷ 2 aproximadamente 1,618: la Razón de Oro o Divina Proporción C P Observa la construcción del rectángulo de oro 5 B 2 1 1 1 2 M 5 M M 1 1 2 1 1 2 2 2 Se dibuja un cuadrado Se determina M, Con un radio MB se traza A Rectángulo de oro Q punto medio de Un arco para ACPQ determinar P. un lado. QP 1 + 5 = QA 2 Los griegos y las proporciones: Estos rectángulos especiales son llamados Rectángulos de Oro. Las cartas de barajas, muchas puertas, ventanas y portadas de libros, son ejemplos de Rectángulos de Oro. Los griegos utilizaron la Razón de Oro para casi todas sus esculturas y construcciones. El Partenón tiene muchos Rectángulos de Oro. El investigador norteamericano Jay Hambidge estableció que la razón de oro está presente en las proporciones del ser humano. La razón de la altura (b) del ser humano a la altura (h) del ombligo es muy próxima a la Razón de Oro. La razón en el brazo y la razón en la cabeza son también razones próximas a la Razón de Oro. 34
  34. 34. Las escaleras de casas, edificios o calles guardan una relación entre la altura de los escalones y el ancho del escalón. Además, se construyen de forma tal que la altura del escalón sea proporcional a la altura promedio de las personas. Cuando una escalera mecánica está parada se hace mayor esfuerzo para subir por ella. La altura de los escalones no son proporcionales a la altura promedio de las personas. Proporcionalidad y Belleza Alguna vez hemos escuchado una expresión como esta: ¡qué bien proporcionada está esa chica!, sus medidas son 90-60-90. Esto significa que la medida de su busto y de su cadera es de 90 cm. y la de su cintura 60 cm. si además de esto, su cuerpo está distribuido según el estudio de las proporciones humanas (que Le Corbusier ha hecho de las relaciones que den cumplir las diferentes partes del cuerpo humano para ser considerado perfecto), y su cara está demarcada por los “rectángulos de oro” (rectángulo cuya proporción entre sus lados es aproximadamente 1,618) consideremos que una persona que cumpla con todas estas condiciones es bella matemáticamente. Entonces podríamos preguntarnos: ¿Qué es la belleza? Cabe definir la belleza como el conjunto de cualidades cuya manifestación sensible produce un deleite espiritual, un sentimiento de admiración. La belleza resulta de armonías y contrastes de líneas, colores, formas, tono y palabras, que sugieren o presentan atractivos de la naturaleza, situaciones humanas, logros, anticipaciones o sueños. En el siglo XIII Santo Tomás de Aquino formuló lo siguiente: “los sentidos se deleitan en la cosas debidamente proporcionadas” (Matemáticas, Colección Científica de ime Life, 1971, México). Santo Tomás se refería a la relación directa y frecuentemente manifiesta que existe entre la belleza y la matemática, la cual se encuentra presente a lo largo de la historia con el denominado número de oro, también conocido como la “divina proporción” Este es un número que tiene un valor aproximado de 1.618 y que aparece en la relación que se establece entre los lados que están en proporción de oro en un rectángulo. 35
  35. 35. LECTURA N° 4: PROPORCIONES Y PORCENTAJES Tomado con fines instruccionales de: Gómez, B., Gómez, T., González, N., Moreno, E., Rojas, M., (2006). Proporciones y Porcentajes , Artículo no publicado. Caracas. Proporciones Cuando hablamos de Proporción queremos significar que existe algún tipo de correspondencia entre dos procesos. Existen muchas situaciones de la vida cotidiana que involucran una relación constante entre dos o más variables. Estas pueden ser: Proporcionalidad directa La proporcionalidad directa entre dos variables supone que cuando una de las variables aumenta, la otra también lo hace. Este concepto implica la idea de “crecimiento