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5 aritmética parte iv_p46-p61

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5 aritmética parte iv_p46-p61

  1. 1. 46 Aritmética Estructura del sistema numérico Reflexiones adicionales El modelo que utiliza bloques es más ge- neral y abstracto: la barra está formada porDesde el primer grado se han diez bloques y se hace corresponder a diezresuelto problemas de con- palomas, la barra puede representar cuales-teo como la estrategia paraavanzar en la construcción quiera diez cosas. Ambos modelos permitende los números. Dicha es- llenar los cuadros vacíos al final de la página.trategia también se relacionacon la representación de losnúmeros y la manera en quese les llama.Todo esto forma parte de laconstrucción del Sistema Fig.1Numérico Decimal de Va-lor Posicional, pieza funda- En las páginas 9 a 13 del Tomo II, Vol. 1, semental en la formación ma-temática de los niños y vital analiza la estructura del sistema numérico. Elpara la vida en sociedad. problema que se presenta en la página 9 consiste en contar un grupo numeroso deDebe notarse que en los semillas de girasol. Se contrastan varias for-problemas que hasta ahora mas de hacerlo: (i) formando grupos que yase han abordado se cuentancosas concretas: semillas han contado antes, es decir, dividir el todoy palomas. En una de las en partes de tamaños ya conocidos; (ii) lasoluciones al problema de que desarrolla el niño haciendo grupos delas palomas se usan agru- diferente tamaño; y (iii) la que muestra lapamientos y se ancla en loespecífico del caso. Lo másrelevante de la otra soluciónes que cada paloma se sus-tituye por un bloque y diez Fig.3bloques por una tira verde ydiez de estas tiras, es decir En la página 13 (Fig.4) se concluye el con-cien bloques, por un cuadroverde. Lo esencial del mo- teo y se avanza en el conocimiento y la ex-delo es que un bloque puede presión de nuevos números. Con el modelorepresentar cualquier objeto. de bloques y la tabla organizada en colum-Se trata de un modelo de nas, se introduce la noción de valor posicio-aplicación general. nal y se destaca su potencial para apoyar laSe debe notar que en la pá- conceptualización del sistema numérico de-gina 12 no se habla de palo- cimal. Ahora los alumnos están en condicio-mas, el número a que da lugar nes de comprender la estructura de losel último renglón de la tabla, números hasta el 999.235, existe por sí mismo.Volviendo al problema, lasolución se expresa adjeti-vando el número:235 palomas. Fig. 2 niña haciendo grupos del mismo tamaño y colocándolos de manera ordenada. El pollito pregunta por la mejor forma de contar. Por la experiencia acumulada es evidente que la de la niña facilita más la operación de contar. Hasta ahora la experiencia que se tiene es la de formar agrupamientos de diez unidades, esa es la estrategia que se usa para contar a las palomas. En la página 12 (Fig. 3) se muestran dos maneras para hacerlo; las es- trategias son equivalentes pero con diferente nivel de abstracción. Fig.4
  2. 2. Aritmética 47Actividades que se sugieren para los futuros docentes1. Revisa el Tomo I y enlista los antecedentes que poseen los alumnos para iniciarel estudio de la construcción de los números en el marco del sistema de numeracióndecimal. ¿Qué relevancia tienen esos antecedentes para que los niños comprendan elnuevo tema? ¿Qué limitaciones podrían tener los alumnos al abordar el nuevo tema sino contaran con algunos de esos antecedentes?2. Cuenta las palomas.3. En la página 13 se indica que el número de palomas es 235. Suponiendo que la basedel sistema es 5 y no 10, calcula la cantidad de palomas en base 5.4. Suponiendo que la base es 8 y no 10, como en el libro, escribe las siguientes cantidadesusando números arábigos.a) La suma de cuatro grupos de 8 por 8 unidades, siete grupos de 8 unidades y dos grupos de 1 unidad.b) La suma de seis grupos de 8 por 8 unidades, cero grupos de 8 unidades y cinco grupos de 1 unidad.c) Expresa en el sistema posicional de base 10 las cantidades que corresponden a los números de los dos incisos anteriores.
