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グラフィカル Lasso を用いた異常検知

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多変数の間の直接相関をスパース推定する手法であるグラフィカル Lasso と、その異常検知への応用についてまとめました。

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グラフィカル Lasso を用いた異常検知

  1. 1. グラフィカル Lasso を用いた異常検知 M1 高品 佑也 1
  2. 2. 背景: 異常検知とは 予期される入力に そぐわない入力を 検知すること。 機器の故障予測 ネットワークの 侵入検知 2
  3. 3. 背景: 異常検知のタスク 外れ値検知 正常な範囲から 外れたら異常と する﴾図右上﴿。 変化検知 潜在状態が変化 したら異常とす る﴾図中央下﴿。 3
  4. 4. 背景: 教師あり異常検知 ネイマン・ピアソン決定則 正常モデルと異常モデルの尤度比 ﴾密度比﴿ が閾値を超え たら異常とする。 ln 一般的な二値分類タスクと違い、事後確率ではなく尤度を使 うのは、事前確率に偏りがあるから。 p(x∣y = normal) p(x∣y = anomaly) 4
  5. 5. 背景: 教師なし異常検知 異常が ﴾ほとんど﴿ 含まれていないと信じられるデータから、 正常状態だけをモデル化する。 正常モデルから見て、確率の低い点を異常とする。 − ln p(x∣y = normal) 5
  6. 6. 背景: 教師あり・教師なし比較 教師あり 尤度比の式の対数を開くと以下のようになる。 ln p(x∣y = anomaly) − ln p(x∣y = normal) 教師なし 正常時しかモデル化できない。 − ln p(x∣y = normal) 6
  7. 7. 今回の問題設定 多変量の時系列データに対する教師なし異常検知。 外れ値検知と変化検知どちらも行いたい。 ⋮ 教師なしなので、まずは正常時の同時確率をモデル化。 7
  8. 8. 正常時のモデル 正常時の分布を多変量ガウス分布でモデル化。 ただし各変数について平均 0 分散 1 に正規化しておく。 p(x) = N(x∣0, Λ ) 変数間の直接相関 が精度行列 Λ に対応する 。 真の直接相関がスパース﴾Λ がスパース﴿と仮定する。 解釈のしやすさ、ノイズへの頑健性。 時間的な依存関係は無視。 −1 ∗1 ∗2 8
  9. 9. 推定量 モデルの事後確率を最大化するように Λ を選ぶ。 N はデータ数。 = arg ln p(Λ) N(x ∣0,Λ ) Λ がスパースになって欲しいので、事前分布を以下で取る。 ρ はラプラス分布の尺度 ﴾scale﴿ パラメータの逆数。 p(Λ) = exp −ρ∥Λ∥ Λ^ Λ max { n=1 ∏ N (n) −1 } 2 ρ ( 1) 9
  10. 10. 計算手法 Λ の MAP 推定の式を変形すると以下のようになる。 S は標本分散共分散行列。 = arg ln det Λ − tr(SΛ) − ρ∥Λ∥ 解析解が求まらないので、ブロック座標降下法で解く 。 他の行﴾列﴿を固定し、ある行﴾列﴿について最適化。 Λ^ Λ max { 1} ∗3 10
  11. 11. 結局グラフィカル Lasso とは 多変量ガウス分布の精度行列 Λ をスパース推定する手法。 これまでヒューリスティックにスパース推定していたのを、 L 正則化に帰着させた。 多変量ガウス分布の性質上、精度行列 Λ の非対角成分が変数 間の条件付き独立性に対応するのがうれしい。 1 11
  12. 12. なぜグラフィカル Lasso と呼ばれるか グラフィカルモデルの一種に、マルコフ 確率場 ﴾Markov random field; MRF﴿ とい うものがある。 多変量ガウス分布はマルコフ確率場とし て解釈でき、精度行列 Λ の非 0 成分が グラフ上の辺の有無に対応。 精度行列 Λ の学習はマルコフ確率場の 構造学習に対応する。 12
  13. 13. グラフィカル Lasso の実行例 38 変数のデータをグラフィカル Lasso にかけた例。右の方が より強い正則化をかけてある。 13
  14. 14. 異常検知への応用 外れ値検知 正常モデルの尤度から判定する。 変化検知 グラフ構造﴾変数の相関関係﴿の変化に対応付ける。 14
  15. 15. 外れ値検知 i 番目の変数についての異常度 a を以下のように定義。 a (x) ≡ − ln p(x ∣x ) 個別の異常だけでなく、他の変数との関係の異常も検知。 i i i i 15
