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PFDS 11.2 catenable double ended queue

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SimpleCatenableDeque までです。

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PFDS 11.2 catenable double ended queue

  1. 1. PFDS #12 11.2 Catenable Double-Ended Queue @yuga 2012-12-01Copyright © 2012 yuga 1
  2. 2. 動機 Queueを効率よく連結したい できればO(1)でCopyright © 2012 yuga 2
  3. 3. Catenable Deque 連結可能なDequeのシグネチャ CATENABLEDEQUE : module type CATENABLEDEQUE = sig type ‘a cat val empty : ‘a cat val isEmpty : ‘a cat -> bool val snoc : ‘a cat * ‘a -> ‘a cat val head : ‘a cat -> ‘a val tail : ‘a cat -> ‘a cat val cons : ‘a * ‘a cat -> ‘a cat val last : ‘a cat -> ‘a val init : ‘a cat -> ‘a cat val (++) : ‘a cat -> ‘a cat -> ‘a cat endCopyright © 2012 yuga 3
  4. 4. Catenable Deque 連結可能なDequeのシグネチャ CATENABLEDEQUE : module type CATENABLEDEQUE = sig type ‘a cat include module DEQUE with type ‘a queue := ‘a cat val (++) : ‘a cat -> ‘a cat -> ‘a cat endCopyright © 2012 yuga 4
  5. 5. 解決の方針 DequeをDequeにいれる (Structural Abstraction)  BootStrapped type SimpleCatenableDeque (初級編) ImplicitCatenableDeque (上級編)  Primitive type これまでに登場したDeque (ただしImplicitCatenableDequeの実装には Dequeの要素数を返すsize関数の実装が必要) ※すべての関数がO(1)時間で実行可能であること。 (実時間/償却時間いずれでもよい)Copyright © 2012 yuga 5
  6. 6. SimpleCatenableDequeの実装 データ構造 SHALLOW … 単体のDeque DEEP … 連結したDeque front – middle – rearの3パーツ構成 frontとrearは必ず2個以上の要素を持つ module SimpleCatenableDeque (D : DEQUE) : CATENABLEDEQUE = struct type ‘a cat = SHALLOW of ‘a D.queue | DEEP of ‘a D.queue (* front *) * ‘a D.queue cat susp (* middle *) * ‘a D.queue (* rear *) …Copyright © 2012 yuga 6
  7. 7. 図解: 実装 (cons) consやsnocは直接PrimitiveのDequeに要素を入れる。 0 1 2 SHALLOW ‘a D.queue 0 1 2 3 4 DEEP front middle rearCopyright © 2012 yuga 7
  8. 8. 実装 (++) 5パターンある。DEEPのmiddleについては再帰的に行う。 1. どちらかが2未満の要素を持つSHALLOW同士の連結 2. どちらも2以上の要素をもつSHALLOW同士の連結 3. DEEPと2未満の要素を持つSHALLOWの連結 4. DEEPと2以上の要素を持つSHALLOWの連結 5. DEEP同士の連結 a. middle:どちらかが2未満の要素を持つSHALLOW同士の連結 b. middle:どちらも2以上の要素をもつSHALLOW同士の連結 c. middle:DEEPと2未満の要素を持つSHALLOWの連結 d. middle:DEEPと2以上の要素を持つSHALLOWの連結 e. middle:DEEP同士の連結 i. middle:… … T(m+n) = T((m – (4 + c))/2) + T((n – (4 + d))/2) + O(1) = O(min (log(m), log(n)))Copyright © 2012 yuga 8
  9. 9. 図解: 実装 (++) 1. どちらかが2未満の要素を持つSHALLOW同士の連結 1 2 ++ 3 SHALLOW ‘a D.queue 1 2 3Copyright © 2012 yuga 9
  10. 10. 図解: 実装 (++) 2. どちらも2以上の要素をもつSHALLOW同士の連結 1 2 ++ 3 4 1 2 3 4 DEEP front middle rearCopyright © 2012 yuga 10
  11. 11. 図解: 実装 (++) ++ 3. DEEPと2未満の要素を持つSHALLOWの連結 1 2 3 4 ++ 5 1 2 3 4 5Copyright © 2012 yuga 11
