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Gunosy2015-06-03

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Gunosy2015-06-03

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Gunosy2015-06-03

  1. 1. 北川源四郎「時系列解析入門」 第 7 章 柏野 雄太 バクフー株式会社 June 4, 2015
  2. 2. AR(自己回帰) モデル AR モデル eq.7.1 yn = m i=1 aiyn−i + vn 時系列 y1, ..., yN m: 自己回帰次数 ai: 自己回帰係数 vn: 平均 0, 分散 σ2 の正規分布に従う白色雑音 目的 次数 m を決定し,自己回帰係数 a1, ..., am と分散 σ2 を推定すること 2 / 12
  3. 3. そもそも AR モデルとは 時刻 n における yn を,過去の値 yn−1, yn−2, · · · とホワイトノイズ vn で表 現する. yn = m i=1 aiyn−i + vn yn yn−1· · · vn yn−2 Figure: AR モデルの概念図 3 / 12
  4. 4. AR モデルの推定方法 最尤推定法 ユール・ウォーカー法 (レビンソン=ダービンのアルゴリズム) 最小二乗法 PARCOR 法 ⇐= 本日はここまで 多変量版のユール・ウォーカー法 多変量版の最小二乗法 4 / 12
  5. 5. TSSS 版 AR モデルの推定 TSSS 版 AR モデル推定 #␣TSSS における AR モデルの推定 library("TSSS") data(Sunspot) ywar␣=␣arfit(Sunspot,␣method=1)␣#Yule-Walker␣method arfit(Sunspot,␣method=2)␣#Least␣squares␣(Householder) arfit(Sunspot,␣method=3)␣#PARCOR␣method␣(Partial␣autoregression) arfit(Sunspot,␣method=4)␣#PARCOR␣method␣(PARCOR) arfit(Sunspot,␣method=5)␣#PARCOR␣method␣(Burg’s␣algorithm) 5 / 12
  6. 6. R Stat 版 AR モデルの推定 R Stat 版 AR モデル推定 #␣R␣stat における AR モデルの推定 mle␣=␣ar(Sunspot,␣method="mle") yw␣=␣ar(Sunspot,␣method="yw") ols␣=␣ar(Sunspot,␣method="ols") 6 / 12
  7. 7. R で AR 推定の通常の手順 R で AR モデル推定 #␣R で AR 推定の通常の手順 library("TSSS") data(Sunspot) plot(Sunspot,␣type="l") acf(Sunspot) pacf(Sunspot) res␣=␣ar(Sunspot) res$aic #␣Ljung-Box テストで「v_n がホワイトノイズ」という帰無仮説を検定する Box.test(res$res,␣type="Ljung") 7 / 12
  8. 8. R で AR(2) を生成 AR(2) を生成 #␣R で独自に AR(2) を生成して Plot v␣<-␣rnorm(200) v␣<-␣v[101:200] x␣<-␣filter(v,␣filter=c(0.9*sqrt(3),␣-0.81),␣method="recursive") plot(x) pacf(x) aa$aic ar(x) 8 / 12
  9. 9. 注意 輪読会では別途書籍をベースに説明したために,これより後のページは暫 定的なものになります.時間があるときに追記します. 9 / 12
  10. 10. AR モデルの最尤推定 AR モデルに従う時系列の同時分布は多変量正規分布である. AR モデル尤度 L(θ) = p(y1, · · · , yN |θ) = (2π)− N 2 |Σ|− 1 2 exp[− 1 2 yT Σ−1 y] 分散共分散行列 eq.7.2 Σ =      C0 C1 · · · CN−1 C1 C0 · · · CN−2 ... ... ... ... CN−1 CN−2 · · · C0      しかし,このままでは複雑すぎて解けないので,工夫する. 10 / 12
  11. 11. AR モデルの最尤推定 2 尤度を乗法定理を用いて条件付き分布の積で表現してから,近似. AR モデル尤度 eq. 7.4 L(θ) = p(y1, · · · , yN |θ) = p(y1, · · · , yN−1|θ)p(yN |y1, · · · , yN−1, θ) ... = N n=1 p(yn|y1, · · · , yn−1, θ) AR モデル AIC eq. 7.5 AIC = −2 log L(ˆθ) + 2(m + 1) 11 / 12
  12. 12. AR モデル推定:ユール・ウォーカー法 自己共分散関数のユール・ウォーカー方程式から自己回帰係数,σ2 を求 める. ユール・ウォーカー方程式 C0 = m i=1 aiCi + σ2 (1) Cj = m i=1 aiCj−1 一次推定式      ˆC0 ˆC1 · · · ˆCm−1 ˆC1 ˆC0 · · · ˆCm−2 ... ... ... ... ˆCN−1 ˆCN−2 · · · ˆC0           a0 a1 ... am      =      ˆC1 ˆC2 ... ˆCm      12 / 12

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