conjunto”, donde la contribución de una de las variables ( x ) afecta siempre de la misma manera a la otra ( y ). Si esto se cumple podemos escribir que: y = kx Donde k > 0 y representa dicha contribución, también es la llamada constante de proporcionalidad. Es importante destacar que existen otras maneras de expresar relaciones de proporcionalidad directa entre variables como sigue: a) 1 : 2 como A : B Se lee “1 es a 2 como A es a B”, lo cual quiere decir que A es proporcional a B de la misma manera que 1 es proporcional a 2 y significa que: A 1 = B 2 por lo tanto, este valor está indicando la constante de proporcionalidad. Ejemplo 1: la compra de alimentos, por regla general, es un clásico ejemplo de proporcionalidad directa. Si 1 Kg de carne cuesta BsF. 11,2 y realizo una compra de 4,25 Kg ¿Cuánto debo cancelar? Mientras mayor cantidad de carne (c) compre mayor será el monto a cancelar (d) por lo tanto, la correspondencia es directamente proporcional. En consecuencia, podemos escribir: d = k ⋅ c Buscamos el valor de k 36
  36. 36. d k= ⇒ 11,2 BsF ⇒ BsF . c k= k = 11,2 1 Kg Kg Una vez encontrado el valor de la constante sustituimos en la primera ecuación BsF ⇒ BsF d = 11,2 ⋅c d = 11,2 ⋅ 4,25 Kg ⇒ d = 47,6 BsF Kg Kg Ahora bien, “ y ” puede ser proporcional no sólo a “ x ”. Pueden darse casos donde la proporcionalidad viene dada por el cuadrado de “ x ”, es decir y = k ⋅ x 2 o por la raíz cuadrada de ” x ”, lo cual quedaría expresado como y=k⋅ x. Ejemplo 2: la velocidad de aterrizaje de un aeroplano es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su masa. Si un aeroplano que tiene una masa de 1.600 Kg aterriza a 80 Km/h. ¿Con qué velocidad aterrizaría si pesara 2.500 Kg? Mientras mayor masa (m) tenga el aeroplano, aterrizará con mayor velocidad (v) por lo que en este caso la correspondencia es directamente proporcional, pero a la raíz cuadrada de la masa, como lo indica el enunciado del problema. Por lo tanto, podemos plantear: v=k m Para calcular 1.600 Buscamos el valor de k Se descompone la cantidad sub radical Km 80 = k 1600 Kg 1600 2 h 800 2 1.600 = 2 6 ⋅ 5 2 Km 400 2 80 k= h 200 2 Al calcular la raíz cuadrada 1600 Kg 100 2 resulta 50 2 Km 2 6 ⋅ 5 2 = 2 3 ⋅ 5 = 40 k =2 25 5 h ⋅ Kg 5 5 1 Una vez encontrado el valor de la constante sustituimos en la primera ecuación ⎛ Km ⎞ v = ⎜2 ⎟ m ⎜ h ⋅ Kg ⎟ ⎝ ⎠ Para una masa de 2.500 Kg sería: 37
  37. 37. ⎛ Km ⎞ Para calcular 2.500 v = ⎜2 ⎟ 2.500 Kg Se descompone la cantidad sub ⎜ h Kg ⎟ ⎝ ⎠ radical ⎛ Km ⎞ 2500 2 v = ⎜2 ⎟ ⋅ 50 Kg ⎜ h Kg ⎟ 1250 2 ⎝ ⎠ 625 5 Km 2.500 = 2 2 ⋅ 5 4 v = 100 125 5 h 25 5 Al calcular la raíz cuadrada 5 5 resulta 1 Proporcionalidad inversa La proporcionalidad inversa entre dos variables supone que cuando al crecer una de las variables la otra decrece. En este caso la relación entre las variables “ x ” e “ y ” viene dada por la expresión: 1 y=k x Ejemplo 3: 8 jóvenes piensan salir de campamento con víveres para 24 días; llegado el momento, 2 de ellos deciden no ir. ¿Para cuántos días alcanzarán los víveres? Si 8 jóvenes podían vivir 24 días, al disminuir la cantidad de jóvenes ( j ) los alimentos durarán más días (d); la correspondencia es inversamente proporcional, por lo tanto podemos escribir: 1 d =k j Buscamos el valor de k k = d ⋅ j ⇒ k = 24 días ⋅ 8 jóvenes ⇒ k = 192 días ⋅ jóvenes Una vez encontrado el valor de esta constante sustituimos en la primera ecuación 1 1 d = 192 días ⋅ jóvenes ⋅ ⇒ d = 192 días ⋅ jóvenes ⋅ j 6 jóvenes ⇒ d = 32 días . Esto significa que los víveres alcanzarán ahora para 32 días. 38