  12. 12. 図解: 実装 (++) 5a. DEEPと2以上の要素を持つSHALLOWの連結 1 2 3 4 ++ 5 6 1 2 3 4 5 6Copyright © 2012 yuga 12
  13. 13. 図解: 実装 (++) 5a. DEEP同士の連結( middle:どちらかが2未満の要素を持つSHALLOW同士の連結) 1 2 3 4 ++ 5 6 7 8 3 4 ++ 5 6 3 4 1 2 7 8 5 6Copyright © 2012 yuga 13
  14. 14. 図解: 実装 (++) 5b. DEEP同士の連結(middle:どちらも2以上の要素をもつSHALLOW同士の連結) ++ 3 4 11 12 1 2 7 8 9 10 15 16 5 6 13 14 3 4 9 10 5 6 ++ 11 12 7 8 13 14 3 4 9 10 1 2 5 6 11 12 15 16 7 8 13 14 14Copyright © 2012 yuga
  15. 15. 図解: 実装 (++) 5e. DEEP同士の連結(middle:DEEP同士の連結) 3 4 9 10 19 20 25 26 1 2 5 7 6 8 11 13 12 14 15 16 ++ 17 18 21 23 22 24 27 29 28 30 31 32 3 4 9 10 17 18 25 26 ++ 5 6 11 12 19 20 27 28 7 8 13 14 21 22 29 30 15 16 23 24 9 10 17 18 11 12 19 20 13 14 ++ 21 22 15 16 23 24 15Copyright © 2012 yuga
  16. 16. 実装 (tail) SHALLOWはそのまま。DEEPは先頭を除去後、frontの要素数が2 以上になるならそのまま、そうでないならSHALLOWにする。 1. SHALLOWをtail 2. DEEP(frontが3個以上)をtail 3. DEEP(frontが2個、middleが0個)をtail 4. DEEP(frontが2個、middleが1個以上)をtailCopyright © 2012 yuga 16
  17. 17. 図解: 実装 (tail) 1. SHALLOWをtail 1 2 3 1 2 3Copyright © 2012 yuga 17
  18. 18. 図解: 実装 (tail) 2. DEEP(frontが3個以上)をtail 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 8Copyright © 2012 yuga 18
  19. 19. 図解: 実装 (tail) 3. DEEP(frontが2個、middleが0個)をtail 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 3Copyright © 2012 yuga 19
  20. 20. 図解: 実装 (tail) 4. DEEP(frontが2個、middleが1個以上)をtail 3 4 1 2 7 8 5 6 3 4 1 2 7 8 5 6 2 1 7 8 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8Copyright © 2012 yuga 20
  21. 21. Exercise 11.3: tailが償却実行時間O(1)か? DEEPに、middleのsuspensionを作成するとき、そのmiddleに1 debitを割り当てる。 次にmiddleを操作するときまでに返却しなければならない。 Debit Invariant: 0 if frontが2個 DEEPのdebit数の上限 = 1 if frontが3個以上 tail時に繰り下がり処理のため middleを操作することになるからCopyright © 2012 yuga 21
  22. 22. Exercise 11.3: tailが償却実行時間O(1)か? 振り返り(9.2.3 Lazy Representation) 3個以上 2個 繰り下がりを再帰的に行うこ とでdebitは発生するが、返却 が必要なdebitはO(1)Copyright © 2012 yuga 22
  23. 23. Exercise 11.3: tailが償却実行時間O(1)か? 1. SHALLOWをtail  SHALLOWには既存debitが存在しない。  SHALLOWのtail操作では新規debitは発生しない。 2. DEEP(frontが3個以上)をtail  tail前はfrontが3個以上なので、middleにdebitが1割り当てられている。  middleを操作しないので新規debitは発生しない。  tail操作後、frontが2個になる場合: – debitの許容数は-1。 – したがって合計1debitを返却する。 3. DEEP(frontが2個、middleが0個)をtail  tail前はfrontが2個なので、middleに割り当てられたdebitは0。  middleを破棄するので新規debitは発生しない。  tail後、SHALLOWになりdebit許容数が-1。 4. DEEP(frontが2個、middleが1個以上)をtail  tail前はfrontが2なので、middleに割り当てられたdebitは0。  middleの操作でsuspensionを作成しているので、middleに新規debitが1発生する。  tail後はfrontは3個以上なので、debit許容数は+1 したがってO(1)Copyright © 2012 yuga 23

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