  3. 3. 48 Aritmética Enriqueciendo el concepto de número En las páginas 16 a 19 del Reflexiones adicionales Tomo II, Vol. 1, se propone realizar ejercicios para forta-Desde el primer grado se lecer el conocimiento de lasinicia la construcción del cualidades de los númerosmodelo de la recta numérica. y su representación. En estaEste es un recurso para larepresentación gráfica de primera serie de ejercicios selos números. avanza en la comprensión del sistema numérico decimal.Se debe tener claro que en Para su solución se requiereesta etapa se están constru- evocar el modelo de bloques yyendo los números naturales,los cuales son una parte de los la tabla que lo complementa, Fig. 1números reales. como lo muestra la figura 1. Los primeros cuatro ejerci-Con respecto a los números cios se orientan en un sentidoreales: y los siguientes cuatro (Fig. 2)1. A todo número real le en sentido inverso (es didácti-corresponde un punto camente recomendable).en la recta. Los ejercicios 5 y 6 de la página 16 (Fig. 3) continúan2. A cada punto en la recta con la representación de losle corresponde un número Fig. 2real. números acudiendo al modelo de la recta numérica iniciadoEl punto 2 no es cierto si en el grado anterior. La acti-sólo se consideran los nú- vidad se plantea tanto en elmeros naturales. sentido de leer los númerosSabemos que si M y N son que corresponden a los pun-números reales, M>N si tos señalados por las flechas,existe un número real a>0 como en sentido inverso: da-tal que: M=N+a dos los números, localizar el punto que les corresponde1. El criterio aplicado porlos alumnos de comparar dentro de la recta. Lo anteriorcolecciones es consistente muestra una cualidad esencialcon esta definición. del modelo de la recta numé- rica: a todo número natural se Fig. 32. También el criterio del le puede hacer corresponder sucesor o antecesor es con-sistente con la definición, un punto en la recta.aun en el caso de que a>1. Estos últimos ejercicios re- toman la relación de orden3. El procedimiento de com- con los nuevos números. Elparar números comparando principio que se aplica es ellos dígitos de las centenas,decenas y unidades, es tam- siguiente: dado un númerobién consistente con la defi- natural N, N+a > N y N-a < Nnición formal de orden. para cualquier número natural a menor que N. En el primer grado se com- Fig. 4 paraban las colecciones aso- ciadas a los números; el crite- rio que se empleó fue que el número que correspondía al grupo más numeroso era el mayor. Después, las compara- por el pollito en la página 17 ciones se explican al aplicar el (Fig. 5): comparar los dígitos principio anterior, a=1 o 10 o que ocupan las mismas posi- 100, para ir más allá de la eta- ciones de izquierda a derecha pa sensorial de comparación (centenas, decenas, unida- de conjuntos (Fig. 4). En esta des), el número mayor es el lección, con el propósito de su- que tiene el mayor dígito en la perar operativamente la etapa primera posición en que no anterior, se hace lo sugerido ocurra la igualdad. Fig. 5
  4. 4. Aritmética 49Actividades que se sugieren para los futuros docentes1. Haz y discute todos los ejercicios hasta la página 19.2. En la sección “Reflexiones adicionales”, cuando se caracteriza el modelo de la recta numérica se afirma que: “El punto 2 no es cierto si sólo se considera a los númerosnaturales”. Explica por qué, para los números naturales, el punto 1 es válido y el punto 2no lo es.3. Dibuja una recta numérica en la que se muestre un punto correspondiente al número2658724. Comenta las características de su gráfica y las convenciones utilizadas.4. En la página 17 se pide comparar las parejas de números 495, 519; 253, 238 y 769,764 mediante el procedimiento de comparar los dígitos correspondientes al mismo valorposicional. En la sección “Reflexiones adicionales” se afirma que este procedimiento esconsistente con la definición ahí dada. Calcula para cada caso l valor exacto de a re- equerido por la definición y comentar por qué en la práctica el referido procedimiento norequiere necesariamente el cálculo exacto de a.
