TIPOS DE DISTRIBUCIONES

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TIPOS DE DISTRIBUCIONES

  1. 1. Procesos Industriales Área ManufacturaMateria: EstadísticaTema: ProbabilidadDocente: Lic. Edgar Gerardo Mata OrtizALUMNO :Yovana Marin de la Fuente 18/mar/2012
  2. 2. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADUna distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que puedenrepresentarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo. Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro,constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que sepuede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerándolastendencias actuales de diversos fenómenos naturales. DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLILa distribución de Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por elmatemático y científico suizo Jakob Bernoulli, es una distribución deprobabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito ( ) yvalor 0 para la probabilidad de fracaso ( ).Si es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza unúnico experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice quela variable aleatoria se distribuye como una Bernoulli de parámetro .La fórmula será:Su función de probabilidad viene definida por:Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conoce comoEnsayo de Bernoulli o simplemente ensayo, y la serie de esos experimentoscomo ensayos repetidos.
  3. 3. Ejemplo:"Lanzar un dado y salir un 6".Cuando lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados:Estamos realizando un único experimento (lanzar el dado una sola vez).Se considera éxito sacar un 6, por tanto, la probabilidad según el teorema deLaplace (casos favorables dividido entre casos posibles) será 1/6.Se considera fracaso no sacar un 6, por tanto, se considera fracaso sacarcualquier otro resultado.La variable aleatoria X medirá "número de veces que sale un 6", y solo existendos valores posibles, 0 (que no salga 6) y 1 (que salga un 6).Por tanto, la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli deparámetro = 1/6La probabilidad de que obtengamos un 6 viene definida como la probabilidadde que X sea igual a 1.La probabilidad de que NO obtengamos un 6 viene definida como laprobabilidad de que X sea igual a 0.
  4. 4. DISTRIBUCION BINOMIAL• La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de BERNOULLI independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.• Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denomina éxito y fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (se denotan como p y q o p y 1-p).• Se designa por X a la variable que mide el número de éxitos que se han producido en los n experimentos.• Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable X sigue una distribución de probabilidad binomial, y se denota B(n,p)• Ejemplo• Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):•
  5. 5. DISTRIBUCION POISSONLa Distribución de Poisson se llama así en honor a Simeón Dennis Poisson (1781-1840),francés que desarrolló esta distribución basándose en estudios efectuados en la última partede su vida.La distribución de Poisson se emplea para describir varios procesos, entre otros la distribuciónde las llamadas telefónicas que llagan a un conmutador, la demanda (necesidades) deservicios en una institución asistencial por parte de los pacientes, los arribos de los camionesy automóviles a la caseta de cobro y el número de accidentes en un cruce. Los ejemploscitados tienen un elemento en común, pueden ser descritos por una variable aleatoria discretaque asume valores enteros (0,1,2,3,4,5 y así sucesivamente).El número de enfermos que llegan a un consultorio en cierto intervalo de tiempo será de0,1,2,3,4,5 o algún otro número entero. De manera análoga, si se cuenta el número deautomóviles que llegan a una caseta de cobro durante un periodo de diez minutos, el númeroserá entero.Características de los procesos que producen una distribución de la probabilidad de Poisson.El número de vehículos que pasan por una caseta de cobro en las horas de mayor tráfico sirvecomo ejemplo para mostrar las características de una distribución de probabilidad de Poisson.El promedio (media) de los arribos de vehículos por hora de gran tráfico puede estimarse apartir de los datos anteriores del tráfico.Cálculo de probabilidades mediante la distribución de Poisson.La distribución de Poisson, según hemos señalado, se refiere a ciertos procesos que puedenser descritos con una variable aleatoria discreta. La letra X suele representar esa variable ypuede además asumir valores enteros (0,1,2,3 etc..) . Utilizamos la letra X mayúscula pararepresentar la variable aleatoria y la x minúscula para designar un valor específico que puedeasumir la X mayúscula. La probabilidad de exactamente x ocurrencias en una distribución dePoisson se calcula mediante la fórmula:P(x) = l x * e-l / x!l x = Lambda(número medio de ocurrencias por intervalo de tiempo) elevada a la potencia x.e-l = e= 2.71828 elevado a la potencia de lambda negativa.
  6. 6. x! = x factorial.Ejemplo :Supóngase que estamos investigando la seguridad de un crucero muy peligroso. Los archivosde la policía indican una media de cinco accidentes por mes en él. El número de accidentesestá distribuido conforme a la distribución de Poisson, y la división de seguridad en carreterasquiere calcular la probabilidad de exactamente 0,1,2,3 y 4 accidentes en un mes determinado.Aplicando la fórmula anterior:P(0) = (5)0 (e-5) /0! = 0.00674P(1) = (5)1 (e-5) /1! = 0.03370P(2) = (5)2 (e-5) /2! = 0.08425P(3) = (5)3 (e-5) /3! = 0.14042P(4) = (5)4 (e-5) /4! = 0.17552Para saber cual es la probabilidad en 3 o menos, sumaremos las probabilidades de 0,1,2,3 loque será igual a :P(0) = 0.00674P(1) = 0.03370P(2) = 0.08425P(3) = 0.14042P(3 o menos) = 0.26511Dado que la probabilidad de que haya 3 o menos accidentes es de 0.26511 entonces laprobabilidad de que ocurran más de tres debe ser = 1 –0.26511 = 0.73489.La distribución de Poisson como una aproximación a la distribución binomial.
  7. 7. Algunas veces, si se desea evitar el tedioso trabajo de calcular las distribuciones binomiales,se puede usar a cambio la de Poisson, pero debe cumplir con ciertas condiciones como :n=>20p=<0.05En los casos en que se satisfacen tales condiciones, podemos sustituir la media de ladistribución binomial en lugar de la media de la distribución de Poisson de modo que lafórmula quedaría así:P(x) = (np) X * e-np /x!
