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movimiento en un plano

  1. 1. Movimiento en dos dimensiones El movimiento de los objetos en el espacio, en muchos de los casos, se puede estudiar como si ocurriera en un plano. Algunos ejemplos comunes de movimiento en un plano son los proyectiles, los satélites y las partículas cargadas en campos eléctricos uniformes. Desplazamiento La posición de una partícula en un plano se describe con un vector de posición r, trazado desde el origen de algún sistema de referencia hasta el punto donde se localice la partícula, Véase la figura 1. En el tiempo ti la partícula se encuentra en un punto P, y en algún instante posterior tf la partícula está en Q. Cuando la partícula se mueve de P a Q en el intervalo de tiempo ∆t = tf - ti, el vector de posición cambia de ri a rf. y Trayectoria de la partícula P ∆ r = ri - rf ri Q rf O x Figura 1. el vector desplazamiento es igual a la diferencia entre el vector de posición final y el vector de posición inicial: ∆r = r - r (0.1) f i Nótese que, en general, la magnitud del vector desplazamiento es menor que la distancia recorrida a lo largo de la trayectoria curva. Velocidad 68
  2. 2. Al igual que en una dimensión, la velocidad de una partícula es una medida del cambio de su posición con respecto al tiempo. Excepto que en un plano, el cambio de posición involucra las dos componentes del vector de posición. Velocidad promedio La velocidad promedio de una partícula se define como la razón de su desplazamiento ∆r entre el intervalo de tiempo transcurrido, ∆t v= r -r ∆r = f i ∆t t -t f i (0.2) la velocidad promedio es una cantidad vectorial dirigida a lo largo de ∆r. Velocidad instantánea La velocidad instantánea, v, se define como el límite de la velocidad promedio, ∆r , conforme ∆t tiende a cero: v= ∆t ∆r v = lim ∆t → 0 ∆t Es decir, la velocidad instantánea es igual a la derivada del vector de posición con respecto al tiempo. La dirección del vector de velocidad instantánea en cualquier punto de una trayectoria está a lo largo de la línea tangente a la trayectoria en ese punto y apunta en la dirección del movimiento; esto se ilustra en la figura 2. Rapidez En general, la velocidad de un objeto en el plano se puede describir como un vector con componente horizontal vx y componente vertical vy, de tal manera que el vector velocidad en el plano se escribe como v = vxi + vyj, donde i y j son vectores unitarios. A la magnitud del vector de velocidad instantánea se le conoce como rapidez. Es decir, Rapidez = (vx2 + vy2)1/2 Aceleración Cuando la velocidad de una partícula cambia con el tiempo, se dice que la partícula está acelerada. La aceleración promedio 69
  3. 3. En la figura 2, la velocidad de la partícula que se mueve en el plano tiene una velocidad vi en el punto P y una velocidad vf en el punto Q. La aceleración promedio de la partícula en el intervalo de tiempo ∆t = tf - ti se define como a= v -v ∆v i = f ∆t t -t f i (0.3) y Trayectoria de la partícula ∆v -vi vf P ri vi rf O Q vf x Figura 2. Aceleración instantánea La aceleración instantánea, a , se define como el valor límite de la razón ∆v ∆t Cuando ∆t tiende a cero: a= ∆v lim ∆t → 0 ∆t (0.4) En otras palabras, la aceleración instantánea es igual a la derivada del vector velocidad respecto al tiempo. La aceleración de una partícula que se mueve en un plano o en el espacio tridimensional puede aparecer producida por tres circunstancias: 1. Cuando la magnitud del vector velocidad (la rapidez) cambia con el tiempo. 2. Cuando la dirección del vector velocidad cambia con el tiempo, aunque su magnitud (rapidez) permanezca constante, ejemplo el movimiento circular. 3. Cuando tanto la magnitud como la dirección del vector velocidad cambian. 70
  4. 4. Movimiento bidimensional con aceleración constante Consideremos el movimiento de una partícula en un plano, durante el cual la magnitud y la dirección de la aceleración permanecen constantes. Es decir, ax y ay no cambian con respecto al tiempo. El movimiento de una partícula en el plano puede determinarse por medio de su vector de posición r. El vector de posición para una partícula que se mueve en el plano xy puede escribirse como r = rx ˆ + ry ˆ i j (0.5) donde rx es la componente horizontal y ry es la componente vertical del vector de posición r los cuales cambian con el tiempo cuando la partícula se mueve. Si se conoce el vector de posición, la velocidad de la partícula puede obtenerse de la ecuación dr dr dr v= = x ˆ+ y ˆ =v ˆ+v ˆ i j i j (0.6) x y dt dt dt Debido a que la aceleración se supone constante, sus componentes ax y ay también son constantes. Por consiguiente, es posible aplicar las ecuaciones de la cinemática en una dimensión a las componentes x y y del vector velocidad. La sustitución de v x = v x0 + ax t y v y = v y0 + ay t en la ecuación (0.6) produce ˆ ˆ v = (v x0 + ax t)i + (v y0 + ay t)j (0.7) v = (v x0 ˆ + v y0 ˆ + (ax ˆ + ay ˆ i j) i j)t v = v0 + at (0.8) Con este resultado se establece que la velocidad de una partícula en algún tiempo t es igual a la suma del vector velocidad inicial, v0, más la velocidad adquirida debida a la aceleración ( at ). Similarmente, de acuerdo con la cinemática en una dimensión, las coordenadas x y y de la posición de la partícula moviéndose en un plano con aceleración constante deben de tener la forma 1 (0.9) x = x 0 + v x0 t + ax t 2 2 y = y0 + v y0 + 71 1 2 ay t 2 (0.10)