  5. 5. 50 Aritmética Hacia el algoritmo de la suma En las páginas 24 a 26 del Tomo II, Vol. 1, Reflexiones adicionales se abordan los conceptos más relevantes para la construcción de la forma usual de cál-La teoría que se refiere al culo vertical de la suma de dos números. Losaprendizaje significativo pos- problemas planteados en la página 24 (Fig.1)tula que la experiencia y el co- no son nuevos para los alumnos, se asumenocimiento previo de los alum- que ellos poseen los conocimientos necesa-nos son elementos principalesde la práctica educativa. rios para formular la expresión matemática que se pide y resolverla.El planteamiento inicia con unproblema muy sencillo. Con-testar la pregunta: ¿cuántos hayen total? no representa paralos alumnos dificultad algunaya que saben contar gruposmucho más numerosos.Los tres gráficos de la página25 muestran representacionesde los sumandos que son simi-lares a las utilizadas para con-tar, lo novedoso es que formanparte de una cadena unida porel signo +, signo que se intro- Fig.2duce hasta esta lección pararelacionar números. Es decir,se utilizan conceptos y repre- En la página 26 (Fig. 3) se muestran dos for-sentaciones conocidas en situa- mas para realizar el conteo a partir de la mani-ciones diferentes para expresar pulación de las representaciones –gráfica yuna idea que no es nueva: la simbólica– de los dos números. Ambas daránconstrucción de una expresiónmatemática que permite plan- lugar a formas de realizar el cálculo para sumartear y resolver el problema. dos números. Se dice cálculo y no conteo (aun-Eso se hace en la búsqueda de que finalmente de esto último se trata) porqueprocedimientos más poderosos se aplican procedimientos que se sustentan enpara sumar, que permitan supe- la estructura de los dos números (sistema nu-rar las dificultades y limitacio-nes de solamente contar. mérico decimal). Su representación por blo- Fig.1 ques, y una forma particular de arreglarlosLas imágenes de la página 26 espacialmente, facilita la obtención de la sumamuestran la forma en que una ¿Cuál es la relevancia de estas actividades? de los dos números.de las representaciones ante- Los alumnos saben contar grupos de objetosriores se reestructura espacial-mente de dos maneras, lo que con menos de 10 centenas. Sin embargo,genera reinterpretaciones de contar grupos numerosos puede no ser rápidolas situaciones que práctica- ni fácil. En el caso que nos ocupa hay dosmente dan solución a la bús- cantidades involucradas. La idea es cómoqueda de procedimientos más contar el total utilizando los dos números queinteligentes para sumar. lo forman y el conocimiento de su estructura.Estas páginas ilustran la for- En la línea de desarrollo de esta idea se en-ma en que se accede a un ni- cuentran las actividades de las siguientesvel de conocimiento superior dos páginas.a partir de un conocimiento En la página 25 (Fig. 2), los tres casos mues-previamente desarrollado. tran arreglos gráficos similares a los utilizados para contar, pero mantienen separadas las dos cantidades involucradas. Las representa- ciones difieren por su nivel de generalidad, al pasar de la ilustración de los caramelos a su representación por bloques. De hecho son distintas representaciones de la expresión matemática que permite resolver el problema. El planteamiento se orienta a enfatizar el poten- cial de la manipulación de la representación por bloques para calcular el total a partir de los nú- meros a sumar, esa es la tarea y se expresa en Fig.3 la última frase de esa página.
  6. 6. Aritmética 51Actividades que se sugieren para los futuros docentes1. Enlista y discute los antecedentes derivados del Tomo I que poseen los alumnos almomento de iniciar el estudio del contenido de estas páginas respecto a la construcciónde la suma.2. En la página anterior se lee: “la idea es cómo contar el total utilizando los dos númerosque lo forman y nuestro conocimiento sobre su estructura” ¿A qué se refiere el concepto “es-tructura” en el caso de los números naturales? En particular, ¿cuál es la estructura de 738?¿Cuál la de 207? ¿Y la de 25.07 (que no es un número natural sino un número decimal)?3. En la página 26 se muestran dos formas de realizar el conteo utilizando el modelo debloques de Hitomi, pero igual hubieran servido cualquiera de los otros dos, el de Akiko o elde Yasuo. ¿Por qué se prefiere utilizar los bloques? En el texto se hace referencia al “ma-yor potencial de manipulación de la representación por bloques”, ¿qué quiere decir esto?4. Al final de la sección “Reflexiones adicionales” se enuncia: “Estas páginas ilustrancómo se accede a un nivel de conocimiento superior a partir de un conocimiento previa-mente desarrollado”. ¿Qué piensas de esto? Intenta expresar el cambio al concluir estaslecciones con respecto a lo que enlistaste en el punto número 1 de estas actividades.