  8. 8. DISTRIBUCIÓN NORMARLEn estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución deGauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad devariable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenosreales.La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y essimétrica respecto de un determinado parámetro. Esta curva se conoce comocampana de Gauss y e es el gráfico de de una función gaussiana.La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerososfenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismosque subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por laenorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el usodel modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación seobtiene como la suma de unas pocas causas independientes.De hecho, la estadística es un modelo matemático que sólo permite describirun fenómeno, sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso eldiseño experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología ysociología sea conocido como método correlacionar.La distribución normal también es importante por su relación con laestimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación mássimples y antiguos.Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen elmodelo de la normal son: caracteres morfológicos de individuos como la estatura; caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco; caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos; caracteres psicológicos como el cociente intelectual; nivel de ruido en telecomunicaciones; errores cometidos al medir ciertas magnitudes; etc.La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propiaestadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias muéstrales es
  9. 9. aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual seextrae la muestra no es normal.1 Además, la distribución normal maximiza laentropía entre todas las distribuciones con media y varianza conocidas, lo cualla convierte en la elección natural de la distribución subyacente a una lista dedatos resumidos en términos de media muestral y varianza. La distribuciónnormal es la más extendida en estadística y muchos test estadísticos estánbasados en una supuesta "normalidad".En probabilidad, la distribución normal aparece como el límite de variasdistribuciones de probabilidad continuas y discretas. DISTRIBUCION GAMMAEn estadística la distribución gamma es una distribución de probabilidad continua con dosparámetros k y λ cuya función de densidad para valores x > 0 esAquí e es el número e y Γ es la función gamma. Para valores la aquella es Γ(k) = (k − 1)!(el factorial de k − 1). En este caso - por ejemplo para describir un proceso de Poisson - sellaman la distribición distribución Erlang con un parámetro θ = 1 / λ.El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X de distribución gamma son E[X]= k / λ = kθ V[X] = k / λ2 = kθ2La formula para la función de densidad gamma contiene dos parámetros α y β. Elparámetro β llamado parámetro de escala, refleja el tamaño de las unidades en que se midey es parámetro α se conoce como parámetro de forma, si se modifica su valor cambia laforma de la distribución gamma, esto nos permite obtener funciones de densidad de muchasformas distintas para modelar distribuciones de frecuencia relativa de datos experimentales.La función de densidad de probabilidad de una variable tipo gama esta dada poren donde αCuando α = 1, la función de densidad gamma se denomina distribución exponencial. Estaimportante función de densidad se emplea como modelo para la distribución de frecuenciasrelativa del tiempo entre llegadas a un mostrador de servicio (centros de cómputo, caja desúper mercado, clínica hospitalaria, etc.) Cuando la probabilidad de que un cliente llegue en
  10. 10. cierta unidad de tiempo es igual ala probabilidad de que llegue en cualquier otra. Lafunción también se utiliza como modelo para la duración de equipos o productosindustriales cuando la probabilidad de que un componente viejo opere por lo menos tunidades de tiempo adicionales, dado que esta funcionando ahora. Es igual a laprobabilidad de que un componente nuevo opere al menos t unidades de tiempo. El equiposujeto a mantenimiento periódico y recambio de piezas a menudo exhibe esta propiedad denunca envejecer. DISTRIBUCION T STUDENTEn probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad quesurge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando eltamaño de la muestra es pequeño. Surge, en la mayoría de los estudios estadísticos prácticos,cuando la desviación típica de una población se desconoce y debe ser estimada a partir de losdatos de una muestra.Existen dos versiones de la prueba t-Student: una que supone que las varianzas poblacionales soniguales y otra versión que no asume esto último. Para decidir si se puede suponer o no la igualdadde varianza en las dos poblaciones, se debe realizar previamente la prueba F-Snedecor decomparación de dos varianzas.Un poco de historia.La prueba t-Student fue desarrollada en 1899 por el químico inglés William Sealey Gosset (1876-1937), mientras trabajaba en técnicas de control de calidad para las destilerías Guiness en Dublín .Debido a que en la destilería, su puesto de trabajo no era inicialmente de estadístico y sudedicación debía estar exclusivamente encaminada a mejorar los costes de producción, publicósus hallazgos anónimamente firmando sus artículos con el nombre de "Student".La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente:dondeZ tiene una distribución normal de media nula y varianza 1V tiene una distribución chi-cuadrado con ν grados de libertadZ y V son independientesSi μ es una constante no nula, el cociente es una variable aleatoria que sigue la distribución t deStudent no central con parámetro de no-centralidad μ.Intervalos de confianza derivados de la distribución t de Student
  11. 11. El procedimiento para el cálculo del intervalo de confianza basado en la t de Student consiste enestimar la desviación típica de los datos S y calcular el error estándar de la media= S/(raízcuadrada de n), siendo entonces el intervalo de confianza para la media = x media +- t (alfa/2)multiplicado por (S/(raíz cuadradada de n)).Es este resultado el que se utiliza en el test de Student: puesto que la diferencia de las medias demuestras de dos distribuciones normales se distribuye también normalmente, la distribución tpuede usarse para examinar si esa diferencia puede razonablemente suponerse igual a cero.para efectos prácticos el valor esperado y la varianza son :E(t(n))= 0 y Var (t(n-1)) = n/(n-2) para > 3

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