1. 第22回アルゴリズム勉強会
@Cafe IKAGAWADO 2014/7/6

2. アルゴリズム勉強会とは？
• 勉強会のコンセプト
- 知的好奇心を満たす
- 技術力を高める（アイディア力）
- 大学や社会人の垣根を超えた交流
- 知識やアルゴリズムを共有する場
を目指す

3. 注意事項
• 言語や開発環境は自由です。
• お好きな言語で実装してください。
"
• ただし、資料はJavaになりますのでご了承ください。
• （スライドの中では省略）
3

4. 注意事項
• 特別、休憩時間は取りません。
１テーマごとに１５分毎休憩時間を設けるつもりですが、
自由に休憩時間をとってください。
• 参加費(会場使用費・ドリンク代）は500円となっております。
ドリンクバー形式になってますので、お好きに飲んでください
• TopCoderレーティング割が適用されます。
• グリーンコーダー 400円
• ブルーコーダー 200円
• イエローコーダー 以上 0円 4

5. 範囲の探索
今日は、AtCoderの問題を解く感じではなく
今日はテーマに対して深く勉強します。

6. 今日はいつもより難しい
アルゴリズムを行います！！
6

7. 純粋な実装を超える！
7

8. 範囲の探索
• ソートされてる範囲[a,b)から値を高速に探そう
• 二分探索
"
• 範囲[a,b)の最小値を高速に探そう RMQ
• Segment Tree
"
• 範囲[a,b)の和を高速に求めよう
• BIT (Binary Indexed Tree)

9. 範囲[a,b) から値を高速に探そう
9

10. 問題
• ソートされてる配列がlist与えられてその長さが２つ以上の区間 [a,b+1)内に
値(list[a]+list[b])/2 （少数切り捨て）が含まれてるような範囲の個数を求め
てください。
"
• [a,b+1) は インデックスa以上b+1未満の範囲 (0-based Index)
• typoじゃないよ
"
• 例：[1,2,5] の場合 [1,2],[1,2,5],[2,5] なので1

11. 実装してみましょう
11

12. 純粋な実装では
"
"
"
• a~bまで順番に見ていくので 最大 O(n^3) かかります。
"
• 探索部分を二分探索にすることで O(n^2 log n)
で可能になる。
12

13. 二分探索
"
"
そのほうめんでは「にぶたん」とか言われてる

14. 二分探索
5 7 １２ 16 1８ 20 24 28
a b
c
16
16<18
c=(a+b)/2

15. 二分探索
5 7 １２ 16 1８ 20 24 28
a b
16
16>12
c

16. 二分探索
5 7 １２ 16 1８ 20 24 28
a b
16
16==16
c

17. リストの中に値
がなくても
使えます。
17

18. 二分探索
5 7 １２ 16 1８ 20 24 28
a b
14
14<16
c

19. 二分探索
5 7 １２ 16 1８ 20 24 28
a b
14
これ以上縮められなくなったら終了
（aまたはbが変わらなくなったら）
みつからなかったということになる。
c 14>12

20. 二分探索 まとめ
• 範囲を半分半分に縮めてしぼっていく。
"
• リストがソート済みのものに可能。
ソートしても良い場合 O (n log n)でソートしてもOK
"
• ある値を探す以外とかの応用など可能である。
条件を満たす値を探すなどの応用もある。
20

21. Segment Tree
21

22. 問題
• 配列でlist与えられて[a,b)内の最小値を求めてください
• [a,b) は インデックスa以上b未満の範囲 (0-based Index)
• 例：[5,1,2,4,5] の 範囲[2,4) での最小値は 1
"
"
• 課題では ありうるすべての範囲と
その最小値の和を求めてください。

23. 実装してみましょう
23

24. • 以下の２つをすることをRMQ (Range Minimum/Max Query)と
言います。
• ある範囲の中から最小値を探す処理
• ある範囲の最小値を更新する処理
• RMQというと、たいてい上の２つの処理を何度もする。
• 純粋な実装の場合
• 更新する処理 list[x]=value で O(1)
• 探す処理 for(int i=a,i<b;i++) で O(n)
24

25. Segment Tree
25

26. 26
min(a[0]~a[7])
a[0]~a[3] a[4]~a[7]
a[0]~
a[1]
a[2]~
a[3]
a[0] a[1] a[2] a[3]
a[4]~
a[5]
a[6]~
a[7]
a[4] a[5] a[6] a[7]
それぞれ範囲の最小値とする

27. データ構造
27

28. 28
b[1]
b[2] b[3]
b[4] b[5]
b[8] b[9] b[10] b[11]
b[6] b[7]
b[12] b[13] b[14] b[15]

29. データの作り方
29

30. Segment Treeの作り方
• 完全二分木（にした方がいい）のでノード数を調整する。
• 一番下（根）のノード数が配列数より同じか大きくとる
• 配列数が5個なら
• 1+2+4+8 =15 個の要素の配列を用意する。
• すべての要素を最大値で埋める
30