  5. 5. Al sustituir estas expresiones en la ecuación (0.5), se obtiene r = (x 0 + v x0 t + 1 2 ˆ 1 ˆ ax t )i + (y0 + v y0 t + a y t 2 )j 2 2 1 ˆ (ax i + a y ˆ 2 j)t 2 r = (x 0 ˆ + y 0 ˆ + (v x0 ˆ + v y0 ˆ + i j) i j)t r = r0 + vt + 1 2 at 2 (0.11) Esta ecuación indica que el desplazamiento r – r0 de la partícula en el plano es un vector que resulta de la suma de un desplazamiento debido a la velocidad inicial de la partícula (v0t), y un desplazamiento resultado de la aceleración uniforme de la partícula (at2/2). La representación gráfica de las ecuaciones anteriores se muestra en la figura 3. y y at ayt vy v0 vy0 y 1 2 a yt 2 1 2 at 2 r v vy0t x O vx0t v0t O 1 2 axt 2 vx0t ax t vx x x (a) (b) Figura 3. En resumen, el movimiento en un plano con aceleración constante es equivalente a la superposición de dos movimientos independientes en las direcciones x y y con aceleraciones constantes ax y ay . Movimiento de proyectiles Cualquiera que haya observado una pelota de béisbol en movimiento (o cualquier objeto lanzado al aire) ha observado el movimiento de proyectiles. Esta forma muy común de movimiento es sorprendentemente simple de analizar si se hacen las siguientes dos suposiciones: 72
  6. 6. 1. La aceleración de caída libre, g, es constante en todo el intervalo de movimiento y está dirigida hacia abajo. 2. El efecto de la resistencia del aire puede ignorarse. Con estas suposiciones, se encuentra que la curva que describe un proyectil, y que se conoce como su trayectoria, siempre es una parábola. Si elegimos un sistema de coordenadas tal que la dirección y apunte en dirección vertical y positiva hacia arriba, entonces ay = -g, y ax = 0. Supóngase también que en t = 0, el proyectil tiene la posición inicial dada por el vector (x0, y0) y una velocidad inicial cuya magnitud es v0, Además, el vector velocidad inicial v0 forma un ángulo θ0 con la horizontal, donde θ0 es el ángulo de disparo del proyectil. Considerando que cosθ 0 = senθ 0 = v x0 v0 v y0 v0 Sustituyendo estas expresiones en las ecuaciones de movimiento (1.7) y (1.8) y considerando que ay = -g, y ax = 0, se obtienen las ecuaciones para la velocidad y la posición del proyectil para cualquier tiempo t: v x (t) = v0 cosθ 0 = constante (0.12) v y (t) = v y0 - gt = v 0senθ 0 - gt (0.13) x(t) - x 0 = v x0 t = (v0 cosθ 0 )t (0.14) y(t) - y0 = v y0 t - 1 2 1 gt = (v0senθ 0 )t - gt 2 2 2 (0.15) En la primera de estas cuatro ecuaciones, se ve que la velocidad horizontal permanece constante debido a que en esa dirección la aceleración es cero. En cambio, la velocidad vertical primeramente es positiva y comienza a disminuir hasta que se hace cero y luego cambia de dirección apuntando hacia abajo. Véase la figura 4, donde se muestra el caso de un proyectil que es lanzado desde el origen con velocidad inicial de 50 m/s y un ángulo de disparo de 60o. 73
  7. 7. vy = 0 vx vy vx vy vx vy vx vx vy vy x( vx vx vy Figura 4. Si se elimina el tiempo t de las dos últimas ecuaciones se encuentra la ecuación del proyectil en el plano  g  (0.16) y - y 0 = (tanθ 0 )(x - x 0 ) -  (1 + tan 2θ)  (x - x 0 ) 2 2  2v 0  la cual es válida para ángulos de disparo en el intervalo 0 < θ 0 < π/2 . Cuando el proyectil es disparado desde el origen (x0 = y0 = 0), esta expresión es de la forma y = ax -bx2, que representa la ecuación de una parábola que pasa por el origen. Nótese que la trayectoria está completamente especificada si se conocen v0 y θ0. Obsérvese que el movimiento de una partícula en dos dimensiones puede considerarse como la superposición del desplazamiento debido a la velocidad inicial, v0t, y el término gt 2 /2 , debido a la gravedad. En otras palabras, si no hubiera aceleración gravitacional, la partícula continuaría moviéndose a lo largo de una trayectoria recta en la dirección de v0. En consecuencia, la distancia vertical gt 2 /2 , a través de la cual la partícula "cae " de la línea de la trayectoria recta, es la misma distancia que recorrería un cuerpo que cae libremente durante el mismo intervalo de tiempo. Véase la figura 5. 74
  8. 8. y v0t 1 2 gt 2 (x, y) r x O Figura 5. Concluimos que el movimiento de proyectiles es la superposición de dos movimientos: • Un movimiento con velocidad constante en la dirección horizontal y • Un movimiento de una partícula que cae libremente en la dirección vertical bajo aceleración constante. Altura máxima y alcance horizontal de un proyectil Supóngase que un proyectil se lanza desde el punto (x0, y0) en t = 0 con una componente vertical, vy, positiva, como se muestra en la figura 6. y vy = 0 v0 θ0 (x0, y0) h O R Figura 6. 75 x
  9. 9. Primeramente, nótese que, en el punto de altura máxima, la componente vertical de la velocidad vy = 0. En consecuencia, igualando a cero la ecuación (1.10) se obtiene el tiempo que tarda el proyectil para llegar a su altura máxima: t1 = v 0senθ 0 g (0.17) Sustituyendo esta expresión para t1 en la ecuación (1.12), se obtiene una expresión para calcular la altura máxima que alcanza el proyectil v senθ 0 1  v0senθ 0  y(t1 ) - y0 = (v0senθ 0 ) 0 - g  g 2  g  2 y tomando y(t1) = h, se obtiene la expresión de la altura máxima del proyectil en función de la velocidad inicial, v0 y el ángulo de disparo, θ0 h = y0 + v 0 2sen 2θ 0 2g (0.18) El alcance, R, es la distancia horizontal recorrida por el proyectil desde que es lanzado desde una altura igual a y0 hasta que después de alcanzar su altura máxima cae y llega al punto donde su altura es cero. Es decir, la ecuación (1.12) se iguala a cero y al resolver la ecuación cuadrática para t se obtienen dos soluciones: t1,2 = v 0senθ 0 ± v0 2sen 2θ 0 + 2gy 0 g (0.19) La solución positiva, corresponde a cuando el proyectil llega al nivel donde y = 0. La solución negativa, corresponde al instante en que se hubiera lanzado el proyectil desde el nivel donde y = 0. El alcance es por lo tanto  v senθ + 0 R = x 0 + (v 0 cosθ)  0   76 v 0 2sen 2θ 0 + 2gy 0    g  (0.20)
  10. 10. y vy = 0 v0 h θ0 O x R Figura 7. Cuando y0 = 0, como se muestra en la figura 7, los valores del tiempo en la ecuación (1.16) son t = 0, que corresponde a cuando el proyectil es lanzado y t= 2v 0senθ 0 g (0.21) que corresponde a cuando el proyectil llega al nivel donde y = 0. La ecuación (1.17) también es una medida del tiempo que el proyectil está en el aire, después de haber sido lanzado. Asimismo, después de que ha transcurrido el tiempo dado por (1.17), el proyectil recorre una distancia horizontal que se conoce como el alcance R. Este se puede obtener sustituyendo t en la ecuación (1.11) y está dado por R= 2v 0 2 cosθ 0senθ 0 v 2sen2θ 0 = 0 g g (0.22) ya que sen2θ 0 = 2senθ 0 cosθ 0 . La figura 8 muestra las trayectorias de un proyectil que se lanza desde el origen con la misma velocidad inicial pero con diferente ángulo de disparo. 77