  38. 38. Regla de tres Una de las aplicaciones más importantes de las proporciones se encuentra en la resolución de problemas de regla de tres simple y compuesta. La regla de tres es una operación aritmética que consiste en calcular el cuarto término de una proporción, conocidos los otros tres. En este tipo de problemas, la parte conocida del planteamiento de las proporciones se conoce con el nombre de supuesto, mientras que los datos de la parte que contiene la incógnita, recibe el nombre de pregunta. La regla de tres puede ser: a) Regla de tres simple directa es cuando solamente intervienen en ella dos variables que se relacionan con proporcionalidad directa. Ejemplo 4: Si 4 pelotas cuestan Bs.F. 34,6 ¿Cuánto costarán 16 pelotas? Aquí el supuesto es: “Si 4 pelotas cuestan Bs.F. 34,6” y la pregunta puede escribirse como: “¿16 pelotas cuánto costarán?” El planteamiento de la Regla de Tres sería: 4 pelotas → Bs.F . 34.6 16 pelotas → Bs.F . x Bs.F . 34,6 Bs.F . x Esto es equivalente a : = 4 pelotas 16 pelotas Bs. x = (Bs.F . 34,6) ⋅ (16 pelotas ) ⇒ Bs .F . x = Bs .F . 138 , 4 4 pelotas Lo cual quiere decir que 16 pelotas costarán Bs.F. 138,4. b) Regla de tres simple inversa es cuando solamente intervienen en ella dos variables que se relacionan con proporcionalidad inversa. Ejemplo 5: Cuatro obreros hacen una obra en 12 días ¿En cuántos días la harían 7 obreros? Aquí el supuesto es: “Si 4 obreros realizan la obra en 12 días” y la pregunta puede escribirse como: “¿7 obreros en cuántos días la realizarán?” El planteamiento de la Regla de Tres sería: 4 obreros → 12 días 7 obreros → x días A mayor cantidad de obreros menos días para terminar la obra, es decir, la correspondencia es inversamente proporcional. 39
  39. 39. x días 4 obreros = x días = (12 días ) ⋅ (4 obreros ) 12 días 7 obreros ⇒ 7 obreros ⇒ x = 6,9 días ≈ 7 días . Es decir, los 7 obreros necesitarán aproximadamente 7 días. c) Regla de tres compuesta: es cuando intervienen tres o más variables. El método de resolución consiste en descomponer la Regla de Tres Compuesta en Reglas de Tres Simples y luego multiplicar ordenadamente las proporciones formadas. Al formar cada Regla de Tres Simple se considera que las demás magnitudes no varían. Ejemplo 6: Si 3 hombres trabajan 8 horas diarias y terminan 80 metros de una obra en 10 días, ¿cuántos días necesitarán 5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros? Aquí el supuesto es: “Si 3 hombres trabajando 8 horas diarias y terminan 80 metros de la obra en 10 días”, lo cual también se puede escribir: 3 hombres → 8 horas diarias → 80 metros → 10 días y la pregunta puede escribirse como: “¿5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros en cuántos días lo harán?” y puede escribirse como: 5 hombres → 6 horas diarias → 60 metros → x días? En este caso tenemos 3 proporciones: i. Hombres vs días para completar la obra 3 hombres realizan la obra en 10 días 5 hombres realizan la obra en x días A mayor cantidad de hombres menos días para terminar la obra, es decir, la correspondencia es inversamente proporcional: 5 10 = 3 x ii. Horas diarias trabajadas vs días para completar la obra con 8 horas diarias se completa la obra en x días con 6 horas diarias se completa la obra en y días A mayor cantidad de horas diarias la obra se completa más rápido, es decir, en menor cantidad de días, por lo que la relación es inversamente proporcional. 40