  7. 7. 52 Aritmética El algoritmo de la suma En las páginas 29 a 32 del Tomo II, Vol. 1, se Reflexiones adicionales introduce el tema del algoritmo de la suma. Puede observarse que en la página 29Un aspecto importante de estas (Fig. 1), se formaliza el conocimiento que selecciones es el relativo al tercer abordó en la página 26. Se parte del problemarenglón de la tabla de bloques. de cómo calcular la suma de dos números sin que ésta se resuelva al contar explícitamente.Es el punto en el que al sumarlas unidades se obtienen 15,dando lugar a la formación de Fig. 2una decena, que se incorpora ala columna de las decenas; con procedimiento anterior que ahora funciona per-esta acción se mantiene la con- fectamente. Hay entonces un paso más. Éstesistencia de tener sólo un dígitoen cada columna. Tal reagrupa- ocurre porque al sumar por primera vez las uni-ción es un paso esencial que los dades se genera una decena y cinco unidades.alumnos deben conocer y tenerplena conciencia de él. Sobre El cuadro “Cómo calcular 38+27” indica laeste tipo de transformaciones manera que debe manejarse la decena quese sustenta la generalización dela manera de realizar el cálculo aparece y concluir el cálculo. Las formas deaquí mostrado, el cual se deno- calcular de Akira y Hiromi muestran que semina algoritmo de la suma. puede empezar indistintamente, sumando pri- mero las unidades o las decenas. Sin embar-Noción de algoritmo. go, el procedimiento definido en el cuadro indi-Se entiende por algoritmo a laprescripción exacta sobre el ca claramente que hay que empezar sumandocumplimiento de cierto sistema Fig. 1 las unidades.de operaciones, en un orden Con base en la estructura decimal de valordeterminado, para la resolu- posicional de los números, el procedimiento se Debemos notar que para abordar el algoritmoción de problemas de algún ilustra para el caso particular de la suma 13+24. de la suma se usan todos los conocimientostipo dado.Justamente el tema que nos Éste requiere: y habilidades que antes se promovieron, estoocupa es la construcción de permite que, al llegar a este punto, los alumnoslos algoritmos más sencillos: 1. La colocación vertical en columna según no asuman el algoritmo como “una receta a se-aquellos que corresponden a el valor posicional de los dígitos que forman guir”, sino como un procedimiento a partir dellas operaciones aritméticas bá- los números. cual pueden entender todos los pasos y de quésicas en el sistema de numera-ción decimal. En estas páginas 2. En la base de la ubicación de los suman- manera este conocimiento les facilita el cálculo.prácticamente se establecen los dos trazar una línea horizontal.aspectos esenciales del algorit- 3. Sumar los dígitos de las columnas y colocarmo para la suma de números los resultados en la columna correspondientenaturales, aunque limitado a la por debajo de la línea horizontal.suma de dos números de dosdígitos y con resultado también 4. El número que resulta del punto anterior esde dos dígitos. En lecciones la suma.posteriores se generalizará laaplicación del algoritmo a nú- Este procedimiento funciona si las sumas demeros con más de dos dígitos. la sección 3 dan un resultado menor que 10. En la página 31 (Fig. 2) se plantea un nuevo problema en el cual se debe sumar 38+27. En este caso, la suma de las unidades es mayor que 10, por lo que el procedimiento anterior de cuatro pasos no va a funcionar y tiene que cam- biarse; aspecto que responde al sentido que se indica en el tercer renglón de la tabla de blo- ques de esta página. La última imagen muestra inicialmente tres maneras de pensar el cálculo: se suman las unidades, se suman las decenas y estos resul- tados se colocan manteniendo el valor posicio- nal de las columnas y se suman mediante el Fig. 3
  8. 8. Aritmética 53Actividades que se sugieren para los futuros docentes1. Investiga cuál es la definición de algoritmo y discútela con tus compañeros y tu profesor.2. Indaga cuáles son los “números naturales”. Discute tu respuesta con tus compañerosy tu profesor.3. Identifica en las páginas 1 a 28 los conocimientos y habilidades que son un ante-cedente relevante para abordar el algoritmo de la suma con números naturales. Argu-menta por qué identificas esos conocimientos y habilidades como antecedentes delalgoritmo de la suma y discute tu respuesta con tus compañeros.4. Reemplaza cada una de las letras A y B por un mismo dígito respectivamente, demanera que la siguiente suma sea correcta. El símbolo 0 es cero. A A + A B B A 05. Reemplaza las letras por los dígitos: 0, 1, 2, 4, 5, 6, 8 o 9; usa cada dígito una solavez, de tal forma que el cálculo de la suma sea correcto. A + 3 B C D 7 E F G H6. Como se vio al efectuar la suma de dos números, mientras la suma de los dígitoscorrespondientes sea menor que diez no hay obstáculo para completar el cálculo. Los pro-blemas aparecen cuando no ocurre así, cuando la suma de las unidades o de las decenas–o ambas– suman más de diez y entonces se debe hacer la conversión de unidades deun nivel posicional inmediato superior (como fue el caso para el problema de los libros).Este hecho muestra la potencia del sistema de numeración decimal de valor posicional. Para el siguiente ejercicio, el sistema numérico será el de base 6 de valor posicional. Losúnicos dígitos que puedes usar son: 0, 1, 2, 3, 4 y 5. Calcula las siguientes sumas apli-cando el algoritmo encontrado, con la consideración de que ahora no se trata de decenas(grupos de 10 elementos), sino de agrupaciones de 6. 22 24 35 + 13 + 13 + 44 7. ¿Por qué en el sistema numérico de base 6 sólo puedes usar los dígitos 0, 1, 2, 3, 4 y 5?
