Matemáticas III                                                  “El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es...
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  1. 1. Matemáticas III “El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…”INTRODUCCIÓNNÚMERO COMPLEJO, EXPRESIÓN DE LA FORMA A + BI, EN DONDE A Y B SON NÚMEROSREALES E I ES 1 . Estos números se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman unaestructura algebraica de las llamadas cuerpo en matemáticas. En física e ingeniería los números complejos se utilizan para describircircuitos eléctricos y ondas electromagnéticas. 1 El número i aparece explícitamente en la ecuación de onda de Schrödingerque es fundamental en la teoría cuántica del átomo. El análisis complejo, que combina los números complejos y los conceptosdel cálculo, se ha aplicado a campos tan diversos como la teoría de números o eldiseño de alas de avión.NÚMEROS COMPLEJOS Los Números Complejos surgen al resolver ecuaciones algebraicas en lasque hay que calcular raíces cuadradas de números negativos. Algo parecido les ocurrió a los pitagóricos al intentar medir la diagonal de uncuadrado de lado 1, se dieron cuenta que no había ningún número (sólo conocían losnúmeros naturales y fraccionarios) que midiese la diagonal. Esto dio origen a losnúmeros reales.REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO Los números naturales, enteros, fraccionarios y reales se pueden representarcomo puntos de una recta (la recta de los números reales). Los Números Complejos podemos imaginarlos como puntos de un plano (elplano de los números complejos). En ese plano podemos trazar unos ejesperpendiculares que nos sirvan de referencia para localizar los puntos del plano. Lo habitual es utilizar las coordenadas del punto (x,y). Cuando representamosun número complejo de esta forma decimos que está en forma cartesiana. Esta interpretación de los números complejos (considerarlos puntos en unplano) se debe a Gauss y a Hamilton. También se suele utilizar un vector para localizar el punto. En un vector con principio en el origen de coordenadas y fin en el punto,identifica el punto de una manera inequívoca. Al extremo del vector se le llama Afijo del complejo. Ese vector lo podemos descomponer en dos vectores: un vector con principioen el origen de coordenadas y fin el valor de la abscisa del punto (x,y), y otro vectorcon principio el origen de coordenadas y fin la ordenada del punto (x,y). Instituto Tecnológico de Torreón Agosto – Diciembre 20210
  2. 2. Matemáticas III “El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…” Entonces el punto se representaría como una suma de vectores a + b. Si definimos unos vectores unitarios sobre el Eje X o Real, ya que en elrepresentamos la Parte Real del número complejo y sobre el eje Y o Eje Imaginario,representamos la parte Imaginaria. Entonces podemos representar el número deesta forma xr + yi. Los vectores r e i tienen módulo 1, además el vector i se define cumpliendoesta condición: i2 = -1. Cómo r tiene módulo 1 y sus potencias también son 1, no se escribe,quedando por lo tanto el número en la forma x + yi. Esta forma de representar unnúmero complejo se llama Forma Binaria. 2CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO Se llama conjugado de un número complejo al número complejo que seobtiene por simetría del dado respecto del eje de abscisas. Representando el número complejo a + bi y haciendo la correspondientesimetría, se tiene que su conjugado es a - bi . Dado un número complejo, su conjugado puede representarse poniendoencima del mismo una línea horizontal. Dado un número complejo (x,y) el complejo conjugado sería (x,-y). Si al número complejo lo representamos por n; n = (x ,y) el complejoconjugado se representa por n; n = (x ,-y) con una raya encima del número.PROPIEDADES DE LOS CONJUGADOS · Primera propiedad El conjugado del conjugado de un complejo z es el propio z. Demostración: si z = a + bi se tiene que = a - bi , de donde, = a + bi = z · Segunda propiedad Dados dos números complejos cualesquiera z y z , el conjugado de su suma es igual a la suma de sus conjugados. Demostración: Tomando :z = a + bi y z = c + di Se obtiene: a + bi y = c - di Con lo que: (a + bi ) + (c - di ) = (a + c) + (-b - d)i · Tercera propiedad El conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de los conjugados de dichos números: Demostración: Si z = a + bi y z = c + di Se tiene que z · z = (ac - bd ) + (ad + bc)i Instituto Tecnológico de Torreón Agosto – Diciembre 20210
  3. 3. Matemáticas III “El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…” Cuyo conjugado es (ac - bd) - (ad + bc)i . Calculando por otro lado el producto de los conjugados, resulta que: (a - bi )( c - di ) = ( ac - bd ) + ( -ad - bc) i . · Cuarta propiedad Los complejos que coinciden con sus conjugados son los números reales. Demostración: Sea un complejo a + bi que coincida con su conjugado. Esto equivale a que: a + bi = a - bi 3 Pero esto sólo ocurre si b = 0, es decir si a + bi es un número real. · Quinta propiedad La suma y el producto de un complejo y su conjugado son, ambos, números reales. Demostración (a + bi ) + (a - bi ) = 2a (a + bi ) (a - bi ) = a2 - (bi )2 = a2 + b2COMPLEJO OPUESTO Dado un número complejo (x,y) el complejo opuesto sería (-x,-y)Si al número complejo lo representamos por n, el complejo opuesto se representapor n.Si z = a +biEl opuesto de z seria -z = -a – bEl Conjugado de z seria z = a + biOPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOSSUMA DE NÚMEROS COMPLEJOS Dados dos números complejos a + bi y c + di se definen su suma como:(a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)iPROPIEDADES DE LA SUMA DE NÚMEROS COMPLEJOS La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades: · Conmutativa Dados dos números complejos a + bi y c + di se tiene la igualdad:(a + bi ) + (c + di ) = (c + di ) + (a + bi ) Ejemplo:(2 - 3i ) + (-3 + i ) = (2 - 3) + i (-3 + 1) = -1 - 2i(-3 + i ) + (2 - 3i ) = (-3 + 2) + i (1 - 3) = -1 - 2i Instituto Tecnológico de Torreón Agosto – Diciembre 20210
