Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Tvp2438

250 views

Published on

Published in: Technology, Travel
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Tvp2438

  1. 1. 802 Борисов И. С. ON NECESSARY AND S U F F I C I E N T CONDITIONS FOR T H E CONVERGENCE OF SOLUTIONS OF ONE-DIMENSIONAL D I F F U S I O N STOCHASTIC EQUATIONS W I T H A NON-REGULAR DEPENDENCE OF COEFFICIENTS ON A P A R A M E T E R KULINIC G. L. (KIEV) {Summary) W e consider a n one-dimensional s t o c h a s t i c differential e q u a t i o n of diffusion type- () = «« ( 5 W) * + a e a (J)) dw a (t), t>0, w h e r e a > 0 i s a p a r a m e t e r , a (x), a (x) > 0 are real functions w h i c h m a y degenerate- a a a t some p o i n t s x as k 0 and w (t) i s a f a m i l y of W i e n e r processes. T h e necessary and a sufficient c o n d i t i o n s for t h e weak convergence of l (t) t o t h e generalized diffusion p r o ­ a cess « - » 0 are o b t a i n e d . ОБ ОДНОМ К Р И Т Е Р И И МАРКОВОСТИ ГАУССОВСКИХ С Л У Ч А Й Н Ы Х ПРОЦЕССОВ БОРИСОВ И. с. П у с т ь i (t) (t е Г С Л ) — п р о и з в о л ь н ы й вещественнозначный гауссовский м а р к о в ­с к и й процесс. В качестве параметрического множества Т мы будем рассматривать,либо конечный отрезок [а, Ъ], либо п о л у о с и вида (— оо, а], [Ъ, о о ) , либо всю ч и с л о в у юось R. Х о р о ш о известно [1],что гауссовский случайный процесс £ (t) будет м а р к о в с к и мтогда и только тогда, к о г д а его к о р р е л я ц и о н н а я ф у н к ц и я Л {и, v) удовлетворяетсоотношению R (t , x t ) R {t , 2 2 ta) = R (t , 2 t) R (ilt t) 2 s (1>д л я любых t < 7 < О зx 2 области определения £ (t). и з В н а с т о я щ е й заметке дано полное описание к л а с с а к о р р е л я ц и о н н ы х функций,,у д о в л е т в о р я ю щ и х (1), и тем самым п р е д л о ж е н новый к р и т е р и й марковости гауссовскихс л у ч а й н ы х п р о ц е с с о в / к о т о р ы й можно эффективно п р и м е н я т ь п р и построении такого*рода с л у ч а й н ы х процессов с теми и л и иными свойствами т р а е к т о р и й . Лемма. Пусть R (и, v) — некоторая функция, заданная на Т X Т, и пустьR (и, v) ф 0 всюду на множестве Г X Г. Тогда для того чтобы R (и, v) была корреляционной функцией гауссовского марков­ского процесса необходимо и достаточно, чтобы имело место представление R (и, v) = G (min (и, v)) Н (max (и, v)), (2)где функции G и П определяются единственным образом с точностью до постоянногомножителя, и отношение G/H есть положительная неубывающая функция на Т. Примеры: R (и, v) = G (min (и, v)), и, v <= Т,где G — п о л о ж и т е л ь н а я н е у б ы в а ю щ а я ф у н к ц и я н а Т (невырожденные гауссовские-процессы с независимыми п р и р а щ е н и я м и ) , д ( M j y j _ ft -uu-v_ e £ amin(u,») -amax(u,«) e e(стационарные гауссовские м а р к о в с к и е процессы). Д о к а з а т е л ь с т в о . Необходимость. П у с т ь R {и, v)_— к о р р е л я ц и о н н а яф у н к ц и я гауссовского марковского процесса, и п у с т ь t — п р о и з в о л ь н а я в н у т р е н н я я 0точка множества Т. Рассмотрим ф у н к ц и и R (t, t ), 0 если t <^t , 0 Git)-. , 1 R(t, t)R (t , t )/R (t , t), если 0 t>t , 0 0 0 _ j R (t, t)/R(t, t ), если t ^ t , 0 0 H(t) R (t , t)/R (t , t ), 0 0 0 если t>2 - 0У б е д и м с я в том, что G и Н удовлетворяют (2). В самом деле, п у с т ь t± <J t <J t . Т о г д а 2 0