  9. 9. 54 Aritmética Propiedades de la suma Reflexiones adicionales En cualquiera de estos la secuencia de rea- lización de las sumas será diferente, sin em-El conjunto de los números bargo, el resultado final será el mismo. De estareales, de los cuales formanparte los números naturales, manera se tiene que los números se descom-junto con las operaciones de ponen mediante la suma y respecto a esta ope-suma y multiplicación cons- ración hay dos propiedades. Un aspecto muytituyen un sistema numérico relevante de la propiedad asociativa es quede fundamental importan- sienta las bases para que los alumnos traba-cia. Con las dos propiedadesaquí conocidas se inicia a los jen con sumas que contienen más de dos su-alumnos para la construcción Fig. 1 mandos y las expresen sin dificultad en formade tal sistema. horizontal, por ejemplo 27+29+23; en este caso La actividad con tarjetas que se muestra en pueden reescribirla como (27+29)+23=(27+23)Si a, b, y c son números na- la página 45 del Tomo I, y las actividades de +29=50+29=79.turales, estas propiedades seenuncian como sigue: las páginas 37, 38 y 40, del Tomo II, Vol. 1 re-• Conmutatividad de la fuerzan el hecho de que los números se pue-suma: a+b=b+a den descomponer en términos de otros me-• Asociatividad de la suma: diante la operación de la suma, tal es el caso(a+b)+c=a+(b+c) del número 8, que resulta de sumar 3+5 o 4+4,Si se suman dos númerosnaturales el resultado será pero también es la suma de 1+7 y 2+6. Estasiempre otro número natu- cualidad de los números respecto a la suma esral. Esto es verdadero y se importante, pero no es la única. Los números yenuncia como la Propiedad sus operaciones poseen propiedades que sonde Cerradura de la Suma: el fundamento de la aritmética. Se trata ahora• Para cualesquiera de losnúmeros naturales a y b, la de introducir y construir estas propiedades.suma: a+b es un númeronatural.Estas propiedades son válidaspara la operación de la suma,pero no para la resta: 12-36no resulta un número natural,entonces los naturales no soncerrados bajo la resta; tampocose cumple la conmutatividad:5-2 no arroja el mismo resul-tado que 2-5.Hemos recordado que la suma Fig. 3con números naturales tiene,entre otras, tres propiedades:cerradura, conmutatividad yasociatividad. Además, hemosvisto que los números se pue-den descomponer, ordenar yrepresentar gráficamente. Fig. 2Esto muestra la forma en queavanza la construcción delsistema numérico. Con la actividad de las fresas en la página 37 Fig. 4 (Fig. 3) se introduce la propiedad conmutativa de la suma. La suma es una operación binaria, se realiza entre dos números. La propiedad dice Expresar operaciones de más de un paso que no importa el orden en que se sumen los es una habilidad trascendental para plantear y números, el resultado será el mismo. resolver problemas. Esto se aborda más ade- lante en este grado escolar y los siguientes. En la imagen de la página 38 (Fig. 2) se intro- El último ejercicio de la página 40 (Fig. 4) duce la propiedad asociativa de la suma. Ésta es relevante en tanto que pide a los alumnos se referiere a que para sumar tres números, no reflexionar sobre los errores en la realización importa cuáles dos se sumen primero, el resul- del algoritmo. Esta tarea es de primordial tado final será el mismo (recuerda que la suma importancia porque enseña a los alumnos es una operación binaria). Hay más casos si a aprender de los errores. Esta revisión se se usa la propiedad conmutativa, por ejemplo: enfoca en el mejoramiento de la calidad del (7+32)+3, 7+(32+3), 32+(3+7), etc. conocimiento aprendido.