  16. 16. 多変量ガウス分布であることを使うと、異常度は以下のよう に変形できる 。 a (x) ≡ − ln p(x ∣x ) = ln + Λ x ∗4 i i i 2 1 Λi,i 2π 2Λi,i 1 ( j=1 ∑ M i,j j) 2 16
  17. 17. 変化検知 精度行列が Λ から Λ に変化したとすると、その差 Θ = Λ −Λ からグラフ構造の変化が読み取れる。 グラフの変化がスパース﴾Θ がスパース﴿と仮定する。 しかし、 Λ,Λ を個別に推定して差を取っても、Θ は自動的 にはスパースにならない。⟶ Θ を直接推定。 ′ ′ ′ 17
  18. 18. 精度行列の差 Θ = Λ −Λ は、尤度比に対応する。 r (x) = ∝ exp − x Θx Θ がスパースになるように r (x) を学習する。 ′ Θ ∗ N(x∣0,Λ )′−1 N(x∣0,Λ )−1 ( 2 1 ⊤ ) Θ ∗ 18
  19. 19. p(x) = r(x)p (x) の全確率が 1 になるように正規化。 r (x) = r (x)p (x) が p(x) の良い近似になるように Θ を求める。 = arg KL(p ∥ rp ), subject to ∥Θ∥ ≤ R 具体的な計算は [8] を参照。 ′ Θ dxp (x)r (x)∫ ′ Θ ∗ r (x)Θ ∗ Θ ′ Θ^ Θ min ′ 1 19
  20. 20. 現状できないこと ガウス分布以外への対応。 ラプラス分布・指数分布など。 多峰性の分布への対応。 実用上十分ありうる﴾複数の動作状態がある系﴿。 最新の論文ではやっているっぽい[7]。 季節性を考慮した異常検知。 因果関係の発見。 20
  21. 21. デモ sklearn.covariance.GraphLasso を使ってみた。 以下のリポジトリの  glasso/glasso‐anomaly.ipynb 。 https://github.com/y‐takashina/notebooks/ 21
  22. 22. Appendix 22
  23. 23. 1: 直接相関と間接相関 直接相関 他の変数で条件づけられた上での、 2 変数だけの相関。 p(x , x ∣x , … , x ) = 間接相関 他の変数を介した相関を含む。 p(x , x ) = dx … dx p(x) ∗ 1 2 3 M p(x , … , x )3 M p(x) 1 2 ∫ 3 M 23
  24. 24. 2: 直接相関と精度行列 Λ の関係 x , x が他の変数に条件付けられたときの同時確率は、 p(x , x ∣x , … , x ) = この式から x , x に関係する項だけを取り出す。 ∗ 1 2 1 2 3 M (2π)M/2 ∣ det Λ∣1/2 p(x , … , x )3 M exp − x Λx{ 2 1 ⊤ } 1 2 24
  25. 25. x Λx = x Λ x = x Λ x + 2 x Λ x + x Λ x = x Λ + 2x x Λ + x Λ + 2x x Λ + 2x x Λ + const. ただし Λ は対称行列なので、 Λ = Λ ⊤ i=1 ∑ M i j=1 ∑ M i,j j i=1 ∑ 2 i j=1 ∑ 2 i,j j i=1 ∑ 2 i j=3 ∑ M i,j j i=3 ∑ M i j=3 ∑ M i,j j 1 2 1,1 1 2 1,2 2 2 2,2 1 j=3 ∑ M j 1,j 2 j=3 ∑ M j 2,j i,j j,i 25
  26. 26. x , x について周辺化すると、 p(x ∣x , … , x ) ∝ exp − x Λ + 2x x Λ p(x ∣x , … , x ) ∝ exp − x Λ + 2x x Λ 1 2 1 3 M { 2 1 ( 1 2 1,1 1 j=3 ∑ M j 1,j)} 2 3 M { 2 1 ( 2 2 2,2 2 j=3 ∑ M j 2,j)} 26
  27. 27. これまでの式をまとめると、 p(x , x ∣x , … , x ) ∝ exp − x Λ + 2x x Λ +x Λ + 2x x Λ + 2x x Λ p(x ∣x , … , x ) ∝ exp − x Λ + 2x x Λ p(x ∣x , … , x ) ∝ exp − x Λ + 2x x Λ 1 2 3 M { 2 1 ( 1 2 1,1 1 2 1,2 2 2 2,2 1 j=3 ∑ M j 1,j 2 j=3 ∑ M j 2,j)} 1 3 M { 2 1 ( 1 2 1,1 1 j=3 ∑ M j 1,j)} 2 3 M { 2 1 ( 2 2 2,2 2 j=3 ∑ M j 2,j)} 27