  4. 4. Matemáticas III “El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…” · Asociativa Dados tres complejos a + bi, c + di y e + fi , se cumple:[(a + bi ) + (c + di )] + (e + fi ) = (a + bi ) + [(c + di ) + (e + fi )] Ejemplo:[(5 + 2i ) + (3 - 4i )] + (-9 + 8i ) = (8 - 2i ) + (-9 + 8i ) = -1 + 6i(5 + 2i ) + [(3 - 4i ) + (-9 + 8i )] = (5 + 2i ) + (-6 + 4i ) = -1 + 6i · Elemento neutro El elemento neutro es 0 + 0i , puesto que 4(a + bi ) + (0 + 0i ) = (a + 0) + i (b + 0) = a + bi El número 0 + 0i se escribe simplificadamente 0 y se le llama «cero». · Elemento simétrico El elemento simétrico de un número complejo cualquiera a + bi es (- a - bi ):(a + bi ) + (-a - bi) = 0 + 0i = 0 Ejemplo:El simétrico de 2 - 3i es -2 + 3i pues (2 - 3i ) + (-2 + 3i ) = 0PRODUCTO DE NÚMEROS COMPLEJOS La multiplicación se efectúa igual que si fuesen números reales, pero teniendoen cuenta que la multiplicación de complejos no es equivalente al producto escalarde vectores. Dados dos números complejos a + bi y c + di se definen su producto como: (a + bi ) (c + di ) = (ac - bd) + (ad + bc)i El producto puede hacerse operando con i como si fuese un número real yteniendo en cuenta que i 2 = -1. (a + bi )(c + di ) = ac + adi + bci + bdi 2 = ac + i(ad + bc) + bd(-1) = ac - bd + i(ad + bc) Pero para comprobar resultados, podemos representar los complejos que semultiplican por sus vectores, y el resultado del producto por el vector correspondienteal complejo producto.PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE COMPLEJOS · Conmutativa Dados dos complejos a + bi y c + di , se cumple que:(a + bi ) (c + di ) = (c + di ) (a + bi ) · Asociativa Dados los complejos a + bi, c + di y e + fi se cumple que:[(a + bi ) (c + di )](e + fi ) = (a + bi ) [(c + di ) (e + fi )] Instituto Tecnológico de Torreón Agosto – Diciembre 20210
  5. 5. Matemáticas III “El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…” · Elemento neutro El elemento neutro del producto es 1 + 0 ·i = 1, puesto que para cualquiercomplejo a + bi , (a + bi ) (1 + 0 · i ) = (a + bi ) · 1 = a + bi . El elemento neutro es eluno. · Distributiva del producto con respecto a la suma Dados tres números complejos a + bi , c + di y e + fi , se cumple:(a + bi ) [(c + di ) + (e + fi )] = (a + bi ) (c + di ) + (a + bi ) (e + fi ) Ejemplo:(1 - 2i ) [3i + (2 - 7i )] = (1 - 2i ) (2 - 4i ) = 2 - 4i - 4i + 8i 2 = -6 - 8i 5(1 - 2i ) 3i + (1 - 2i ) (2 - 7i ) = (3i - 6i 2) + (2 - 7i - 4i + 14i 2) = (3i + 6) + (-12 - 11i )= - 6 - 8i El conjunto de los números complejos, por contar con todas las propiedadesanteriores para la suma y para el producto, se dice que es un anillo conmutativo. El conjunto de los números complejos se simboliza por C, o también (C, +, ·). · Elemento simétrico respecto del producto Dado un complejo cualquiera a + bi , distinto de 0 + 0i , existe otro complejoque, multiplicado por él, da el elemento neutro del producto, es decir, 1 + 0i . Demostración: Se intentará calcular el inverso de a + bi , x + yi .Ha de verificarse que (a + bi ) (x + yi ) = 1 + 0i(a + bi ) (x + yi ) = (ax - by) + (ay + bx)IPor tanto ha de ser:ax - by = 1, multiplicando por a se tiene: a2x - aby = abx + ay = 0, multiplicando por b se tiene: b2x + aby = 0 El conjunto de los números complejos es un cuerpo conmutativo con la suma yel producto definidos.DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS Para dividir dos complejos, se multiplica el dividendo y el divisor por elconjugado de éste, así el divisor pasará a ser un número real. Como en la multiplicación, podemos representar los complejos por vectores,para poder comprobar los resultadosNÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA Se puede representar un número complejo cualquiera z = a +bi en forma polar,dando su módulo y su argumento. Esta forma también se llama formatrigonométrica.MÓDULO de un número complejo z es la longitud del vector que lo representa.|z| = rARGUMENTO de un complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. arg(z) = aPor lo cual z = r (cos β + isen β ) Instituto Tecnológico de Torreón Agosto – Diciembre 20210