  2. 2. Критерий марковости гауссовских процессов 803•с помощью (1) получаем: Я R fc *о) л (*»• h) R (*«. tp) Л (h, У Ci) W = д t,( 2 4о) - = я [ h , t) 0 = U h ) - П у с т ь теперь t ^ t < t . x 0 2 Снова и с п о л ь з у я ( 1 ) , получаем: Аналогично п р о в е р я е т с я и с л у ч а й г -< £ < t . 0 х 2 Т а к и м образом, равенство (2) д о к а з а н о . Свойства ж е ф у н к ц и й G и Н следуют изу с л о в и я леммы и общих свойств к о р р е л я ц и о н н ы х ф у н к ц и й . Действительно, так к а кR (t, t) > 0, то из (2) следует, что G/H — п о л о ж и т е л ь н а я ф у н к ц и я . Д а л е е , д л я любойк о р р е л я ц и о н н о й ф у н к ц и и справедливо неравенство 3 Л (и, v) < Л (и, и) Л (У, У ) . (3)Пусть и < у. Тогда с помощью представления (2) неравенство (3) преобразуется квиду G(u)H (v)^G(v)H (и),что влечет монотонность отношения GIH. Единственность ф у н к ц и й G и Н (с точностью до постоянного множителя) в пред­ставлении (2) очевидна. Достаточность. Е с л и бы Л (и, v) была к о р р е л я ц и о н н о й функцией, то д о к а з а т е л ь ­ство достаточности свелось бы к проверке тождества (1) д л я ф у н к ц и и Л (и, v) вида (2).В этом случае (1), очевидно, выполнено. Следовательно, нам необходимо д о к а з а т ь , чтоф у н к ц и я Л (и, v) вида(2) п р и выполнении условий леммы я в л я е т с я корреляционнойф у н к ц и е й . В свою очередь, д л я этого достаточно п о к а з а т ь , что п р и любых * ! • < . . . • << ifc е Т к в а д р а т и ч н а я форма к i, 3—1н е о т р и ц а т е л ь н а . В самом деле, в силу условий леммы к к-1 к Q = g <! )t Н (У 4 + 2 G ((.) Я z j = G (* ) Я ( g 4 + ft f _ 1 J r _ 1 G («.) ^ 2 G (i ) * 2 i=l j=i i=l ;=i+i г=1 |i=l 3 = i + lОтметим, что H (t) ф 0 п р и любом t <= Т (так к а к Л (и, v) ф 0 п р и всех и, у е Г ) , такч т о деление на Н (t() в приведенной в ы к л а д к е з а к о н н о . Ле м м а д о к а з а н а . З а м е ч а н и е 1. Утверждение леммы сохранится, если Л (и, и) ф 0 в н у т р имножества Т X Т (в с л у ч а е , когда Г ограничено, по к р а й н е й мере, с одной стороны), а Л (t , v) = 0 п р и всех у е Г и некотором J , л е ж а щ е м н а г р а н и ц е множества Т. 0 0В этом случае полагаем G (t ) = 0, если £ = inf {и: и е Т) и Я (£ ) = 0, если Z = 0 0 0 0= sup {и: и е Г } . В качестве п р и м е р а можно привести к о р р е л я ц и о н н у ю функцию броуновского моста Л (и, У) = m i n (и, у)[1 — m a x (и, и)], и, v е [0, 1]. С другой стороны, если Л (t , у) = 0 п р и всех у е Г {t }, где i„ — граничная 0 0 точка, а Л (t ,t ) ф 0 , то представление (2), очевидно, не имеет места. И н ы м и словами, 0 0 если значение гауссовского марковского процесса | (•) в г р а н и ч н о й точке t не з а ­ 0 висит от совокупности {£ (у); у <= Т {£„}}, то д л я выполнения|Р)]необходимо, чтобы i (Ч) = const с вероятностью 1. Условие необращения ф у н к ц и и Л (и, у) в н у л ь в н у т р и множества Т X Т сущест­ венно. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим в качестве п р и м е р а гауссовский м а р к о в - 7*
