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Algebra

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compuertas logicas

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Algebra

  1. 1. República Bolivariana de VenezuelaMinisterio Del Poder Popular para la Educación Instituto Universitario Antonio José de Sucre Barquisimeto Estado Lara Yinmary Y. Vásquez R. 19.482.641 Informática 78 2º semestre
  2. 2. ÁLGEBRA DE BOOLE Y FUNCIONES LÓGICAS 1-DefinicionEl Álgebra de Boole es una parte de la matemática, la lógica y la electrónica que estudia las variables,operaciones y expresiones lógicas. Debe su nombre a George Boole, matemático británico quien la definió amediados del siglo XIX. A mediados del siglo XX el trabajo de Boole es tomado por Claude Shannon para ladescripción de circuitos eléctricos, más específicamente circuitos con relés.Esta álgebra trabaja con los dos valores provenientes de la lógica, verdadero y falso, estos sonsustituidos usualmente por los símbolos existentes en un sistema binario, 1 y 0 respectivamente. 2. Proposición LógicaEs una frase u oración en la que se afirma o se niega algo, de modo que la idea que ella contiene seráVERDADERA o será FALSA, no pudiendo ser de otra forma.Las frases a continuación son ejemplos de proposiciones lógicas.“Es ingeniero”“Es estudiante”“Está casado”“Tiene hijos”Para representar una proposición lógica se utiliza usualmente una letra o un símbolo, así podemosdenominar “A” al valor de la afirmación “Es ingeniero”; “B” al valor de “Es estudiante” etc. 3. Funciones Booleanas básicasLas funciones básicas que relacionan los valores provenientes de las proposiciones lógicas son: “y”“o” y “no”, estas funciones son utilizadas como conectivos entre proposiciones lógicas.Si se toman las dos primeras proposiciones lógicas planteadas, A y B, se pueden crear nuevasproposiciones de una mayor complejidad.a. Función Y (AND)“Es ingeniero y estudiante”En esta frase se utiliza el conectivo “y”, la misma sólo será verdadera, en el caso en que ambasproposiciones que la conforman sean verdaderas. La relación entre las tres frases se escribe de la siguienteforma:F ABDonde F representa el valor de la afirmación “Es ingeniero y estudiante” y la operación existenteentre las proposiciones A y B es ·.b. Función O (OR)“Es ingeniero o estudiante”Esta afirmación utiliza el conectivo “o” y será verdadera si alguna (o ambas) proposiciones son
  3. 3. verdaderas. La relación entre las tres frases es la siguiente:G A  BDonde G representa el valor de la afirmación “Es ingeniero o estudiante”, la operación existente entreambas proposiciones es “+”, la misma no debe confundirse con una suma aritmética.c. Función NO (NOT)“NO es estudiante”Esta frase será verdadera si la oración “Es estudiante” es falsa. Es decir, ambas siempre tendránvalores opuestos o complementarios. La representación es la siguiente:H B o H BDonde H representa el valor de la afirmación “Es estudiante”, el negar una afirmación (aplicar lafunción no) es representado a través de una línea en la parte superior o por una comilla del lado derecho.d. Representación CircuitalLas funciones descritas anteriormente tienen equivalencia con el comportamiento de circuitoseléctricos. A continuación se muestra un breve esquema de las funciones lógicas y su equivalente circuital.Función ANDHabrá conexión eléctrica siestá activado el interruptor A“Y” el interruptor B.Función ORHabrá conexión eléctrica siestá activado el interruptor A“O” el interruptor B.Función NOTHabrá conexión eléctrica si“NO” está activado elinterruptor A. 4. Postulados y Propiedades del Álgebra de BoolePostulados:Son básicamente las definiciones de lasfunciones lógicas y sobre ellas se fundamentael álgebra.1) 0  0  0Basado en lafunción AND2) 0 1  03) 1 0  04) 11  15) 0  0  0Basado en lafunción OR6) 0  1 17) 1 0  18) 1  1  1
  4. 4. 9) 0  1Basado en la10) 1  0 función NOTPropiedades:AND1) X  002) 0 X 03) X  X14) 1X XOR5) X  0 X6) 0  X X7) X  1  18) 1  X 1AND+NOT9) X X X10) X X 0OR+NOT11) X  X X12) X  X 1NOT 13) X XConmutativa14) XY YX15) X  Y Y  XDistributiva16) X Y  Z  XY  XZ17) X YZ X Y X  Z  Asociativa18) X YZ XY Z 19) X  Y  Z  X  Y   Z  5. Algunas definiciones adicionales 1a. Variable LógicaDiferentes símbolos que representan proposiciones lógicas dentro de una expresión booleana.b. LiteralesCantidad de apariciones (u ocurrencias) de una variable lógica dentro de una expresión. Cantidad deveces que aparecen las variables lógicas..c. Expresiones equivalentesDos expresiones son equivalentes si independientemente de los valores que tomen las variableslógicas sus resultados son iguales entre si. Es decir, ambas son cero (falsas) o ambas son uno (verdaderas).