  6. 6. Matemáticas III “El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…”NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICAForma binómica z = a + biOPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLARMULTIPLICACIÓN Se multiplican los módulos Se suman los argumentosz1  z2  cos(  21 ) 6DIVISIÓN Se dividen los módulos Se restan los argumentosz1 r  cos( a  b )z2 r2POTENCIA La potencia es un producto de factores iguales, por tanto la regla es la mismaque la de multiplicar. z n  r cos   n El módulo se eleva a n El argumento se multiplica por nFÓRMULA DE MOIVRE Aplicando la propiedad de la potencia de un número complejo, se obtiene lasiguiente fórmula llamada Fórmula de Moivre:(cos a + i sen a)n = cos na + i sen na, que es útil en trigonometría, pues permitehallar cos na y sen na en función de sen a y cos a. Esta igualdad recibe el nombre de fórmula de Moivre, en honor del matemáticofrancés Abraham de Moivre (1667-1754).RADICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS La operación de radicación es inversa a la de potenciación Para un único número complejo z n. existen varios complejos z, que alelevarlos a la potencia n, nos da el mismo complejo z n. Para hallar las raíces de un número complejo se aplica la fórmula de Moivre,teniendo en cuenta que para que dos complejos coincidan han de tener el mismomódulo y la diferencia de sus argumentos ha de ser un múltiplo entero de 360º. Sea Ra un número complejo y considérese otro complejo Ra, tal que:Ra = (R a)n = ((R )n )n a Aunque esto parece aportar una infinidad de soluciones, nótese que si a k sele suma un múltiplo de n, al dividir el nuevo argumento, éste aparece incrementado Instituto Tecnológico de Torreón Agosto – Diciembre 20210
  7. 7. Matemáticas III “El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…”en un número entero de circunferencias. Por tanto, basta con dar a k los valores 1, 2,3, ..., n-1, lo que da un total de n - 1 raíces, que junto a k = 0 da un total de n raíces.No olvidar que un número copmlejo es una expresión de la forma a + bi en la que a yb son números reales, e i= . La suma, resta, multiplicación y división denúmeros complejos se ha expuesto con anterioridad.REPRESENT ACION GRAFICA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS 7Empleando un sistema de coordenadas rectangular, el número complejo x + yi serepresenta por, o se corresponde con, el punto cuyas coordenadas son (x, y). Porejemplo:Para representar el número complejo 3 + 3+4i4i, se llevan 3 unidades sobre el eje X X -2+3ihacia la derecha de 0 y, acto seguido, 4 2iunidades hacia arriba. -2 4Para representar el número -2 + 3i, sellevan 2 unidades sobre el eje X X haciala izquierda de 0 y, luego, 3 unidades -2ihacia arriba. -1-4i 2-4iPara representar el número -1 -4i, se lleva 1 unidad sobre el eje X X hacia laizquierda de 0 y, a continuación, 4 unidades hacia abajo.Para representar el número 2 -4i, se llevan 2 unidades sobre el eje X X hacia laderecha de 0 y, luego, 4 unidades hacia abajo. .Los números imaginarios puro.; (como son 2i, -2i) vienen representados por los puntos del eje YY’. Los números reales (como son 4, -3) son los puntos del eje ϴ XX. , Instituto Tecnológico de Torreón Agosto – Diciembre 20210