  11. 11. Figura 8. Caída libre Cuando el proyectil se lanza con un ángulo de disparo θ0 = -90o, velocidad inicial v0 = 0 y una altura inicial y0 = h, tenemos un proyectil en caída libre. En este caso, la posición horizontal del proyectil permanece constante, y su posición vertical está dada por la ecuación (1.12), que después de tomar en cuenta las condiciones anteriores se reduce a 1 (0.23) y(t) = h - gt 2 2 El tiempo de caída esta dado por 2h (0.24) t= g que es un caso particular de la ecuación (1.16). La magnitud de la velocidad con la que llega al suelo el proyectil esta dada por v = 2gh (0.25) Si el proyectil se lanza con una velocidad inicial v0, θ0 = -90o y desde una altura inicial y0 = h, el tiempo de caída es t= -v 0 + v 0 2 + 2gh g Movimiento circular uniforme 78 (0.26)
  12. 12. La figura 10a muestra un objeto que se mueve en una trayectoria circular con velocidad lineal constante v. Dicho movimiento recibe el nombre de movimiento circular uniforme. Figura 10. Cuando se tiene un movimiento en un plano, existen tres maneras de tener una aceleración: 1. mediante un cambio en la magnitud de la velocidad 2. por medio de un cambio en la dirección de la velocidad 3. ambas situaciones. La segunda situación es la que ocurre para un objeto que se mueve con velocidad constante en una trayectoria circular. El vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria del objeto y perpendicular al radio r de la trayectoria circular. La aceleración en un movimiento circular es perpendicular a la trayectoria y siempre apunta hacia el centro del círculo. Una aceleración de esta naturaleza se conoce como aceleración centrípeta (buscando el centro), y su magnitud es a= v2 r (0.27) donde r es el radio de la trayectoria circular. Aceleración tangencial y radial Consideremos el movimiento de una partícula a lo largo de una trayectoria curva donde la velocidad cambia tanto en dirección como en magnitud, como se describe en la figura 11. 79
  13. 13. Figura 11. El vector asociado a la velocidad siempre es tangente a la trayectoria; sin embargo, el vector de la aceleración a está orientado a cierto ángulo respecto de la trayectoria. Este vector puede descomponerse en dos componentes vectoriales; una componente radial, ar y una componente tangencial, at . Es decir, el vector de aceleración total puede escribirse como la suma vectorial de esas componentes: a = ar + at (0.28) La aceleración tangencial proviene del cambio en la magnitud de la velocidad de la partícula, y la proyección de esta aceleración a lo largo de la dirección de la velocidad es at = d|v| dt (0.29) La aceleración radial se debe al cambio en la dirección del vector velocidad y tiene una magnitud absoluta dada por v2 (0.30) ar = r donde r es el radio de curvatura de la trayectoria en el punto en cuestión. Puesto que ar y at son perpendiculares entre si y como son las componentes de a , se deduce que a = at 2 + ar 2 . Al igual que en el movimiento circular uniforme, a , siempre apunta hacia el centro de curvatura, como se indica en la figura 10. Asimismo, a una velocidad determinada, ar , es grande cuando el radio de curvatura es pequeño (como en los puntos P y Q en la figura 11) y es pequeña 80
  14. 14. cuando el radio de curvatura r es grande (como en el punto R de la trayectoria en la figura 11). Por otro lado, la aceleración tangencial, at , puede apuntar en dos direcciones: • Si v está aumentando, at apunta en la misma dirección que v y • Si v está disminuyendo, at apunta en dirección opuesta a v. Observe que en el caso de movimiento circular uniforme, donde |v| es constante, at = 0 y la aceleración es siempre radial,. En otras palabras, el movimiento circular uniforme es un caso especial de movimiento a lo largo de una trayectoria curva. Además, si la dirección de v no cambia, entonces tampoco hay aceleración radial y el movimiento es en una dimensión ( a r = 0 y a t ≠ 0 ). Es conveniente escribir la aceleración de una partícula que se mueve en una trayectoria circular en función de vectores unitarios. Esto se logra definiendo los ˆ ˆ ˆ vectores unitarios r y θ , donde r es un vector unitario a lo largo del radio vector ˆ dirigido radialmente hacia afuera desde el centro del círculo, y θ es un vector unitario tangente a la trayectoria circular, como se ve en la figura 12. Figura 12. ˆ El vector θ apunta es la dirección hacia donde el ángulo crece; es decir en dirección contraria al movimiento de las manecillas del reloj a partir del eje x ˆ ˆ positivo. Nótese que tanto r como θ “se mueven junto con la partícula" y por ello varían en el tiempo respecto de un observador estacionario, que no se mueve. Usando esta notación, podemos expresar la aceleración total como a = at + ar = d|v| ˆ v 2 ˆ θr dt r 81 (0.31)