  10. 10. Aritmética 55Actividades que se sugieren para los futuros docentes1. Indaga cuáles son los números reales y qué relación hay entre ellos y los númerosnaturales. Presenta tu trabajo ante el resto de tu grupo.2. Construye cinco ejemplos en los que se ilustre que la propiedades conmutativa yasociativa de la suma con números naturales puede ser útil para agilizar el cálculo.Compara tus ejemplos con los de tus compañeros y discute cuáles casos presentanmayor utilidad en términos didácticos.3. Completa las siguientes oraciones:• Los números dentro de los ( ) son los que _________________________• (32+7)+3, es igual a: ____+3, que es igual a: ____• 32+(7+3), es igual a: 32+ ____, que es igual a: ____4. Tacha el término que hace verdadera la oración. Puede ser necesario tachar los dos términos.• 58+13+27, es igual a 58+27+13 por la(s) propiedad (es) conmutativa/asociativa.• 58+13+27, es igual a (27+58)+13 por la(s) propiedad (es) conmutativa/asociativa.• 58+13+27, es igual a 27+13+58 por la(s) propiedad (es) conmutativa/asociativa.5. En el siguiente ejercicio el sistema numérico de valor posicional es el de base 7. Los únicos dígitos que puedes usar son 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Encuentra los errores en lassiguientes sumas y calcula las respuestas correctas. Recuerda que ahora no se trata dedecenas (grupos de 10 unidades), sino de agrupaciones de 7 unidades. 24 51 4 12 6 + 33 + 55 + 23 + 16 + 35 55 146 63 211 125
  11. 11. 56 Aritmética Hacia el algoritmo de la resta En las páginas 42 a 44 del Tomo II, Vol. 1, se Reflexiones adicionales introduce el algoritmo de la resta. En esta ocasión también se aborda la resta aEstas páginas tienen una continuación de la suma; se incluye el carácterfunción similar a la de laspáginas 24, 25, y 26 del mis- inverso de la resta respecto a la suma a partirmo libro y las observaciones de responder preguntas como: “¿cuántos que-que se hacen son pertinentes dan?”, en lugar de “¿cuántos son?”, que estárespecto de las modificacio- asociada a la suma. Estas páginas son rele-nes a que debe dar lugar el vantes para la construcción de la forma verticalhecho de que ahora se tratade la resta y no de la suma. para calcular la resta de dos números. Como en el caso de la suma, se inicia la lección conLos tres gráficos de la pági- un problema que no es nuevo para los alum-na 42 muestran representa- nos, porque éstos poseen los conocimientosciones del minuendo, simi- necesarios y la experiencia para plantear lalares a las que se utilizaronpara contar (en las cuales se operación y resolver el problema mediante el“separa” el sustraendo confi- conteo; el cual se usa como elemento de veri-gurando la acción de quitar). ficación para el nuevo procedimiento.Es interesante notar que enlos dos casos, el sustraendoqueda claramente represen-tado (solamente falta incluirel signo de resta entre ellospara formular la expresiónmatemática correspondien-te: 25-13).De nuevo se acude a con-ceptos y representacionesconocidas en la búsqueda denuevos procedimientos para Fig. 2calcular la sustracción demanera que se resuelvan lasdificultades y limitaciones desolamente contar.Las imágenes de la página 44muestran cómo se reestruc- Fig. 1tura espacialmente en dosformas distintas, una de las La idea que orienta el avance en el conoci-representaciones anteriores; miento es cómo calcular la resta al entenderesto da lugar a reinterpreta- la estructura de los números que la forman.ciones de las situaciones que En el desarrollo de esta idea, en la página 42prácticamente dan solución (Fig. 1) se muestra una evolución de la repre-a la búsqueda de procedi-mientos más eficientes para sentación “real” de las galletas hacia aquellacalcular la resta. que usa bloques, los cuales aluden solamen- te a la cualidad numérica. Esta última es laEstas páginas ilustran el pro- modelación más eficaz para visualizar el al-ceso de cómo acceder a un ni- goritmo que se quiere abordar. Las formas devel superior de conocimiento,a partir de un conocimiento razonamiento de los alumnos sugieren estapreviamente desarrollado. evolución figurativa.Ese nuevo conocimiento se En la página 44 (Fig. 2) se muestran dos ma-formaliza posteriormente en neras para realizar el conteo a partir de la ma-otras lecciones. nipulación de las representaciones simbólica y gráfica de los números. Ambas dan lugar a formas de realizar el cálculo de la resta. En la primera, la operación se hace en forma hori- zontal y en la segunda vertical; esta última es la manera usual de hacer el cálculo sin acudir Fig. 3 al conteo, el procedimiento se sustenta en la estructura decimal de los números, la repre- sentación por bloques y una forma particular de arreglarlos espacialmente.