  8. 8. Matemáticas III “El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…”En .la figura, x = r cos ϴ e y = r sen ϴ . Por tanto, x + yi = r(cos ϴ + i sen ϴ )La expresión r(cos ϴ + i sen ϴ) es la forma polar, x + yi es la forma binómica delmismo número complejo.La longitud r = es siempre positiva y se llama módulo o valor absoluto, delnúmero complejo. El ángulo ϴ se denomina amplitud o argumento. 8MULTIPLICACION DE NUMEROS COMPLEJOS ESCRITOS EN FORMA POLAREl módulo del producto de dos números complejos es el producto de sus módulos yel argumento es la suma de sus argumentos.r1 (cos ϴ1 + i sen ϴ1)*r2(COs ϴ2 + i en ϴ2) = r1*r2[cos (ϴ1 + ϴ2) + i sen (ϴ1 + ϴ2)]Por ejemplo;4(cos 45° + i sen 45°)7(cos 30° + i sen 30°) = 28(cos 75° + i sen 75°).DIVISION DE NUMEROS COMPLEJOS ESCRITOS EN FORMA POLAREl módulo del cociente de los números complejos es igual al cociente de los módulosy el argumento es igual a la diferencia de los argumentos del dividendo y divisor.Por ejemplo:FORMULA DE MOIVRE. La potencia enésima r(cos ϴ + i sen ϴ) es[ r(cos ϴ + i sen ϴ )]n = rn(cos n* ϴ + i sen n* ϴ ) Instituto Tecnológico de Torreón Agosto – Diciembre 20210
  9. 9. Matemáticas III “El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…”Esta relación es la fórmula de Moivre y se verifica para todo valor real del exponente.Por ejemplo, si el exponente es una fracción ,[ r(cos ϴ + i sen ϴ )] = (cos + i sen ).RAICES DE UN NÚMERO COMPLEJO EN FORMA POLAR. Si k es un enterocualquiera, cos = cos ( + k 3600) y sen = sen ( +k 360°) 9Luego =Un número cualquiera (real o complejo), excepto el cero, tiene n raíces enésimasdistintas. Las n raíces enésimas de un número complejo x + yi, o bien r (cos +isen ), se obtienen dando a k los valores sucesivos 0. 1, 2, 3. n - 1., en la fórmulaanterior.PROBLEMAS RESUELTOSSUMA y RESTA GRÀFICAS DE NÙMEROS COMPLEJOSI. Efectuar algebraica y gráficamente las operaciones indicadas: a) (2 + 6i)+ (5 +3i), b) (-4 + 2i) -(3 - 5i)..a) Algebraicamente, (2 + 6i) + (5 + 3i) = 7 + 9i. Gráficamente. Representemos los dos números complejos por los puntos p1 y p2, respectivamente, como indica la Figura (a). Uniendo P1 y P2 con el origen 0 y completando el paralelogramo de lados adyacentes 0P1 y 0P2, el vértice P (punto 7 + 9 i) representa la suma de los número complejos dados. Instituto Tecnológico de Torreón Agosto – Diciembre 20210
  10. 10. Matemáticas III “El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…”(a)b) Algebraicamente. ( -4 + 2i) -(3 + 5i) = -7 -3i.(b) Gráficamente. (- 4 + 2i) -(3 + 5i) = (- 4 + 2i) + ( -3 + 5i). Sumemos ahora ( -4 + 2i) 10 con ( -3 -5i). Representemos los dos números complejos (-4 + 2i) y (--3- Si) por los puntos P1 y P2, respectivamente, como indica la Figura (b). Uniendo P1 y P2 con el origen 0 y completando elparalelogramo de lados adyacentes OP1 y OP2 el vértice p (punto -7- 3i) representala diferencia (-4 + 2i) -(3 + Si).FORMA POLAR DE LOS NUMEROS COMPLEJOSHallar la forma polar de los números complejos siguientes2. 2 + 2i 2Amplitud o argumento, θ = tg-1  2  ;  θ = tg-1 (1); θ = 45°,Módulo o valor absoluto, r = 2 2²  2² ;r= 2 8 ; r = 22 2 22 2Luego 2 +2i = r(cos θ + i sen θ)2 + 2i = 22 2 (cos 45° + i sen 45°) Instituto Tecnológico de Torreón Agosto – Diciembre 20210