  40. 40. 6 x = 8 y iii. Días empleados para terminar la obra vs cantidad de metros completados 80 metros se realizan en y días 80 y = 60 metros se realizan en z días 60 z Si multiplicamos término a término las proporciones resulta: 5 ⋅ 6 ⋅ 80 10 ⋅ x ⋅ y 10 ⋅ 3 = ⇒z= ⇒ z=6 3 ⋅ 8 ⋅ 60 x ⋅ y ⋅ z 5 Es decir, se necesitarán 6 días, trabajando 5 hombres, 6 horas diarias para hacer 60 metros de la obra. Porcentajes El porcentaje de un número o tanto por ciento significa “cierta parte de 100”. Las formas más usuales de expresar un porcentaje son la forma fraccionaria y la forma decimal. El 4% de 80 se 4 puede escribir en forma de fracción como de 80, es decir, las cuatro centésimas partes 100 de 80. Ochenta se divide en cien partes iguales y se toman cuatro y visto como un decimal, es 4 decir, = 0,04 de 80. En esta temática se pueden observar ejercicios que contemplan 100 cuatro casos: 1.- Encontrar el tanto por ciento de un número: Hallar el 20% de 30 El 100% es 30; por tanto el 20% de 30 será x 100% → 30 20% → x 30 ⋅ 20% x= =6 100% Directamente se puede calcular el porcentaje multiplicando el porcentaje escrito en forma decimal por el número. Así, en el ejemplo anterior se haría el cálculo de la siguiente manera: 20 Como 20% = = 0.20 , tenemos que el 20% de 30 es igual a: 100 0.20 .30 = 6 41
  41. 41. 2.- Encontrar el número cuando se conoce un tanto por ciento del mismo. ¿De qué número es 46 el 23%? El 23% del número que se busca es 46 y el 100%, es decir, el número buscado será x : 23% → 46 100% → x 100% ⋅ 46 x= = 200 23% 3.- Encontrar qué porcentaje es un número de otro ¿Qué tanto por ciento es 840 de 2.940? 2.940 → 100% 840 → x% 840 ⋅ 100% x= = 28,6% 2940 Aumentos y disminuciones porcentuales: Las situaciones que indican el aumento del valor de un objeto o el descuento de otro pueden expresarse como porcentajes. 4.- Ejemplo de aumento porcentual: Si un metro de tela cuesta Bs.F.15 ¿En cuánto debe venderse para ganar el 15% del costo? Primero buscamos el porcentaje que se desea aumentar 100% → Bs.F .15 15% → Bs.F .x 15% ⋅ Bs.F . 15. x= = Bs.F . 2.25 100% El aumento es de Bs.F. 2.25 por lo tanto el precio en que la tela debe venderse corresponde a la suma del precio costo más el aumento porcentual o ganancia, es decir: Bs.F .15 + Bs.F . 2.25 = Bs.F .17.25 5.- Ejemplo de disminución porcentual: Arturo debe BsF. .900. Si le rebajan el 5% de su deuda ¿Cuánto pagará? 100% → Bs.F . 900 5% → Bs.F . x 5% ⋅ Bs.F . 900 x= = Bs.F . 45 100% 42
  42. 42. El descuento que le realizaron a la deuda de Arturo es de Bs.F. 45. Para conocer cuánto debe pagar efectuamos una resta: Bs.F . 900 − Bs.F . 45 = Bs.F . 855 Ejemplo de Interés Por medio de la Regla de Tres se puede encontrar la ganancia o interés que produce una determinada suma de dinero o capital, prestado o ahorrado, a un tanto por ciento conocido, durante un tiempo determinado. Ejemplo 7: un empleado tome un préstamo de Bs.F. 480 al 5% anual. Si tarda 3 años en cancelarlo. ¿Cuánto debe pagar de interés? Para resolver el problema se realiza el cálculo del interés anual y luego se multiplica por el número de años que tardó en pagarlo En un año: 100% → Bs.F . 480 5% → Bs.F . x 5% ⋅ Bs.F . 480 x= = Bs.F . 24 100% Como tardó cuatro años: Bs.F . 24 ⋅ 4 año = Bs.F . 96 año El total a pagar será: Bs.F . 480 + Bs.F . 96 = Bs.F . 576 EJERCICIOS 1. En una evaluación de 40 preguntas con un puntaje total de 100 (cada pregunta tiene el mismo valor), un alumno obtiene 75 puntos. ¿Cuántas preguntas contestó correctamente? 2. La relación entre dos números es de 5 a 2. Hallar los números, sabiendo que la suma de ellos es 49. 3. En un almacén habían 40 paquetes de queso. Si 14 ratones dejaron 5 paquetes sin roer. ¿Cuántos paquetes hubieran quedado si sólo hubiesen dos ratones? 4. Si dos obreros construyen una casa en 12 días. ¿Cuánto tardarán seis obreros? 43