  5. 5. d. Expresiones complementariasDos expresiones son complementarias si independientemente de los valores que tomen las variableslógicas sus resultados son diferentes entre si. Es decir, si una vale 1 (es cierta) la otra valdrá cero (verdadera),y viceversa.1 Tomado del libro “Introducción a los Sistemas Digitales” de Omar Valero.Una expresión complementaria se obtiene cambiando todos los ANDs por ORs, los ORs por ANDs,los ceros por unos, los unos por ceros y complementando cada uno de los literales.e. Expresiones dualesUna expresión dual se obtiene cambiando todos los ANDs por ORs, los ORs por ANDs, los ceros porunos y los unos por ceros.f. Teoremas1) XY  XY X XY  XY X2) X  XY X X X Y  X 3) X  XY X Y X X Y X   Y4) ZX  Z XY ZX  ZY Z  X Z  X Y Z  X Z Y   5) XY  XZ YZ XY  XZ X Y   Z   Z  X Y   Z  X Y  XLeyes de De Morgan X Y XY X  X Y YEstos teoremas sirven para la simplificación de funciones lógicas.g. Expresión MínimaUna expresión algebraica es mínima si contiene la menor cantidad de términos posibles, y estos tienenla menor cantidad de literales posibles. 6. Otras funciones lógicasSi bien podemos hablar de las funciones lógicas AND, OR y NOT como las básicas del álgebra, através de compuertas lógicas se pueden desarrollar algunas otras funciones compuestas, a continuación se lasenumeran.a. NAND (NOT – AND)Consiste en realizar la operación AND y luego negar el resultado de esta.Z ABb. NOR (NOT – OR)Consiste en realizar la operación OR y luego negar el resultado de esta.Z A Bc. XOR (OR exclusivo)Si A y B son dos variables lógicas, el resultado de esta operación será verdadero si el valor de una delas dos variables es verdadero, será falso si ninguna o ambas variables son verdaderas.Z ABEsta función se puede escribir basándose en funciones básicas de las siguientes maneras:Z AB  AB Z A B B  A
  6. 6. d. XNOR (NOR exclusivo)Consiste en realizar la operación XOR y luego negar el resultado de esta.Z ABEsta función se puede escribir basándose en funciones básicas de las siguientes maneras:Z AB  AB Z A BA B   7. Representación CircuitalEn los circuitos lógicos se utilizarán compuertas que realizan las funciones descritas con anterioridad,dichas compuertas tienen la representación que se presenta a continuación:AND OR XOR BufferNAND NOR XNOR NOTLa salida de cada compuerta lógica será el resultado de la operación efectuada a su(s) entrada(s), elbuffer es una compuerta que no realiza operación lógica alguna y se limita a entregar a su salida el valorlógico existente a su entrada. 8. Representación de una Función Lógica.Como ya se vio, las funciones básicas del álgebra son el NOT (o negación) el AND y el OR. Así,cualquier expresión existente se puede manipular para ser representada como una serie de operacionesproducto (AND) y suma (OR) de los literales de la expresión.De esta manera se pueden reescribir expresiones para que sean una operación suma de términos que asu vez son productos y viceversa.a. Suma de ProductosUna expresión se puede manipular para llevarla a la forma de suma de productos aplicandoreiteradamente la propiedad 16:X Y  Z  XY  XZb. MinitérminoEn una suma de productos, se denomina minitérmino a cualquier término que contenga todas lasvariables, es decir, productos de todas las variables o sus negados.c. Suma Canónica o ExpandidaEs una expresión en forma de suma de productos en la que todos sus términos son minitérminos.Para manipular una expresión para llevarla a la forma de suma expandida se utilizan las propiedades 3 y 12.X 1  XY Y 1X XY  XYd. Productos de SumasUna expresión se puede manipular para llevarla a la forma de suma de productos aplicandoreiteradamente la propiedad 17.X YZ X Y X  Z  
  7. 7. e. MaxitérminoEn un producto de sumas, se llaman maxitérminos a los términos que contenga todas las variables, esdecir, sumas de todas las variables o sus negados.f. Producto Canónico o ExpandidoEs una expresión en forma productos de sumas en la que todos sus términos son maxitérminos.Para manipular una expresión a fin de llevarla a la forma de producto expandido se utilizan laspropiedades 5 y 10.0  X X0 Y  YX YY X Y X Y   g. La Tabla de VerdadLa tabla de la verdad es un arreglo en el que se plantean todas las combinaciones posibles de valoresde los argumentos de una función booleana.La tabla se divide en dos partes: a la izquierda la información de las entradas (argumentos de lasfunciones) y, a la derecha, las salidas o valores de las funciones. La parte izquierda se divide a su vez entantas columnas como variables