  11. 11. Matemáticas III “El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…” 23. 1 + 3i1 Amplitud o argumento, 1+ 2 3i 1θ = cos-1   = 60°, 2 2 2 3 11Módulo o valor absoluto, r = 2  3 ²  1² j = 2. 2 1Luego 1 + 2 3 i = r(cos θ + i sen θ )= 2(cos 60° + i sen 60°)4. -3 + 3iθ = 180°- 45° = 135°,r= 2 9  9 , r = 3 2 2 ; luego -3 + 3 i = 3 2 2 (cos 135° + i sen 135°) 25. -1- 3iθ = 180° + 60° = 240°, r = 3  1 ; r = 2; luego -I - 3 i = 2(cos 240° + i sen 240°)6. 3 -iθ = 360°- 30° = 330°; r = 3  1 ; r = 2; luego 3 - i= 2(cog 330° + i sen 330°)-3+3i θ= -1 3 23 - 3 -3 1- 3iProblema 4 Problema 5 Instituto Tecnológico de Torreón Agosto – Diciembre 20210
  12. 12. Matemáticas III “El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…” 3 12 330 1 3 iProblema 67. Hallar la forma polar de los números complejos siguientesa) 5.ϴ = 0°, r = 5; luego 5 = 5(cos 0° + i sen 0°).b) 2i,ϴ = 90°, r = 5; luego 2i = 5(cos 90° + i sen 90°).c) -4ϴ = 180°, r = 4; luego 4 = 4(cos 180° + i sen 180°).d) -4i.ϴ = 270°, r = 4; luego 4 i = 4(cos 270° + i sen 270°). a) b) c) d) Instituto Tecnológico de Torreón Agosto – Diciembre 20210
  13. 13. Matemáticas III “El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…”Escriba los siguientes numerous complejos en la forma rectangular (a + b i)a) 2(cos 30° + i sen 30°)b) 6 (cos 60° + i sen 60°)c) 10 (cos 45° + i sen 45°)d) 3 (cos 90° + i sen 90°)e) 2 (cos 150° + i sen 150°f) 8 (cos 240° i sen 240°) 13g) 6(cos 315° + I sen 315°)h) 4 (cos 120° + I sen 1230°)(d)-x.FORMA POLAR DE LOS NUMEROS COMPLEJOSZI (k = O) = 2(cos lo° + i sen 10°)=2 (k = 1) = 2(cos 82° + i sen 82°)=3 (k = 2) = 2(cos 154° + i sen 154°)=4 (k = 3) = 2(cos 226° + i sen 226°) Instituto Tecnológico de Torreón Agosto – Diciembre 20210
  14. 14. Matemáticas III “El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…”Zs (k = 4) = 2(cos 298° + i sen 298°) 1450° + k 360" + i sen -)500 + k 360° -3-- ZI (k = O) = 2(cos 0° + i sen 0°) = 2(1 + Oi) = 2Z2 (k = I) = 2(cos 120° + i sen 120°) = 2( -t + tJ3i) = -I + J3i Z3 (k = 2) = 2(cos 240°+ i sen 240°} = 2( -t -tJ3i) = -I -J3i) Instituto Tecnológico de Torreón Agosto – Diciembre 20210
  15. 15. Matemáticas III “El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…” 15(c)(d)180° + k l(()O--+isen3180° + k 360° --1=1 (k = O) = cos 60° + i sen 60° = t + t.j3i =2 (k = 1) = cos 180° + i sen 180° = -1 Instituto Tecnológico de Torreón Agosto – Diciembre 20210
  16. 16. Matemáticas III “El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…”=3 (k = 2)= cos 300° + i sen 300° = t -t.j3i13. Hallar las raíces siguientes : a) Raíces cuartas de I.b) Raíces cúbicas de I -i c) Raíces cúbicas de -8id) Raíces cuartas de 2 + 2,,!i¡ . 16.xa) II/4 = [1(cos 00 + i sen 00)]1/4 = cos~+k360° 4Zl (k = O) = cos 0° + i sen 0° = 1 + Oi = 1 Z2 (k = 1) = cos 90° + i sen 90° = 0 + i = i+ i sen00 + k 360° 4179ZJ (k = 2) = cos 180° + i sen 180° = -I Z4 (k = 3) = cos 270° + i sen 270° = -ib) (I -;)1/3 = [J2(COS 315° +seo 315°)]1/3 = ~(cos315° + k 360° 3 Instituto Tecnológico de Torreón Agosto – Diciembre 20210