  15. 15. v2 r para ar indica que la aceleración radial siempre está dirigida radialmente hacia ˆ adentro, opuesta al vector unitario r . Estos vectores se describen en la figura 12b. El signo negativo en el término Velocidad y aceleración relativas ¿Como se relacionan las observaciones de diferentes observadores en distintos marcos de referencia?. Observadores en diferentes sistemas de referencia pueden medir desplazamientos, velocidades y aceleraciones diferentes para una partícula dada. Es decir, dos observadores que se mueven uno con respecto al otro no concuerdan generalmente en el resultado de una medición. Por ejemplo, si dos autos se mueven en la misma dirección con velocidades de 50 km/h y 100 km/h, un pasajero en el auto más lento medirá la velocidad del auto más rápido como de 50 km/h. Desde luego, un observador estacionario (que no se mueve) encontrará que la velocidad del auto más rápido es de 100 km/h. Este simple ejemplo demuestra que las mediciones de velocidad difieren en marcos de referencia diferentes. Figura 13. Suponga que una persona que viaja sobre un vehículo en movimiento (observador A) lanza una pelota de tal manera que en apariencia, en su marco de referencia, se mueve primero en línea recta hacia arriba y después en línea recta hacia abajo a lo largo de la misma línea vertical, como se puede ver en la figura 13a. Sin embargo, un observador estacionario (B) percibirá la trayectoria de la pelota como una parábola, como se ilustra en la figura 13b. En relación con el observador B, la pelota tiene una componente vertical de velocidad (producida por la velocidad hacia arriba inicial y de la aceleración de la gravedad hacia abajo) y una componente de velocidad horizontal. 82
  16. 16. Figura 14. En una situación más general, considere una partícula localizada en el punto P de la figura 14. Imagine que dos observadores están describiendo el movimiento de esta partícula, uno en el marco de referencia S, fijo respecto de la Tierra, y el otro en el marco de referencia S', moviéndose hacia la derecha respecto de S (y consecuentemente en relación con la Tierra) con una velocidad constante u. (Respecto de un observador en S', S se mueve hacia la izquierda con una velocidad - u.) El punto donde se encuentra un observador en un marco de referencia es irrelevante en este análisis, pero para ser precisos vamos a situar a ambos observadores en el origen. Marcamos la posición de la partícula relativa al marco S con el vector de posición r e indicamos su posición relativa al marco S' con el vector r', ambos en algún tiempo t. Si los orígenes de los dos marcos de referencia coinciden en t = 0, entonces los vectores r y r' se relacionan entre sí mediante la expresión r' = r - ut (0.32) Es decir, después de un tiempo t, el marco S' se desplaza hacia la derecha una distancia igual a ut. Si se calcula la derivada con respecto al tiempo de la ecuación anterior y si se considera que la velocidad u es constante, encontramos que 83
  17. 17. dr' dr = -u dt dt (0.33) v' = v - u (0.34) o bien donde v' es la velocidad de la partícula observada en el marco S' y v es la velocidad de la partícula observada en el marco S. Las ecuaciones anteriores se conocen como las ecuaciones de transformación Galileanas en honor a Galileo Galilei. Las ecuaciones relacionan las coordenadas y la velocidad de una partícula según se miden, por ejemplo, en un marco fijo relativo a la Tierra con aquellas medidas en un marco móvil con movimiento uniforme relativo a la Tierra. Aunque observadores en diferentes marcos de referencia miden diferentes velocidades para las partículas, miden la misma aceleración cuando u es constante. Esto puede verse tomando la derivada respecto del tiempo de la ecuación anterior dv' dv du = dt dt dt (0.35) Pero como u es constante, du/dt = 0. En consecuencia, a' = a puesto que a' = dv' y dt dv . Es decir, la aceleración de la partícula medida por un observador en el dt marco de referencia de la Tierra es la misma que la medida por otro observador que se mueve con velocidad constante relativa al marco de referencia de la Tierra. a= 84
  18. 18. Formulario Movimiento bidimensional ˆ ˆ Posición en un plano r = xi + yj i j Velocidad en un plano v = v x ˆ + v y ˆ Rapidez = (vx2 + vy2)1/2 i j Aceleración en un plano a = ax ˆ + ay ˆ Desplazamiento ∆r = r - r f i r -r ∆r Velocidad promedio v = = f i ∆t t -t f i ∆r Velocidad instantánea v = lim ∆t → 0 ∆t v -v ∆v i Aceleración promedio a = = f ∆t t -t f i ∆v Aceleración instantánea a = lim ∆t → 0 ∆t Movimiento bidimensional con aceleración constante Posición horizontal x = x 0 + v x0 t + Posición vertical y = y0 + v y0 + 1 2 ax t 2 1 2 ay t 2 1 ˆ (ax i + a y ˆ 2 j)t 2 i j) i j)t Velocidad v = (v x0 ˆ + v y0 ˆ + (a x ˆ + a y ˆ , v = v0 + at i j) i j)t Posición vectorial r = (x 0 ˆ + y 0 ˆ + (v x0 ˆ + v y0 ˆ + Movimiento de proyectiles Velocidad horizontal v x (t) = v0 cosθ 0 = constante Velocidad vertical v y (t) = v y0 - gt = v 0senθ 0 - gt Posición horizontal x(t) - x 0 = v x0 t = (v0 cosθ 0 )t 85
  19. 19. 1 2 1 gt = (v0senθ 0 )t - gt 2 2 2 La ecuación del proyectil en el plano  g  y - y 0 = (tanθ 0 )(x - x 0 ) -  (1 + tan 2θ)  (x - x 0 ) 2 2  2v 0  Posición vertical y(t) - y0 = v y0 t - v 0 2sen 2θ 0 2g 2 2v 0 cosθ 0senθ 0 v 2sen2θ 0 = 0 Alcance R = g g Altura máxima h = y 0 + Proyectil en caída libre Posición vertical y(t) = h - 1 2 gt 2 El tiempo de caída esta dado por 2h g t= La magnitud de la velocidad con la que llega al suelo el proyectil v = 2gh Movimiento circular uniforme Aceleración tangencial at = d|v| dt v2 r d|v| ˆ v 2 ˆ θr Aceleración a = at + ar = dt r Aceleración radial ar = Velocidad y aceleración relativas Velocidad relativa v' = v - u Aceleración relativa a' = a 86
  20. 20. Problemas 1. Suponga que la trayectoria de una partícula esta dada por r(t) = x(t)i + y(t)j con x(t) = at2 + bt y y(t) = ct + d donde a, b, c y d son constantes que tienen dimensiones apropiadas. ¿Qué desplazamiento experimenta la partícula entre t = 1 s y t = 3 s? 2. Suponga que el vector de posición para una partícula está dado por r(t) = x(t)i + y(t)j con x(t) = at + b y y(t) - ct2 + d donde a = 1.00 m/s, b = 1.00 m, c = 0.125 m/s2 y d = 1.00 m. (a) Calcule la velocidad promedio durante el intervalo de tiempo de t = 2.00 s a t = 4.00 s. (b) Determine la velocidad y la rapidez en t = 2.00 s. 3. Un motociclista conduce hacia el sur a 20.0 m/s durante 3.00 min, luego da vuelta al oeste y viaja a 25.0 m/s por 2.00 min y, por ultimo, viaja hacia el noroeste a 30.0 m/s durante 1.00 min. Para este viaje de 6.00 min, encuentre: (a) el vector resultante del desplazamiento, (b) la rapidez promedio y (c) la velocidad promedio. 