31. 31
b[1]
b[2] b[3]
b[4] b[5]
b[8] b[9] b[10] b[11]
b[6] b[7]
b[12] b[13] b[14] b[15]
元の配列 a[0]=5 をセットする場合
index=(ノード数)-8+0
更新

32. 32
b[1]
b[2] b[3]
b[4] b[5]
5 b[9] b[10] b[11]
b[6] b[7]
b[12] b[13] b[14] b[15]
元の配列 a[0]=5 をセットする場合
b[8]=min(b[8],5)
更新

33. 33
b[1]
b[2] b[3]
b[4] b[5]
5 b[9] b[10] b[11]
b[6] b[7]
b[12] b[13] b[14] b[15]
元の配列 a[0]=5 をセットする場合
index=
index/2
更新

34. 34
b[1]
b[2] b[3]
5 b[5]
5 b[9] b[10] b[11]
b[6] b[7]
b[12] b[13] b[14] b[15]
元の配列 a[0]=5 をセットする場合
index=
index/2
更新

35. 35
5
5 b[3]
5 b[5]
5 3 b[10] b[11]
b[6] b[7]
b[12] b[13] b[14] b[15]
元の配列 a[1]=3 をセットする場合
更新

36. 36
5
5 b[3]
3
min(5,3)
b[5]
5 3 b[10] b[11]
b[6] b[7]
b[12] b[13] b[14] b[15]
元の配列 a[1]=3 をセットする場合
更新
index=
index/2

37. 37
3
3 b[3]
3
min(5,3)
b[5]
5 3 b[10] b[11]
b[6] b[7]
b[12] b[13] b[14] b[15]
元の配列 a[1]=3 をセットする場合
更新

38. 38
3
3 8
3 4
5 3 4 20
10 8
10 12 8 9
すべてのセットを行ったら（例えば）

39. 範囲の探索
"
"
再帰を利用します。
ちょっと難しいです。
39

40. 40
3
3 8
3 4
5 3 4 20
10 8
10 12 8 9
[1,5) の範囲に対して検索を行う時

41. 41
3
3 8
3 4
5 3 4 20
10 8
10 12 8 9
[1,5) の範囲に対して検索を行う時

42. 42
3
3 8
3 4
5 3 4 20
10 8
10 12 8 9
[1,5) の範囲に対して検索を行う時

43. 43
3
3 8
3 4
5 3 4 20
10 8
10 12 8 9
[1,5) の範囲に対して検索を行う時

44. 44
[1,5) の範囲に対して検索を行う時
getMin(int left,int right,int a,int b,int index)
"
のような関数を作る。
・範囲 [a,b)の中に [left,right)が完全に含ま
れている時
b[index]を返す。
"
"
4
3 10

45. 45
[1,5) の範囲に対して検索を行う時
getMin(int left,int right,int a,int b,int index)
"
のような関数を作る。
・範囲 [a,b)が[left,right)が全く含まれてない
時
無効な値を返す。（例えばMAX_INTEGER)
"
"

46. 46
[1,5) の範囲に対して検索を行う時
getMin(int left,int right,int a,int b,int index)
"
のような関数を作る。
・範囲 [a,b)が[left,right)が一部でも含まれてたら
再帰的に関数を２回呼び出す。
（その最小値を計算する）
"
int m1=getMin(left,(left+right)/2,a,b,index*2)
int m2=getMin((left+right)/2,right,a,b,index*2+1)
return min (m1,m2)
"

47. 47
3
3 8
これに相当します。
a b
left right

48. ワンポイント
• [a,b) の理由 ——- [0,4) だとする
• もし [a,b] だと 領域を分割する時
• [0,3] だと [0,1],[2,3] としないといけない
• [0,4)とすると
• [0,2) ,[2,4) とかけて少しスマート
"
• これに習い、stringのsubstringなども [a,b) になっている。
48

49. ワンポイント
• Segment Treeの配列が１から始まってる理由
"
• ノードの下をたどるときに index*2+1, index*2+2
にしないといけないため、操作が少し面倒。
"
• 1からにすると index*2,index*2+1 にできてスマート
49

50. 計算量
• xi=vを入れる O(log n)
• [a,b)の最小値を調べる O(log n)
"
• 上はいつでも任意の順番でいつでも行える。
（最初Treeを構築したら終わりではない）
50

51. 範囲[a,b)の和を高速に求めよう
51

52. 問題
• 配列でlist与えられて[a,b)内の合計値を求めてください
• [a,b) は インデックスa以上b未満の範囲 (0-based Index)
• 例：[5,1,2,4,5] の 範囲[2,4) での合計値は 3
"
"
• 課題では ありうるすべての範囲の和を求めてください。

53. ヒント
53

54. Segment Treeを使います
54

55. 55
sum(a[0]~a[7])
a[0]~a[3] a[4]~a[7]
a[0]~
a[1]
a[2]~
a[3]
a[0] a[1] a[2] a[3]
a[4]~
a[5]
a[6]~
a[7]
a[4] a[5] a[6] a[7]
それぞれ範囲の和とする