  12. 12. Aritmética 57Actividades que se sugieren para los futuros docentes1. Enlista y discute los antecedentes que se desprenden de la construcción de la restaque poseen los alumnos antes de iniciar el estudio de estas páginas.2. Analiza cómo los antecedentes que encontraste contribuyen a que los alumnosentiendan el algoritmo de la resta comprendiendo todos sus pasos.3. Elabora un ensayo breve en el que discutas lo que ocurriría con el aprendizaje delalgoritmo de la resta si los alumnos no contaran con los antecedentes que enlistaste enla pregunta 1.4. Respecto de las representaciones de la página 43 se dice: “esta evolución figurativase sugiere por las formas de razonamiento de los alumnos.” Son imágenes que modelanniveles progresivos para estructurar una respuesta a la tarea dada.• Reflexiona y discute con tus compañeros y tu profesor sobre lo adecuado de esa in-terpretación.• Discute cómo se articulan estas representaciones con el listado de antecedentes delpunto anterior.
  13. 13. 58 Aritmética El algoritmo de la resta Reflexiones adicionales En la página 48 (Fig. 2) se plantea un pro-Un aspecto importante de blema que no cumple con una de las espe-estas lecciones es el relativo al cificaciones anteriores: el dígito de las uni-segundo renglón de la tabla dades del minuendo es menor que aquelde bloques de la página 48. correspondiente al sustraendo. En este caso, el procedimiento anterior no sirve, debe mo- Fig. 1 dificarse. El punto clave de la modificación se puede apreciar en el segundo renglón de la En las páginas 47 a 49 del Tomo II, Vol. 1, se ilustración con los bloques: se convierte una aborda el tratamiento del algoritmo de la resta. decena del minuendo en diez unidades, conEs el punto en el que, no sien- La imagen de la página 47, (Fig. 1) muestra lo cual la deficiencia anterior se resuelve (endo posible la resta 5-7, se la solución al problema: “Satoshi y sus amigos lugar de 7>5, ahora se tienen 15>7), como lohace necesario convertir una recogieron 38 fresas. Se comieron 12. ¿Cuán- indican las operaciones del tercer renglón dedecena en diez unidades paratener 15-7. Tal transforma- tas fresas quedan?” la ilustración con los bloques.ción es un paso esencial que En la imagen de los bloques, se ilustra lalos alumnos deben conocer resta de doce de ellas y a la derecha se mues-y tener plena conciencia de tra el algoritmo que expresa esta operación.él (aspecto que el maestro El algoritmo consiste de los siguientes pasos:no debe subestimar). Sobreesta clase de transformacio-nes se sustenta la generaliza- 1. Colocar en columnas verticales los dígitosción de la manera de realizar en razón de su valor posicional.el cálculo de la resta así comosu algoritmo. 2. Trazar una línea horizontal como seRecordemos que se entiende muestra en la imagen.por algoritmo: a la correctaejecución de un sistema de ope- 3. Calcular la diferencia entre los dígitos deraciones en un orden preciso cada columna.para la realización de una ta-rea de cierto tipo o a la resolu-ción de problemas también de 4. Escribir los resultados en la columna co-cierto tipo. Por ejemplo: para rrespondiente por debajo de la línea. El númerola realización de sumas o res- que resulta es el resultado de la resta.tas se utilizan los algoritmoscorrespondientes a cada una. El algoritmo funciona cuando los dígitos deEn estas páginas se avanza en las unidades y las decenas del minuendo sonla construcción de los algorit- mayores o iguales que los correspondientesmos para las operaciones arit- en el sustraendo.méticas básicas en el sistema Fig. 3de numeración decimal. Tam-bién, se establecen, práctica-mente, los aspectos esenciales Ahora las condiciones son las necesariasdel algoritmo para la resta de para aplicar el procedimiento anterior, el cualnúmeros naturales, aunque li- funciona perfectamente.mitado a la resta con números En el algoritmo se introduce un paso más:de dos dígitos. En lecciones la conversión de una decena en unidades,posteriores, se profundiza en laaplicación del algoritmo a nú- que permite superar el problema. En la páginameros con más de dos dígitos. 49 (Fig. 3), el cuadro “Cómo calcular 45-27...” indica cómo manejar la conversión que se realiza y la forma de hacer el cálculo. Debe notarse que las últimas dos operacio- nes representan un reto para los niños al mo- mento de aplicar el algoritmo anterior. Fig. 2