4. Una pelota de golf es golpeada en el borde de un montículo. Las coordenadas x y y de la pelota de golf en función del tiempo están dadas por las expresiones x(t) = (18.0 m/s)t y y(t) = (4.00 m/s)t - (4.90 m/s2)t2. (a) Escriba una expresión vectorial para la posición r como una función del tiempo t utilizando los vectores unitarios i y j. Tomando derivadas, repita para (b) el vector velocidad v(t) y (c) el vector aceleración a(t). (d) Determine las coordenadas x y y de la pelota en t = 3.00 s. Con los vectores unitarios i y j, escriba expresiones para (e) la velocidad v y (f) la aceleración a en el instante t = 3.00 s. 5. En t = 0, una partícula moviéndose en el pIano xy con aceleración constante tiene una velocidad de v0 = (3i - 2j) m/s en el origen. En t = 3 s, su velocidad está dada por v = (9i + 7j) m/s. Encuentre (a) la aceleración de la partícula y (b) sus coordenadas en cualquier tiempo t. 6. Una partícula parte del reposo en t = 0 desde el origen y se mueve en el pIano xy con una aceleración constante de a = (2i + 4j) m/s2. Después de que ha transcurrido un tiempo t, determine (a) la componentes x y la componente y de la velocidad, (b) las coordenadas de la partícula, y (c) la rapidez de la partícula. 7. Un pez que nada en un pIano horizontal tiene velocidad v0 = (4.0i+ 1.0j) m/s en un punto en el océano cuyo vector de posición es r0 = (10.0i - 4.0j) m relativo a una roca estacionaria en la playa. Después de que el pez nada con aceleración constante durante 20.0 s, su velocidad es v = (20.0i-5.0j) m/s. (a) ¿Cuáles son las componentes de la aceleración? (b) ¿cuál es la dirección de la aceleración respecto del eje x fijo? (c) ¿Dónde se encuentra el pez en t = 25 s y en qué dirección se mueve? 8. La posición de una partícula varía en el tiempo de acuerdo con la expresión r = (3.00i 6.00t2j) m. (a) Encuentre expresiones para la velocidad y la aceleración como funciones del tiempo. (b) Determine la posición y la velocidad de la partícula en t = 1.00 s. 9. Las coordenadas de un objeto en movimiento en el plano xy varían con el tiempo de acuerdo con las expresiones x(t) = -(5.0 m) sen(t) y y(t) = (4.0 m) - (5.0 m)cos(t), donde t se 87
  21. 21. mide en segundos. (a) Determine los componentes de la velocidad y las de la aceleración en t = 0 s. (b) Escriba expresiones para el vector de posición, el vector de velocidad y el vector de aceleración en cualquier tiempo t > 0. (c) Describa la trayectoria del objeto en una gráfica xy. 10. En un bar local, un cliente hace deslizar un tarro vacío de cerveza sobre la barra para que vuelvan a Ilenarlo. El cantinero está momentáneamente distraído y no ve el tarro, el cual cae de la barra y golpea el piso a 1.40 m de la base de la misma. Si la altura de la barra es 0.860 m, (a) ¿con que velocidad abandonó el tarro la barra, y (b) ¿cuál fue la dirección de la velocidad del tarro justo antes de chocar con el piso? 11. Una pelota se lanza horizontalmente desde la azotea de un edificio de 35 m de altura. La pelota golpea el suelo en un punto a 80 m de la base del edificio. Encuentre: (a) el tiempo que la pelota permanece en vuelo, (b) su velocidad inicial, y (c) las componentes x y y de la velocidad justo antes de que la pelota pegue en el suelo. 12. Un jugador de fútbol soccer patea una roca horizontalmente desde el borde de una plataforma de 40.0 m de altura en dirección a una fosa de agua. Si el jugador escucha el sonido del contacto con el agua 3.0 s después de patear la roca, ¿Cuál fue la velocidad inicial? Suponga que la velocidad del sonido en el aire es 343 m/s. 13. Un pateador debe patear un balón de fútbol desde un punto a 36.0 m (casi 40 yardas) de la zona de gol y la bola debe librar los postes, que están a 3.05 m de alto. Cuando se patea, el balón abandona el suelo con una velocidad de 20.0 m/s y un ángulo de 53.0° respecto de la horizontal. (a) ¿Por cuánta distancia el balón rebasa a los postes o cae antes de los postes? (b) El balón se aproxima a los postes mientras continúa ascendiendo o cuando va descendiendo? 14. Un bombero a 50.0 m de un edificio en llamas dirige un chorro de agua de una manguera a un ángulo de 30.0° sobre la horizontal, como se muestra en la figura. Si la velocidad inicial de la corriente es 40.0 m/s, ¿a qué altura incide el agua en el edificio?. 15. Un bombero, a una distancia d de un edificio en llamas, dirige un chorro de agua de una manguera a un ángulo θ sobre la horizontal, como se muestra figura. Si la velocidad inicial de la corriente es v0, ¿a qué altura h el agua incide en el edificio? 88
  22. 22. 16. Un astronauta parado sobre la Luna dispara una pistola de manera que la bala abandona el cañon moviéndose inicialmente en una dirección horizontal. (a) ¿Cuál debe ser la velocidad de la bala si ésta va a recorrer por el perímetro completo de la Luna y regresar al punto donde fue disparada? (b) ¿Cuánto permanece la bala en vuelo? Suponga que la aceleración en caída libre sobre la Luna es un sexto de la de la Tierra. 17. Un rifle se dirige horizontalmente al centro de un gran blanco a 200 m de distancia. La velocidad inicial de la bala es 500 m/s. (a) ¿Dónde incide la bala en el blanco? (b) Para golpear en el centro del blanco, el cañon debe estar a un ángulo sobre la línea de visión. Determine el ángulo de elevación del cañon. 18. Durante la primera guerra mundial los alemanes tenían un cañon llamado Big Bertha que se usó para bombardear Paris. Los proyectiles tenían una velocidad inicial de 1.70 km/s a una inclinación de 55.0° con la horizontal. Para dar en el blanco, se hacían ajustes en relación con la resistencia del aire y otros efectos. Si ignoramos esos efectos, (a) ¿cuál era el alcance de los proyectiles? (b) ¿cuánto permanecían en el aire? 19. Una estrategia en las guerras con bolas de nieve es lanzarlas a un gran ángulo sobre el nivel del suelo. Mientras su oponente está viendo esta primera bola de nieve, usted lanza una segunda a un ángulo menor lanzada en el momento necesario para que llegue a su oponente ya sea antes o al mismo tiempo que la primera. Suponga que ambas bolas de nieve se lanzan con una velocidad de 25 m/s. La primera se lanza a un ángulo de 70o respecto de la horizontal. (a) ¿A qué ángulo debe lanzarse la segunda bola de nieve para llegar al mismo punto que la primera? (b) ¿cuántos segundos después debe lanzarse la segunda bola después de la primera para que llegue al blanco al mismo tiempo? 20. Un proyectil se dispara de tal manera que su alcance horizontal es igual a tres veces su máxima altura. ¿Cuál es el ángulo de disparo? 89