  28. 28. x , x が条件付き独立である必要十分条件は、 p(x , x ∣x , … , x ) = p(x ∣x , … , x )p(x ∣x , … , x ) 先ほどの式で、同じ色の部分は打ち消しあうので、 Λ = 0 ⇔ x ⊥⊥ x ∣ other variables つまり、精度行列 Λ の (i, j) 成分は、他の変数に条件つけら れた上での独立性 ﴾≒直接相関?﴿ に対応する。 変数になっていない交絡因子がある場合は、厳密な意味 での直接相関にはならない気もする。 i j 1 2 3 M 1 3 M 2 3 M i,j i j 28
  29. 29. 3: ブロック座標降下法 Λ, Σ, S をある変数について特別視し、以下のように書く。 ≡ , ≡ , ≡ ある変数についての最適化は以下のようになる。 = arg w W w : ∥w − s∥ ≤ ρ ∗ Λ ~ [ L l⊤ l λ ] Σ ~ [ W w⊤ w σ ] S ~ [ R s⊤ s r ] w^ w min { ⊤ −1 ∞ } 29
  30. 30. 双対問題は以下のように書ける。 = arg ∥W β − b∥ + ρ∥β∥ , where b ≡W s, β ≡W w Lasso の形 β^ β min { 2 1 1/2 2 1} −1/2 −1 30
  31. 31. 4: 異常度の計算﴾最後が分からない﴿ a (x) ≡ − ln p(x ∣x ) = − ln    = ln(2π) − ln + (x Λx −x Lx ) = ln + (2x l x + x λ) = ln + l x + λx ∗ i i i ⎩ ⎨ ⎧ (2π)(M−1)/2 ∣ det L∣1/2 (2π)M/2 ∣ det Λ∣1/2 exp − x Lx{ 2 1 i ⊤ i} exp − x Λx{ 2 1 ⊤ } ⎭ ⎬ ⎫ 2 1 2 1 ∣ ∣ ∣ ∣ det L det Λ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 1 ⊤ i ⊤ i 2 1 ( λ −l L l⊤ −1 2π ) 2 1 i ⊤ i i 2 2 1 λ 2π 2λ 1 ( ⊤ i i) 2 31
  32. 32. 参考文献 日本語書籍 [1] 井手剛, 杉山将. 異常検知と変化検知. 機械学習プロフェッショナ ルシリーズ, 講談社, 2015 [2] 井手剛. 依存関係にスパース性を入れる. 岩波データサイエンス Vol. 5, 岩波書店, 2017 ぶっちゃけ上のどちらかを買って読めばよい。 32
  33. 33. 日本語論文・スライド [3] 井手剛. 疎な相関グラフの学習による相関異常の検出. http://ide‐research.net/papers/2009_DMSM_Ide.pdf, 2009 [4] 井手剛. 潜在的グラフ構造からの異常検知. http://latent‐ dynamics.net/01/2010_LD_Ide.pdf, 2010 [3] は書籍と同じくらい詳しい。無料で DL できる。 [4] は変数間の相関を使うモチベーションが書かれている。 33
  34. 34. 英語論文 [5] J. Friedman et al. Sparse inverse covariance estimation with the graphical lasso. Biostatistics, 9:432‐441, 2008. [6] O. Banerjee et al. Model Selection Through Sparse Maximum Likelihood Estimation for Multivariate Gaussian or Binary Data. Journal of Machine Learning Research, 9:485‐516, 2008 [5] はグラフィカル Lasso を提案した論文。 [6] は [5] の出発点になった論文。 34
  35. 35. 英語論文 [7] T. Ide et al. Sparse Gaussian Markov Random Field Mixtures for Anomaly Detection. Proceedings of the 2016 IEEE International Conference on Data Mining, 955‐960, 2016 [8] S. Liu et al. Direct Learning of Sparse Changes in Markov Networks by Density Ratio Estimation. Neural Computation, 26:1169‐1197, 2014 [7] はグラフィカル Lasso の混合分布への拡張。 [8] はグラフィカル Lasso を用いた変化検知。 35

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