  14. 14. Aritmética 59Actividades que se sugieren para los futuros docentes1. Revisa cuidadosamente las lecciones que se han abordado al inicio del libro hastala página 46. ¿Qué antecedente en esas lecciones resulta fundamental para poderabordar el algoritmo de la resta con los alumnos en las páginas 47, 48 y 49? Discute turespuesta con tus compañeros y tu profesor.2. En el desarrollo de la lección en las páginas 47 a 49 se habla de “convertir una dece-na en unidades”. ¿Qué diferencia haya entre usar esa expresión y “pedir prestada unadecena” en términos de aprendizaje matemático? Discute tu respuesta ampliamentecon tus compañeros y tu profesor.3. En este ejercicio hay que remplazar las letras A y B, cada una por un dígito diferente,de tal forma que la resta sea correcta. El símbolo 0 es cero. A B 0 - B A B B4. Para los siguientes ejercicios se usará el sistema numérico de valor posicional debase siete. Calcula las siguientes restas, con la consideración de que ahora no se tratade decenas sino de agrupamientos de siete y los dígitos a considerar son 0, 1, 2, 3, 4,5 y 6. 35 42 60 34 - 21 - 25 - 23 - 25
  15. 15. 60 Aritmética Relación entre la suma y la resta Reflexiones adicionales En el caso de Masao la cinta se forma al unir por uno de sus extremos las dos partesLa representación de situa- (la suma de las dos partes da el total). En elciones discretas (grupos de problema de los niños que se quedan en clase,entidades u objetos separa- a la cinta completa se le quita la parte corres-dos entre sí temporal o es- pondiente a los que salen a jugar y queda lapacialmente) por medio deun modelo continuo (en que se debe calcular (al total se le quita la parteeste caso una cinta), puede conocida y se obtiene el valor buscado).no parecer natural, pero no Este modelo continuo tiene cualidades que loes el caso. hacen interesante:En el mundo real hay mu-chas situaciones de carácter • Con un trozo de cinta se puede representarcontinuo que se cuantifican la numerosidad de grupos discretos, aunquede manera discreta para se pierde la precisión que poseen las represen-efectos prácticos, por men- taciones discretas.cionar algunos: la longitud • Para diferenciar cantidades, es necesarioexpresada en metros, kiló-metros, centímetros, micras, distinguir a las cintas por sus longitudes, lasetc. Otro ejemplo más es el cuales deberán ser aceptablemente proporcio-tiempo expresado en segun- nales a la cantidad que representan.dos, horas, microsegundos, • Esta forma de representación significa unaños, etc. Fig. 1 paso hacia la abstracción, un modelo que eli- mina lo específico de la naturaleza discreta de los datos para resaltar solamente la extensión En las páginas 54, 66 y 67 de Tomo II, Vol. 1, del conjunto de datos. se aborda la relación que existe entre la suma • Este es un modelo de representación más y la resta. potente que el discreto, en el sentido de sus cualidades para representar adecuadamente En las páginas 66 y 67 (Fig. 1) se muestran cantidades correspondientes a colecciones distintas representaciones de los datos para la con un número discreto de elementos. siguiente situación: “tenemos 12 marcadores rojos y 14 marcadores azules. Son 26 en total”. Esas representaciones tienen distintas carac- terísticas para presentar los datos y las relacio- nes que hay entre ellos. La mayoría son del tipo “discreto” y una es del tipo “continuo”. En el caso de las discretas, la cantidad de marcas coloreadas representa fielmente a los datos, sin embargo, con el tipo de representa- ción continua no sucede: Masao recurre a una imprecisa proporcionalidad en la longitud de las cintas para sugerir la mayor o menor cantidad que se representa. La utilización de un modelo continuo para la representación de los números naturales no es nueva, se usa en la recta numérica, y en ésta, la representación es totalmente precisa. Tanto el modelo de Masao, como el que se Fig. 2 muestra en la imagen de la página 54 (Fig. 2), sirven para expresar la situación problemática a resolver. Ambos tienen la cualidad de expre- sar los datos y la relación entre ellos: las tres cantidades están dispuestas de tal forma, que dos de ellas determinan a la tercera.
  16. 16. Aritmética 61Actividades que se sugieren para los futuros docentes1. Indaga en las fuentes bibliográficas que consideres pertinentes cuál es la diferenciaentre “representaciones discretas” y “representaciones continuas”. Después, discute loque encontraste con tus compañeros y tu profesor.2. Identifica tres situaciones en las que se use una representación discreta y comparatu respuesta con la de tus compañeros.3. Identifica tres situaciones en las que se use una representación continua.4. Discute con tus compañeros y tu profesor la pertinencia del uso didáctico de cadauna de esas formas de representación en distintas situaciones.5. Discute con tus compañeros y tu profesor cuáles serían las implicaciones de utilizaruna representación discreta para abordar la relación entre la suma y la resta.6. Discute con tus compañeros y tu profesor cuáles serían las implicaciones de utilizaruna representación continua para abordar la relación entre la suma y la resta.

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