  43. 43. 5. Un grupo de excursionistas van a acampar con provisiones para 30 días, pero en el viaje se les une un grupo de 4 personas que no llevan alimento. ¿Cuántos días podrían acampar ahora? 6. Si dos obreros hacen 4 muebles en 2 días. ¿Cuántos obreros son necesarios para hacer dos muebles en un día? 7. Si 4 ascensores consumen 40 Kw. de corriente para transportar 600 Kg cada uno a 8 m de altura. ¿Cuántos Kw. de corriente se necesitarán para que 6 ascensores puedan elevar 200 Kg. de peso cada uno a 5 m de altura? 8. Un frutero compró 300 manzanas a razón de 4 por Bolívar Fuerte y 200 a razón de 5 por Bolívar Fuerte. Si las vendió todas a razón de 5 por 2 Bolívares Fuertes. ¿Cuánto ganó? 9. Los organizadores de un concierto necesitan carpinteros para construir las tarimas. Ellos saben que 15 carpinteros pueden construir dos tarimas en 10 días. Faltando dos semanas para el concierto, los organizadores lograron contratar sólo 5 carpinteros para construir la tarima. ¿Cuándo terminarán de construir la tarima? 10. Se emplean 10 hombres durante 5 días, trabajando 4 horas diarias para cavar una zanja de 10 metros de largo, 6 metros de ancho y 4 metros de profundidad. ¿Cuántos días necesitarán 6 hombres para cavar otra zanja de 15 metros de largo, 3 metros de ancho y 8 metros de profundidad, en un terreno de triple dificultad? 11. Un vendedor gana un sueldo fijo de Bs.F. 820 mensuales. Además gana una comisión del 2% de la venta. El mes pasado ganó en total Bs.F. 1600,00. ¿Cuánto vendió en ese mes? 12. Una mueblería da el 12% de rebaja en una silla que normalmente cuesta Bs.F. 82,50. ¿Cuánto hay que pagar por la silla? 13. Karen compró lápices que costaban originalmente Bs.F. 1,00 cada uno, con un descuento del 10%. Luego los vendió en su colegio 10% más caros de lo que ella los compró. ¿A cuánto vendió los lápices Karen? 14. Un tubo de pasta de dientes cuesta en el abasto Bs.F. 3,90. En el supermercado, el mismo tubo cuesta Bs.F. 3,25. ¿Qué tanto por ciento es la diferencia de precios? 15. Se incendia un carro asegurado en el 86% de su valor y se cobran Bs.F. 45300 por el seguro. ¿Cuál era el valor del auto? 16. Alfredo compró un carro que originalmente valía 42000 Bolívares Fuertes, con un descuento del 5%. Al cabo de un mes, Alfredo decide venderle su carro a Pedro, pero 44
  44. 44. con un 5% de descuento sobre el precio al que él lo compró. ¿En cuánto compró Pedro el carro? 17. Un comerciante compra un televisor en Bs.F. 625 con un 25% de descuento. Arrepentido de la compra, y pensando en recuperar la inversión, decide vender dicho televisor en el mismo precio que lo compró más un 25%. ¿Cuál fue el precio de esta última venta? 45
  45. 45. UNIDAD 2 EXPRESIONES ALGEBRAICAS LECTURA N° 5: LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y SU TERMINOLOGÍA Tomado con fines instruccionales de: Gómez, T., González, N., Vergara, A. (2000). Matemáticas Básicas. Caracas: Universidad Alejandro de Humboldt. Entre las distracciones más comunes que utilizan las personas están: los programas de televisión, el cine, conciertos, los cuales se encuentran llenos de la magia de la animación y audio. Muchos espectadores comentan sobre lo bueno o malo que resultó la animación de la caricatura o lo inolvidable de los efectos de audio, como ecos, distorsiones o simulaciones. Para la producción de esta magia, los expertos se valen de programas de computadoras que usan funciones matemáticas denominadas splines, en el subcampo matemático del análisis numérico. Un spline es una curva definida a trozos mediante polinomios, el siguiente es un ejemplo gráfico: Fuente: Elaboración propia. Caracas 2007 Así como la animación y el audio, otros fenómenos requieren del uso de las matemáticas, para lo cual es necesario utilizar un lenguaje específico para su transmisión, difusión y comunicación. Este lenguaje posee varios componentes: Símbolos o Signos COMPONENTES Vocabulario Gráficos Las funciones matemáticas están conformadas por expresiones que generalizan las operaciones aritméticas, empleando números, letras y signos; donde, cada letra o signo 46

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