56. 56
5
5 b[3]
8
5+3
b[5]
5 3 b[10] b[11]
b[6] b[7]
b[12] b[13] b[14] b[15]
元の配列 a[1]=3 をセットする場合
minの
ところを和
に変える
index=
index/2

57. 57
67
32 39
8 24
5 3 4 20
22 17
10 12 8 9
すべてのセットを行ったら（例えば）

58. 58
[1,6) の範囲に対して検索を行う時
getSum(int left,int right,int a,int b,int index)
"
のような関数を作る。
・範囲 [a,b)が[left,right)が一部でも含まれてたら
再帰的に関数を２回呼び出す。
"
int m1=getSum(left,(left+right)/2,a,b,index*2)
int m2=getSum((left+right)/2,right,a,b,index*2+1)
return m1+m2
"

59. これでも大丈夫
59

60. 更に良い方法があります
60

61. 例えば
• 範囲[2,4) の部分和を求めるとき、
S(n) を [0,n)の部分和の関数とすると
S ( x ) - S ( y ) で表すことができる 。
"
"
• xとyの値は何でしょう？
61

62. 範囲[2,4) の部分和は
S(4) - S (2) で求めることが出来ます。
62

63. Sはどうやって作る？
63

64. BIT
Binary Indexed Tree
64

65. 65
67
32 39
8 24
5 3 4 20
22 17
10 12 8 9

66. 66
67
32
8
5 4
22
10 8

67. データ構造
67

68. 68
b[8]
b[4]
b[2]
b[1] b[3]
b[6]
b[5] b[7]

69. indexの性質
69

70. 70
b[8]
b[4]
b[2]
b[1] b[3]
b[6]
b[5] b[7]
各 index番号は 各範囲の最後の要素になっている

71. 71
b[1000]
b[100]
b[10]
b[1] b[11]
b[110]
b[101] b[111]
各 index番号を２進数で表現したときを最後から連続する0の数が高さの同じになる。

72. データの作り方
72

73. BITの作り方
• これもやっぱりノード数を調整する。
• 配列数が5個なら
• 1,2,4,8 で ノード数8にする。
"
"
• 初期化作業が大事
73

74. 74
b[1000]
b[100]
b[10]
b[1] b[11]
b[110]
b[101] b[111]
a[0] = 5 のとき
更新対象
更新対象
更新対象
更新対象

75. 75
b[1000]
b[100]
b[10]
b[1] b[11]
b[110]
b[101] b[111]
a[4] = 3 のとき
更新対象
更新対象
更新対象

76. 76
b[1000]
b[100]
b[10]
b[1] b[11]
b[110]
b[101] b[111]
更新の求め方は, 対象のindex +1
の２進数表現の最後のbitを足すことで求められる
更新対象
更新対象
更新対象

77. データの探し方
77

78. 78
b[1000]
b[100]
b[10]
b[1] b[11]
b[110]
b[101] b[111]
S(5) = [0,5) の部分和を求める時
"
元の配列とBITはindexが1ずれてるのに注意

79. 79
b[1000]
b[100]
b[10]
b[1] b[11]
b[110]
b[101] b[111]
S(5) からBITでは 5が最後の要素で２進数表現では
101 なので b[101] の要素を見る
次に b[100]の要素を見れれば良い

80. 80
b[1000]
b[100]
b[10]
b[1] b[11]
b[110]
b[101] b[111]
この求め方は 各ビットで1があるものを下から順番に0にしたもの
なっている 101 -> 100 など

81. うまくできてます。
81

82. ビットテクニック！
"
"
他でも使えるビットテクニックです。
"
忘れても普通にforなどでしてもいいと思います。
82

83. 最後の1になってるbitを0にする
• 元の値 14 -> 1110
"
• 1を引く 13 -> 1101
"
• bit andを取る -> 1100
83
できました！

84. 最後の1になっているものだけ取り出す
• 元の値 14 -> 1110
"
• 1を引く 13 -> 1101
"
• bit andを取る -> 1100
"
• 元の値と bit xorを取る 0010
84
できました！

85. このテクニックを使えば
BITが使えます。
85

86. [a,b)の和を求めるには？
• bit.getSum(a)で[0,a)
• bit.getSum(b)で[0,b)
"
• なので最終的に bit.getSum(b)-bit.getSum(a)
をすると[a,b)の和を求めることができる。
86

87. 計算量
• xiにvを入れる O(log n)
• [a,b)の総和を調べる O(log n)
"
• 上はいつでも任意の順番で行える。
87

88. これらが使える問題
• AtCoder ARC #026 C-蛍光灯
• http://arc026.contest.atcoder.jp/tasks/arc026_3
• Segment Tree
"
• AtCoder ARC #014 D - grepマスター
• http://arc014.contest.atcoder.jp/tasks/arc014_4
• ２分探索
88

89. 参考・引用資料
• プログラミングコンテストでのデータ構造
SlideShare 秋葉 拓哉 / (iwi)
• http://www.slideshare.net/iwiwi/ss-3578491
89

90. 以上お疲れ様でした。
90