  17. 17. Matemáticas III “El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…”ZI (k = O) = ~(cos 105° + i sen 105°) Z2 (k = I) = ~(cos 225° + i sen 225°) Z3 (k = 2)= ~(cos 345° + i sen 345°)315° + k 360° +isen 3 )c) 17-8;)1/3 = [8(cos 270° + i sen 270°)]1/3 = 2(cos270° + k 360° 3+ i senZI (k = O) =2(cos 90° + i sen 90°) = 2(0 + i) = 2iZ2 (k = I) = 2(cos 210° + i sen 210°) = 2( -t.j3 -ti) = -.j3 -i Z3 (k = 2) = 2(cos 330° + isen 330°) = 2(t.j3 -ti) = .j3 -i270° + k 360° 3 ¡ Instituto Tecnológico de Torreón Agosto – Diciembre 20210
  18. 18. Matemáticas III “El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…” 18(a)(c)(b) Instituto Tecnológico de Torreón Agosto – Diciembre 20210
  19. 19. Matemáticas III “El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…” 19-x(d)14. Efectuar analítica y gráficamente las operaciones indicadas :a) (3 + 4i) + (4 + 3i) b) (2 -i) + (-4 + Si)c) (4-3i)-(-2+i)d) ( -2 + 2i) -( -2 -i)15. Escribir los siguientes números complejos en forma polar :a) 3 -3;b) -./3 + ic) 4 -4Jjr d) -5e} 6fi+6; I} ~4 ~ 4; Instituto Tecnológico de Torreón Agosto – Diciembre 20210
  20. 20. Matemáticas III “El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…”g) 211) iJ316. Escribir los números complejos siguientes en la forma rectangular (a + bi) ¡ 20;)-2;.n ,-1+;a) 4(cos 45°+ i sen 45°) b) 12(cos 30° + i sen 30°) c) 6(cos 120° + i sen 120°) d)8(cos 180° + i sen 180°) e) 3(cos 270° + i sen 270°)f) ,10J2(cos 225° + i sen 225°) g) 2(cos 300° + i sen 3000) h) .5(cos 360° + i sen360°) i) 8(cos 90° + i sen 90°).i) 16(cos 210° + i sen 210°)17. Efectuar las operaciones indicadas, expresando los resultados en formarectangular:~a) [3(cos 15° + i sen 15°)][2(cos 75° + i sen 75°)] b) [4(cos 40° + i sen 40°)][5(cos 20°+ i sen 20°)]C) [2(cos 100° + i sen 1000)][ 4(cos 50° + t sen 50°)] d) [6(cos 25° + i sen 25°)][3(cos290° + i sen 290°)]e) 20(cos 83° ~í sen 83°) 6~(cos 40" + i sen 40°) 5(cos 23° + i sen 23°) f) , 3(cos 190°+ i sen 1900)g) [2(cos 12° + i sen 12°)][3(cos 84° + i sen 84°)][5(cos 24° + i sen 24°)] 12(cos 16° +i sen 16°) Instituto Tecnológico de Torreón Agosto – Diciembre 20210
  21. 21. Matemáticas III “El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…”h)[3(44° .44°)][2(62" .62°)]cos + I sen COS +J sen- 2118. Hallar analítica y gráficamente el producto y cociente indicados:a) (-I + J3;)(2J3 -2;)b)4- 4; -yij-;19. Hallar las potencias indicadas de los números complejos siguientes, expresandolos resultados en forma rectangular .b)[5(cos 30° + i sen 30°)]3 d) [4(cos 20° + i sen 20°)]3 r;;-) (IV 3 111° b) [5(cos 30° + i sen 30°)]3 e) (-I + i)6 9 2 -21h) (tj:2 + tJii)3Oe) [J2(cos 36° + i sen 366)]5i) (I + .J3if20. Hallar todas las raíces indicadas y representarlas gráficamente :a} 00)., c Instituto Tecnológico de Torreón Agosto – Diciembre 20210
  22. 22. Matemáticas III “El poco conocimiento es peligroso, pero la ignorancia es mortal…”b) ,481.{cos 180"+.,i sen 1800)e)~ I) Y=32i)c) 38(cos 60" + (sen 60") 22d) 5 32(cos 200" + i sen200°)g) .;fi j¡)~;¡,.:.Y," r;.::.¡ ..fr;),- ... Instituto Tecnológico de Torreón Agosto – Diciembre 20210

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