  3. 3. 804 Борисов И. С. с к и й процесс W° (t) = W (t) — t W (1) п р и * > 0, где W (t) — стандартный в и н е р о в - с к и й п р о ц е с с . Е с л и v, и е [0, 1 ] , то R (и, v) = m i n (и, v) [1 — m a x (и, v)]. Е с л и ж е и, v е ( 1 , оо), то j R (и, v) = [ m i n (и, v) — 1] m a x (u, v).Наконец, если^ и е [0, 1 ] , v е [ 1 , со), то R (и, v) = 0. Л е г к о видеть, что эти т р исоотношения и с к л ю ч а ю т возможность п р е д с т а в л е н и я к о р р е л я ц и о н н о й ф у н к ц и и п р о ­цесса W° (t) в виде (2) на всей п о л у о с и [0, со). З а м е ч а н и е 2. В статье [2, с. 53] д о к а з а н о , что п р и выполнении у с л о в и яR (t, t) =j= 0, t i= Т = [0, т ] , к о р р е л я ц и о н н а я ф у н к ц и я стохастически н е п р е р ы в н о г огауссовского м а р к о в с к о г о процесса (в этом с л у ч а е ф у н к ц и я R (и, v) непрерывна) п р е д -ставима в виде R (и, v) = YR (и, и) R (v, и) ехр {— | F (и) — F (v) | } , (4)где F — н е к о т о р а я монотонно н е у б ы в а ю щ а я ф у н к ц и я . Л е г к о видеть, что д л я э т о г оп р е д с т а в л е н и я т а к ж е с п р а в е д л и в а ф о р м у л а (2). Отметим, что если R (и, v) непрерывна,,о из тождества (1) и у с л о в и я R (t, t) ф 0, t е Т, следует, что R (и, v) > 0 п р и в с е х ,в . и е Г . О д н а к о в более общем случае (функция R(u,v) разрывна) в о з м о ж н а с и т у а ц и я ,когда R [и, v) < 0 п р и некоторых и, v <= Т. Т а к что представление (4) у ж е не будетиметь места. Н а п р и м е р , пусть G(t) = H(t) = (-l)W, «>0,где [•] — ц е л а я ч а с т ь ч и с л а . Очевидно, G и И удовлетворяют условиям леммы иR (и, v) = — 1 п р и и е [0, 1), v е [ 1 , 2). Т е п е р ь мы о т к а ж е м с я от у с л о в и я необращения R (и, v) в н у л ь на множестве Т X Т. П р е ж д е всего отметим некоторые свойства к о р р е л я ц и о н н о й ф у н к ц и и гауссовского м а р ­к о в с к о г о процесса, вытекающие из тождества (1). П у с т ь R (и, v) ф 0 п р и некоторых и, v е Т (и < v). Тогда R (t, t) ф 0 д л я любого t е [и, v], п о с к о л ь к у если R (t , t ) = 0 0 = 0 п р и некотором t е [и, и] (т. е. (t ) = const с вероятностью 1), то в с и л у м а р ­ g 0ковского свойства з н а ч е н и я процесса | (t) п р и t < t не з а в и с я т от значений £ (t) п р и 0t > t и , стало быть, R (и, v) = 0, что противоречит п е р в о н а ч а л ь н о м у у с л о в и ю . Отсюда a и из (1) следует, что R (t, s) ф 0 п р и любых t, s е [и, v], так к а к в с и л у (1) выполнены соотношения R (и, t) ф 0 и Л (и, s) ф 0, а значит, и Д ( Ц , 8 ) Д (t, t) , д г ( ^) = л м *=°- И з приведенных р а с с у ж д е н и й следует, что если Д (и, v) = 0, то з н а ч е н и я г а у с с о в ­ского м а р к о в с к о г о процесса £ (t) до момента времени и не з а в и с я т от }£ (t); t ^ v}. И т о г с к а з а н н о м у подводит с л е д у ю щ а я теорема. Теорема. Для т о г о чтобы функция R (и, v), и, v е Т, была корреляционной функ­цией гауссовского марковского процесса необходимо и достаточно, чтобы существовалоконечное или счетное разбиение {hf, j ^ 1} множества Т на непересекающиеся интерва­лы, для которого { G. (min (и, v)) Н. (max (и, v)), если в,се А, R{u,v) = { 10, если и е Д., с е Д , при 1=Ф],где функции Gj, Hi определены в лемме (полагаем Gj = 0, если R (и, v) = 0 герм и, v е Aj);величины R (и, t{) и R (и, t i + 1 ) при И Е А ; Е On, £ ) г+1 равны либо 0, либо (2), с компо­нентами Gj, В качестве п р и м е р а можно рассмотреть с л у ч а й н ы й процесс, описанный в з а м е ч а ­н и и 1 к лемме. Сужение у к а з а н н о г о процесса на отрезок [ 0 , 1 ] есть так называемыйб р о у н о в с к и й мост. После момента времени 1 р е а л и з у е т с я совершенно иной г а у с с о в с к и йм а р к о в с к и й процесс, не з а в и с я щ и й от упомянутого броуновского моста. ЛИТЕРАТУРА 1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее п р и л о ж е н и я . Т. 2. М.: Мир, 1967, 752 с. 2. Розанов Ю. Л, Гауссовские бесконечномерные распределения.— Т р . Матем. ин-та им. В . А. Стеклова А Н СССР, 1968, т. C V I I I , 136 с. Поступила в р е д а к ц и ю 29.IX.1980