  23. 23. 21. Una pulga puede brincar una altura vertical h. (a) ¿Cuál es la máxima distancia horizontal que puede saltar? (b) ¿cuál es el tiempo en el aire en ambos casos? 22. Un cañon que tiene una velocidad de salida de 1,000 m/s se usa para destruir un blanco en la cima de una montaña. El blanco se encuentra a 2,000 m del cañon en dirección horizontal y a 800 m sobre el suelo. ¿A qué ángulo, relativo al suelo, debe dispararse el cañon? Ignore la fricción del aire. 23. Se lanza una pelota desde la ventana del piso más alto de un edificio. Se da a la pelota una velocidad inicial de 8.00 m/s a un ángulo de 20.0° debajo de la horizontal. La pelota golpea el suelo 3.00 s después. (a) ¿A qué distancia horizontal a partir de la base del edificio la pelota golpea el suelo? (b) Encuentre la altura desde la cual se lanzó la pelota. (c) ¿cuánto tiempo tarda la pelota para alcanzar un punto 10.0 m abajo del nivel de lanzamiento? Movimiento circular uniforme 24. Si la rotación de la Tierra aumentara hasta el punto que la aceleración centrípeta fuera igual a la aceleración gravitacional en el ecuador, (a) ¿cuál seria la velocidad tangencial de una persona sobre el ecuador, y (b) ¿Cuánto duraría el día? 25. El joven David, quien venció a Goliat, practicaba con ondas antes de derribar al gigante. Descubrió que con una onda de 0.60 m de longitud, podía girarla a razón de 8.0 rev/s. Si hubiera incrementado la longitud a 0.90 m, podría haber hecho girar la onda solo 6.0 veces por segundo. (a) ¿Qué tasa de rotación da la velocidad lineal mas alta? (b) ¿cuál es la aceleración centrípeta a 8.0 rev/s? (c) ¿Cual es la aceleración centrípeta a 6.0 rev/s? 25. Un atleta hace girar un disco de 1.00 kg a lo largo de una trayectoria circular de 1.06 m de radio. La velocidad máxima del disco es 20.0 m/s. Determine la magnitud de su aceleración radial máxima. 26. La orbita de la Luna alrededor de la Tierra es aproximadamente circular, con un radio medio de 3.84 x 108 m. Si se requieren 27.3 días para que la Luna complete una revolución alrededor de la Tierra, encuentre (a) la velocidad orbital media de la Luna y (b) su aceleración centrípeta. 27. En el ciclo de centrifugado de una maquina lavadora, el tubo de 0.300 m de radio gira a una razón constante de 630 rev/min. ¿Cuál es la máxima velocidad lineal con la cual el agua sale de la maquina? 28. Una pelota en el extremo de una cuerda se hace girar alrededor de un circulo horizontal de 0.30 m de radio. El plano del círculo se encuentra 1.2 m sobre el suelo. La cuerda se rompe y la pelota golpea el suelo a 2.0 m del punto sobre la superficie directamente debajo de la posición de la pelota cuando la cuerda se rompió. Encuentre la aceleración centrípeta de la pelota durante su movimiento circular. 90
  24. 24. 29. Una Ilanta de 0.500 m de radio gira a una razón constante de 200 rev/min. Encuentre la velocidad y la aceleración de una pequeña piedra incrustada en una de las cuerdas sobre el borde exterior de la Ilanta. Aceleración tangencial y radial 30. La figura representa, en un instante dado, la aceleración total de una partícula que se mueve en la dirección de las manecillas del reloj en un círculo de 2.50 m de radio. En este instante de tiempo, encuentre (a) la aceleración centrípeta, (b) la velocidad de la partícula y (c) su aceleración tangencial. 31. Un punto sobre una torna mesa en rotación a 20.0 cm del centro acelera desde el reposo hasta 0.700 m/s en 1.75 s. para t = 1.25 s, encuentre la magnitud y dirección de: (a) la aceleración centrípeta, (b) la aceleración tangencial, y (c) la aceleración total del punto. 32. Un tren frena cuando libra una curva pronunciada, reduciendo su velocidad de 90.0 km/h a 50.0 km/h en los 15.0 s que tarda en recorrerla. El radio de la curva es 150 m. Calcule la aceleración en el momento en que la velocidad del tren alcanza 50.0 km/h. 33. Un péndulo de 1.00 m de largo se balancea en un pIano vertical. Cuando el péndulo está en las dos posiciones horizontales (θ = 90° y θ = 270°), su velocidad es 5.00 m/s. (a) Encuentre la magnitud de la aceleración centrípeta y de la aceleración tangencial en estas posiciones. (b) Dibuje diagramas vectoriales para determinar la dirección de la aceleración total para estas dos posiciones. (c) Calcule la magnitud y la dirección de la aceleración total. 34. Un estudiante une una pelota al extremo de una cuerda de 0.600 m de largo y luego la balancea en un círculo vertical. La velocidad de la pelota es 4.30 m/s en su punto mas alto y 6.50 m/ s en su punto mas bajo. Determine su aceleración en: (a) su punto mas alto, y (b) su punto mas bajo. 91