tenga la función, en ellas se colocan todos los valores posibles de lasvariables utilizando como orden el Código Binario Natural.Teniendo esta distribución, cada una de las filas corresponde con una posible combinación de valoresde los argumentos de las funciones. Esto se relaciona directamente con los conceptos de minitérminos ymaxitérminos, recordando que éstos son términos que incluyen todas las variables de una función; así unminitérmino (maxitérmino) sólo será “1” (“0”) en un único caso. Conociendo esto, podemos relacionar cadafila de la Tabla de Verdad con un minitérmino o maxitérmino e identificar los mismos con el número de filaque ocupan, desde el 0 hasta 2N-1.h. Representaciones AbreviadasUna de las posibles formas de representación es la propuesta por Quine McCluskey, en ella, sólo seindican los minitérminos o maxitérminos que tenga una expresión, haciendo uso de la representación comosuma de productos o producto de sumas, respectivamente.Si se desea representar los minitérminos existentes en una suma de productos expandida, basta conutilizar el símbolo de sumatoria e indicar los números de los minitérminos de la expresión, siempre indicandoel orden que se estableció para las variables lógicas de la misma. En el caso de un producto de sumas seopera de forma similar, sólo que el símbolo a utilizar corresponde al de productoria. COMPUERTAS LOGICAS Por ZZT Una compuerta logica es un dispositivo que nos permite obtener resultados, dependiendo de los valores de las señales que le ingresemos. Es necesario aclarar entonces que las compuertas lógicas se comunican entre sí (incluidos los microprocesadores), usando el sistema BINARIO. Este consta de solo 2 indicadores 0 y 1 llamados BIT dado que en electrónica solo hay 2 valores equivalentes 0=0volt 1=5volt (conectado-desconectado). Es
  8. 8. decir que cuando conectamos una compuerta a el negativo equivale a introducir un cero (0)y por el contrario si derivamos la entrada a 5v le estamos enviando un uno (1). Ahora paracomprender como se comporta cada compuerta se debe ver su TABLA DE VERDAD. Estanos muestra todas las combinaciones lógicas posibles y su resultado. COMPUERTA BUFFERLa compuerta BUFFER es la más basica de todas, simplemente toma el valor que se leentrega y lo deja pasar tal cual. Esto sirve para ajustar y aislar niveles lógicos ya que no sepueden conectar infinita cantidad de compuertas a una misma señal, ya que el voltaje delnivel 1 empieza a decaer y el sistema falla. Tabla de verdad A X 0 0 1 1 COMPUERTA NOTLa compuerta NOT es un tanto parecida al buffer salvo por que invierte el valor que se leentrega. También tiene la utilidad de ajustar niveles pero tomando en cuenta que invierte laseñal.
  9. 9. Tabla de verdad A X 0 1 1 0 COMPUERTA ANDLa compuerta AND hace la función de multiplicación lógica. Es decir toma los valores quele aplicamos a sus entradas y los multiplica. Tabla de verdad AND A B X 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 COMPUERTA NANDLa compuerta NAND también hace la función de multiplicación, pero entrega el valornegado. Esto es muy util, dado que si estubieramos usando una AND normal tendriamosque usar otro chip con un NOT para negar el resultado. Tabla de verdad NAND A B X 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 COMPUERTA OR
  10. 10. La compuerta OR realiza la función de suma lógica. Cuando se le aplica un uno acualquiera de sus entradas el resultado de salida será uno, independiente del valor de la otraentrada. Excepto cuando las dos entradas esten en 0 la salida será 0. Tabla de verdad OR A B X 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 COMPUERTA NORLa compuerta NOR realiza la función de suma, pero entrega el resultado invertido,ahorrandonos un NOT. Su salida será 1 solo si las dos entradas son 0. Tabla de verdad NOR A B X 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 COMPUERTA X-OREsta compuerta XOR (or-exclusiva) se comporta de una manera especial. Su caracteristicaespecial es que el resultado de salida será 1 si las dos entradas son distintas, sean 0-1 ó 1-0. Tabla de verdad X-OR A B X 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
  11. 11. COMPUERTA X-NOREsta compuerta XNOR o Nor exclusiva, también se comporta de una manera especial. Sucaracteristica es que el resultado de salida será 1 si las dos entradas son del mismo valor,sean 0-0 ó 1-1. Tabla de verdad X-NOR A B X 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

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