  4. 4. Оценка возмущений в схеме авторегрессии 80S ON A CRITERION FOR GAUSSIAN RANDOM PROCESS TO B E A MARKOV ONE BOBISOV I. S . (NOVOSIBIRSK) (Summary) W e describe t h e class of covariance functions of real-valued Gaussian Markov processes. О Ц Е Н К А Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Я В О З М У Щ Е Н И Й В СХЕМЕ АВТОРЕГРЕССИИ волжин м. в. 1. Рассмотрим с к а л я р н о е уравнение авторегрессии UJ = P i U j ^ + • • • + Р ^ _ + 8;, 9 ч / = - • - , — 1 , 0, 1в котором р , . . ., Вд — неизвестные неслучайные п а р а м е т р ы , 8 -— независимые одина­ ;к о в о распределенные случайные в о з м у щ е н и я со средним н у л ь , конечной дисперсиейи неизвестной функцией распределения G (х). Б у д е м п р е д п о л а г а т ь , что к о р н и характеристического у р а в н е н и я , соответствую­щ е г о у р а в н е н и ю авторегрессии, по модулю меньше единицы, так что {uj} — строгос т а ц и о н а р н ы й линейный процесс со средним н у л ь . Ц е л ь р а б о т ы — построить по наблюдениям и , . . ., u оценку неизвестной + 1 n ф у н к ц и и распределения G (х) и изучить ее свойства п р и б о л ь ш и х п. 2. П у с т ь [}„ = ф щ , . . ., Р д и ) оценка неизвестного вектора в = (р, . . ., В ) , - дд л я которой последовательность Vn ф — В), п = 1, 2, . . . , ограничена по в е р о я т ­ п ности. В частности, можно использовать оценку наименьших квадратов, к о т о р а я "J^ra-асимптотически н о р м а л ь н а . u Пусть = щ — $ ii~i ln — . . . — B g n ^ - g (fc= 1, . . ., re) — оценки неизвестных 16j, . . . , 8„, G (х) = n (число 8 < ; a , k= f t { , . , . , п) — оценка неизвестной функциираспределения G (х). Статистика G (х) есть аналог эмпирической ф у н к ц и и р а с п р е д е л е н и я ^ ^ ) , п о с т р о е н ­ной непосредственно по S j , . . . , е . Основной р е з у л ь т а т работы составляет с л е д у ю щ а я птеорема. Теорема. Если sup | G" (х) | < со, то X — ~r р s u p Уге| G (х) — G (х) | —» 0, ге^>оо. х п п Теорема д о к а з а н а в разделе 3.] И с п о л ь з у е м G (х) д л я п р о в е р к и гипотез относительно G (х). n П у с т ь W (t) (0 <^ 1) — б р о у н о в с к и й мост, т. е. гауссовский процесс со сред­ним н у л ь и к о в а р и а ц и е й m i n (t, s) — ts. Обозначим D метрическое пространство дейст­вительных ф у н к ц и й без р а з р ы в о в второго рода, определенных на [0, 1] (см. [ 1 , с. 153]),a G (t) — обратную к G (х) ф у н к ц и ю . П о с к о л ь к у процесс V _ 1 ln (0) *] Р n G — П Иге — со слабо сходится в D к W (t) [ 1, с. 196], в силу сформулированной теоремы и про­ > цесс V n Wri (0) — *1 слабо сходится в D т а к ж е к W(t). Следовательно, асимптоти­ческие р а с п р е д е л е н и я статистик типа К о л м о г о р о в а и со , основанных на G (х), такие 2 nже, к а к у соответствующих обычных статистик, основанных на G (х). n В частности, статистики ОТ: Зщуп6 (х)-С(х) п и п J [G (x)-G(x)fdG(x) n 1 сходятся по распределению п р и ге —; со к Еегпчт.Евм t u p | W ( i ) | и TF (t) dt 2 соответ- оственно, а ф у н к ц и и распределения последних — обычные ф у н к ц и и распределения-

×