  25. 25. 35. Una pelota oscila en un círculo vertical en el extremo de una cuerda de 1.50 m de largo. Cuando se encuentra 36.9° mas alIá del punto mas bajo en su trayectoria, la aceleración de la pelota es (- 22.5i + 20.2j) m/s2. Para ese instante, (a) dibuje un diagrama vectorial que muestre las componentes de su aceleración, (b) determine la magnitud de su aceleración centrípeta, y (c) determine la magnitud y dirección de su velocidad. Velocidad relativa y aceleración relativa 36. Un río tiene una velocidad estable de 0.500 m/s. Un estudiante nada aguas arriba una distancia de 1.00 km y regresa al punto de partida. Si el estudiante puede nadar a una velocidad de 1.20 m/s en agua sin corriente, ¿cuánto tiempo dura su recorrido? Compare este con el tiempo que duraría el recorrido si el agua estuviera quieta. 37. ¿cuánto tiempo tarda un automóvil que viaja en el carril izquierdo a 60.0 km/h para alcanzar a otro automóvil (que lleva ventaja) en el carril derecho que se mueve a 40.0 km/h, si las defensas delanteras de los autos están inicialmente separadas 100 m? 38. Cuando el Sol está directamente arriba, un halcón se mueve hacia el suelo a una velocidad de 5.00 m/s. Si la dirección de su movimiento está a un ángulo de 60° debajo de la horizontal, calcule la velocidad de su sombra que se mueve a lo largo del suelo. 39. Un bote cruza un río de ancho w = 160 m en el cual la corriente tiene una velocidad uniforme de 1.50 m/s. El piloto mantiene un rumbo (es decir, la dirección en la que el bote apunta) perpendicular al río y una reducción de velocidad constante para tener una velocidad de 2.00 m/s relativa al agua. (a) ¿Cuál es la velocidad del bote respecto de un observador estacionario en la orilla? (b) ¿Qué tan lejos, aguas abajo, está el bote de su posición inicial cuando alcanza la orilla opuesta? 40. El piloto de un avión observa que la brújula indica que va rumbo al oeste. La velocidad del avión relativa al aire es de 150 km/h. Si hay un viento de 30.0 km/h hacia el norte, encuentre la velocidad del avión relativa al suelo. 41. Dos nadadores, A y B, inician en el mismo punto en una corriente que fluye con una velocidad v. Ambos se mueven a la misma velocidad c relativa a la corriente, donde c > v. A nada aguas abajo una distancia L y después la misma distancia aguas arriba, en tanto que B nada directamente perpendicular al flujo de corriente una distancia L y después regresa la misma distancia, de modo que ambos nadadores regresan al punto de partida. ¿Cuál nadador regresa primero? (Nota: Primero adivine la respuesta.) 42. Un auto viaja con dirección este y a una velocidad de 50 km/h. Está cayendo lluvia verticalmente con relación a la Tierra. Las gotas de lluvia sobre las ventanas laterales del auto forman un ángulo de 60.0° con la vertical. Encuentre la velocidad de la lluvia relativa a (a) el auto y (b) la Tierra. 43. Un niño en peligro de ahogarse en un río está siendo arrastrado por una corriente que tiene una velocidad de 2.50 km/h. El niño se encuentra a 0.600 km de la orilla y a 0.800 km 92
  26. 26. aguas arriba de un atracadero de botes cuando un bote de rescate arranca para salvarlo. (a) Si el bote avanza a su velocidad máxima de 20.0 km/h relativa al agua, ¿qué dirección relativa a la orilla debe tomar el piloto? (b) ¿Qué ángulo forma la velocidad del bote con la orilla? (c) ¿Cuánto tarda el bote en llegar a salvar al niño? 44. Un tornillo cae del techo de un tren que está acelerando en dirección norte a una tasa de 2.50 m/s2. ¿Cuál es la aceleración del tornillo relativa a (a) ¿el vagón del tren? (b) ¿la Tierra? 45. Un estudiante viaja sobre la plataforma de un tren que se desplaza a lo largo de una vía horizontal recta a una velocidad constante de 10.0 m/s. El estudiante lanza una pelota al aire a lo largo de una trayectoria que según él forma un ángulo inicial de 60.0° con la horizontal y que está alineada con la vía. La profesora del estudiante, que se encuentra parado sobre el suelo a una corta distancia, observa que la pelota asciende verticalmente. ¿Qué tan alto observa ella que asciende la pelota? 46. En t = 0 una partícula parte del origen con una velocidad de 6.00 m/s en la dirección y positiva. Su aceleración está dada por a = (2.00i -3.00j) m/s2. Cuando la partícula alcanza su altura máxima, su componente de velocidad vertical es cero. En este instante, encuentre: (a) la velocidad de la partícula y (b) sus coordenadas x y y. 47. La velocidad de un proyectil cuando alcanza su altura máxima es la mitad de la velocidad cuando el proyectil se encuentra a la mitad de su altura máxima. ¿Cuál es el ángulo de proyección inicial? 48. Un bateador conecta una pelota de béisbol lanzada 1.00 m sobre el suelo, imprimiendo a la pelota una velocidad de 40.0 m/s. La línea resultante es capturada en vuelo por el fildeador izquierdo a 60.0 m del homeplate con su guante 1.00 m sobre el suelo. Si el parador en corto, a 45.0 m del homeplate y en línea con el batazo, brincara en línea recta hacia arriba para capturar la peIota en lugar de dejar la jugada al fildeador izquierdo, ¿cuánto tendría que elevar su guante sobre el suelo para capturar la pelota? 49. Un jugador de basketbol de 2.00 m de altura lanza un tiro a la canasta desde una distancia horizontal de 10.0 m, como se muestra en la figura. Si tira a un ángulo de 40° con la horizontal, ¿con qué velocidad inicial debe tirar de manera que el balón entre al aro sin golpear el tablero? 93
  27. 27. 50. Un muchacho puede lanzar una pelota una distancia horizontal máxima R en un campo pIano. ¿Qué tan lejos puede lanzar la misma pelota verticalmente hacia arriba? Suponga que sus músculos le dan a la pelota la misma velocidad en cada caso. 51. Las coordenadas x y y de una partícula están dadas por x = 2.00 m + (3.00 m/s)t y = x(5.00 m/s2)t2 . ¿A qué distancia del origen se encuentra la partícula en: (a) t = 0; (b) t = 2.00 s? 52. Una piedra en el extremo de una cuerda se hace girar en un circulo vertical de 1.20 m de radio a una velocidad constante v0 = 1.50 m/s, como muestra la figura. El centro de la cuerda se encuentra 1.50 m sobre el piso. ¿Cuál es el alcance de la piedra si se soltara cuando la cuerda esta inclinada a 30.0° respecto de la horizontal: (a) en A?, (b) ¿En B? cual es la aceleración de la piedra (c) justo antes de que se suelta en A?, (d) justo después de que se suelte en A? 94
  28. 28. 53. Un camión viaja hacia el norte con una velocidad constante de 10.0 m/s sobre un tramo horizontal de camino. Un muchacho que viaja en la parte trasera del camión desea lanzar una pelota mientras el camión se está moviendo y capturarla después de que el camión ha recorrido 20.0 m. (a) Ignorando la resistencia del aire, ¿a qué ángulo con la vertical debe lanzarse la pelota? (b) ¿cuál debe ser la velocidad inicial de la pelota? (c) ¿cuál es la forma de la trayectoria de la pelota vista por el muchacho? (d) Un observador sobre el suelo observa al muchacho lanzar la pelota hacia arriba y cacharla. En este marco de referencia fijo del observador, determine la forma general de la trayectoria de la pelota y su velocidad inicial. 54. Una pistola de dardos se dispara mientras se sostiene horizontalmente a una altura de 1.00 m sobre el nivel del suelo. Con la pistola en reposo respecto del suelo, el dardo recorre una distancia horizontal de 5.00 m. Un niño sostiene la misma pistola en una dirección horizontal mientras se desliza hacia abajo de una pendiente de 45.0° a una velocidad constante de 2.00 mis. ¿Qué distancia recorrerá el dardo si la pistola se dispara cuando ésta se encuentra a 1.00 m sobre el suelo? 55. Un cohete despega a un ángulo de 53.0° con la horizontal y una velocidad inicial de 100 mi/s. Viaja a lo largo de su línea de movimiento inicial con una Aceleración de 30.0 m/s2 durante 3.00 s. En este momento fallan sus motores y el cohete empieza a moverse como un cuerpo libre. Encuentre (a) la altitud máxima alcanzada por el cohete, (b) su tiempo total de vuelo, y (c) su alcance horizontal. 95
  29. 29. 56. Un homerun en un juego de béisbol se batea de manera tal que la pelota apenas libra un muro de 21.0 m de altura, localizado a 130 m del plato. La bola se golpea a un ángulo de 35.0° con la horizontal y se ignora la resistencia del aire. Encuentre (a) la velocidad inicial de la pelota, (b) el tiempo que tarda en llegar al muro, y (c) las componentes de la velocidad y la rapidez de la pelota cuando llega al muro. (Suponga que la pelota se golpe a una altura de 1.00 m sobre el suelo.) 57. Un temerario acróbata se dispara desde un cañon a 45.0o respecto de la horizontal con una velocidad inicial de 25.0 m/s. Una red esta colocada a una distancia horizontal de 50.0 m del cañon. ¿A qué altura sobre el cañon debe ponerse la red para que caiga en ella el acróbata. 58. Un balón de fútbol se lanza hacia un receptor con una velocidad inicial de 20.0 m/s a un ángulo de 30.0° sobre la horizontal. En ese instante el receptor esta a 20.0 m del mariscal de campo. ¿En qué dirección y con qué velocidad constante debe correr el receptor para atrapar, el balón a la misma altura a la cual fue lanzado? 59. Una estudiante que es capaz de nadar a 1.50 m/s en agua sin corrientes desea cruzar un río que tiene una corriente de 1.20 m/s de velocidad hacia el sur. El ancho del río es de 50.0 m. (a) Si la estudiante inicia desde la orilla oeste, ¿en qué dirección debe nadar para atravesar directamente el río? ¿Cuánto durará este recorrido? (b) Si se dirige hacia el este, ¿en cuánto tiempo cruzaría el río? (Nota: La estudiante recorre más de 50.0 m en este caso.) 60. Un rifle tiene un alcance máximo de 500 m. (a) ¿Para qué ángulos de elevación el alcance seria 350m? ¿Cuál es el alcance cuando la bala sale del rifle, (b) ¿a 14.0°? (c) ¿a 76.0°? 61. Un río fluye con velocidad uniforme v. Una persona en un bote de motor viaja 1.00 km aguas arriba, momento en que observa un tronco flotando. La persona continúa desplazándose aguas arriba durante 60.0 min a la misma velocidad y luego regresa aguas abajo hasta el punto de partida, donde vuelve a ver el mismo tronco. Determine la velocidad del río. (Sugerencia: El tiempo de viaje del bote después de que alcanza al tronco es igual al tiempo de viaje del tronco.) 62. Un avión tiene una velocidad de 400 km/h en dirección este respecto del aire en movimiento. Al mismo tiempo, sopla un viento en dirección norte con una velocidad de 75.0 km/h en relación con la Tierra. (a) Determine la velocidad del avión respecto de la Tierra. (b) ¿En qué dirección debe orientarse el avión con el fin de moverse hacia el este respecto de la Tierra? 63. Una marinera dirige una canoa hacia una isla localizada 2.00 km al este y 3.00 km al norte de su posición de partida. Después de una hora ella ve la isla en dirección oeste. Después dirige el bote en la dirección opuesta en la cual estuvo remando, rema durante otra hora y termina 4.00 km en dirección este de su posición de partida. Deduce correctamente que la corriente va de oeste a este. (a) ¿Cuál es la velocidad de la corriente? (b) Demuestre que la velocidad del bote relativa a la orilla durante la primera hora puede expresarse como u = ( 4.00 km/h)i + (3.00 km/h)j don de i apunta al este y j hacia el norte. 96
  30. 30. 64. Un esquiador sale de una rampa de salto con una velocidad de 10 m/s, 15° arriba de la horizontal, como muestra la figura. La pendiente esta inclinada a 50°, y la resistencia del aire es despreciable. Determine (a) la distancia a la cual el esquiador aterriza y (b) las componentes de velocidad justo antes del aterrizaje. (¿Cómo cree usted que podrían afectarse los resultados si se incluyera la resistencia del aire? Observe que los saltadores de esquí se impulsan hacia adelante en la forma de un proyectil aerodinámico con sus manos en sus costados para incrementar su distancia. ¿Por qué funciona esto?) 65. Una pelota de golf abandona el suelo a un ángulo θ y golpea un árbol mientras se mueve horizontalmente a una altura h sobre el suelo. Si el árbol se encuentra a una distancia horizontal b desde el punto de partida, demuestre que: (a) tan θ = 2 h/b. (b) ¿cuál es la velocidad inicial de la pelota en términos de b y h? 66. La Tierra esta a 1.50 x 1011 m del Sol y efectúa una revolución alrededor del mismo en 3.16x 107 s. La Luna está a 3.84 x 108 m de la Tierra y realiza una revolución alrededor de esta en 2.36 x 106 s. Determine la velocidad de la Luna relativa al Sol en el instante en que el satélite terrestre apunta directamente hacia el Sol, como se muestra en la figura siguiente 97
  31. 31. 98

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